浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末專題復(fù)習(xí) 第06講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算（4大考點(diǎn)）（原卷版+解析版）

第06講實(shí)數(shù)的運(yùn)算（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、實(shí)數(shù)大小的比較正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0.兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小.從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大.二、實(shí)數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講題型一：實(shí)數(shù)的混合混算一、填空題1．（2021·浙江·杭州市青春中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算：（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根為___．（4）如果的平方根是±3，則＝___．2．（2021·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖邊長為2的正方形，則圖中的陰影部分面積是______．3．（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）計(jì)算：________．4．（2021·浙江·臺(tái)州市書生中學(xué)七年級(jí)期中）若與互為相反數(shù)，則________．二、解答題5．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）計(jì)算：|﹣|﹣．6．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）計(jì)算：．7．（2022·浙江金華·七年級(jí)期末）計(jì)算：(1)(2)8．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)．9．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算10．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）計(jì)算：11．（2021·浙江·七年級(jí)期中）計(jì)算：（1）

（2）12．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)．題型二：程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算一、填空題1．（2021·浙江溫州·七年級(jí)期末）按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x為，則輸出的結(jié)果為________．2．（2020·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入x＝﹣3，則最后輸出的結(jié)果是____．3．（2021·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖，是一個(gè)計(jì)算程序，若輸入a的值為，則輸出的結(jié)果應(yīng)為______________．二、解答題4．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）如圖是一個(gè)無理數(shù)篩選器的工作流程圖．(1)當(dāng)x為9時(shí)，y值為；(2)如果輸入0和1，（填“能”或“不能”）輸出y值；(3)當(dāng)輸出的y值是時(shí)，請(qǐng)寫出滿足題意的x值：．（寫出兩個(gè)即可）5．（2020·浙江·七年級(jí)期末）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器．原理如圖．（1）當(dāng)輸入的為81時(shí)，輸出的是多少？（2）是否存在輸入有效的值后，始終輸不出值？如果存在．請(qǐng)寫出所有滿足要求的的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）小明輸入數(shù)據(jù)，在轉(zhuǎn)換器運(yùn)行程序時(shí)，屏幕顯示“該操作無法運(yùn)行”，請(qǐng)你推算輸入的數(shù)據(jù)可能是什么情況？（4）若輸出的是，試判斷輸入的值是否唯一？若不唯一，請(qǐng)寫出其中的兩個(gè)．題型三：新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算一、單選題1．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）設(shè)表示小于的最大整數(shù)，如，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在實(shí)數(shù)，使2．（2021·浙江·七年級(jí)期末）任何實(shí)數(shù)a，可用表示不超過a的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作，，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作即可變?yōu)?，類似地，對(duì)81只需進(jìn)行（

）次操作后即可變?yōu)?．A．2 B．3 C．4 D．53．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)階段練習(xí)）定義新運(yùn)算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理數(shù)），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（）A．﹣ B．﹣ C． D．4．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：，其中，為有理數(shù)，則等于(

)A．a(chǎn)2－b B．b2－b C．b2 D．b2－a5．（2021·浙江·高照實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算：a※b＝a2﹣b2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值為（）A．﹣40 B．﹣32 C．18 D．10二、填空題6．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）用“”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有．例如：，那么20225＝________；當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí)，＝________．7．（2021·浙江·七年級(jí)期末）用“△”“·”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a，b，都有和，例如，．則_____．8．（2021·浙江·七年級(jí)期末）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，，如：，那么___________．9．（2021·浙江·七年級(jí)期末）對(duì)實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算☆如下：☆，例如2☆3=.計(jì)算[2☆()][()☆()]=_____10．（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列等式（式子中的“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么計(jì)算：=__．11．（2022·浙江紹興·七年級(jí)期末）如，我們叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如，），無序性（即改變?cè)氐捻樞颍喜蛔儯艏?，我們說．已知集合，集合，若，則的值是______．12．（2021·浙江寧波·七年級(jí)期中）材料：一般地，n個(gè)相同因數(shù)a相乘：記為．如，此時(shí)3叫做以2為底的8的對(duì)數(shù)，記為（即）．那么_____，_____．三、解答題13．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）七年級(jí)期中）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有，例如．（1）求的值．（2）求的平方根．14．（2021·浙江·杭州市弘益中學(xué)七年級(jí)期中）任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]=4，[]=1．現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作變?yōu)?．（1）對(duì)10進(jìn)行1次操作后變?yōu)開______，對(duì)200進(jìn)行3次作后變?yōu)開______；（2）對(duì)實(shí)數(shù)m恰進(jìn)行2次操作后變成1，則m最小可以取到_______；（3）若正整數(shù)m進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，求m的最大值．15．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）我們知道，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，但對(duì)于三個(gè)互不相等的負(fù)整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)方根都是整數(shù)，則稱這三個(gè)數(shù)為“完美組合數(shù)”．例如：-9，-4，-1這三個(gè)數(shù)，，，，其結(jié)果6，3，2都是整數(shù)，所以-1，-4，-9這三個(gè)數(shù)稱為“完美組合數(shù)”．(1)-18，-8，-2這三個(gè)數(shù)是“完美組合數(shù)”嗎？請(qǐng)說明理由．(2)若三個(gè)數(shù)-3，m，-12是“完美組合數(shù)”，其中有兩個(gè)數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12，求m的值．16．（2021·浙江·七年級(jí)期中）數(shù)學(xué)中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的運(yùn)算，記為，如，則，則．①根據(jù)定義，填空：_________，__________．②若有如下運(yùn)算性質(zhì)：．根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)填空，填空：若，則__________；___________；③下表中與數(shù)x對(duì)應(yīng)的有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請(qǐng)直接找出錯(cuò)誤并改正．x1.5356891227錯(cuò)誤的式子是__________，_____________；分別改為__________，_____________．題型四：實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用一、單選題1．（2021·浙江·高照實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）有下列說法：①在1和2之間的無理數(shù)有且只有這兩個(gè)；②實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；③兩個(gè)無理數(shù)的積一定是無理數(shù)；④是分?jǐn)?shù)．其中正確的為（

）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．②二、填空題2．（2020·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖，在紙面上有一數(shù)軸，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，點(diǎn)C表示的數(shù)為．若子軒同學(xué)先將紙面以點(diǎn)B為中心折疊，然后再次折疊紙面使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，則此時(shí)數(shù)軸上與點(diǎn)C重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是_______．3．（2020·浙江杭州·七年級(jí)期中）若，則______________．4．（2020·浙江·翠苑中學(xué)七年級(jí)期中）設(shè)x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式，則的平方根是___________.三、解答題5．（2021·浙江·寧波市第七中學(xué)七年級(jí)期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過100千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測量d＝32米，f＝2，請(qǐng)你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了．6．（2021·浙江紹興·七年級(jí)期末）已知小正方形的邊長為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．（1）求_______________．（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個(gè)邊長為的正方形．7．（2020·浙江·七年級(jí)期末）數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：操作一：（1）折疊紙面，若使表示的點(diǎn)1與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣2表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；操作二：（2）折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與﹣3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是__________________；操作三：（3）在數(shù)軸上剪下9個(gè)單位長度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）.若這三條線段的長度之比為1：1：2，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是_________________________.題型五：與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題一、單選題1．（2019·浙江湖州·七年級(jí)期中）如圖將1、、、按下列方式排列．若規(guī)定表示第排從左向右第個(gè)數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是（

）．A．1 B． C． D．2．（2019·浙江·紹興市袍江中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是()A．2 B． C．5 D．二、填空題3．（2020·浙江·七年級(jí)單元測試）將實(shí)數(shù)按如圖所示的方式排列，若用表示第m排從左向右數(shù)第n個(gè)數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是________1（第1排）

（第2排）

1

（第3排）

1

（第4排）

1

（第5排）4．（2020·浙江寧波·七年級(jí)期末）若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，則…＝_____．5．（2018·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）借助計(jì)算器計(jì)算下列各題：(1)＝_____；(2)＝_____；(3)＝______；(4)＝______；(5)根據(jù)上面計(jì)算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)＝______________．(用含n的式子表示)6．（2017·浙江杭州·七年級(jí)期中）計(jì)算=______，=_____，再計(jì)算，…，猜想的結(jié)果為______________.三、解答題7．（2018·浙江杭州·七年級(jí)開學(xué)考試）已知：，求的值．鞏固提升鞏固提升一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?鄞州區(qū)校級(jí)期中）化簡﹣|﹣1|的值是（）A．2 B．1 C．2 D．﹣12．（2021秋?江干區(qū)校級(jí)期中）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①最小的負(fù)整數(shù)是﹣1；②所有無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；③當(dāng)a≤0時(shí)，|a|＝﹣a成立；④兩個(gè)無理數(shù)的和可能為有理數(shù)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．4．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）按如圖所示的運(yùn)算程序，能使輸出的結(jié)果為3的是（）A．a(chǎn)＝0，b＝3 B．a(chǎn)＝1，b＝2 C．a(chǎn)＝4，b＝1 D．a(chǎn)＝9，b＝05．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）實(shí)數(shù)a、b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為（）A．﹣3b B．﹣2a﹣b C．a(chǎn)﹣2b D．﹣b二．填空題（共8小題）6．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）可以作為“兩個(gè)無理數(shù)的和仍為無理數(shù)”的反例的是．7．（2021秋?柯橋區(qū)期末）根據(jù)圖示的對(duì)話，則代數(shù)式3a+3b﹣2c+2m的值是．8．（2021秋?東陽市期末）若a與b互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，k的算術(shù)平方根為，則2022a+2021b+mnb+k2的值為．9．（2021秋?越城區(qū)期末）計(jì)算：+＝．10．（2020秋?錢塘區(qū)期末）＝．11．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）化簡（﹣）2+|1﹣|+的結(jié)果為．12．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)a，b，定義一種運(yùn)算*如下：a*b＝，如3*2＝＝，那么12*（3*1）＝．13．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）定義新運(yùn)算“☆”：a☆b＝，則12☆（3☆4）＝．三．解答題（共7小題）14．（2022?仙居縣校級(jí)開學(xué)）計(jì)算：．15．（2021秋?金華期末）計(jì)算：（1）+4÷（﹣2）；（2）﹣12022+32×．16．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a※b＝a+b2，例如7※4＝7+42＝23．（1）求5※4的值．（2）求7※（1※）的平方根．17．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）（1）若a是最大的負(fù)整數(shù)，b是絕對(duì)值最小的數(shù)，c是倒數(shù)等于它本身的正數(shù)，d是9的負(fù)平方根．則a＝；b＝；c＝；d＝．（2）若a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，求3（a+b）﹣（﹣cd）3﹣2的值．18．（2021秋?永嘉縣校級(jí)月考）計(jì)算：+（）2﹣．19．（2021秋?溫州期中）下列8個(gè)實(shí)數(shù)：﹣2，0，，，，（﹣2）3，（﹣3）2，π．（1）屬于無理數(shù)的有：；屬于負(fù)整數(shù)的有：．（2）求題中所列8個(gè)實(shí)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)的乘積．20．（2021秋?永嘉縣校級(jí)月考）（1）計(jì)算并化簡（結(jié)果保留根號(hào)）①|(zhì)1﹣|＝②|﹣|＝③|﹣|＝④|＝（2）計(jì)算（結(jié)果保留根號(hào)）：|第06講實(shí)數(shù)的運(yùn)算（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、實(shí)數(shù)大小的比較正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0.兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小.從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大.二、實(shí)數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講題型一：實(shí)數(shù)的混合混算一、填空題1．（2021·浙江·杭州市青春中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算：（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根為___．（4）如果的平方根是±3，則＝___．【答案】

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8

3

4【分析】（1）根據(jù)立方根的定義求解即可；（2）根據(jù)平方根的定義先化簡，然后求解即可；（3）根據(jù)平方根的定義先化簡，再求立方根即可；（4）根據(jù)平方根的定義先求出，然后代入求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）∵，∴的立方根即為8的立方根，8的立方根為3，∴的立方根為3；（4）∵的平方根是±3，∴，∴，∴；故答案為：4；8；3；4．【點(diǎn)睛】本題考查平方根，算術(shù)平方根以及立方根的相關(guān)計(jì)算，理解平方根與立方根的相關(guān)基本概念是解題關(guān)鍵．2．（2021·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖邊長為2的正方形，則圖中的陰影部分面積是______．【答案】【分析】由圖可知陰影部分的面積等于正方形面積減去圓的面積，由此求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：S陰影＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知正方形、圓的面積公式．3．（2022·浙江寧波·七年級(jí)期末）計(jì)算：________．【答案】1【分析】先化簡絕對(duì)值，再加減運(yùn)算即可求解．【詳解】解：∵3＜π＜4，∴=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查化簡絕對(duì)值、實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，會(huì)利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡絕對(duì)值是解答的關(guān)鍵．4．（2021·浙江·臺(tái)州市書生中學(xué)七年級(jí)期中）若與互為相反數(shù)，則________．【答案】-1【分析】根據(jù)題意，可得：，所以，據(jù)此求出的值是多少，再應(yīng)用代入法，求出的值是多少即可．【詳解】解：與互為相反數(shù)，，，解得：，，故答案為：-1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，相反數(shù)的性質(zhì)，立方根的性質(zhì)，根據(jù)兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)得到關(guān)于x的方程是關(guān)鍵點(diǎn)．二、解答題5．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）計(jì)算：|﹣|﹣．【答案】【分析】先逐項(xiàng)化簡，再算加減即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握立方根和算術(shù)平方根的定義是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）計(jì)算：．【答案】【分析】先計(jì)算算術(shù)平方根、立方根、實(shí)數(shù)的乘方，再計(jì)算加減法即可得．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、立方根、實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．7．（2022·浙江金華·七年級(jí)期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)1(2)35【分析】（1）原式先化簡立方根，再計(jì)算除法，最后計(jì)算減法即可得到答案；（2）原式先計(jì)算乘方和化簡算術(shù)平方根，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加法即可得到答案．(1)==1(2)===【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)12(2)【分析】（1）直接利用立方根以及算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡得出答案；（2）直接利用絕對(duì)值以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．(1)解：原式；(2)解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．9．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算【答案】【分析】直接根據(jù)算術(shù)平方根、立方根以及絕對(duì)值的意義將原式進(jìn)行化簡，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根以及絕對(duì)值的非負(fù)性是解本題的關(guān)鍵．10．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）計(jì)算：【答案】【分析】首先計(jì)算開方和絕對(duì)值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可．【詳解】解：===【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．11．（2021·浙江·七年級(jí)期中）計(jì)算：（1）

（2）【答案】（1）8；（2）-1【分析】（1）先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減；（2）先化簡各數(shù)，再作加減法．【詳解】解：（1）===8；（2）==-1【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根化簡后計(jì)算即可；（2）去絕對(duì)值后計(jì)算即可．（1）解：；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根的定義和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型二：程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算一、填空題1．（2021·浙江溫州·七年級(jí)期末）按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x為，則輸出的結(jié)果為________．【答案】15．【分析】根據(jù)輸入的為，按照運(yùn)算程序，計(jì)算結(jié)果即可．【詳解】解：∵輸入的為，是無理數(shù)，∴以為邊長的正方形的面積是：，故答案是：15．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，讀懂題目，掌握計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2020·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入x＝﹣3，則最后輸出的結(jié)果是____．【答案】2．【分析】讀懂計(jì)算程序，把x=－3代入，按計(jì)算程序計(jì)算，直到結(jié)果是無理數(shù)即可．【詳解】當(dāng)輸入x，若＝2的結(jié)果是無理數(shù)，即為輸出的數(shù)，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，2＝2，不是無理數(shù)，因此，把x＝2再輸入得，2＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握計(jì)算法則是關(guān)鍵．3．（2021·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖，是一個(gè)計(jì)算程序，若輸入a的值為，則輸出的結(jié)果應(yīng)為______________．【答案】【分析】根據(jù)計(jì)算程序列出算式，并根據(jù)求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，理解計(jì)算程序，正確列出算式并求解是解答的關(guān)鍵．二、解答題4．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）如圖是一個(gè)無理數(shù)篩選器的工作流程圖．(1)當(dāng)x為9時(shí)，y值為；(2)如果輸入0和1，（填“能”或“不能”）輸出y值；(3)當(dāng)輸出的y值是時(shí)，請(qǐng)寫出滿足題意的x值：．（寫出兩個(gè)即可）【答案】(1)(2)不能(3)5或25（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算流程圖，即可求解；（2）根據(jù)0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，即可判斷；（3）根據(jù)運(yùn)算法則，進(jìn)行逆運(yùn)算即可得到滿足題意的x值．（1）解：當(dāng)輸入x=9時(shí)，9的算術(shù)平方根為3，不是無理數(shù)，3的算術(shù)平方根為，即；故答案為：（2）解：當(dāng)輸入x=0或1時(shí)，因?yàn)?的算術(shù)平方根是0，始終是有理數(shù)，1的算術(shù)平方根是1，也始終是有理數(shù)，所以不能輸出y；故答案為：不能（3）解：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)x=5；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)x=25；故答案為：5或25（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)以及算術(shù)平方根，正確理解工作流程圖是解題的關(guān)鍵．5．（2020·浙江·七年級(jí)期末）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器．原理如圖．（1）當(dāng)輸入的為81時(shí)，輸出的是多少？（2）是否存在輸入有效的值后，始終輸不出值？如果存在．請(qǐng)寫出所有滿足要求的的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）小明輸入數(shù)據(jù)，在轉(zhuǎn)換器運(yùn)行程序時(shí)，屏幕顯示“該操作無法運(yùn)行”，請(qǐng)你推算輸入的數(shù)據(jù)可能是什么情況？（4）若輸出的是，試判斷輸入的值是否唯一？若不唯一，請(qǐng)寫出其中的兩個(gè)．【答案】（1）；（2）0或1；（3）見解析；（4）不唯一，5和25【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解；（2）根據(jù)0和1的算術(shù)平方根即可判斷；（3）根據(jù)算術(shù)平方根的定義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可求解；（4）找到使得輸出值為的兩個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：（1）當(dāng)x=81時(shí)，=9，=3，是無理數(shù)，故y=；（2）當(dāng)x=0或1時(shí)，始終輸不出y值．因?yàn)?，1的算術(shù)平方根是0，1，一定是有理數(shù)；（3）∵負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，∴輸入的數(shù)據(jù)可能是負(fù)數(shù)；（4）25的算術(shù)平方根是5，5的算術(shù)平方根是，故輸入的值不唯一，例如5和25．【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確把握數(shù)值轉(zhuǎn)換器的原理是解題關(guān)鍵．題型三：新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算一、單選題1．（2022·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期中）設(shè)表示小于的最大整數(shù)，如，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在實(shí)數(shù)，使【答案】C【分析】根據(jù)新定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、因?yàn)楸硎拘∮诘淖畲笳麛?shù)，所以，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、因?yàn)楸硎拘∮诘淖畲笳麛?shù)，所以的最大值是1，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、存在實(shí)數(shù)，使，如，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較和新定義運(yùn)算，正確理解表示小于的最大整數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江·七年級(jí)期末）任何實(shí)數(shù)a，可用表示不超過a的最大整數(shù)，如，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作，，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作即可變?yōu)?，類似地，對(duì)81只需進(jìn)行（

）次操作后即可變?yōu)?．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)新運(yùn)算依次求出即可．【詳解】解：，，，共3次操作，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能求出每次的值是解此題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)階段練習(xí)）定義新運(yùn)算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理數(shù)），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（）A．﹣ B．﹣ C． D．【答案】C【詳解】試題解析：3⊕（-4）=.故選C．4．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：，其中，為有理數(shù)，則等于(

)A．a(chǎn)2－b B．b2－b C．b2 D．b2－a【答案】B【詳解】故選：B.5．（2021·浙江·高照實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算：a※b＝a2﹣b2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值為（）A．﹣40 B．﹣32 C．18 D．10【答案】D【分析】直接利用題中的新定義給出的運(yùn)算公式計(jì)算得出答案．【詳解】解：(-5)※4＝(﹣5)2﹣42+1＝10．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，以及定義新運(yùn)算，正確運(yùn)用新定義給出的運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）用“”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有．例如：，那么20225＝________；當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí)，＝________．【答案】

26

26【分析】首先用5的平方加上1，求出2022?5的值；然后用2的平方加上1，求出m?2的值，進(jìn)而求出m?（m?2）的值即可．【詳解】解：∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a?b=b2+1，∴2022?5=52+1=26；當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí)，m?（m?2）=m?（22+1）=m?5=52+1=25+1=26．故答案為：26、26．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及定義新運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確“?”的運(yùn)算方法．7．（2021·浙江·七年級(jí)期末）用“△”“·”定義新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a，b，都有和，例如，．則_____．【答案】【分析】仿照定義新運(yùn)算：a△b=a；a*b=b進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：==故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，本題是一種新定義的題目：先理解新定義的含義，然后根據(jù)新定義的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．8．（2021·浙江·七年級(jí)期末）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，，如：，那么___________．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件求出4*5的值，再求出6*（4*5）的值即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴4*5==-3，∴6*（4*5）=6*（-3）==.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在解題時(shí)要先明確新的運(yùn)算表示的含義是本題的關(guān)鍵．9．（2021·浙江·七年級(jí)期末）對(duì)實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算☆如下：☆，例如2☆3=.計(jì)算[2☆()][()☆()]=_____【答案】1【詳解】先判斷算式a☆b中，a與b的大小，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的冪運(yùn)算，再進(jìn)行乘法運(yùn)算．[2☆（-4）]×[（-4）☆（-2）]，=2-4×（-4）2==1．故答案為1．10．（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列等式（式子中的“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么計(jì)算：=__．【答案】【分析】根據(jù)“！”的運(yùn)算方式列式計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的除法，理解新定義運(yùn)算“！”是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江紹興·七年級(jí)期末）如，我們叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如，），無序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變）．若集合，我們說．已知集合，集合，若，則的值是______．【答案】【分析】根據(jù)集合的定義和集合相等的條件即可判斷．【詳解】∵，，∴，，∴，即，∴，或，，∴或（舍去），∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題以集合為背景考查了代數(shù)式求值，關(guān)鍵是根據(jù)集合的定義和性質(zhì)求出和的值．12．（2021·浙江寧波·七年級(jí)期中）材料：一般地，n個(gè)相同因數(shù)a相乘：記為．如，此時(shí)3叫做以2為底的8的對(duì)數(shù)，記為（即）．那么_____，_____．【答案】

3；

．【分析】由可求出，由，可分別求出，，繼而可計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：（1）由題意可知：，則，（2）由題意可知：，，則，，∴，故答案為：3；．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，讀懂題意，掌握運(yùn)算方法是解題關(guān)鍵．三、解答題13．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）七年級(jí)期中）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有，例如．（1）求的值．（2）求的平方根．【答案】（1）21；（2）±4【分析】（1）根據(jù)定義新運(yùn)算即可求的值；（2）根據(jù)定義新運(yùn)算求的值，再計(jì)算平方根即可得出答案．【詳解】（1）由定義新運(yùn)算得：；（2）由定義新運(yùn)算得：，∴的平方根為．【點(diǎn)睛】本題考查新定義的有理數(shù)運(yùn)算，掌握新定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14．（2021·浙江·杭州市弘益中學(xué)七年級(jí)期中）任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]=4，[]=1．現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作變?yōu)?．（1）對(duì)10進(jìn)行1次操作后變?yōu)開______，對(duì)200進(jìn)行3次作后變?yōu)開______；（2）對(duì)實(shí)數(shù)m恰進(jìn)行2次操作后變成1，則m最小可以取到_______；（3）若正整數(shù)m進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，求m的最大值．【答案】（1）3；1；（2）；（3）的最大值為255【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴對(duì)10進(jìn)行1次操作后變?yōu)?；同理可得，∴，同理可得，∴，同理可得，∴，∴對(duì)200進(jìn)行3次作后變?yōu)?，故答案為：3；1；（2）設(shè)m進(jìn)行第一次操作后的數(shù)為x，∵，∴．∴．∴．∵要經(jīng)過兩次操作．∴．∴．∴．故答案為：．（3）設(shè)m經(jīng)過第一次操作后的數(shù)為n，經(jīng)過第二次操作后的數(shù)為x，∵，∴．∴．∴．．∴．∵要經(jīng)過3次操作，故．∴．∵是整數(shù)．∴的最大值為255．【點(diǎn)睛】本題考查取整函數(shù)及無理數(shù)的估計(jì)，正確理解取整含義是求解本題的關(guān)鍵．15．（2021·浙江臺(tái)州·七年級(jí)期末）我們知道，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，但對(duì)于三個(gè)互不相等的負(fù)整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)方根都是整數(shù)，則稱這三個(gè)數(shù)為“完美組合數(shù)”．例如：-9，-4，-1這三個(gè)數(shù)，，，，其結(jié)果6，3，2都是整數(shù)，所以-1，-4，-9這三個(gè)數(shù)稱為“完美組合數(shù)”．(1)-18，-8，-2這三個(gè)數(shù)是“完美組合數(shù)”嗎？請(qǐng)說明理由．(2)若三個(gè)數(shù)-3，m，-12是“完美組合數(shù)”，其中有兩個(gè)數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12，求m的值．【答案】(1)是，理由見解析(2)m的值為-48或-12【分析】（1）根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；（2）根據(jù)新定義的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可求出答案．(1)解：∵，，，∴18，8，2這三個(gè)數(shù)是“完美組合數(shù)”．(2)解：①當(dāng)時(shí)，解得：；②當(dāng)時(shí)，解得：綜上所述，m的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是掌握新定義的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．16．（2021·浙江·七年級(jí)期中）數(shù)學(xué)中有很多的可逆的推理．如果，那么利用可逆推理，已知n可求b的運(yùn)算，記為，如，則，則．①根據(jù)定義，填空：_________，__________．②若有如下運(yùn)算性質(zhì)：．根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)填空，填空：若，則__________；___________；③下表中與數(shù)x對(duì)應(yīng)的有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請(qǐng)直接找出錯(cuò)誤并改正．x1.5356891227錯(cuò)誤的式子是__________，_____________；分別改為__________，_____________．【答案】①1，3；②0.6020；0.6990；③f（1.5），f（12）；f（1.5）=3a-b+c-1，f（12）=2-b-2c．【分析】①根據(jù)定義可得：f（10b）=b，即可求得結(jié)論；②根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)：f（mn）=f（m）+f（n），f（）=f（n）-f（m）進(jìn)行計(jì)算；③通過9=32，27=33，可以判斷f（3）是否正確，同樣依據(jù)5=，假設(shè)f（5）正確，可以求得f（2）的值，即可通過f（8），f（12）作出判斷．【詳解】解：①根據(jù)定義知：f（10b）=b，∴f（10）=1，f（103）=3．故答案為：1，3．②根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，得：f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=0.3010×2=0.6020，f（5）=f（）=f（10）-f（2）=1-0.3010=0.6990．故答案為：0.6020；0.6990．③若f（3）≠2a-b，則f（9）=2f（3）≠4a-2b，f（27）=3f（3）≠6a-3b，從而表中有三個(gè)對(duì)應(yīng)的f（x）是錯(cuò)誤的，與題設(shè)矛盾，∴f（3）=2a-b；若f（5）≠a+c，則f（2）=1-f（5）≠1-a-c，∴f（8）=3f（2）≠3-3a-3c，f（6）=f（3）+f（2）≠1+a-b-c，表中也有三個(gè)對(duì)應(yīng)的f（x）是錯(cuò)誤的，與題設(shè)矛盾，∴f（5）=a+c，∴表中只有f（1.5）和f（12）的對(duì)應(yīng)值是錯(cuò)誤的，應(yīng)改正為：f（1.5）=f（）=f（3）-f（2）=（2a-b）-（1-a-c）=3a-b+c-1，f（12）=f（）=2f（6）-f（3）=2（1+a-b-c）-（2a-b）=2-b-2c．∵9=32，27=33，∴f（9）=2f（3）=2（2a-b）=4a-2b，f（27）=3f（3）=3（2a-b）=6a-3b．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的應(yīng)用，新定義運(yùn)算等，解題的關(guān)鍵是深刻理解所給出的定義或規(guī)則，將它們轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的運(yùn)算．題型四：實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用一、單選題1．（2021·浙江·高照實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）有下列說法：①在1和2之間的無理數(shù)有且只有這兩個(gè)；②實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；③兩個(gè)無理數(shù)的積一定是無理數(shù)；④是分?jǐn)?shù)．其中正確的為（

）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．②【答案】D【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義與運(yùn)算、實(shí)數(shù)與數(shù)軸逐個(gè)判斷即可得．【詳解】①在1和2之間的無理數(shù)有無限個(gè)，此說法錯(cuò)誤；②實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，此說法正確；③兩個(gè)無理數(shù)的積不一定是無理數(shù)，如，此說法錯(cuò)誤；④是無理數(shù)，不是分?jǐn)?shù)，此說法錯(cuò)誤；綜上，說法正確的為②，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的定義與運(yùn)算、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握運(yùn)算法則和定義是解題關(guān)鍵．二、填空題2．（2020·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖，在紙面上有一數(shù)軸，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，點(diǎn)C表示的數(shù)為．若子軒同學(xué)先將紙面以點(diǎn)B為中心折疊，然后再次折疊紙面使點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，則此時(shí)數(shù)軸上與點(diǎn)C重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是_______．【答案】4+或6﹣或2﹣．【分析】先求出第一次折疊與A重合的點(diǎn)表示的數(shù)，然后再求兩點(diǎn)間的距離即可；同理再求出第二次折疊與C點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)即可．【詳解】解：第一次折疊后與A重合的點(diǎn)表示的數(shù)是：3+（3+1）＝7．與C重合的點(diǎn)表示的數(shù)：3+（3﹣）＝6﹣．第二次折疊，折疊點(diǎn)表示的數(shù)為：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．此時(shí)與數(shù)軸上的點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)為：5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．故答案為：4+或6﹣或2﹣．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)和折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2020·浙江杭州·七年級(jí)期中）若，則______________．【答案】【分析】由題意根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則化簡原式，變形后即可得出答案.【詳解】解：，可知，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握并利用冪運(yùn)算法則變形是解題的關(guān)鍵.4．（2020·浙江·翠苑中學(xué)七年級(jí)期中）設(shè)x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式，則的平方根是___________.【答案】±1【分析】因?yàn)閤、y為有理數(shù)，所以x+2y也是有理數(shù)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，只有同類二次根式才能合并，所以x、2y都不能與進(jìn)行合并，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，分別求出x、y的值再代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵x、y為有理數(shù)，∴x+2y為有理數(shù)，∴解得∴=5-4=1，1的平方根是±1．故答案為±1．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟悉合并同類項(xiàng)的法則，求出相應(yīng)的x、y的值．三、解答題5．（2021·浙江·寧波市第七中學(xué)七年級(jí)期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過100千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測量d＝32米，f＝2，請(qǐng)你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了．【答案】肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度超出了規(guī)定的速度．【分析】先把d=32米，f=2分別代入v=16，求出當(dāng)時(shí)汽車的速度再和100千米/時(shí)比較即可解答．【詳解】解：把d=32，f=2代入v=16，v=16=128（km/h），∵128＞100，∴肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度超出了規(guī)定的速度．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，另外要熟悉實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算．6．（2021·浙江紹興·七年級(jí)期末）已知小正方形的邊長為1，在4×4的正方形網(wǎng)中．（1）求_______________．（2）在5×5的正方形網(wǎng)中作一個(gè)邊長為的正方形．【答案】（1）10；（2）見解析【分析】（1）用大正方形的面積減去四個(gè)小三角形的面積即可得出陰影部分面積；（2）邊長為的正方形，則面積為，則每個(gè)三角形的面積為，據(jù)此作圖即可．【詳解】解：（1），故答案為：10；（2）邊長為的正方形，則面積為，則每個(gè)三角形的面積為，則作圖如下：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解決本題的關(guān)鍵是利用網(wǎng)格求出周圍四個(gè)小三角形的邊長．7．（2020·浙江·七年級(jí)期末）數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：操作一：（1）折疊紙面，若使表示的點(diǎn)1與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣2表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；操作二：（2）折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與﹣3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是__________________；操作三：（3）在數(shù)軸上剪下9個(gè)單位長度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）.若這三條線段的長度之比為1：1：2，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是_________________________.【答案】（1）2(2)①②-5，3（3）【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性找到折痕的點(diǎn)為原點(diǎn)O，可以得出-2與2重合；（2）根據(jù)對(duì)稱性找到折痕的點(diǎn)為-1，①設(shè)表示的點(diǎn)與數(shù)a表示的點(diǎn)重合，根據(jù)對(duì)稱性列式求出a的值；②因?yàn)锳B=8，所以A到折痕的點(diǎn)距離為4，因?yàn)檎酆蹖?duì)應(yīng)的點(diǎn)為-1，由此得出A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)；（3）分三種情況進(jìn)行討論：設(shè)折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)是x，如圖1，當(dāng)AB：BC：CD=1：1：2時(shí)，所以設(shè)AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，計(jì)算也x的值，同理可得出如圖2、3對(duì)應(yīng)的x的值．【詳解】操作一，（1）∵表示的點(diǎn)1與-1表示的點(diǎn)重合，∴折痕為原點(diǎn)O，

則-2表示的點(diǎn)與2表示的點(diǎn)重合，操作二：（2）∵折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與-3表示的點(diǎn)重合，則折痕表示的點(diǎn)為-1，

①設(shè)表示的點(diǎn)與數(shù)a表示的點(diǎn)重合，則-（-1）=-1-a，a=-2-；②∵數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為8，∴數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)到折痕-1的距離為4，∵A在B的左側(cè)，則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是-5和3；操作三：（3）設(shè)折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)是x，如圖1，當(dāng)AB：BC：CD=1：1：2時(shí)，設(shè)AB=a，BC=a，CD=2a，a+a+2a=9，a=，∴AB=，BC=，CD=，x=-1++=，如圖2，當(dāng)AB：BC：CD=1：2：1時(shí)，設(shè)AB=a，BC=2a，CD=a，a+a+2a=9，a=，∴AB=，BC=，CD=，x=-1++=，如圖3，當(dāng)AB：BC：CD=2：1：1時(shí)，設(shè)AB=2a，BC=a，CD=a，a+a+2a=9，a=，∴AB=，BC=CD=，x=-1++=，綜上所述：則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是或或．題型五：與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題一、單選題1．（2019·浙江湖州·七年級(jí)期中）如圖將1、、、按下列方式排列．若規(guī)定表示第排從左向右第個(gè)數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是（

）．A．1 B． C． D．【答案】B【分析】首先從排列圖中可知：第1排有1個(gè)數(shù)，第2排有2個(gè)數(shù)，第3排有3個(gè)數(shù)，然后抽象出第5排第4個(gè)數(shù)，第15排第8個(gè)數(shù)，然后可以得到答案．【詳解】解：表示第5排從左往右第4個(gè)數(shù)是，表示第15排第8個(gè)數(shù)，從上面排列圖中可以看出奇數(shù)行1排在最中間，所以第15行最中間是1，且為第8個(gè)，所以1和的積是．故本題選B．【點(diǎn)睛】本題是規(guī)律題的呈現(xiàn)，考查學(xué)生的從具體情境中抽象出一般規(guī)律，考查學(xué)生觀察與歸納能力．2．（2019·浙江·紹興市袍江中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是()A．2 B． C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形數(shù)列的特點(diǎn)，歸納出每一行第一個(gè)數(shù)的通用公式，即可求出第9行從左至右第5個(gè)數(shù).【詳解】根據(jù)三角形數(shù)列的特點(diǎn)，歸納出每n行第一個(gè)數(shù)的通用公式是，所以，第9行從左至右第5個(gè)數(shù)是=.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)每一行第一個(gè)數(shù)的取值規(guī)律，利用累加法求出第9行第五個(gè)數(shù)的數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力．二、填空題3．（2020·浙江·七年級(jí)單元測試）將實(shí)數(shù)按如圖所示的方式排列，若用表示第m排從左向右數(shù)第n個(gè)數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是________1（第1排）

（第2排）

1

（第3排）

1

（第4排）

1

（第5排）【答案】2【分析】所給一系列數(shù)是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，看（5，4）與（11，7）是第幾個(gè)數(shù)，除以4，根據(jù)余數(shù)得到相應(yīng)循環(huán)的數(shù)即可．【詳解】解：∵第4排最后一個(gè)數(shù)為第10個(gè)數(shù)（1+2+3+4=10），∴（5，4）表示第14個(gè)數(shù)（10+4=14），∵14÷4=3…2，∴（5，4）表示的數(shù)為，∵第10排最后一個(gè)數(shù)為第55個(gè)數(shù)1+2+3+4+…+10==55，∴（11，7）表示第62個(gè)數(shù)（55+7=62），∵62÷4=15…2，∴（11，7）表示的數(shù)為，則（5，4）與（11，7）表示的兩數(shù)之積是×=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律與二次根式的運(yùn)算，找出數(shù)字循環(huán)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題．4．（2020·浙江寧波·七年級(jí)期末）若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，則…＝_____．【答案】【分析】先由|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a、b的值，代入原式后，再利用裂項(xiàng)求和可得．【詳解】解：∵|a﹣1|+(ab﹣2)2＝0，∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，則原式＝＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，分式的化簡求值，觀察式子特征用裂項(xiàng)的方法，相抵消是解題的關(guān)鍵．5．（2018·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）借助計(jì)算器計(jì)算下列各題：(1)＝_____；(2)＝_____；(3)＝______；(4)＝______；(5)根據(jù)上面計(jì)算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)＝______________．(用含n的式子表示)【答案】(1)1；(2)3；(3)6；(4)10；(5)【分析】由計(jì)算器計(jì)算得：(1)＝1；(2)可看做被開方數(shù)中每個(gè)加數(shù)底數(shù)的和，即1+2；(3)=6可看做被開方數(shù)中每個(gè)加數(shù)底數(shù)的和，即1+2+3；(4)=10可看做被開方數(shù)中每個(gè)加數(shù)底數(shù)的和，即1+2+3+4…所以由以上規(guī)律可得（5）=1+2+3+…+n=【詳解】解：(1)＝1；(2)(3)=6(4)=10（5）=1+2+3+…+n=故答案是：1，3，6，10，【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根的一般規(guī)律性問題，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察給出的算式總結(jié)規(guī)律．6．（2017·浙江杭州·七年級(jí)期中）計(jì)算=______，=_____，再計(jì)算，…，猜想的結(jié)果為______________.【答案】

【詳解】試題解析：=1+1-==1+-==1+==1+=∴=三、解答題7．（2018·浙江杭州·七年級(jí)開學(xué)考試）已知：，求的值．【答案】．【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再代入分解，加減抵消即可得．【詳解】由絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性得：解得則原式．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、與實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律型問題，將所求式子進(jìn)行分解，結(jié)合加減抵消法是解題關(guān)鍵．鞏固提升鞏固提升一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?鄞州區(qū)校級(jí)期中）化簡﹣|﹣1|的值是（）A．2 B．1 C．2 D．﹣1【分析】原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡，合并即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝﹣+1＝1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．（2021秋?江干區(qū)校級(jí)期中）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①最小的負(fù)整數(shù)是﹣1；②所有無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；③當(dāng)a≤0時(shí)，|a|＝﹣a成立；④兩個(gè)無理數(shù)的和可能為有理數(shù)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸、無理數(shù)的定義分別分析得出答案．【解答】解：①最大的負(fù)整數(shù)是﹣1，故此選項(xiàng)不合題意；②所有無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，此選項(xiàng)符合題意；③當(dāng)a≤0時(shí)，|a|＝﹣a成立，此選項(xiàng)符合題意；④兩個(gè)無理數(shù)的和可能為有理數(shù)，此選項(xiàng)符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸、無理數(shù)的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．3．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：A、＝3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、＝3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、＝2﹣，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、﹣＝﹣3，正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．4．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）按如圖所示的運(yùn)算程序，能使輸出的結(jié)果為3的是（）A．a(chǎn)＝0，b＝3 B．a(chǎn)＝1，b＝2 C．a(chǎn)＝4，b＝1 D．a(chǎn)＝9，b＝0【分析】對(duì)于每個(gè)選項(xiàng)，先判斷a，b的大小，若a＜b，結(jié)果＝+；若a＞b，結(jié)果＝﹣．【解答】解：A選項(xiàng)，∵0＜3，∴+＝，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，∵1＜2，∴+＝1+，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，∵4＞1，∴﹣＝2﹣1＝1，故該選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)，∵9＞0，∴﹣＝3，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握若a＜b，結(jié)果＝+；若a＞b，結(jié)果＝﹣是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）實(shí)數(shù)a、b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為（）A．﹣3b B．﹣2a﹣b C．a(chǎn)﹣2b D．﹣b【分析】首先根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b的正負(fù)性，然后利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝b+|a+b|﹣|a﹣b|＝b+（﹣a﹣b）﹣（b﹣a）＝b﹣a﹣b﹣b+a＝﹣b，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及數(shù)軸，關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的性質(zhì)．二．填空題（共8小題）6．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）可以作為“兩個(gè)無理數(shù)的和仍為無理數(shù)”的反例的是﹣+＝0．【分析】直接利用實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則舉例得出答案．【解答】解：可以作為“兩個(gè)無理數(shù)的和仍為無理數(shù)”的反例的是：﹣+＝0．故答案為：﹣+＝0．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確掌握無理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．7．（2021秋?柯橋區(qū)期末）根據(jù)圖示的對(duì)話，則代數(shù)式3a+3b﹣2c+2m的值是19．【分析】直接利用互為相反數(shù)以及算術(shù)平方根、倒數(shù)的定義得出a+b＝0，c＝﹣，m＝9，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：由題意可得：a+b＝0，c＝﹣，m＝9，故原式＝3（a+b）﹣2c+2m＝3×0﹣2×（﹣）+2×9＝0+1+18＝19．故答案為：19．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了互為相反數(shù)以及算術(shù)平方根、倒數(shù)的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．8．（2021秋?東陽市期末）若a與b互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，k的算術(shù)平方根為，則2022a+2021b+mnb+k2的值為4．【分析】根據(jù)題意得a+b＝0，mn＝1，k＝2，整體代入求值即可．【解答】解：∵a與b互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，k的算術(shù)平方根為，∴a+b＝0，mn＝1，k＝2，∴原式＝2021（a+b）+a+b+4＝0+0+＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，考查了整體思想，整體代入求值是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?越城區(qū)期末）計(jì)算：+＝﹣1．【分