浙江省寧波江北區(qū)四校聯(lián)考2023年九年級數(shù)學第一學期期末調研試題含解析

浙江省寧波江北區(qū)四校聯(lián)考2023年九年級數(shù)學第一學期期末調研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，已知拋物線的對稱軸過點且平行于y軸，若點在拋物線上，則下列4個結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，在方格紙中，隨機選擇標有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，與圖中陰影部分構成軸對稱圖形的概率是()A． B． C． D．3．點A(1，y1)、B(3，y2)是反比例函數(shù)y＝圖象上的兩點，則y1、y2的大小關系是()A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定4．如圖，小明同學設計了一個測量圓直徑的工具，標有刻度的尺子．在點釘在一起．并使它們保持垂直，在測直徑時，把點靠在圓周上．讀得刻度個單位，個單位，則圓的直徑為（）A．12個單位 B．10個單位 C．11個單位 D．13個單位5．給出四個實數(shù)，2，0，-1，其中負數(shù)是（

）A． B．2 C．0 D．-16．在同一坐標系內，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．7．如圖，矩形中，，交于點，，分別為，的中點．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過P（﹣2，6），則這個函數(shù)的圖象位于（）A．第二，三象限 B．第一，三象限C．第三，四象限 D．第二，四象限9．若關于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0沒有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞2 C．a(chǎn)＜﹣2 D．a(chǎn)＞﹣210．書架上放著三本古典名著和兩本外國小說，小明從中隨機抽取兩本，兩本都是古典名著的概率是（）A． B． C． D．11．若點，，在反比例函數(shù)的圖像上，則的大小關系是（）A． B． C． D．12．如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O、B的坐標分別是（0，0），（2，0），則頂點C的坐標是（）A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）二、填空題（每題4分，共24分）13．兩個少年在綠茵場上游戲．小紅從點A出發(fā)沿線段AB運動到點B，小蘭從點C出發(fā)，以相同的速度沿⊙O逆時針運動一周回到點C，兩人的運動路線如圖1所示，其中AC=DB．兩人同時開始運動，直到都停止運動時游戲結束，其間他們與點C的距離y與時間x（單位：秒）的對應關系如圖2所示．則下列說法正確的有________．(填序號)①小紅的運動路程比小蘭的長；②兩人分別在1.09秒和7.49秒的時刻相遇；③當小紅運動到點D的時候，小蘭已經(jīng)經(jīng)過了點D；④在4.84秒時，兩人的距離正好等于⊙O的半徑．14．點A（﹣5，y1），B（3，y2）都在雙曲線y＝，則y1，y2的大小關系是_____．15．如圖，在的同側，，點為的中點，若，則的最大值是_____．16．寫出一個你認為的必然事件_________．17．如圖，是的直徑，點和點是上位于直徑兩側的點，連結，，，，若的半徑是，，則的值是_____________．18．已知二次函數(shù)的圖象開口向下，且其圖象頂點位于第一象限內，請寫出一個滿足上述條件的二次函數(shù)解析式為_____（表示為y=a（x+m）2+k的形式）．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長16m，寬9m的矩形場地ABCD上，修建同樣寬的小路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草，若草坪部分總面積為112m2，求小路的寬．20．（8分）如圖，已知，以為直徑作半圓，半徑繞點順時針旋轉得到，點的對應點為，當點與點重合時停止．連接并延長到點，使得，過點作于點，連接，．（1）______；（2）如圖，當點與點重合時，判斷的形狀，并說明理由；（3）如圖，當時，求的長；（4）如圖，若點是線段上一點，連接，當與半圓相切時，直接寫出直線與的位置關系．21．（8分）如圖，已知點C（0，3），拋物線的頂點為A（2，0），與y軸交于點B（0，1），F(xiàn)在拋物線的對稱軸上，且縱坐標為1．點P是拋物線上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，交直線CF于點H，設點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P在直線CF下方的拋物線上，用含m的代數(shù)式表示線段PH的長，并求出線段PH的最大值及此時點P的坐標；（3）當PF﹣PM＝1時，若將“使△PCF面積為2”的點P記作“巧點”，則存在多個“巧點”，且使△PCF的周長最小的點P也是一個“巧點”，請直接寫出所有“巧點”的個數(shù)，并求出△PCF的周長最小時“巧點”的坐標．22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，M為BC的中點，MH⊥AC，垂足為H．（1）求證：；（2）若AB＝AC＝10，BC＝1．求CH的長．23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB．延長DC交AB的延長線于點P．（1）求證：PC2＝PA?PB；（2）若3AC＝4BC，⊙O的直徑為7，求線段PC的長．24．（10分）如圖，AN是⊙O的直徑，四邊形ABMN是矩形，與圓相交于點E，AB＝15，D是⊙O上的點，DC⊥BM，與BM交于點C，⊙O的半徑為R＝1．（1）求BE的長．（2）若BC＝15，求的長．25．（12分）閱讀下列材料：小輝和小樂一起在學校寄宿三年了，畢業(yè)之際，他們想合理分配共同擁有的三件“財產(chǎn)”：一個電子詞典、一臺迷你唱機、一套珍藏版小說.他們本著“在尊重各自的價值偏好基礎上進行等值均分”的原則，設計了分配方案，步驟如下（相應的數(shù)額如表二所示）：①每人各自定出每件物品在心中所估計的價值；②計算每人所有物品估價總值和均分值（均分：按總人數(shù)均分各自估價總值）；③每件物品歸估價較高者所有；④計算差額（差額：每人所得物品的估價總值與均分值之差）；⑤小樂拿225元給小輝，仍“剩下”的300元每人均分.依此方案，兩人分配的結果是：小輝拿到了珍藏版小說和375元錢，小樂拿到的電子詞典和迷你唱機，但要付出375元錢.（1）甲、乙、丙三人分配A，B，C三件物品，三人的估價如表三所示，依照上述方案，請直接寫出分配結果；（2）小紅和小麗分配D，E兩件物品，兩人的估價如表四所示（其中0＜m-n＜15）.按照上述方案的前四步操作后，接下來，依據(jù)“在尊重各自的價值偏好基礎上進行等值均分”的原則，該怎么分配較為合理？請完成表四，并寫出分配結果.（說明：本題表格中的數(shù)值的單位均為“元”）26．如圖，已知拋物線經(jīng)過，及原點，頂點為．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）設點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，且以、、，為頂點，為邊的四邊形是平行四邊形，求點的坐標；（3）是拋物線上第一象限內的動點，過點作軸，垂足為．是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質對各個結論進行判斷，即可求出答案．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸過點，∴拋物線的對稱軸為，即，可得由圖象可知，，則，∴，①正確；∵圖象與x軸有兩個交點，∴，即，②錯誤；∵拋物線的頂點在x軸的下方，∴當x=1時，，③錯誤；∵點在拋物線上，即是拋物線與x軸的交點，由對稱軸可得，拋物線與x軸的另一個交點為，故當x=?2時，，④正確；綜上所述：①④正確，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是逐一分析每條結論是否正確．解決該題型題目時，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是關鍵．2、C【詳解】解：根據(jù)題意，在方格紙中，隨機選擇標有序號①②③④⑤中的一個小正方形涂黑，共有5種等可能的結果，使與圖中陰影部分構成軸對稱圖形的有②④⑤，3種情況，因此可知使與圖中陰影部分構成軸對稱圖形的概率為故選C3、A【解析】∵反比例函數(shù)y＝中的9>0，∴經(jīng)過第一、三象限，且在每一象限內y隨x的增大而減小，又∵A(1,y?)、B(3,y?)都位于第一象限，且1<3，∴y?>y?，故選A.4、B【分析】根據(jù)圓中的有關性質“90°的圓周角所對的弦是直徑”．判斷EF即為直徑，然后根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接EF，

∵OE⊥OF，

∴EF是圓的直徑，．故選：B．【點睛】本題考查圓周角的性質定理，勾股定理．掌握“90°的圓周角所對的弦是直徑”定理的應用是解決此題的關鍵．5、D【分析】根據(jù)負數(shù)的定義，負數(shù)小于0即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意：負數(shù)是-1，故答案為：D.【點睛】此題主要考查了實數(shù)，正確把握負數(shù)的定義是解題關鍵.6、C【分析】x=0，求出兩個函數(shù)圖象在y軸上相交于同一點，再根據(jù)拋物線開口方向向上確定出a＞0，然后確定出一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一三象限，從而得解．【詳解】x=0時，兩個函數(shù)的函數(shù)值y=b，

所以，兩個函數(shù)圖象與y軸相交于同一點，故B、D選項錯誤；

由A、C選項可知，拋物線開口方向向上，

所以，a＞0，

所以，一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過第一三象限，

所以，A選項錯誤，C選項正確．

故選C．7、A【分析】根據(jù)矩形的性質和直角三角形的性質以及中位線的性質，即可得到答案．【詳解】∵，分別為，的中點，∴MN是?OBC的中位線，∴OB=2MN=2×3=6，∵四邊形是矩形，∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，∵AB=6，∴AC=2AB，∵∠ABC=90°，∴=30°．故選A．【點睛】本題主要考查矩形的性質和直角三角形的性質以及中位線的性質，掌握矩形的對角線互相平分且相等，是解題的關鍵．8、D【分析】將點P（-2，6）代入反比例函數(shù)求出k，若k＞0，則函數(shù)的圖象位于第一，三象限；若k＜0，則函數(shù)的圖象位于第二，四象限；【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過P（﹣2，6），∴6=，∴k=-12，即k＜0，這個函數(shù)的圖象位于第二、四象限；故選D.【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像性質，掌握反比例函數(shù)的圖像是解題的關鍵.9、B【分析】根據(jù)題意得根的判別式，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出結論．【詳解】∵，，，由題意可知：，∴a＞2，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程（a≠0）的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．10、C【分析】畫樹狀圖（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說）展示所有20種等可能的結果數(shù)，找出從中隨機抽取2本都是古典名著的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說），共有20種等可能的結果數(shù)，其中從中隨機抽取2本都是古典名著的結果數(shù)為6，所以從中隨機抽取2本都是古典名著的概率=．故選：C．【點睛】本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關鍵是正確畫出樹狀圖或表格，然后用符合條件的情況數(shù)m除以所有等可能發(fā)生的情況數(shù)n即可,即.11、C【解析】根據(jù)點A、B、C分別在反比例函數(shù)上，可解得、、的值，然后通過比較大小即可解答.【詳解】解：將A、B、C的橫坐標代入反比函數(shù)上，得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2，所以，；故選C.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的計算，熟練掌握是解題的關鍵.12、C【詳解】解:由圖可知，點B在第四象限．各選項中在第四象限的只有C．故選C．二、填空題（每題4分，共24分）13、④【分析】利用圖象信息一一判斷即可解決問題．【詳解】解：①由圖可知，速度相同的情況下，小紅比小蘭提前停下來，時間花的短，故小紅的運動路程比小蘭的短，故本選項不符合題意；

②兩人分別在1.09秒和7.49秒的時刻與點C距離相等，故本選項不符合題意；

③當小紅運動到點D的時候，小蘭也在點D，故本選項不符合題意；

④當小紅運動到點O的時候，兩人的距離正好等于⊙O的半徑，此時t==4.84，故本選項正確；

故答案為：④．【點睛】本題考查動點問題函數(shù)圖象、解題的關鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型．14、y1＜y1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式，即可得到y(tǒng)1，y1的值，進而即可比較大?。驹斀狻俊唿cA(﹣5，y1)，B(3，y1)都在雙曲線y＝上，當x＝﹣5時，y1＝﹣，當x＝3時，y1＝，∴y1＜y1．故答案是：y1＜y1．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的縱坐標大小比較，掌握反比例函數(shù)圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式，是解題的關鍵．15、14【分析】如圖，作點A關于CM的對稱點A′，點B關于DM的對稱點B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，點關于的對稱點．，，，，，為等邊三角形，的最大值為，故答案為．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，兩點之間線段最短，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用兩點之間線段最短解決最值問題16、甕中捉鱉（答案不唯一）【分析】此題根據(jù)事件的可能性舉例即可．【詳解】必然事件就是一定會發(fā)生的，例如：甕中捉鱉等，故答案：甕中捉鱉（答案不唯一）．【點睛】此題考查事件的可能性：必然事件的概念．17、【分析】根據(jù)題意可知∠ADB=90°,∠ACD=∠ABD,求出∠ABD的正弦就是∠ACD的正弦值．【詳解】解：∵是的直徑，∴∠ADB=90°∴∠ACD=∠ABD∵的半徑是，，∴故答案為：【點睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)值.18、y=﹣（x﹣1）2+1（答案不唯一）【解析】因為二次函數(shù)的頂點坐標為:(－m,k),根據(jù)題意圖象的頂點位于第一象限,所以可得:m<0,k>0,因此滿足m<0,k>0的點即可,故答案為:（答案不唯一）.三、解答題（共78分）19、小路的寬為2m．【解析】如果設小路的寬度為xm，那么整個草坪的長為（2﹣2x）m，寬為（9﹣x）m，根據(jù)題意即可得出方程．【詳解】設小路的寬度為xm，那么整個草坪的長為（2﹣2x）m，寬為（9﹣x）m．根據(jù)題意得：（2﹣2x）（9﹣x）=222解得：x2=2，x2=2．∵2＞9，∴x=2不符合題意，舍去，∴x=2．答：小路的寬為2m．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，弄清“整個草坪的長和寬”是解決本題的關鍵．20、（1）；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）的長為或；（4）【分析】(1)先證AC垂直平分DB,即可證得AD=AB;(2)先證AD=BD,又因為AD=AB,可得△ABD是等邊三角形；

(3)分當點在上時和當點在上時，由勾股定理列方程求解即可；(4)連結OC,證明OC∥AD,由與半圓相切，可得∠OCP=90°,即可得到與的位置關系.【詳解】解：（1）∵為直徑，∴∠ACB=90°,又∵∴AD=AB∴，故答案為10；（2）是等邊三角形，理由如下：∵點與點重合，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；（3）∵，∴，當點在上時，則，，∵，，∴在和中，由勾股定理得，即，解得，∴；當點在上時，同理可得，解得，∴，綜上所述，的長為或；（4）.如圖，連結OC，∵與半圓相切，∴OC⊥PC,∵△ADB為等腰三角形，,∴∠DAC=∠BAC,∵AO=OC∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,∴OC∥AD,∴.【點睛】考查了圓的綜合題，涉及的知識點有直角三角形的性質和圓的性質，等邊三角形的判定和性質，垂直平分線的性質，勾股定理，，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．21、（1）y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1；（2）m＝0時，PH的值最大最大值為2，P（0，2）；（3）△PCF的巧點有3個，△PCF的周長最小時，“巧點”的坐標為（0，1）．【解析】（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，將點B的坐標代入求得a的值即可；（2）求出直線CF的解析式，求出點P、H的坐標，構建二次函數(shù)即可解決問題；（3）據(jù)三角形的面積公式求得點P到CF的距離，過點C作CG⊥CF，取CG＝．則點G的坐標為（﹣1，2）或（1，4），過點G作GH∥FC，設GH的解析式為y＝﹣x+b，將點G的坐標代入求得直線GH的解析式，將直線GH的解析式與拋物線的解析式，聯(lián)立可得到點P的坐標，當PC+PF最小時，△PCF的周長最小，由PF﹣PM＝1可得到PC+PF＝PC+PM+1，故此當C、P、M在一條直線上時，△PCF的周長最小，然后可求得此時點P的坐標；【詳解】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，將點B的坐標代入得：4a＝1，解得a＝，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1．（2）設CF的解析式為y＝kx+3，將點F的坐標F（2，1）代入得：2k+3＝1，解得k＝﹣1，∴直線CF的解析式為y＝﹣x+3，由題意P（m，m2﹣m+1），H（m，﹣m+3），∴PH＝﹣m2+2，∴m＝0時，PH的值最大最大值為2，此時P（0，2）．（3）由兩點間的距離公式可知：CF＝2．設△PCF中，邊CF的上的高線長為x．則×2x＝2，解得x＝．過點C作CG⊥CF，取CG＝．則點G的坐標為（﹣1，2）．過點G作GH∥FC，設GH的解析式為y＝﹣x+b，將點G的坐標代入得：1+b＝2，解得b＝1，∴直線GH的解析式為y＝﹣x+1，與y＝（x﹣2）2聯(lián)立解得：，所以△PCF的一個巧點的坐標為（0，1）．顯然，直線GH在CF的另一側時，直線GH與拋物線有兩個交點．∵FC為定點，∴CF的長度不變，∴當PC+PF最小時，△PCF的周長最小．∵PF﹣PM＝1，∴PC+PF＝PC+PM+1，∴當C、P、M在一條直線上時，△PCF的周長最小．∴此時P（0，1）．綜上所述，△PCF的巧點有3個，△PCF的周長最小時，“巧點”的坐標為（0，1）．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、兩點間的距離公式、垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會構建二次函數(shù)解決最值問題，學會構建一次函數(shù)，利用方程組確定交點坐標，屬于中考壓軸題．22、（1）詳見解析；（2）3.2【分析】（1）證明，利用線段比例關系可得；（2）利用等腰三角形三線合一和勾股定理求出AM的長，再由（1）中關系式可得AH長度，可得CH的長.【詳解】解：（1）證明：∵，為的中點，∴∴∵∴∴∴∴∴（2）解：∵，，M為的中點，∴，在中，，由（1）得∴.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形三線合一的性質，解題的關鍵是利用相似三角形得到線段比例關系.23、（1）見解析；（2）PC＝1．【分析】（1）證明△PAC∽△PCB，可得，即可證明PC2=PA?PB；（2）若3AC=4BC，則，由（1）可求線段PC的長．【詳解】（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，∴∠PDA=90°，∠DAC=∠BAC．∵∠PCA=∠PDA+∠DAC，∠PBC=∠ACB+∠BAC，∴∠PCA=∠PBC．∵∠BPC=∠CPA，∴△PAC∽△PCB，∴，∴PC2=PA?PB；（2）∵3AC=4BC，∴．設PC=4k，則PB=3k，PA=3k+7，∴(4k)2=3k(3k+7)，∴k=3或k=0(舍去)，∴PC=1．【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質，圓周角定理，解一元二次方程等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．24、（1）1﹣15；（2）15π【分析】（1）連接OE，過O作OF⊥BM于F，在Rt△OEF中，由勾股定理得出EF的長，進而求得EB的長．（2）連接OD，則在直角三角形ODQ中，可求得∠QOD=60°，過點E作EH⊥AO于H，在直角三角形OEH中，可求得∠EOH=1°，則得出的長度．【詳解】解：（1）連接OE，過O作OF⊥BM于F，則四邊形ABFO是矩形，∴FO=AB=15，BF=AO，在Rt△OEF中，EF＝＝15，∵BF＝AO＝1，∴BE＝1﹣15．（2）連接OD，在直角三角形ODQ中，∵OD＝1，OQ＝1﹣15＝15，∴∠ODQ＝1°，∴∠QOD＝60°，過點E作EH⊥AO于H，在直角三角形OEH中，∵OE＝1，EH＝15，∴，∴∠EOH＝1°，∴∠DOE＝90°，∴＝π?60＝15π．【點睛】本題考查