高考第一輪復(fù)習(xí)講義 第31講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（原卷版+解析版 ）

第31講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，設(shè)，，為的中點(diǎn)，與交于，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．18．（2022·廣東·高三開學(xué)考試）在平行四邊形中，點(diǎn)、分別滿足，，若，，則（

）A． B． C． D．9．（多選）（2022·重慶市涪陵高級中學(xué)校模擬預(yù)測）已知向量，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．的值為2 D．10．（多選）（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測）已知向量，，其中，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為鈍角，則 D．若，向量在方向上的投影為11．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C．∥ D．12．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)向量，，若，則__________．13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，向量，，若，則實(shí)數(shù)______.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為的等邊中，已知，點(diǎn)在線段上，且，則________.15．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，且，其中，則的最大值為___________．16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）平面內(nèi)給定兩個向量，.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.17．（2021·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高三階段練習(xí)）已知，，.(1)若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，，若與平行，求實(shí)數(shù)k的值.18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知矩形ABCD中，，AC與MN相交于點(diǎn)E．(1)若，求和的值；(2)用向量表示．【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，，是的外接圓上的一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和．現(xiàn)在對直角三角形按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若，則____________．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC交于點(diǎn)M．設(shè)，．(1)試用向量，表示；(2)在線段AC上取點(diǎn)E，在線段BD上取點(diǎn)F，使EF過點(diǎn)M，設(shè)，，其中，．證明：為定值，并求出該定值．第31講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，，因?yàn)椋傻茫獾?故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋裕?故選：C.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，設(shè)，，為的中點(diǎn)，與交于，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，再分析求解即可.【詳解】如下圖所示，連接與交于，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為三角形的重心，所以.故選：B.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】求出的坐標(biāo)，除以，再考慮方向可得．【詳解】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵BC//EF，∴設(shè)，則∴，∴∴故選：A.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)，，得到，再根據(jù)求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以，得．故選：A8．（2022·廣東·高三開學(xué)考試）在平行四邊形中，點(diǎn)、分別滿足，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合向量加法法則與減法法則運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，點(diǎn)、分別滿足，，所以，，所以．故選：A9．（多選）（2022·重慶市涪陵高級中學(xué)校模擬預(yù)測）已知向量，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．的值為2 D．【答案】BD【分析】先根據(jù)向量加法，可直接求出.對選項(xiàng)，直接求出向量和的模，然后驗(yàn)證即可；對選項(xiàng)，直接求出余弦值；對選項(xiàng)，直接求出向量的模；對選項(xiàng)，直接求出正弦值.【詳解】根據(jù)向量的加法可得：根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系，且，解得：.對選項(xiàng)，，則有：，故選項(xiàng)錯誤；對選項(xiàng)，則有：，故選項(xiàng)正確；對選項(xiàng)，，則有：故有：，故選項(xiàng)錯誤；對選項(xiàng)，則有：，故選項(xiàng)正確.故選：BD.10．（多選）（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測）已知向量，，其中，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為鈍角，則 D．若，向量在方向上的投影為【答案】ABD【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用向量垂直結(jié)合向量的模長公式可判斷B選項(xiàng)；由已知且、不共線，求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量的幾何意義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則，解得，A對；對于B選項(xiàng)，若，則，所以，，B對；對于C選項(xiàng)，若與的夾角為鈍角，則，可得，且與不共線，則，故當(dāng)與的夾角為鈍角，則且，C錯；對于D選項(xiàng)，若，則，所以，向量在方向上的投影為，D對.故選：ABD.11．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C．∥ D．【答案】BC【分析】由已知條件可得點(diǎn)為的重心，然后由三角形的重心的性質(zhì)逐個分析判斷即可【詳解】因?yàn)?，則三點(diǎn)共線，且，又因?yàn)闉橹芯€，所以點(diǎn)為的重心，連接并延長交于，則為的中點(diǎn)，所以，所以∥故選：BC．12．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)向量，，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程,即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，解得，故答案為：?3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，向量，，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】【分析】根據(jù)題意可知，不共線，若，則，使得，代入結(jié)合向量相等運(yùn)算．【詳解】根據(jù)題意可知，不共線若，則，使得，即則可得，解得故答案為：．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為的等邊中，已知，點(diǎn)在線段上，且，則________.【答案】【分析】根據(jù)題意得，求出，所以，即，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，即，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，，三點(diǎn)共線，由平面向量三點(diǎn)共線定理得，，即，所以，又是邊長為的等邊三角形，所以，故.故答案為：.15．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，且，其中，則的最大值為___________．【答案】【分析】構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y軸的直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)并設(shè)且()，由向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程得到關(guān)于的三角函數(shù)式，應(yīng)用正弦型函數(shù)性質(zhì)求最大值.【詳解】由題設(shè)，在以為圓心，1為半徑的圓上或圓內(nèi)，構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y軸的直角坐標(biāo)系，如下圖示：所以，，，令且()，所以，，，又，即，所以，而，則，故當(dāng)時(shí)，有最大值.故答案為：16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）平面內(nèi)給定兩個向量，.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.解：(1)由已知，因此，.(2)由已知，，因?yàn)?，則，解得.17．（2021·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高三階段練習(xí)）已知，，.(1)若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，，若與平行，求實(shí)數(shù)k的值.解：(1)設(shè)，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，得，所?(2)由題意得，，，所以，，因?yàn)榕c平行，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的值為.18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知矩形ABCD中，，AC與MN相交于點(diǎn)E．(1)若，求和的值；(2)用向量表示．解：(1)以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以所以，所以解得(2)設(shè)，因?yàn)椋裕獾?，即，所以，又因?yàn)镸，E，N三點(diǎn)共線，所以，所以﹒【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，，是的外接圓上的一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解三角形得到為直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，通過表示出，借助三角函數(shù)求出最小值.【詳解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），設(shè)P的坐標(biāo)為，所以，，，又，所以，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和．現(xiàn)在對直角三角形按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若，則____________．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，則正方形的邊長為，正方形邊長為可知，，，則，，即又，即，即，化簡得故答案為：3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在△ABO中，，，AD與B