滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊專題特訓(xùn) 專題1.5 有理數(shù)的乘方【十大題型】（原卷版+解析版）

專題1.5有理數(shù)的乘方【十大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1有理數(shù)乘方的概念】 1【題型2乘方的運算】 2【題型3偶次乘方的非負性】 2【題型4含乘方的混合運算】 3【題型5含乘方的程序圖運算】 4【題型6含乘方的數(shù)字及圖形規(guī)律問題】 5【題型7乘方的應(yīng)用規(guī)律】 6【題型8乘方應(yīng)用中的新定義問題】 7【題型9科學(xué)記數(shù)法的表示】 9【題型10近似數(shù)的表示】 10【知識點1有理數(shù)乘方的概念】求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).【題型1有理數(shù)乘方的概念】【例1】（2022?河北模擬）(?13)A．(?13)×(?1C．(?1)×(?1)×(?1)3 D．【變式1-1】（2022?博湖縣校級期中）?34×34×34×34寫成乘方的形式?(34)4【變式1-2】（2022秋?涇陽縣期中）下列說法中，正確的是（）A．23表示2×3 B．﹣110讀作“﹣1的10次冪” C．（﹣5）2中﹣5是底數(shù)，2是指數(shù) D．2×32的底數(shù)是2×3【變式1-3】（2022秋?順平縣期中）將2×2×??×2︷A．2m3n B．2m3n C．【知識點2有理數(shù)乘方的運算】（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．【題型2乘方的運算】【例2】（2022春?寶山區(qū)校級月考）下列各對數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．﹣28與（﹣2）8 B．（﹣3）7與﹣37 C．﹣3×23與﹣33×2 D．﹣（﹣2）3與﹣（﹣3）2【變式2-1】（2022秋?玉門市期末）下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．32和23 B．﹣23和（﹣2）3 C．﹣|23|和|﹣23| D．﹣32和（﹣3）2【變式2-2】（2022?淶水縣期末）設(shè)n是自然數(shù)，則(?1)A．1或﹣1 B．0 C．﹣1 D．0或1【變式2-3】（2022?蘭考縣期末）下列說法中，正確的是（）A．﹣an和（﹣a）n一定不相等 B．﹣an和（﹣a）n一定互為相反數(shù) C．當n為奇數(shù)時，﹣an和（﹣a）n相等 D．當n為偶數(shù)時，﹣an和（﹣a）n相等【知識點3偶次乘方的非負性】任何一個數(shù)的偶次冪都是非負數(shù)，即a2【題型3偶次乘方的非負性】【例3】（2022春?諸暨市月考）若|2x+1﹣y|+（y﹣3x+4）2＝0，則x+2y的值為（）A．25 B．﹣27 C．﹣23 D．27【變式3-1】（2022春?吉州區(qū)期末）已知：（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，則a2021?b2022的值為．【變式3-2】（2022?衡水期中）對于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了兩個觀點佳佳的觀點：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值為3音音的觀點：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值為2對于以上觀點，則（）A．佳佳和音音均正確 B．佳佳正確，音音不正確 C．佳佳不正確，音音正確 D．佳佳和音音均不正確【變式3-3】（2022?蓬溪縣期中）若a、b有理數(shù)，下列判斷：①a2+（b+1）2總是正數(shù)；②a2+b2+1總是正數(shù)；③9+（a﹣b）2的最小值為9；④1﹣（ab+1）2的最大值是0其中錯誤的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知識點4含乘方的混合運算】有理數(shù)混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．【題型4含乘方的混合運算】【例4】（2022秋?沂水縣期中）（1）計算：①（3×5）2與32×52；②[（﹣2）×3]2與（﹣2）2×32；③[（﹣3）×（﹣4）]2與（﹣3）2×（﹣4）2；（2）根據(jù)以上計算結(jié)果猜想：（ab）2，（ab）3分別等于什么？（直接寫出結(jié)果）（3）猜想與驗證：當n為正整數(shù)時，（ab）n等于什么？請你利用乘方的意義說明理由．（4）利用上述結(jié)論，求（﹣8）2021×0.1252022的值．【變式4-1】（2022春?楊浦區(qū)校級期末）計算：16÷(?22【變式4-2】（2022?慶陽期末）計算：?3【變式4-3】（2022?越城區(qū)校級月考）計算：32÷（﹣22）×（﹣114）+（﹣5）6×（?1【題型5含乘方的程序圖運算】【例5】（2022春?承德期末）根據(jù)圖所示的程序計算，若輸入x的值為2，則輸出y的值為；若輸入x的值為﹣1，則輸出y的值為．【變式5-1】（2022?海州區(qū)期中）如圖是一個數(shù)值運算程序，當輸入的值為﹣3時，則輸出的值為．【變式5-2】（2022秋?膠州市期末）小方利用計算機設(shè)計了一個計算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如表：輸入…12345…輸出…1225310417526…那么，當輸入數(shù)據(jù)為8時，輸出的數(shù)據(jù)為．【變式5-3】（2022?和平區(qū)期中）按如圖所示的程序進行計算，如果把第一次輸入的數(shù)是18；而結(jié)果不大于100時，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進行第二次運算，直到符合要求為止，則最后輸出的結(jié)果為（）A．72 B．144 C．288 D．576【題型6含乘方的數(shù)字及圖形規(guī)律問題】【例6】（2022?呼倫貝爾）觀察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通過觀察，用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定215的個位數(shù)字是．【變式6-1】（2022?黔東南州模擬）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明為了求12+122+1【變式6-2】（2020?莫旗一模）“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思維，觀察下面的圖形和算式：1＝1＝121+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9＝25＝52解答下列問題：請用上面得到的規(guī)律計算：1+3+5+7+……+101＝（）A．2601 B．2501 C．2400 D．2419【變式6-3】（2022?亭湖區(qū)校級月考）觀察下面的等式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2：72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4…（1）請寫出第5個等式；（2）通過觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？猜想并寫出第n個等式；（3）請利用上述規(guī)律計算1012﹣992的值．【題型7乘方的應(yīng)用規(guī)律】【例7】（2022秋?下城區(qū)校級期中）某種細胞開始有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2個小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去1個，按此規(guī)律，6小時后存活的個數(shù)是65個，經(jīng)過n個小時后，細胞存活的個數(shù)為個（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）．【變式7-1】（2022?雁塔區(qū)校級期中）1米長的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第8次后剩下的木棒長度是（）米A．127128 B．1128 C．255256【變式7-2】（2022?黔東南州模擬）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反復(fù)多次，就能拉成許多細面條．如圖所示：（1）經(jīng)過第3次捏合后，可以拉出根細面條；（2）到第次捏合后可拉出32根細面條．【變式7-3】（2022秋?儀征市期中）看過《西游記》的同學(xué)一定很喜歡孫悟空，孫悟空的金箍棒能隨意伸縮．假設(shè)它最短時只有1厘米，第1次變化后變成3厘米，第2次變化后變成9厘米，第3次變化后變成27厘米…照此規(guī)律變化下去，到第5次變化后金箍棒的長度是米．【題型8乘方應(yīng)用中的新定義問題】【例8】（2022?新化縣模擬）定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，其滿足運算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運算法則，計算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為【變式8-1】（2022?梁溪區(qū)期末）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+1；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k（其中k是使n2k為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復(fù)進行，例如，取n＝25時，運算過程如圖．若n＝34，則第2022次“A．16 B．5 C．4 D．1【變式8-2】（2022?順城區(qū)校級月考）[概念學(xué)習(xí)]規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷?÷a︸c個a（a≠0）記作a?，讀作“a的圈c次方（1）[初步探究]直接寫出計算結(jié)果：3③＝；（?12）⑤＝﹣（2）關(guān)于除方，下列說法錯誤的是；A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；B．對于任何正整數(shù)n，1?＝1；C.3④＝4③；D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)．（3）[深入思考]我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？Ⅰ．試一試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式，（﹣3）④＝；5⑥＝．Ⅱ．想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于a?＝；Ⅲ．算一算：（?13）④+（﹣2）⑤﹣（?13）⑥【變式8-3】（2022?花溪區(qū)一模）在新型冠狀病毒防控戰(zhàn)“疫”中，花溪榕筑花園小區(qū)利用如圖①的建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖②是某個業(yè)主的識別圖案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d算式a×23+b×22+c×21+d×20的運算結(jié)果為該業(yè)主所居住房子的棟數(shù)號．例如，圖②第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，通過計算得0×23+1×22+0×21+1×20＝5，即可知該業(yè)主為5棟住戶，小敏家住在11棟，則表示他家的識別圖案是（）A． B． C． D．【知識點5科學(xué)記數(shù)法的表示】（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．【題型9科學(xué)記數(shù)法的表示】【例9】（2022?日照）全民免費接種新冠病毒疫苗是黨中央、國務(wù)院作出的重大決策部署，通過接種疫苗，讓更多人獲得免疫力，盡早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全國31個省（自治區(qū)、直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗336905萬劑次．數(shù)據(jù)336905萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.336905×1010 B．3.36905×1010 C．3.36905×109 D．33.6905×109【變式9-1】（2022?湘西州）據(jù)統(tǒng)計，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州學(xué)業(yè)水平考試九年級考生報名人數(shù)約為35000人，其中數(shù)據(jù)35000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．35×103 B．0.35×105 C．350×102 D．3.5×104【變式9-2】（2022春?館陶縣期末）某種顆粒每粒的質(zhì)量為0.00000037克，500粒此種顆粒的質(zhì)量用科學(xué)記數(shù)法可以表示為a×10n克，則n的值是（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【變式9-3】（2022?雨花區(qū)模擬）據(jù)中國政府網(wǎng)報道，截至2021年4月5日，31個?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗14280.2萬劑次．下列說法不正確的是（）A．14280.2萬大約是1.4億 B．14280.2萬大約是1.4×108 C．14280.2萬用科學(xué)記數(shù)法表示為1.42802×104 D．14280.2萬用科學(xué)記數(shù)法表示為1.42802×108【知識點7近似數(shù)的表示】

“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些.．【題型10近似數(shù)的表示】【例10】（2022?濟寧）用四舍五入法取近似值，將數(shù)0.0158精確到0.001的結(jié)果是（）A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02【變式10-1】（2022?長沙模擬）用四舍五入法把某數(shù)取近似值為4.8×10﹣3，精確度正確的是（）A．精確到萬分位 B．精確到千分位 C．精確到0.01 D．精確到0.1【變式10-2】（2022秋?南陽期末）下列對近似數(shù)的敘述不正確的是（）A．用四舍五入法對270.18（精確到個位）取近似值為270 B．用四舍五入法對0.518（精確到0.01）取近似值為0.52 C．由四舍五入法得到的近似數(shù)42.3萬是精確到萬位 D．由四舍五入法得到的近似數(shù)0.185是精確到千分位【變式10-3】（2022春?楊浦區(qū)校級期末）根據(jù)最新的上海市國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，全市目前常住人口約為2489.43萬人，用科學(xué)記數(shù)法保留三個有效數(shù)字表可表示為人．專題1.5有理數(shù)的乘方【十大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1有理數(shù)乘方的概念】 1【題型2乘方的運算】 3【題型3偶次乘方的非負性】 4【題型4含乘方的混合運算】 6【題型5含乘方的程序圖運算】 8【題型6含乘方的數(shù)字及圖形規(guī)律問題】 10【題型7乘方的應(yīng)用規(guī)律】 12【題型8乘方應(yīng)用中的新定義問題】 13【題型9科學(xué)記數(shù)法的表示】 17【題型10近似數(shù)的表示】 19【知識點1有理數(shù)乘方的概念】求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．即有：.在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).【題型1有理數(shù)乘方的概念】【例1】（2022?河北模擬）(?1A．(?13)×(?1C．(?1)×(?1)×(?1)3 D．【分析】根據(jù)乘方的意義即可得出結(jié)果．【解答】解：∵(?13)∴(?13)3表示的意義是（?13）×（故選：A．【變式1-1】（2022?博湖縣校級期中）?34×34×34×34寫成乘方的形式?(34)4，?【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方解決此題．【解答】解：根據(jù)有理數(shù)的乘方，?34×34×34×34=?(34)故答案為：?(34)【變式1-2】（2022秋?涇陽縣期中）下列說法中，正確的是（）A．23表示2×3 B．﹣110讀作“﹣1的10次冪” C．（﹣5）2中﹣5是底數(shù)，2是指數(shù) D．2×32的底數(shù)是2×3【分析】根據(jù)冪的意義，底數(shù)和指數(shù)的定義即可得出答案．【解答】解：A選項，23表示3個2相乘，故該選項不符合題意；B選項，﹣110讀作“1的10次冪的相反數(shù)”，故該選項不符合題意；C選項，（﹣5）2中﹣5是底數(shù)，2是指數(shù)，故該選項符合題意；D選項，2×32的底數(shù)是3，故該選項符合題意；故選：C．【變式1-3】（2022秋?順平縣期中）將2×2×??×2︷A．2m3n B．2m3n C．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方解答即可．【解答】解：將2×2×??×2︷m個23+3+??+3故選：A．【知識點2有理數(shù)乘方的運算】（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值．【題型2乘方的運算】【例2】（2022春?寶山區(qū)校級月考）下列各對數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．﹣28與（﹣2）8 B．（﹣3）7與﹣37 C．﹣3×23與﹣33×2 D．﹣（﹣2）3與﹣（﹣3）2【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方和乘法分別計算各選項中的數(shù)即可得出答案．【解答】解：A選項，﹣28＜0，（﹣2）8＞0，故該選項不符合題意；B選項，（﹣3）7＝﹣37，故該選項符合題意；C選項，﹣3×23＝﹣3×8＝﹣24，﹣33×2＝﹣27×2＝﹣54，故該選項不符合題意；D選項，﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，﹣（﹣3）2＝﹣9，故該選項不符合題意；故選：B．【變式2-1】（2022秋?玉門市期末）下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（）A．32和23 B．﹣23和（﹣2）3 C．﹣|23|和|﹣23| D．﹣32和（﹣3）2【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方及絕對值的運算將四個選項中各數(shù)計算出來，再進行比較即可得出結(jié)論．【解答】解：A、∵32＝9，23＝8，∴32≠23；B、∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，∴﹣23＝（﹣2）3；C、∵﹣|23|＝﹣8，|﹣23|＝8，∴﹣|23|≠|(zhì)﹣23|；D、∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，∴﹣32≠（﹣3）2．故選：B．【變式2-2】（2022?淶水縣期末）設(shè)n是自然數(shù)，則(?1)A．1或﹣1 B．0 C．﹣1 D．0或1【分析】分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，根據(jù)有理數(shù)乘方運算法則計算可得．【解答】解：若n為奇數(shù)，則n+2也是奇數(shù)，此時(?1)若n為偶數(shù)，則n+2也為偶數(shù)，此時(?1)故選：A．【變式2-3】（2022?蘭考縣期末）下列說法中，正確的是（）A．﹣an和（﹣a）n一定不相等 B．﹣an和（﹣a）n一定互為相反數(shù) C．當n為奇數(shù)時，﹣an和（﹣a）n相等 D．當n為偶數(shù)時，﹣an和（﹣a）n相等【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方運算法則，結(jié)合各選項進行判斷即可．【解答】解：A、﹣an和（﹣a）n一定不相等，說法錯誤，例如當n＝0兩者就相等；B、﹣an和（﹣a）n一定互為相反數(shù)，說法錯誤，例如當n＝0時，兩者就不是相反數(shù)；C、當n為奇數(shù)時，﹣an和（﹣a）n相等，說法正確，故本選項正確；D、當n為偶數(shù)時，﹣an和（﹣a）n不一定相等，例如當a＝1時，﹣an＝﹣1，（﹣a）n＝1，故本選項錯誤；故選：C．【知識點3偶次乘方的非負性】任何一個數(shù)的偶次冪都是非負數(shù)，即a2【題型3偶次乘方的非負性】【例3】（2022春?諸暨市月考）若|2x+1﹣y|+（y﹣3x+4）2＝0，則x+2y的值為（）A．25 B．﹣27 C．﹣23 D．27【分析】直接利用偶次方的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)得出x，y的值，進而得出答案．【解答】解：∵|2x+1﹣y|+（y﹣3x+4）2＝0，∴2x+1﹣y＝0，y﹣3x+4＝0，解得：x＝5，y＝11，故x+2y＝5+2×11＝27．故選：D．【變式3-1】（2022春?吉州區(qū)期末）已知：（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，則a2021?b2022的值為12【分析】根據(jù)偶次方的非負性以及絕對值的非負性求得a與b，再代入a2021?b2022求值．【解答】解：∵（a﹣2）2≥0，|2b﹣1|≥0，∴當（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，則a﹣2＝0，2b﹣1＝0．∴a＝2，b=1∴a2021?b2022=2故答案為：12【變式3-2】（2022?衡水期中）對于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了兩個觀點佳佳的觀點：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值為3音音的觀點：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值為2對于以上觀點，則（）A．佳佳和音音均正確 B．佳佳正確，音音不正確 C．佳佳不正確，音音正確 D．佳佳和音音均不正確【分析】根據(jù)有理數(shù)的平方、絕對值的定義解答即可．【解答】解：因為|a﹣1|≥0，所以|a﹣1|﹣3有最小值，最小值為﹣3；因為（b+3）2≥0，所以﹣（b+3）2≤0，所以﹣（b+3）2+2有最大值，最大值為2，所以佳佳不正確，音音正確，故選：C．【變式3-3】（2022?蓬溪縣期中）若a、b有理數(shù)，下列判斷：①a2+（b+1）2總是正數(shù)；②a2+b2+1總是正數(shù)；③9+（a﹣b）2的最小值為9；④1﹣（ab+1）2的最大值是0其中錯誤的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用偶次方的性質(zhì)分別分析得出答案．【解答】解：①a2+（b+1）2總是非負數(shù)，故此選錯誤；②a2+b2+1總是正數(shù)，正確；③9+（a﹣b）2的最小值為9，正確；④1﹣（ab+1）2的最大值是1，故此選項錯誤．故選：B．【知識點4含乘方的混合運算】有理數(shù)混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級運算，從左到右進行；(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．【題型4含乘方的混合運算】【例4】（2022秋?沂水縣期中）（1）計算：①（3×5）2與32×52；②[（﹣2）×3]2與（﹣2）2×32；③[（﹣3）×（﹣4）]2與（﹣3）2×（﹣4）2；（2）根據(jù)以上計算結(jié)果猜想：（ab）2，（ab）3分別等于什么？（直接寫出結(jié)果）（3）猜想與驗證：當n為正整數(shù)時，（ab）n等于什么？請你利用乘方的意義說明理由．（4）利用上述結(jié)論，求（﹣8）2021×0.1252022的值．【分析】（1）根據(jù)積的乘方的計算法則進行計算即可；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，類推得出答案；（3）利用乘方的意義進行計算即可；（4）應(yīng)用上述結(jié)論，將原式化為（﹣8×0.125）2021×0.125即可．【解答】解：（1）①（3×5）2＝152＝225，32×52＝9×25＝225；②[（﹣2）×3]2＝（﹣6）2＝36，（﹣2）2×32＝4×9＝36；③∵[（﹣3）×（﹣4）]2＝122＝144，（﹣3）2×（﹣4）2＝9×16＝144，∴[（﹣3）×（﹣4）]2＝（﹣3）2×（﹣4）2；（2）（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3；（3）（ab）n＝anbn，理由如下：（ab）n==a?a?a＝anbn；（4）原式＝（﹣8）2021×0.1252021×0.125＝（﹣8×0.125）2021×0.125＝（﹣1）2021×0.125＝﹣0.125．【變式4-1】（2022春?楊浦區(qū)校級期末）計算：16÷(?22【分析】先計算乘方和后面的乘法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，繼而計算乘法，最后計算加減即可．【解答】解：原式＝16÷＝16×=9=27=7【變式4-2】（2022?慶陽期末）計算：?3【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的乘除法和加減法可以解答本題．【解答】解：?＝﹣9+23×[2+（﹣8）]﹣3×＝﹣9+23×＝﹣9+（﹣4）+12＝﹣1．【變式4-3】（2022?越城區(qū)校級月考）計算：32÷（﹣22）×（﹣114）+（﹣5）6×（?1【分析】先算乘方，再算除法和乘法，最后算加減即可；【解答】解：原式＝32÷（﹣4）×（?54）+（＝10﹣1＝9.【題型5含乘方的程序圖運算】【例5】（2022春?承德期末）根據(jù)圖所示的程序計算，若輸入x的值為2，則輸出y的值為4；若輸入x的值為﹣1，則輸出y的值為4．【分析】將x＝2和x＝﹣1分別代入，別判斷計算結(jié)果是否大于0，即可得答案．【解答】解：輸入x的值為2，輸出y的值為22×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4；若輸入x的值為﹣1，（﹣1）2×2﹣4＝﹣2，∵﹣2＜0，∴（﹣2）2×2﹣4＝4，∴輸入x的值為﹣1，輸出y的值為4，故答案為：4，4．【變式5-1】（2022?海州區(qū)期中）如圖是一個數(shù)值運算程序，當輸入的值為﹣3時，則輸出的值為．【分析】由題意可得其運算程序為：﹣5x2+2，再把相應(yīng)的值代入運算即可．【解答】解：由題意得其運算程序為：﹣5x2+2，當x＝﹣3時，有：﹣5×（﹣3）2+2＝﹣5×9+2＝﹣45+2＝﹣43．故答案為：﹣43．【變式5-2】（2022秋?膠州市期末）小方利用計算機設(shè)計了一個計算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如表：輸入…12345…輸出…1225310417526…那么，當輸入數(shù)據(jù)為8時，輸出的數(shù)據(jù)為865【分析】根據(jù)題意找出一般性規(guī)律，寫出即可．【解答】解：根據(jù)題意得：當輸入的數(shù)據(jù)是n時，輸出的數(shù)據(jù)為nn則當輸入的數(shù)據(jù)是8時，輸出的數(shù)據(jù)為88故答案為：8【變式5-3】（2022?和平區(qū)期中）按如圖所示的程序進行計算，如果把第一次輸入的數(shù)是18；而結(jié)果不大于100時，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進行第二次運算，直到符合要求為止，則最后輸出的結(jié)果為（）A．72 B．144 C．288 D．576【分析】把18輸入程序中計算，依此類推，結(jié)果大于100輸出即可．【解答】解：把18輸入得：18×|?12|÷[﹣（12＝18×12÷＝﹣36＜100，把﹣36輸入得：﹣36×|?12|÷[﹣（12＝﹣36×12÷＝72＜100，把72輸入得：72×|?12|÷[﹣（12＝72×12÷＝﹣144＜100，把﹣144輸入得：﹣144×|?12|÷[﹣（12＝﹣144×12÷＝288＞100，則輸出的數(shù)字為288．故選：C．【題型6含乘方的數(shù)字及圖形規(guī)律問題】【例6】（2022?呼倫貝爾）觀察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通過觀察，用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定215的個位數(shù)字是8．【分析】首先觀察可得規(guī)律：2n的個位數(shù)字每4次一循環(huán)，又由15÷4＝3…3，即可求得答案．【解答】解：觀察可得規(guī)律：2n的個位數(shù)字每4次一循環(huán)，∵15÷4＝3…3，∴215的個位數(shù)字是8．故答案為：8．【變式6-1】（2022?黔東南州模擬）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明為了求12+122+123【分析】根據(jù)圖中可知正方形的面積依次為12，122【解答】解：12+1答：12+1故答案為：1?1【變式6-2】（2020?莫旗一模）“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思維，觀察下面的圖形和算式：1＝1＝121+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9＝25＝52解答下列問題：請用上面得到的規(guī)律計算：1+3+5+7+……+101＝（）A．2601 B．2501 C．2400 D．2419【分析】觀察圖形和算式可得規(guī)律1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，得2n﹣1＝101，解得n＝51，進而可得結(jié)果．【解答】解：觀察下面的圖形和算式：1＝1＝121+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9＝25＝52發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2∵2n﹣1＝101，解得n＝51，∴1+3+5+7+……+101＝512＝2601．故選：A．【變式6-3】（2022?亭湖區(qū)校級月考）觀察下面的等式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2：72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4…（1）請寫出第5個等式；（2）通過觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？猜想并寫出第n個等式；（3）請利用上述規(guī)律計算1012﹣992的值．【分析】（1）仿照已知等式確定出第5個等式即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出第n個等式即可；（3）根據(jù)上述規(guī)律確定出原式的值即可．【解答】解：（1）112﹣92＝40＝8×5；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）根據(jù)題中的規(guī)律得：原式＝8×50＝400．【題型7乘方的應(yīng)用規(guī)律】【例7】（2022秋?下城區(qū)校級期中）某種細胞開始有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2個小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去1個，按此規(guī)律，6小時后存活的個數(shù)是65個，經(jīng)過n個小時后，細胞存活的個數(shù)為（2n+1）個（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）．【分析】根據(jù)細胞分裂過程，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：按此規(guī)律，6小時后存活的個數(shù)是26+1＝65個，經(jīng)過n個小時后，細胞存活的個數(shù)為（2n+1）個．故答案為：65；（2n+1）．【變式7-1】（2022?雁塔區(qū)校級期中）1米長的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第8次后剩下的木棒長度是（）米A．127128 B．1128 C．255256【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義列式計算即可得解．【解答】解：由題意得，第8次后剩下的木棒的長度是（12）8=故選：D．【變式7-2】（2022?黔東南州模擬）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反復(fù)多次，就能拉成許多細面條．如圖所示：（1）經(jīng)過第3次捏合后，可以拉出8根細面條；（2）到第5次捏合后可拉出32根細面條．【分析】（1）根據(jù)圖片信息，可以總結(jié)出規(guī)律，進而得出答案；（2）根據(jù)25＝32，知道第5次捏合后可拉出32根細面條．【解答】解：（1）第一次，可以拉出2根細面條，第二次，可以拉出22根細面條，第三次，可以拉出23根細面條，∴第n次，可以拉出2n根細面條，故答案為：8；（2）∵25＝32，∴第5次捏合后可拉出32根細面條，故答案為：5．【變式7-3】（2022秋?儀征市期中）看過《西游記》的同學(xué)一定很喜歡孫悟空，孫悟空的金箍棒能隨意伸縮．假設(shè)它最短時只有1厘米，第1次變化后變成3厘米，第2次變化后變成9厘米，第3次變化后變成27厘米…照此規(guī)律變化下去，到第5次變化后金箍棒的長度是2.43米．【分析】根據(jù)題意，每變化1次，長度擴大到原來的3倍，在第3次的基礎(chǔ)上，擴大兩次即可．【解答】解：根據(jù)題意得：第5次變化后金箍棒的長度為：27×3×3＝243（厘米）＝2.43（米），故答案為：2.43．【題型8乘方應(yīng)用中的新定義問題】【例8】（2022?新化縣模擬）定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，其滿足運算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運算法則，計算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為1【分析】根據(jù)對數(shù)的定義和運算法則化簡即可得出答案．【解答】解：原式＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2×lg10+lg5＝lg2+lg5＝lg10＝1．故答案為：1．【變式8-1】（2022?梁溪區(qū)期末）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+1；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k（其中k是使n2k為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復(fù)進行，例如，取n＝25時，運算過程如圖．若n＝34，則第2022次“A．16 B．5 C．4 D．1【分析】按新定義的運算法則，分別計算出當n＝34時，第一、二、三、四、五、六、七、八、九次運算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律即可解答．【解答】解：由題意可知，當n＝34時，歷次運算的結(jié)果是：342=17，3×17+1＝52，5222=13，13×3+1＝40，4023=5，3故17→52→13→40→5→16→1→4→1…，即從第七次開始1和4出現(xiàn)循環(huán)，偶數(shù)次為4，奇數(shù)次為1，∴當n＝34，第2022次“F運算”的結(jié)果是4．故選：C．【變式8-2】（2022?順城區(qū)校級月考）[概念學(xué)習(xí)]規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷?÷a︸c個a（a≠0）記作a?，讀作“a的圈c次方（1）[初步探究]直接寫出計算結(jié)果：3③＝13；（?12）⑤＝（2）關(guān)于除方，下列說法錯誤的是C；A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；B．對于任何正整數(shù)n，1?＝1；C.3④＝4③；D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)．（3）[深入思考]我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？Ⅰ．試一試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式，（﹣3）④＝（13）2；5⑥＝（15）4Ⅱ．想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于a?＝（1a）n﹣2Ⅲ．算一算：（?13）④+（﹣2）⑤﹣（?13）⑥【分析】【概念學(xué)習(xí)】（1）分別按公式進行計算即可；（2）根據(jù)定義依次判定即可；【深入思考】（3）Ⅰ．把除法化為乘法，第一個數(shù)不變，從第二個數(shù)開始依次變?yōu)榈箶?shù)，由此分別得出結(jié)果；Ⅱ．結(jié)果前兩個數(shù)相除為1，第三個數(shù)及后面的數(shù)變?yōu)?a，則a?＝a×（1a）n﹣Ⅲ．將第二問的規(guī)律代入計算，注意運算順序．【解答】解：【概念學(xué)習(xí)】（1）3③＝3÷3÷3=1（?12）⑤＝（?12）÷（?12）÷（?12）÷（故答案為：13，﹣（2）A、任何非零數(shù)的圈2次方就是兩個相同數(shù)相除，所以都等于1；所以選項A正確；B、因為多少個1相除都是1，所以對于任何正整數(shù)n，1?都等于1；所以選項B正確；C、3④＝3÷3÷3÷3=19，4③＝4÷4÷4=14，則3④≠4D、負數(shù)的圈奇數(shù)次方，相當于奇數(shù)個負數(shù)相除，則結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方，相當于偶數(shù)個負數(shù)相除，則結(jié)果是正數(shù)．所以選項D正確；本題選擇說法錯誤的，故選C；（3）【深入思考】Ⅰ．（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（13）25⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝（15）4故答案為：（13）2；（15）Ⅱ．a(chǎn)?＝（1a）n﹣2故答案為：（1a）n﹣2Ⅲ．（?13）④+（﹣2）⑤﹣（?13）⑥＝（﹣3）2+（﹣2）3﹣（﹣3）4÷33＝9+（﹣8）﹣81÷27＝1﹣3＝﹣2．【變式8-3】（2022?花溪區(qū)一模）在新型冠狀病毒防控戰(zhàn)“疫”中，花溪榕筑花園小區(qū)利用如圖①的建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖②是某個業(yè)主的識別圖案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d算式a×23+b×22+c×21+d×20的運算結(jié)果為該業(yè)主所居住房子的棟數(shù)號．例如，圖②第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，通過計算得0×23+1×22+0×21+1×20＝5，即可知該業(yè)主為5棟住戶，小敏家住在11棟，則表示他家的識別圖案是（）A． B． C． D．【分析】找出a，b，c，d的值，再根據(jù)公式計算即可得出結(jié)論【解答】解：A．第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，通過計算得1×23+0×22+0×21+1×20＝9，即可知該業(yè)主為9棟住戶，此選項不符合題意；B．第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，1，1，通過計算得1×23+0×22+1×21+1×20＝11，即可知該業(yè)主為11棟住戶，此選項符合題意；C．第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，通過計算得0×23+1×22+0×21+1×20＝5，即可知該業(yè)主為5棟住戶，此選項不符合題意；D．第一行數(shù)字從左到右依次為1，1，0，1，通過計算得1×23+1×22+0×21+1×20＝13，即可知該業(yè)主為13棟住戶，此選項符合題意；故選：B．【知識點5科學(xué)記數(shù)法的表示】（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負號．【題型9科學(xué)記數(shù)法的表示】【例9】（2022?日照）全民免費接種新冠病毒疫苗是黨中央、國務(wù)院作出的重大決策部署，通過接種疫苗，讓更多人獲得免疫力，盡早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全國31個?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗336905萬劑次．數(shù)據(jù)336905萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.336905×1010 B．3.36905×1010 C．3.36905×109 D．33.6905×109【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：336905萬＝3369050000＝3.36905×109．故選：C．【變式9-1】（2022?湘西州）據(jù)統(tǒng)計，2022年湖南省湘西土家族苗族自治州學(xué)業(yè)水平考試九年級考生報名人數(shù)約為35000人，其中數(shù)據(jù)35000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．35×103 B．0.35×105 C．350×102 D．3.5×104【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時