六年級(jí)奧數(shù)教程-第15講 組合圖形 通用版

【六年級(jí)奧數(shù)教程】

第15講組合圖形

在計(jì)算幾何圖形的面積時(shí)，有很多圖形都是不規(guī)則的，很難直接用公式計(jì)算出它們的面積，

在解答這類問(wèn)題時(shí)，需要觀察圖形的特點(diǎn)，經(jīng)常還要對(duì)圖形分、合、移、補(bǔ)、旋轉(zhuǎn)變成正方形、長(zhǎng)方

形、梯形、平行四邊形等.通過(guò)解答這類題，可以使同學(xué)們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，加深對(duì)這些知識(shí)的理

解和運(yùn)用.

例1計(jì)算下圖陰影部分的面積.（單位：厘米）

思維點(diǎn)撥,圖中陰影部分是一個(gè)梯,形減去一個(gè)圓心角為90°的扇形再加上一個(gè)半圓，梯形的上

底.是6厘米，下底是8厘米，高是6厘米，扇形的半徑是6厘米，半圓的直徑是6厘米.

例2如圖”A0=B0=8厘米，求陰影部分的面積.

思維點(diǎn)撥把圖中陰影部分的葉片從中間分開(kāi)，把它平均分成兩份，再分別向外面旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)

后如圖，這樣，陰影部分的面積就是用一個(gè)扇形的面積減去一個(gè)直角三，角形的面積.

例3求下圖陰影部分的面積.（單位：厘米）

40

思維點(diǎn)撥陰影部分的面積是以邊長(zhǎng)為40厘米的正方形與半徑為40厘米的,圓面積差減去邊

4

長(zhǎng)為20厘米的正方形與半徑為20厘米的1圓面積差的2倍.

例4如圖，圓的周長(zhǎng)是12.56分米，圓的面積是長(zhǎng)方形面積的三2，求陰影部分的周長(zhǎng).

思維點(diǎn)撥陰影部分的周長(zhǎng)是半圓的弧長(zhǎng)加上2條長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和1條寬，已知圓的,周長(zhǎng)，容易

求出半徑，再求出圓的面積，求出圓的面積就可以求出長(zhǎng)方形的面積.長(zhǎng)方形的寬就是圓的直徑，從

而可以求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，這樣就可以求出陰影部分的周長(zhǎng)了.

例5如圖，大圓的直徑為8厘米求陰影部分的面積,

思維點(diǎn)撥我們可以把空白部分割補(bǔ)成4個(gè)工的圓.（即半圓）與一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，用

2

大圓面積減去空白部分的面積就可以得到陰影.部分，的面積，

例6下圖中，點(diǎn)0是圓心，圓的半徑是10厘米，求陰影部分的面積.

思維點(diǎn)撥陰影部分的面積等于半圓的面積加上△ABC.的面積減去扇形CADB的面積.

?課內(nèi)練習(xí)

1.計(jì)算下圖正方形中陰影部分的面積.（單位：厘米）

2.求下圖中陰影部分的面積.（單位：厘米）

H

3.求正方形圖中陰影部分的面積.（單位：厘米）

4.如圖，圓的周長(zhǎng)為15.7分米，圓的面積是長(zhǎng)方形面積的2上，求陰影部分的周長(zhǎng).

3

5.求下圖陰影部分的面積.（單位：厘米）

6.如圖，0為圓心，CO垂直于AB,ZXABC的面積是45平方厘米，求陰影部分的面積.

R

?課外作業(yè)

1.計(jì)算下圖陰影部分的面積.（單位：厘米）

2.求下圖陰影部分的面積.（單位：厘米）

3.如圖，邊長(zhǎng)為10厘米的正方形AB=CD中，有以BC邊為半徑的人圓和以CD為直徑的半圓,

4

求陰影部分的面積.

4.如圖，點(diǎn)0是圓的中心，Z\ABC是圓內(nèi)接等邊三角形，求陰影部分的周長(zhǎng).

5.如圖，4個(gè)圓的半徑都為10厘米，求陰影部分的面積.

6.如圖，^ABC是邊長(zhǎng)為24厘米的正三角形，陰影部分是以每條邊為直徑畫(huà)半圓時(shí)出現(xiàn)的如圖

所示的幾何圖形，求陰影部分的面積.

A

7.計(jì)算圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積.（單位：厘米）

9.求下圖陰影部分的面積.（單位：厘米）

10.求下圖陰影部分的面積.

你知道嗎

為什么鋪地的磁磚總是正方形或正六邊形？

在正多邊形中只有3種能用來(lái)鋪滿一個(gè)平面而中間沒(méi)有空隙，這就是正三角形、正方形和正

六邊形，因?yàn)檎切蔚囊粋€(gè)角是60,6個(gè)三角形拼在一起，公其頂點(diǎn)上的6個(gè)角之和正好是360；

正方形的一個(gè)角是90.4個(gè)正方形拼在一起，公共頂點(diǎn)上的4個(gè)角之和正好是360；正六邊形的一個(gè)

角是120,3個(gè)正六邊形拼在一起，在公其頂點(diǎn)上的3個(gè)角之和剛好是360.

如果用別的正多邊形，就達(dá)不到這一要求.當(dāng)然6個(gè)正三角形拼在一起，雖然沒(méi)有空隙，但

它遠(yuǎn)不及正方形和正六邊形美觀，所以一般用于鋪地的磁成都是正方形和正六邊形的.

第15講組合圖形

?培優(yōu)教程

例1陰影部分的面積是梯形的面積減去

一個(gè)圓心角為90°的扇形面積再加上一個(gè)直徑為6厘米的半圓面積.

（1）梯形的面積為（6+8）X6+2=42（平方厘米）；

（2）扇形的面積為3.14X62xl=28.26（平方厘米），

4

（3）半圓的面積為3.14X32X'=14.13（平方厘米）.

2

所以陰影部分的面積為42-28.26+14.13=27.87（平方厘米）.

例2

本題的陰影部分應(yīng)進(jìn)行適、當(dāng)?shù)姆植穑殃幱安糠值娜~片平均分成2等份，正好補(bǔ)上陰影上的兩

處，這樣陰影部分的面積就是一個(gè)扇形的面積減去一個(gè)直角三角形的面積，因此扇形的面積為

an1

冗X82X—=3.14X64X-=50.24（平方厘米）,直角三角形的面積為8X8X2=32（平方厘米）.所

3604

以陰影部分的面積為50.24-32=18.24（平方厘米）.

例3

_40

40

陰影分的面積=

［（邊長(zhǎng)為40厘米的正方形面積一

,個(gè)半徑為40厘米的圓面積）一（邊長(zhǎng)為20厘米的正方形面積一,個(gè)半徑為20厘米的圓面

44

積）］X2.

（1）邊長(zhǎng)為40厘米的正方形面積為40X40=1600（平方厘米）；

（2）,個(gè)半徑為40厘米的圓面積為'X3.14X40?=1256（平方厘米）；

44

（3）邊長(zhǎng)為20厘米的正方形面積為20X20=400（平方厘米）；

（4）,個(gè)半徑為20厘米的圓面積為

4

LX3.14X2（）2=314（平方厘米）.

4

所以陰影部分的面積是［1600—1256—（400-314）］X2=516（平方厘米）.

例4因?yàn)閳A的周長(zhǎng)為12.56分米，所以圓的直徑d=12.56+3.14=4（分米），半徑r=2（分米）.

圓的面積為

3.14X22=12.56（平方分米）.

長(zhǎng)方形的面積為

12.56X2=31.4（平方分米）.

2

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為

31.44-4=7.85（分米）.

所以陰影部分的周長(zhǎng)為7.85X2+4+12.56+2=15.7+4+6.28=25.98（分米）.

要求陰影部分的面積，關(guān)鍵是求出空白部分的面積，作輔助線，容易看出空白部分的面積等于1

個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形與4個(gè)半徑為2厘米的半圓面積之和.

（1）大圓面積為萬(wàn)X42=3.14X16=50.24（平方厘米）.

（2）正方形面積為4X4=16（平方厘米）.

（3）4個(gè)半圓面積為4XTTX22X-=25.12（平方厘米）.

2

所以陰影部分的面積為50.24—16—25.12=9.12（平方厘米）.

例6

陰影部分的面積等于半圓的面積加AABC的面積減扇形的面積.

（1）半圓的面積為‘萬(wàn)Xl（）2=157（平方厘米）.

2

（2）AABC的面積為一X20X10=100（平方厘米）.

2

on1

（3）扇形的面積為%a??空=%（102+102）X1=157（平方厘米）.

3604

所以陰影部分的面積為157+100—157=100（平方厘米）.

?針對(duì)性訓(xùn)練

課內(nèi)練習(xí)

1.圖中的陰影部分是一個(gè)正方形減去一個(gè)圓心角為90°的扇形再加上一個(gè)半圓.

10X10—3.14Xl（/x型+3.14X（3）2+2=60.75（平方厘米）.

3602

2.連接BC,將AB陰影旋轉(zhuǎn)至BC空白處.

45

3.14X10-X——-10X54-2=14.25（平方厘米）.

360

3.圖中陰影部分的面積是以邊長(zhǎng)為20厘米的正方形與半徑為20厘米的,圓面積的差減去邊長(zhǎng)

4

為10厘米的正方形與半徑為10厘米的,圓面積的差.

4

20X20-3.14X2（）2xL-（ioxiO—3.14X10?xL）=64.5（平方厘米）

44

2

4.3.14X（15.7+3.14+2）2+-+（15.7+3.14）X2+15.7+3.14+15.7+2—24.625（分米）.

3

5.小圓的半徑：4+2+2=1（厘米），

4個(gè)半圓的面積：3.14X『+2X4=6.28（平方厘米），

空白部分的面積:6.28+（2X2-3.14X12）X2=8（平方厘米），

陰影部分的面積：3.14X（4+2/一8=4.56（平方厘米）.

6.設(shè)AC=a,則aXaX工=45,a?=90.

2

設(shè)0C為b,2bXbXL=45,b?=45.

2

陰影部分的面積：45+b2X3.14X--a2X3.14X-L=45（平方厘米）.

24

課外作業(yè)

1.圖中陰影部分的面積是大半圓的面積加上小半圓的面積x減去三角形的面積.

3.14X（-）2X-+3.14X（-）2X--8X6X1=15.25（平方厘米）.

22222

2.連接CD,然后旋轉(zhuǎn)BC邊，可以看出陰影部分的面積正好等于圓的面積減去里面一個(gè)最大正

方形的面積.

3.14X（44-2）2-4X4-2=4.56（平方厘米）.

3.

如圖，把弓形陰影移到①，則陰影部分的面積可以用工的扇形面積減去L正方形的面積.

84

3.14X102xl-10X10X-=14.25（平方厘米）.

84

120

4.3.14X9+2X3.14X9X——=47.1（厘米）.

360

5.（10X2）X（10X2）-[（10X2）X（10X2）-3.14X102]52—228（平方厘米）.

6.陰影部分的面積等于圓心角為60°的扇形面積.

3.14x（24+2）2義幽=75.36（平方厘米）.

360

7.

如圖，作輔助線，陰影部分的周長(zhǎng)等于以4厘米為半徑的圓周長(zhǎng)的士3加上7厘米再加上一個(gè)直

4

角三角形的斜邊.

直角三角形的兩條直角邊分別為4,（7-4）,可知斜邊為5厘米.

所