清華大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)課件36傅立葉變換的基本性質(zhì)

清華大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)課件36傅立葉變換的基本性質(zhì)目錄contents傅立葉變換的定義與性質(zhì)傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì)傅立葉變換的應(yīng)用傅立葉變換的逆變換傅立葉變換的頻域分析傅立葉變換的定義與性質(zhì)01傅立葉變換是信號(hào)處理中常用的數(shù)學(xué)工具，可以將時(shí)間域的信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻率域的信號(hào)，或者將頻率域的信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)間域的信號(hào)。傅立葉變換的基本形式為：$F(omega)=int_{-infty}^{+infty}f(t)e^{-iomegat}dt$，其中$f(t)$是時(shí)間域的信號(hào)，$F(omega)$是頻率域的信號(hào)。傅立葉變換的定義第二季度第一季度第四季度第三季度線(xiàn)性性奇偶性時(shí)移性頻移性傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換具有線(xiàn)性性質(zhì)，即對(duì)于兩個(gè)信號(hào)$f_1(t)$和$f_2(t)$，有$F_1(omega)+F_2(omega)=int[f_1(t)+f_2(t)]e^{-iomegat}dt$。傅立葉變換具有奇偶性質(zhì)，即對(duì)于奇函數(shù)$f(-t)=-f(t)$，有$F(omega)=0$；對(duì)于偶函數(shù)$f(-t)=f(t)$，有$F(omega)=F(-omega)$。傅立葉變換具有時(shí)移性質(zhì)，即對(duì)于時(shí)移信號(hào)$f(t-t_0)$，有$F(omega)=e^{-iomegat_0}F(omega)$。傅立葉變換具有頻移性質(zhì)，即對(duì)于頻移信號(hào)$f(t)e^{iomega_0t}$，有$F(omega-omega_0)=F(omega)e^{iomega_0t}$。傅立葉變換的物理意義傅立葉變換的物理意義在于將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域，從而可以更好地分析信號(hào)的頻率成分和頻率特性。通過(guò)傅立葉變換，可以方便地計(jì)算信號(hào)的頻譜密度函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)等，從而對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波、調(diào)制解調(diào)、頻譜分析等處理。傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì)02若$a$和$b$是常數(shù)，且$f(t)$和$g(t)$是可傅立葉變換的，則$af(t)+bg(t)$的傅立葉變換為$aF(omega)+bG(omega)$，其中$F(omega)$和$G(omega)$分別是$f(t)$和$g(t)$的傅立葉變換。線(xiàn)性性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì)是傅立葉變換的基本運(yùn)算性質(zhì)之一，它表明傅立葉變換滿(mǎn)足線(xiàn)性組合的性質(zhì)，即兩個(gè)函數(shù)的線(xiàn)性組合的傅立葉變換等于各自傅立葉變換的線(xiàn)性組合。意義線(xiàn)性性質(zhì)微分性質(zhì)微分性質(zhì)若$f(t)$是可微的，則$f'(t)$的傅立葉變換為$-jomegaF(omega)$，其中$F(omega)$是$f(t)$的傅立葉變換。意義微分性質(zhì)表明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換等于函數(shù)傅立葉變換乘以$-jomega$。這個(gè)性質(zhì)在分析信號(hào)的頻域特性時(shí)非常有用，特別是對(duì)于分析信號(hào)的高頻分量。積分性質(zhì)若$f(t)$是可積的，則$intf(t)dt$的傅立葉變換為$frac{1}{jomega}F(omega)$，其中$F(omega)$是$f(t)$的傅立葉變換。意義積分性質(zhì)表明函數(shù)的積分的傅立葉變換等于函數(shù)傅立葉變換除以$jomega$。這個(gè)性質(zhì)在分析信號(hào)的低頻分量時(shí)非常有用，特別是對(duì)于分析信號(hào)的直流分量。積分性質(zhì)卷積性質(zhì)若$f(t)$和$g(t)$是可傅立葉變換的，則$f(t)*g(t)$的傅立葉變換為$F(omega)G(omega)$，其中$F(omega)$和$G(omega)$分別是$f(t)$和$g(t)$的傅立葉變換。卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)表明兩個(gè)函數(shù)的卷積的傅立葉變換等于各自傅立葉變換的乘積。這個(gè)性質(zhì)在信號(hào)處理中非常重要，特別是在頻域分析和濾波器設(shè)計(jì)中。意義傅立葉變換的應(yīng)用0303信道估計(jì)與均衡利用傅立葉變換對(duì)信道進(jìn)行頻域均衡，補(bǔ)償信道畸變，提高通信系統(tǒng)的性能。01信號(hào)調(diào)制與解調(diào)傅立葉變換在通信系統(tǒng)中用于信號(hào)的調(diào)制與解調(diào)，將信號(hào)從時(shí)域變換到頻域，便于信號(hào)的傳輸和處理。02多載波通信通過(guò)傅立葉變換實(shí)現(xiàn)多載波調(diào)制，如OFDM（正交頻分復(fù)用）技術(shù)，提高信號(hào)傳輸效率和抗干擾能力。在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用圖像去噪傅立葉變換用于圖像去噪，通過(guò)頻域?yàn)V波去除圖像中的噪聲。圖像壓縮通過(guò)傅立葉變換將圖像從空間域變換到頻域，實(shí)現(xiàn)圖像數(shù)據(jù)的壓縮，減少存儲(chǔ)和傳輸所需的帶寬。圖像增強(qiáng)傅立葉變換用于圖像增強(qiáng)，通過(guò)對(duì)頻域系數(shù)進(jìn)行操作，突出圖像的某些特征或改善圖像質(zhì)量。在圖像處理中的應(yīng)用通過(guò)傅立葉變換分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)信號(hào)處理與故障診斷利用傅立葉變換設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，優(yōu)化系統(tǒng)性能。在控制系統(tǒng)中，傅立葉變換用于信號(hào)處理和故障診斷，提取系統(tǒng)的特征信息，提高系統(tǒng)的可靠性和安全性。在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用傅立葉變換的逆變換04VS如果一個(gè)函數(shù)f(t)的傅立葉變換存在，那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)k和實(shí)數(shù)t，函數(shù)f(t)的傅立葉變換F(ω)存在一個(gè)逆變換F^(-1)(ω)，使得F^(-1)(ω)*e^(iωt)dω=f(t)。逆變換的性質(zhì)逆變換具有線(xiàn)性、時(shí)移、頻移、共軛、反轉(zhuǎn)等性質(zhì)，這些性質(zhì)與傅立葉變換的性質(zhì)相對(duì)應(yīng)。逆變換的定義逆變換的定義與性質(zhì)逆變換的運(yùn)算性質(zhì)如果c1和c2是任意常數(shù)，f1(t)和f2(t)是可傅立葉變換的函數(shù)，那么c1*f1(t)+c2*f2(t)的傅立葉變換等于c1*F1(ω)+c2*F2(ω)的逆變換。時(shí)移性質(zhì)如果f(t)是可傅立葉變換的函數(shù)，那么f(t-a)的傅立葉變換等于F(ω)*e^(-iωa)的逆變換。頻移性質(zhì)如果f(t)是可傅立葉變換的函數(shù)，那么f(t)*e^(iω0t)的傅立葉變換等于F(ω-ω0)的逆變換。線(xiàn)性性質(zhì)通過(guò)傅立葉變換將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域，可以更好地分析信號(hào)的頻率成分和頻率變化規(guī)律，從而對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波、去噪、調(diào)制解調(diào)等處理。通過(guò)傅立葉變換可以將線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域，從而更好地分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和穩(wěn)定性，為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供依據(jù)。信號(hào)處理系統(tǒng)分析逆變換的應(yīng)用傅立葉變換的頻域分析05頻域分析的定義頻域分析是研究信號(hào)在頻率域的表現(xiàn)和特征的方法，通過(guò)將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域，可以更好地揭示信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律和特性。頻域分析的性質(zhì)頻域分析具有線(xiàn)性性、時(shí)移性、頻移性、共軛性和對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)，這些性質(zhì)為信號(hào)處理提供了重要的理論依據(jù)和工具。頻域分析的定義與性質(zhì)頻域卷積定理頻域卷積定理表明，兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域的卷積等于它們?cè)陬l域的乘積，這為信號(hào)的濾波和合成提供了重要的理論基礎(chǔ)。要點(diǎn)一要點(diǎn)二頻域微分與積分定理頻域微分與積分定理表明，在頻域中，對(duì)信號(hào)進(jìn)行微分或積分等運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)化為乘以相應(yīng)的復(fù)數(shù)共軛或乘以適當(dāng)?shù)臋?quán)值因子。頻域分析的運(yùn)算性質(zhì)通過(guò)在頻域