廣西壯族自治區(qū)桂林市永?？h2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023年秋季學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)卷八年級(jí)數(shù)學(xué)（滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．試卷分為試題卷和答題卡兩部分，在本試題卷上作答無(wú)效．2．答題前，請(qǐng)認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)．3．考試結(jié)束后，只需將答題卡交回即可．一、選擇題（每題3分，共36分）1.造房子時(shí)屋頂常用三角結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，是因?yàn)槿切尉哂校ǎ〢.三條邊 B.三個(gè)角 C.三個(gè)頂點(diǎn) D.穩(wěn)定性【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答．【詳解】解：造房子時(shí)屋頂常用三角結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，是應(yīng)用了三角形具有穩(wěn)定性，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題型．2.如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、B兩點(diǎn)的距離，小明在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得米，米，A、B間的距離不可能是（）A.12米 B.10米 C.20米 D.8米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，求出AB范圍，即可求解．【詳解】解：∵OA-OB<AB<OA+OB，∴10-8<AB<10+8，即2米<AB<18米，∴AB不可能等于20米，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3.把分式方程，的兩邊同時(shí)乘以x-2，約去分母，得（）A.1-(1-x)=1 B.1+(1-x)=1 C.1-(1-x)=x-2 D.1+(1-x)=x-2【答案】D【解析】【分析】本題需要注意的有兩個(gè)方面：①、第二個(gè)分式的分母為2-x，首先要化成x-2；②、等式右邊的常數(shù)項(xiàng)不要漏乘．【詳解】解：兩邊同時(shí)乘以x-2，約去分母，得1+(1-x)=x-2故選：D【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程．4.如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解，且不可約分，那么我們稱這個(gè)分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)和諧分式的定義去判斷即可．【詳解】A.，不符合要求；B.，無(wú)法因式分解，不符合要求；C.，符合題意；D.，不符合要求；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的新定義問(wèn)題，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．5.若分式的值為零，則x的值為（）A. B.0 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式的值為零的條件即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的值為零的條件．6.如圖，已知，添加下列條件中的一個(gè)，其中不能確定的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查全等三角形的幾種判定方法，三角形全等的判定方法有、、、和，據(jù)此解答即可．【詳解】∵已知，且，∴若添加，則可由判定，故A不符合題意；若添加，則屬于邊邊角的順序，不能判定，故B符合題意；若添加，則可由判定，故C不符合題意；若添加，則可由判定，故D不符合題意．故選：B．7.下面四個(gè)圖形中，線段能表示的高的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形高線的定義，熟練掌握從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吽谥本€作垂線，頂點(diǎn)與垂足間的線段叫做三角形的高是解題的關(guān)鍵．利用三角形高的定義即可求解．【詳解】解：A，C，D中線段不能表示任何邊上的高；B中線段能表示高，且表示邊上的高．故選B．8.要說(shuō)明命題“若，則”是假命題，下列a，b的值能作為反例的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】將滿足命題條件的字母值代入計(jì)算，得出相反的結(jié)論，即為所求．【詳解】解：，時(shí)，，，∴，與原命題結(jié)論相反．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題的判斷，理解命題的相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線交于點(diǎn)D，連接．若，，則的周長(zhǎng)為（）A.8 B.9 C.10 D.14【答案】D【解析】【分析】根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，進(jìn)而可得△ACD的周長(zhǎng)．【詳解】解：根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周長(zhǎng)=CD+AD+AC=4+10=14，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．10.無(wú)論x取什么數(shù)，總有意義的分式是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】按照分式有意義，分母不為零即可求解．【詳解】A．，x3+1≠0，x≠﹣1；B．，（x+1）2≠0，x≠﹣1；C．，x2+1≠0，x為任意實(shí)數(shù)；D．，x2≠0，x≠0．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．11.如圖，的三邊，，長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則等于（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)分別作，，的垂線，可得，從而可證，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作，，的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，由角平分線的性質(zhì)定理得：，的三邊，，長(zhǎng)分別是20，30，40，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．12.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五、直金八兩．問(wèn)牛、羊各直金幾何?”小明對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了改編：每頭牛比每只羊貴1兩，20兩買牛，15兩頭羊．買得牛、羊的數(shù)量相等，則每頭牛的價(jià)格為多少兩?若設(shè)每頭牛的價(jià)格為x兩，則可列方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)買得牛、羊的數(shù)量相等這個(gè)等量關(guān)系式進(jìn)行列分式方程即可．【詳解】設(shè)每頭牛的價(jià)格為x兩，則每頭羊的價(jià)格為x-1兩，根據(jù)20兩買牛，15兩頭羊，買得牛、羊的數(shù)量相等可列方程：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，能根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題2分，共12分）13.分式，，的最簡(jiǎn)公分母是_______.【答案】12xy2【解析】【分析】取各系數(shù)的最小公倍數(shù)，各字母的最高次冪，2，3，4的最小公倍數(shù)為12，x的最高次冪為1，y的最高次冪為2，則得出最簡(jiǎn)公分母．【詳解】解：分母2x，3y2，4xy的最簡(jiǎn)公分母為12xy2，故答案為：12xy2【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)公分母，關(guān)鍵是掌握最簡(jiǎn)公分母定義，分兩個(gè)部分確定．14.內(nèi)角和為的多邊形是______．【答案】十邊形【解析】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)內(nèi)角和公式列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意，得，解得．故答案為：十邊形．15.若等腰三角形中有一個(gè)角等于，則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】或【解析】【分析】本題考查等腰三角形、三角形內(nèi)角和定理，分的角為底角和頂角兩種情況，分別計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)?shù)慕菫轫斀菚r(shí)，底角的度數(shù)為：，當(dāng)?shù)慕菫榈捉菚r(shí)，底角的度數(shù)為，故答案為：或．16.使分式有意義的x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案．【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義分母不為零是關(guān)鍵．17.若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為_(kāi)________．【答案】-3【解析】【分析】分式方程有增根，則增根為x=2，把分式方程化為整式方程后，把x=2代入整式方程中，即可求得m的值．【詳解】由題意知，分式方程的增根為x=2分式方程去分母得：m+3=x－2把x=2代入上述整式方程中，解得m=-3，故答案為：-3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的增根，解題的關(guān)鍵是掌握增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．18.如圖，在中，，和的平分線分別交于點(diǎn)，，若，，______．【答案】9【解析】【分析】由角平分線與平行線易得，從而得到，同理可得，再根據(jù)即可得答案．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考角平分線與平行線，掌握角平分線加平行線，可得等腰三角形這一幾何模型是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共72分）19.計(jì)算：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）1（4）【解析】【分析】本題實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，冪的運(yùn)算，分式的運(yùn)算等：（1）先計(jì)算積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式；（2）先計(jì)算負(fù)整數(shù)次冪和零次冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算；（3）分子不變，分母相減，再約分化簡(jiǎn)；（4）利用平方差和完全平方公式進(jìn)行因式分解，再約分化簡(jiǎn)．【小問(wèn)1詳解】解：【小問(wèn)2詳解】解：【小問(wèn)3詳解】解：【小問(wèn)4詳解】解：20.解方程：（1）（2）【答案】（1）（2）無(wú)解【解析】【分析】(1)根據(jù)解分式方程的步驟解方程，即可求解；(2)根據(jù)解分式方程的步驟解方程，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：去分母，得：，去括號(hào)，得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，故原方程的解是；【小問(wèn)2詳解】解：去分母，得：，去括號(hào)，得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，故是原方程的增根，所以原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握和運(yùn)用解分式方程的步驟是解決本題的關(guān)鍵．21.先化簡(jiǎn)：，然后從，0，1，中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【答案】，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為【解析】【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．先把括號(hào)里通分，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，并把分子分母分解因式約分化簡(jiǎn)，最后選一個(gè)使所給代數(shù)式有意義的數(shù)值代入計(jì)算．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．22.如圖，，，，，垂足分別為D，E．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)垂直的定義可得，然后根據(jù)同角的余角相等求出，再利用“角角邊”證明．【詳解】證明：，，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出．23.對(duì)a，b定義一種新運(yùn)算M，規(guī)定，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：，如果，求實(shí)數(shù)x的值．【答案】【解析】【分析】本題考查了新定義，解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義把轉(zhuǎn)化為分式方程求解，然后檢驗(yàn)即可．【詳解】解：∵，∴可化為，∴，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是方程的解，∴實(shí)數(shù)x的值是．24.如圖所示，在中，D是BC邊上一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)外角的性質(zhì)得，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，．設(shè)，則．∵是的一個(gè)外角，∴，∴．又∵，∴，解得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．25.閱讀下面一段文字：高圓帶了9元去商店買筆記本，她想買種軟面抄，正好需付9元，但售貨員建議她買另一種質(zhì)量更好的硬面抄，只是這種筆記本的價(jià)格比軟面抄要高出一半，因此她只能少買一本筆記本．請(qǐng)你根據(jù)以上信息確定：這種軟面抄和硬面抄的價(jià)格各是多少元？高圓原來(lái)打算買多少本筆記本？【答案】這種軟面抄和硬面抄的價(jià)格各是每本3元，每本元，高圓原來(lái)打算買3本筆記本【解析】【分析】本題主要考查了解分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)這種軟面抄的價(jià)格為每本x元，則這種硬面抄的價(jià)格為每本元，根據(jù)購(gòu)買硬面抄的數(shù)量比購(gòu)買軟面抄的數(shù)量少1列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這種軟面抄的價(jià)格為每本x元，則這種硬面抄的價(jià)格為每本元，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴，答：這種軟面抄和硬面抄的價(jià)格各是每本3元，每本元，高圓原來(lái)打算買3本筆記本．26.初步探究：如圖1，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且．探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論是．靈活運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．拓展延伸：如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，仍然滿足，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】初步探究：；靈活應(yīng)用：成立，見(jiàn)解析；拓展延伸：【解析】【分析】初步探究：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，可判定，進(jìn)而得出，，再判定，可得出，據(jù)此得出結(jié)論；靈活運(yùn)用：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，先判定，進(jìn)而得出，，再判定，可得出；