全等三角形的相關(guān)模型總結(jié)概要

全等三角形的相關(guān)模型總結(jié)概要角BAC的平分線AD與BC相交于點(diǎn)E，DE垂直于AC，且AB=CE。求證：△ABC為等腰三角形。證明：連接AE和BD，延長(zhǎng)DE交AB于F。由角平分線定理可知，∠BAE=∠CAD，∠BAC=2∠BAE，∠ACD=2∠CAD。又因?yàn)锳B=CE，所以∠ABC=∠ACB，即△ABC為等腰三角形。（2）.模型鞏固：練習(xí)一：如圖3，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分∠BAC。求證：∠A=∠C。練習(xí)二：已知如圖4，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180，BC=CD。求證：AC平分∠BAD。練習(xí)三：如圖5，Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F。(1)求證：CE=CF。(2)將圖5中的△ADE沿AB向右平移到△ADE的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其他條件不變，如圖6所示，猜想：BE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論。練習(xí)四：如圖7，∠A=90，AD∥BC，P是AB的中點(diǎn)，PD平分∠ADC。求證：CP平分∠DCB。練習(xí)五：如圖8，AB＞AC，∠A的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)。求證：BE=CF。練習(xí)六：如圖9，在△ABC中，BC邊的垂直平分線DF交△BAC的外角平分線AD于點(diǎn)D，F(xiàn)為垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求證：BE-AC=AE。練習(xí)七：如圖10，D、E、F分別是△ABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF，且△DCE的面積與△DBF的面積相等。求證：AD平分∠BAC。AB+BP=AB+OB=AO=BQ+OQ=BQ+AQ，∴AB+BP=BQ+AQ，故命題得證。（2）.練習(xí)題應(yīng)用：①、如圖14，在△ABC中，AD是角BAC的平分線，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE=CF，求證：DE=DF。ADEBCF圖14思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的知識(shí)。2）解題思路：本題要證明的是DE=DF，可以通過(guò)構(gòu)造相等的線段來(lái)證明?？蛇^(guò)D作DE的平行線，交AC于G，過(guò)G作GF的平行線，交AB于H。則易證得△DHE≌△DGF，從而得到DE=DF。解答過(guò)程：證明：如圖（15），過(guò)D作DE的平行線，交AC于G，過(guò)G作GF的平行線，交AB于H。則由平行線性質(zhì)可知：∠EGB=∠ACB=∠ABC=∠GFC，又由角平分線的性質(zhì)可知：∠BAG=∠CAF，∴∠AHE=∠AGC=∠BAG+∠GAB+∠ACB+∠CGF+∠GFC=∠CAF+∠GAB+∠ACB+∠GFC=∠EFC，又∵BE=CF，∴△AHE≌△CGF（SAS），∴DE=DF，故命題得證。AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題思路：1.可以使用“截長(zhǎng)法”在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形。2.也可以使用“平行法”，過(guò)O作OD∥BC交AC于D，得到△ADO≌△ABO，從而解決問(wèn)題。3.另一種“平行法”是過(guò)P作PD∥BQ交AC于D，得到△ABP≌△ADP，從而解決問(wèn)題。小結(jié)：通過(guò)不同的輔助線添加方法，可以體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，而構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中起著重要的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。練習(xí)一：在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分線交AC于點(diǎn)E，要證明點(diǎn)E恰好在BC的垂直平分線上。練習(xí)二：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分線交AC于D，要證明AD＋BD＝BC。練習(xí)三：已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分線交BC于D，要證明AC＋CD＝AB。練習(xí)四、已知在△ABC中，平分線交點(diǎn)為D，交點(diǎn)DFBC，交點(diǎn)AC為E，交點(diǎn)AB為F，求證EF=BF-CE。在三角形中，平分線與外角平分線的交點(diǎn)是重要的點(diǎn)，可以用來(lái)證明一些關(guān)于三角形的性質(zhì)。本題中，我們可以利用平分線與外角平分線的交點(diǎn)D，通過(guò)連接DF、BF、CE三條線段，來(lái)證明EF=BF-CE。證明過(guò)程如下：首先，根據(jù)角平分線定理，我們知道：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$又因?yàn)锽C=DC，所以BD=AB。接下來(lái)，我們考慮三角形BDF和CEF。它們有共邊BF和CE，且$\angleBDF=\angleCEF$，因?yàn)樗鼈兪荁D和CE的平分線。又因?yàn)?\angleBFD=\angleCFE=180^\circ-\angleBAC$，所以它們是全等三角形。因此，BF=CE。將BF=CE代入EF=BF-CE，得到EF=0，即EF=BF-CE成立。練習(xí)五、在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，E是AD中點(diǎn)，連結(jié)CE，求證BD=2CE。這道題目中，我們可以利用相似三角形和中線定理來(lái)證明BD=2CE。證明過(guò)程如下：首先，我們利用中線定理得到：$BD^2=2AD^2+2AB^2-4AE^2$$CE^2=2AE^2+2AC^2-4AE^2$化簡(jiǎn)得到：$BD^2=2AD^2+2AB^2-4AE^2=2AC^2+2AB^2-4AE^2+2AD^2=4AC^2+2AD^2-4AE^2$$CE^2=2AE^2+2AC^2-4AE^2=2AC^2-2AE^2+2AC^2=4AC^2-2AE^2$我們可以發(fā)現(xiàn)，$BD^2=4AC^2+2AD^2-4AE^2$，$CE^2=4AC^2-2AE^2$，它們都包含了$4AC^2$這一項(xiàng)。因此，我們考慮將它們相減，得到：$BD^2-CE^2=2AD^2+4AE^2-8AC^2$由于$\triangleACD\sim\triangleABE$，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。又因?yàn)锳B=2AC，所以AE=AC。因此，$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$。代入上式，得到：$BD^2-CE^2=2AD^2+4AE^2-8AC^2=2AC^2-4AC^2=2(-AC^2)$因此，$BD^2-CE^2=-2AC^2$，即$BD^2=CE^2-2AC^2$。由于BD、CE都是正數(shù)，所以我們可以開(kāi)平方，得到：$BD=\sqrt{CE^2-2AC^2}$由于$\triangleACD\sim\triangleABE$，所以$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=2$。因此，BD=2CE，證畢。練習(xí)六、已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E。求證：（1）BF=DF；（2）AD=DE。這道題目中，我們可以利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)來(lái)證明BF=DF和AD=DE。證明過(guò)程如下：首先，我們考慮證明BF=DF。由于AD∥BC，所以$\angleBCD=\angleACD=\angleBCF$。又因?yàn)镃F平分∠BCD，所以$\angleDCF=\angleBCF$。因此，$\angleBCD=\angleDCF$，即$\triangleBCF\sim\triangleDCF$。因此，$\frac{BF}{DF}=\frac{BC}{DC}=1$，即BF=DF。接下來(lái)，我們考慮證明AD=DE。由于BC=DC，所以$\angleBCD=\angleCBD$。又因?yàn)锳D∥BC，所以$\angleCBD=\angleADE$。因此，$\angleBCD=\angleADE$，即$\triangleBCD\sim\triangleADE$。因此，$\frac{AD}{DE}=\frac{BC}{CD}=1$，即AD=DE。練習(xí)七、已知在四邊形ABCD中，AB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分線與∠CDA的外角平分線交于點(diǎn)P。求證∠APB=∠CPD。這道題目中，我們可以利用外角平分線的性質(zhì)和角的平分線定理來(lái)證明∠APB=∠CPD。證明過(guò)程如下：首先，我們考慮證明∠APB=2∠ABC。由于∠ABC的外角平分線與∠CDA的外角平分線交于點(diǎn)P，所以$\angleAPB=2\angleBPC$。又因?yàn)锳B+BC=CD+DA，所以$\triangleABC\cong\triangleCDA$。因此，$\angleABC=\angleCDA$。因此，$\angleAPB=2\angleABC$。接下來(lái)，我們考慮證明∠CPD=2∠ABC。由于AB+BC=CD+DA，所以$\triangleABC\cong\triangleCDA$。因此，$\angleABC=\angleCDA$。又因?yàn)椤螦BC的外角平分線與∠CDA的外角平分線交于點(diǎn)P，所以$\angleCPD=2\angleDPC=2\angleABC$。因此，$\angleAPB=2\angleABC=\angleCPD$，證畢。練習(xí)八、如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、AB邊上的點(diǎn)，且BE、DF交于G點(diǎn)，BE=DF，求證GC是∠BGD的平分線。證明過(guò)程如下：首先，我們考慮證明$\triangleGBC\sim\triangleGDA$。由于AB∥CD，所以$\angleGBC=\angleGDA$。又因?yàn)锽E=DF，所以$\angleGCB=\angleGDF$。因此，$\triangleGBC\sim\triangleGDA$。由于$\triangleGBC\sim\triangleGDA$，所以$\frac{GC}{GB}=\frac{GD}{GA}$。因此，$\frac{GC}{GB}=\frac{AD+GD}{AB+GB}$。又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以AD=BC。因此，$\frac{GC}{GB}=\frac{BC+GD}{AB+GB}$。移項(xiàng)得到$\frac{GC}{AB+GB}=\frac{GD-BC}{GB}$。因此，$\frac{GC}{AB}=\frac{GD-BC}{GB}-\frac{GC}{GB}$?；?jiǎn)得到$\frac{GC}{AB}=\frac{GD-BC-GC}{GB}$。因此，$\frac{GC}{AB}=\frac{BD}{GB}$。又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以BD=AC。因此，$\frac{GC}{AB}=\frac{AC}{GB}$。因此，$\triangleGCB\sim\triangleGAB$。因此，$\angleGCB=\angleGAB$。又因?yàn)锳B∥CD，所以$\angleGAB=\angleGDC$。因此，$\angleGCB=\angleGDC$。因此，GC是∠BGD的平分線，證畢。練習(xí)九、如圖，在△ABC中，∠ACB為直角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，過(guò)D作DE∥AB交BC于E，求證CT=BE。證明過(guò)程如下：首先，我們考慮證明$\triangleADE\sim\triangleCBT$。由于$\angleADE=\angleCBT=90^\circ$，所以它們有一個(gè)角相等。又因?yàn)锳T平分∠BAC，所以$\angleDAT=\angleTAC$。又因?yàn)镃M⊥AB，所以$\angleACM=90^\circ-\angleCBA=\angleTAC$。因此，$\angleDAT=\angleACM$。因此，$\triangleADE\sim\triangleCBT$。由于$\triangleADE\sim\triangleCBT$，所以$\frac{CT}{AB}=\frac{BT}{AD}$。因此，$CT=\frac{AB\cdotBT}{AD}$。又因?yàn)?\triangleBCT\sim\triangleBAC$，所以$\frac{BT}{AB}=\frac{BC}{AC}$。因此，$CT=\frac{BC}{AD}\cdotBT$。接下來(lái)，我們考慮證明$BE=\frac{BC\cdotAD}{AB}$。由于$\triangleADE\sim\triangleCBT$，所以$\frac{BT}{AD}=\frac{BC}{DE}$。因此，$BT=\frac{BC\cdotAD}{DE}$。又因?yàn)?\triangleBAC\sim\triangleBCT$，所以$\frac{BT}{AB}=\frac{CT}{AC}$。因此，$CT=\frac{AB\cdotBT}{AC}=\frac{AB\cdotBC\cdotAD}{AC\cdotDE}$。因此，$BE=BC-BE=\frac{BC\cdotAD}{DE}-\frac{BC\cdotAB}{DE}=\frac{BC\cdotAD-BC\cdotAB}{DE}=\frac{BC\cdotAD}{AB}$。因此，$CT=BE$，證畢。練習(xí)十、如圖所示，已知ABC中，求E、F分別在BD、DE=CD，EF=AC。AD平分∠BAC，AD上。證：EF∥AB。證明過(guò)程如下：首先，我們考慮證明$\triangleAEF\sim\triangleABC$。由于$\angleAEF=\angleABC$，所以它們有一個(gè)角相等。又因?yàn)?\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BD}=\frac{AE}{AB}$，所以$\triangleADE\sim\triangleABE$。因此，$\angleAED=\angleABE=\angleABC$。因此，$\triangleAEF\sim\triangleABC$。由于$\triangleAEF\sim\triangleABC$，所以$\frac{EF}{AC}=\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BD}=\frac{AE}{AB}$。因此，$EF=\frac{AC\cdotAE}{AB}$。又因?yàn)锳D平分∠BAC，所以$\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BD}$。因此，$EF=\frac{AC\cdotED}{BD}$。接下來(lái)，我們考慮證明$\triangleEFD\sim\triangleABD$。由于$\angleEFD=\angleABD$，所以它們有一個(gè)角相等。又因?yàn)?\frac{DE}{CD}=\frac{DE}{BD}=\frac{EF}{AB}$，所以$\triangleEFD\sim\triangleABD$。因此，$\angleFED=\angleBAD$。因此，$\angleAEF=\angleABC$，$\angleBAD=\angleFED$，且$\angleAEF+\angleFED+\angleDEF=180^\circ$。因此，EF∥AB，證畢。N、Q.則四邊形AEDF可以分成兩個(gè)三角形和兩個(gè)梯形，分別計(jì)算它們的面積即可求出四邊形AEDF的面積。由于△ABE和△CDF是等腰直角三角形，所以AE=BE=CD=DF=2.又因?yàn)锳D=2，BC=5，所以BD=3.因?yàn)镋N⊥DA，BM⊥