2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第3節(jié)圓的方程學(xué)案含解析新人教A版20230519167

2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第3節(jié)圓的方程學(xué)案含解析新人教A版20230519167第三節(jié)圓的方程一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．圓的定義及方程定義平面上到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)(1)確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)．①圓心在過切點且與切線垂直的直線上．②圓心在任一弦的中垂線上．③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心共線．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，當(dāng)D2＋E2－4F>0時，表示圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)的圓；當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；當(dāng)D2＋E2－4F<0時，不表示任何圖形．2．點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.3．常用結(jié)論以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑． (√)(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圓． (×)(3)圓x2＋2x＋y2＋y＝0的圓心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))． (×)(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0內(nèi)，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0． (×)2．若圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則k的值是()A．2B．－2C．1D．－1B解析：由題意知直線y＝kx＋3過圓心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.3．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C解析：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因為圓心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.4．若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．a(chǎn)＝±1A解析：因為點(1,1)在圓的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________．(－2，－4)5解析：由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去．當(dāng)a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，5為半徑的圓．考點1求圓的方程——基礎(chǔ)性(1)(2020·北京高三一模)已知圓C與x軸的正半軸相切于點A，圓心在直線y＝2x上．若點A在直線x－y－4＝0的左上方且到該直線的距離等于eq\r(2)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C．(x－2)2＋(y－4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝16D解析：因為圓C的圓心在直線y＝2x上，所以可設(shè)C(a,2a)．因為圓C與x軸正半軸相切于點A，所以a>0且圓C的半徑r＝2a，A(a,0)．因為點A到直線x－y－4＝0的距離d＝eq\r(2)，所以d＝eq\f(|a－0－4|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，解得a＝6或a＝2，所以A(2，0)或A(6,0)．因為A在直線x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r＝4，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－4)2＝16.(2)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A(－a,0)，B(a,0)，動點P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝λ(其中a和λ是正常數(shù)，且λ≠1)，則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為________．eq\f(2aλ,|1－λ2|)解析：設(shè)P(x，y)，由動點P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝λ(其中a和λ是正常數(shù)，且λ≠1)，所以eq\r(x＋a2＋y2)＝λeq\r(x－a2＋y2)，化簡得x2＋eq\f(2a1＋λ2,1－λ2)x＋a2＋y2＝0，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(a1＋λ2,1－λ2)))eq\s\up8(2)＋y2＝eq\f(a21＋λ22,1－λ22)－a2，所以該圓半徑r＝eq\r(\f(a21＋λ22,1－λ22)－a2)＝eq\f(2aλ,|1－λ2|).求圓的方程的兩種方法(1)幾何法．通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．確定圓的方程時，常用到圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直于切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線．(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．(2020·重慶育才中學(xué)3月月考)圓C以直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0上的定點為圓心，半徑r＝4，則圓C的方程為()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝16B．(x－2)2＋(y－2)2＝16C．(x－2)2＋(y＋2)2＝16D．(x＋2)2＋(y＋2)2＝16A解析：由(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0，可得(2x＋y＋2)m＋(x＋y)＝0，所以直線過eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋2＝0，,x＋y＝0))的交點，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即直線過定點(－2,2)，則所求圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝16.故選A．考點2與圓有關(guān)的軌跡問題——綜合性設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．解：如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四邊形的對角線互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y(tǒng)－4.))又點N在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(點P在直線OM上時的情況)．求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法(1)直接法：由題設(shè)直接求出動點坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式．(2)定義法：利用定義寫出動點的軌跡方程．(3)代入法：若動點P(x，y)隨著圓上的另一動點Q(x1，y1)運動而運動，且x1，y1可用x，y表示，可將點Q的坐標(biāo)代入已知圓的方程，即得動點P的軌跡方程．1．若動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16B解析：設(shè)P(x，y)，則由題意可得2eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－82＋y2)，化簡整理得x2＋y2＝16.2．如圖，已知點A(－1,0)與點B(1,0)，點C是圓x2＋y2＝1上的動點，連接BC并延長至點D，使得|CD|＝|BC|.求AC與OD的交點P的軌跡方程．解：設(shè)動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心．由A(－1,0)，B(1,0)，設(shè)動點C(x0，y0)，則D(2x0－1,2y0)．由重心坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－1＋1＋2x0－1,3)，,y＝\f(2y0,3)，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(3x＋1,2)，,y0＝\f(3y,2)y≠0，))代入x2＋y2＝1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)＋y2＝eq\f(4,9)(y≠0)，故所求軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))eq\s\up8(2)＋y2＝eq\f(4,9)(y≠0)．考點3與圓有關(guān)的最值問題——綜合性考向1斜率型、截距型、距離型最值問題已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如圖1)．所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如圖2)．所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方．由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3)．又圓心到原點的距離為2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).與圓有關(guān)的最值問題的3種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如m＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如m＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題．考向2利用對稱性求最值已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5eq\r(2)－4B．eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2)D．eq\r(17)A解析：P是x軸上任意一點，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5eq\r(2)，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．1．設(shè)點P是函數(shù)y＝－eq\r(4－x－12)圖象上的任意一點，點Q的坐標(biāo)為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為________．eq\r(5)－2解析：函數(shù)y＝－eq\r(4－x－12)的圖象表示圓(x－1)2＋y2＝4在x軸及下方的部分．令點Q的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a，,y＝a－3，))得y＝eq\f(x,2)－3，即x－2y－6＝0，作出圖象如圖所示．由于圓心(1,0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝eq\f(|1－2×0－6|,\r(12＋－22))＝eq\r(5)>2，故直線x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離，因此|PQ|的最小值是eq\r(5)－2.2．已知A(0,2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．2eq\r(5)解析：因為圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圓C是以C(2，1)為圓心，r＝eq\r(5)為半徑的圓．設(shè)點A(0，2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A′(m，n)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2.))故A′(－4，－2)．所以|A′C|＝eq\r(2＋42＋1＋22)＝3eq\r(5).連接A′C交圓C于點Q，由對稱性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5).第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與圓的位置關(guān)系的判斷(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，求聯(lián)立后所得方程的判別式Δ，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0?相交，,Δ＝0?相切，,Δ<0?相離.))直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，代數(shù)法與幾何法是不同的方面和思路，解題時要根據(jù)題目特點靈活選擇．2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解(1)用代數(shù)法判斷兩圓的位置關(guān)系時，要準(zhǔn)確區(qū)分兩圓內(nèi)切、外切或相離、內(nèi)含．(2)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條．②內(nèi)切：1條．③相交：2條．④外切：3條．⑤外離：4條．3．常用結(jié)論(1)當(dāng)兩圓相交(切)時，兩圓方程(x2，y2項的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(公切線)所在的直線方程．(2)圓的切線方程常用結(jié)論過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件． (×)(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切． (×)(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交． (×)(4)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程． (×)(5)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切． (√)2．已知直線y＝mx與圓x2＋y2－4x＋2＝0相切，則m的值為()A．±eq\r(3)B．±eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),2)D．±1D解析：由x2＋y2－4x＋2＝0得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝2，所以該圓的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝eq\r(2).又直線y＝mx與圓x2＋y2－4x＋2＝0相切，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|2m|,\r(m2＋1))＝eq\r(2)，解得m＝±1.3．若過點A(3,0)的直線l與曲線(x－1)2＋y2＝1有公共點，則直線l斜率的取值范圍為()A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D解析：數(shù)形結(jié)合可知，直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)，則圓心(1,0)與直線y＝k(x－3)的距離應(yīng)小于等于半徑1，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).4．若直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝________.eq\r(10)解析：由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以該圓的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝eq\r(5).又圓心(1,2)到直線3x－y－6＝0的距離為d＝eq\f(|3－2－6|,\r(9＋1))＝eq\f(\r(10),2).由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up8(2)＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝eq\r(10).5．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦長為________．2eq\r(2)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得兩圓公共弦所在直線方程為x－y＋2＝0.又圓x2＋y2＝4的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).由勾股定理得弦長的一半為eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以，所求弦長為2eq\r(2).考點1直線和圓的位置關(guān)系——基礎(chǔ)性1．直線x－y＋2＝0與圓x2＋(y－1)2＝4的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．不確定A解析：由題意，可得圓心(0,1)到直線x－y＋2＝0的距離為d＝eq\f(|0－1＋2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<2，所以直線與圓相交．2．(2020·泰安市高三三模)已知拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線恰好與圓M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相切，則r＝()A．3B．4C．5D．6C解析：拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝－1，圓M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)的圓心為(3,4)．因為準(zhǔn)線恰好與圓M相切，所以圓心到準(zhǔn)線的距離為r＝|4＋1|＝5.3．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C解析：由題意得圓心為(a,0)，半徑為eq\r(2)，圓心到直線的距離為d＝eq\f(|a＋1|,\r(2)).由直線與圓有公共點可得eq\f(|a＋1|,\r(2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.所以實數(shù)a的取值范圍是[－3,1]．判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．考點2圓與圓的位置關(guān)系——綜合性(1)圓C1：x2＋y2－2y＝0與C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的位置關(guān)系為()A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切D解析：圓C1：x2＋y2－2y＝0的圓心為C1(0,1)，半徑為r1＝1.圓C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的圓心為C2(eq\r(3)，0)，半徑為r2＝3，所以|C1C2|＝eq\r(\r(3)2＋1)＝2.又r2－r1＝2，所以|C1C2|＝r2－r1＝2，所以圓C1與C2內(nèi)切．(2)已知圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，圓C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.①求證：圓C1和圓C2相交；②求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長．①證明：由題意得，圓C1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝11，圓C2化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋(y－6)2＝16，則圓C1的圓心C1(1,3)，半徑r1＝eq\r(11)，圓C2的圓心C2(5,6)，半徑r2＝4.兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4.因為|r1－r2|＝4－eq\r(11)，所以|r1－r2|<d<r1＋r2，所以圓C1和C2相交．②解：將圓C1和圓C2的方程相減，得4x＋3y－23＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦長為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).(1)判斷兩圓位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對值的大小關(guān)系判斷，一般不用代數(shù)法．重視兩圓內(nèi)切的情況，作圖觀察．(2)兩圓相交時，兩圓的公共弦所在直線的方程，可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．(3)求兩圓公共弦長，常選其中一圓，由弦心距d、半弦長eq\f(l,2)、半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．1．若圓x2＋y2＋4x－4y－1＝0與圓x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為________．x－2y＋6＝0解析：兩個圓的方程兩端相減，可得2x－4y＋12＝0，即x－2y＋6＝0.2．如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實數(shù)a的取值范圍是________________．(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－a)2＝4，圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為2.依題意得0<eq\r(a2＋a2)<2＋2，所以0<|a|<2eq\r(2).所以a∈(－2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2))．考點3直線與圓的綜合問題——綜合性考向1圓的弦長問題(1)(2020·荊州三模)已知直線l過點(2，－1)，則“直線l的斜率為eq\f(3,4)”是“直線l被圓C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A解析：直線l被圓C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)?圓心(1，－3)到直線l的距離為1.當(dāng)直線斜率不存在時，顯然符合要求；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為k，則l：kx－y－2k－1＝0，由eq\f(|k＋3－2k－1|,\r(k2＋1))＝1得(k－2)2＝k2＋1，解得k＝eq\f(3,4)，因此直線l被圓C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)?k＝eq\f(3,4)或斜率不存在．故選A．(2)直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2),3eq\r(2)] D．[2eq\r(2),3eq\r(2)]A解析：圓心(2,0)到直線的距離d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以點P到直線的距離d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．根據(jù)直線的方程可知A，B兩點的坐標(biāo)分別為(－2,0)，(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面積S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因為d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．求弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).考向2圓的切線問題過點P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為()A．y＝－eq\f(\r(3),4)B．y＝－eq\f(1,2)C．y＝－eq\f(\r(3),2)D．y＝－eq\f(1,4)B解析：圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C(1,0)，半徑為1，以|PC|＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1.將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2).(1)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題．(2)過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．1．(2020·洛陽市高三三模)已知圓C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)與直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，則圓C與直線x－y－4＝0相交所得弦長為()A．1B．eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)D解析：圓心到直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0的距離d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2)).因為圓C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)與直線x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，所以d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2))＝r＝2，解得a＝2或a＝2－4eq\r(2).因為a≥2，所以a＝2.所以(x－2)2＋y2＝4.所以圓心到直線x－y－4＝0的距離為d2＝eq\f(|2－4|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓C與直線x－y－4＝0相交所得弦長為l＝2eq\r(r2－d\o\al(2,2))＝2eq\r(2).故選D．2．(2020·長春市高三三模)已知圓E的圓心在y軸上，且與圓x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直線的方程為x－eq\r(3)y＝0，則圓E的方程為()A．x2＋(y－eq\r(3))2＝2 B．x2＋(y＋eq\r(3))2＝2C．x2＋(y－eq\r(3))2＝3 D．x2＋(y＋eq\r(3))2＝3C解析：兩圓圓心連線與公共弦垂直，不妨設(shè)所求圓心的坐標(biāo)為(0，a)，半徑為r.又圓x2＋y2－2x＝0的圓心為(1,0)，半徑為1，故eq\f(a,－1)×eq\f(1,\r(3))＝－1，解得a＝eq\r(3).故所求圓心為(0，eq\r(3))．點(1,0)到直線x－eq\r(3)y＝0的距離為eq\f(1,\r(1＋3))＝eq\f(1,2)，所以直線x－eq\r(3)y＝0截得x2＋y2－2x＝0所成弦長為2eq\r(12－\f(1,4))＝eq\r(3)，圓心(0，eq\r(3))到直線x－eq\r(3)y＝0的距離為eq\f(3,2)，所以直線x－eq\r(3)y＝0截圓所得弦長為2eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up8(2))＝eq\r(3)，解得r＝eq\r(3).故圓心坐標(biāo)為(0，eq\r(3))，半徑為eq\r(3).故選C．3．已知過點P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線x－ay＋1＝0平行，則a＝________.－2解析：因為點P在圓(x－1)2＋y2＝5上，所以過點P(2,2)與圓(x－1)2＋y2＝5相切的切線方程的斜率為－eq\f(1,2)，所以切線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－6＝0.由直線x＋2y－6＝0與直線x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，即a＝－2.4．過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________．2eq\r(2)解析：設(shè)P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|＝eq\r(2)，半徑r＝2.由題意，知最短的弦過點P(3,1)，且與PC垂直，所以最短弦長為2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為eq\r(6)，求圓C的方程．[四字程序]讀想算思求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程如何求圓的方程？1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？2．圓的一般方程是什么？數(shù)形結(jié)合的思想方法1.圓C的圓心在直線上；2．圓C與直線相切；3．圓C在直線上截得的弦長為eq\r(6)根據(jù)題目條件設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，利用待定系數(shù)法求解1.(x－a)2＋(y－b)2＝r2；2．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0借助于圓的幾何性質(zhì)求解思路參考：根據(jù)圓心在直線上，設(shè)出圓心．由圓與直線相切，表示出半徑，結(jié)合弦長求出圓的方程．解：因為所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，所以設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)．又因為所求圓與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為eq\r(6)，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，所以d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up8(2)＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2.解得a＝1.所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.思路參考：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．利用圓心到直線的距離公式表示出半徑，結(jié)合弦長求出圓的方程．