高考數(shù)學總復習 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復數(shù)同步測試卷7 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三數(shù)學試題

第四章三角函數(shù)、平面向量與復數(shù)(七)(三角函數(shù)的圖象性質、解三角形、三角形中的三角函數(shù)、三角函數(shù)模型及應用)同步測試卷時間：60分鐘總分：100分一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分．每小題所給的四個選項中只有一項是符合題目要求的．)1．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，若ccosA＝b，則△ABC()A．一定是銳角三角形B．一定是鈍角三角形C．一定是斜三角形D．一定是直角三角形【解析】已知ccosA＝b，利用正弦定理化簡得：sinCcosA＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，整理得：sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝0，即C＝90°.則△ABC為直角三角形．故選D.【答案】D2．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的圖象中，最小正周期為π，若將函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位，得到函數(shù)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，則geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的解析式為()A．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))B．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))C．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))D．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sin2x【解析】由最小正周期為π，得ω＝2，將feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位，得geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝sin2x，選D.【答案】D3．函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))(A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的單調遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,6)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,3)，kπ＋\f(5π,6)))，k∈Z【解析】由圖知最小值為－2，則A＝2，eq\f(T,4)＝eq\f(π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(π,4)，則T＝π，所以ω＝2.函數(shù)為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ))，過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，－2))點．則φ＝－eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)．可令函數(shù)為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).單調遞減區(qū)間為eq\f(π,2)＋2kπ<2x－eq\f(π,6)<eq\f(3π,2)＋2kπ，即為eq\f(π,3)＋kπ<x<eq\f(5π,6)＋kπ(k∈Z)．故選D.【答案】D4．海上有A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島成60°的視角，從B島望C島成75°的視角，則B，C間的距離是()A．10eq\r(3)海里B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里D．5eq\r(6)海里【解析】由題意得示意圖如下，在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理得：eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝5eq\r(6).故選D.【答案】D5．鈍角三角形的三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為()A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6【解析】設三邊邊長分別為n，n＋1，n＋2，則n＋2所對的角為鈍角，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2＋（n＋1）2<（n＋2）2，,2n＋1>n＋2，))整理得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2－2n－3<0，,n>1，))所以n＝2，故三邊長為2，3，4，選B.【答案】B6．在斜△ABC中，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA＋bsinB－csinC＝4bsinBcosC，若CD是角C的角平分線，且CD＝b，則cosC＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)【解析】由已知asinA＋bsinB－csinC＝4bsinBcosC，根據(jù)正弦定理可得a2＋b2－c2＝4b2cosC，又由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2abcosC，故2a＝4b，即a＝2b，結合三角形角平分線定理可得BD＝2AD，再結合余弦定理可得BD2＝(2b)2＋b2－2×2b×b×coseq\f(C,2)＝5b2－4b2coseq\f(C,2)，AD2＝b2＋b2－2×b×b×coseq\f(C,2)＝2b2－2b2coseq\f(C,2)，由BD＝2AD?BD2＝4AD2，可得5b2－4b2coseq\f(C,2)＝8b2－8b2coseq\f(C,2)，∴coseq\f(C,2)＝eq\f(3,4)，故cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(1,8)，故選B.【答案】B二、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分．將各小題的結果填在題中橫線上．)7．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a＝3，b＝eq\r(7)，c＝2，那么B等于__________．【解析】∵a＝3，b＝eq\r(7)，c＝2，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(9＋4－7,2×3×2)＝eq\f(1,2)，又∵B為三角形內角，∴B＝60°.【答案】60°8．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的值域是__________．【解析】因為0<x<eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,6)<x＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，所以eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤1，即0<2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1≤1，即0<y≤1.【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))9．已知△ABC的面積S＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，則角C的大小為__________．【解析】由題可知：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，sinC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝cosC，所以C＝45°.故答案為45°.【答案】45°10．已知函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1(A≠0)，下列說法正確的是__________(寫出所有正確結論的序號)．①f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)上單調遞增；②f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))中心對稱；③f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(π,4)對稱；④f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位得到的y＝g(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))中心對稱．【解析】對于①，盡管由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z可得到kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，但由于不知道A的正負，所以不能說f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)上單調遞增，也有可能是單調遞減的，故①不正確；對于②，由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)－\f(π,6)))＝sin0＝0，所以f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，1))中心對稱，故②也不正確；對于③，由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)－\f(π,6)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)≠±1，所以f(x)的圖象不關于直線x＝eq\f(π,4)對稱，故③也不正確；對于④，由于f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，所以g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝Αsineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－\f(π,6)))＋1＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＋1，由2x－eq\f(π,2)＝kπ?x＝eq\f(π,4)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，知函數(shù)y＝g(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))中心對稱，正確．【答案】④三、解答題(本大題共3小題，共40分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)11．(13分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2eq\r(3)acsinB＝a2＋b2－c2.(1)求角C的大小；(2)若bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－A))＝acosB，且b＝eq\r(2)，求△ABC的面積．【解析】(1)由2eq\r(3)acsinB＝a2＋b2－c2，∴eq\f(2\r(3)csinB,2b)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴eq\f(2\r(3)sinCsinB,2sinB)＝cosC，∴tanC＝eq\f(\r(3),3)，∴C＝eq\f(π,6).(2)由bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－A))＝acosB，∴sinBsinA＝sinAcosB，∴sinB＝cosB，∴B＝eq\f(π,4)，根據(jù)正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可得eq\f(\r(2),sin\f(π,4))＝eq\f(c,sin\f(π,6))，解得c＝1，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×1×sinA＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－B－C))＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3)＋1,4).12．(13分)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx－cos2x－eq\f(1,2).(1)求函數(shù)f(x)的對稱軸方程；(2)將函數(shù)f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移eq\f(π,3)個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象．若a，b，c分別是△ABC三個內角A，B，C的對邊，a＝2，c＝4，且geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B))＝0，求b的值．【解析】(1)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx－cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋cos2x))－eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1，令2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)，k∈Z.所以函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)，k∈Z.(2)函數(shù)f(x)的圖象各點縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－1的圖象，再向左平移eq\f(π,3)個單位，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)－\f(π,6)))－1的圖象，所以函數(shù)g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1.又△ABC中，g(B)＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))－1＝0，又eq\f(π,6)<B＋eq\f(π,6)<eq\f(7π,6)，所以B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，則B＝eq\f(π,3).由余弦定理可知，b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋