高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合 常用邏輯用語 算法初步及框圖 第1講 集合及其運(yùn)算練習(xí) 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三數(shù)學(xué)試題

第一章集合、常用邏輯用語、算法初步及框圖eq\x(知識體系)【p1】

第1講集合及其運(yùn)算夯實(shí)基礎(chǔ)【p2】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系，能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)來描述不同的具體問題，理解集合中元素的互異性；2．理解集合之間包含和相等的含義，能識別給定集合的子集，了解在具體情境中全集與空集的含義；3．理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集，理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；4．能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的關(guān)系與運(yùn)算．【基礎(chǔ)檢測】1．已知集合M＝{0，1}，則下列關(guān)系式中，正確的是()A．{0}∈MB．{0}?MC．0∈MD．0?M【解析】由題可知：元素與集合只有屬于與不屬于關(guān)系，集合與集合之間有包含關(guān)系，所以可得0∈M正確．【答案】C2．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x>2}，則A∪B＝()A．(－1，3)B．(2，3)C．(－1，＋∞)D．(2，＋∞)【解析】∵集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x>2}，∴A∪B＝{x|x>－1}．【答案】C3．設(shè)集合A＝{x|x2－3x>0}，B＝{x||x|<2}，則A∩B＝()A．(－2，0)B．(－2，3)C．(0，2)D．(2，3)【解析】∵集合A＝{x|x2－3x>0}＝{x|x＜0或x＞3}＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，B＝{x||x|<2}＝{x|－2＜x＜2}＝(－2，2)，∴A∩B＝(－2，0)．【答案】A4．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，若A?B，則a的值為()A．－2B．－1C．0D．1【解析】因?yàn)閧0，1}?{－1，0，a＋3}，所以a＋3＝1，解得a＝－2.【答案】A5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{1，2，3，4}，則Venn圖中陰影部分所表示的集合是()A．{1，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【解析】由題意A＝{x|－2<x<3}，?UA＝{x|x≤－2或x≥3}，∴陰影部分為(?UA)∩B＝{3，4}．【答案】C【知識要點(diǎn)】1．集合的含義與表示(1)一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為__元素__，把一些元素組成的總體叫__集合__，簡稱為集．(2)集合中的元素的三個(gè)特征：__確定性__、__互異性__、__無序性__．(3)集合的表示方法有：__列舉法__、__描述法__、__圖示法__、__區(qū)間法__．(4)集合中元素與集合的關(guān)系分為屬于與不屬于兩種，分別用“__∈__”與“__?__”來表示．(5)常用的數(shù)集：自然數(shù)集N；正整數(shù)集N*(或N＋)；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q；實(shí)數(shù)集R.2．集合之間的關(guān)系(1)一般地，對于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素__都是__集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有__包含__關(guān)系，稱集合A為集合B的__子集__，記作__A?B(或B?A)__；若A?B，且A≠B，則AB，我們就說A是B的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做__空集__，記作__?__，它是__任何一個(gè)集合的子集__，是任何一個(gè)__非空集合的真子集__，即??A，?B(B≠?)．3．集合的基本運(yùn)算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A__或__x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A__且__x∈B}；(3)補(bǔ)集：?UA＝__{x|x∈U且x?A}__．4．集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩B＝A?A?B，A∩A＝A，A∩?＝?；(2)A∪B＝A?A?B，A∪A＝A，A∪?＝A；(3)A?B，B?C，則A?C；(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A；(5)A?B，B?A，則A＝B.典例剖析【p2】考點(diǎn)1集合的基本概念eq\a\vs4\al(例1)(1)對集合{1，5，9，13，17}用描述法來表示，其中正確的是()A．{x|x是小于18的正奇數(shù)}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}【解析】A中小于18的正奇數(shù)除給定集合中的元素外，還有3，7，11，15；B中集合當(dāng)k取負(fù)數(shù)時(shí)，多出了若干元素；C中集合當(dāng)t＝0時(shí)多了－3這個(gè)元素，只有D正確．【答案】D(2)已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個(gè)元素組成的，且2∈A，則實(shí)數(shù)m的值為()A．2B．3C．0或3D．0或2或3【解析】因?yàn)?∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要滿足互異性，對m的所有取值進(jìn)行一一檢驗(yàn)可得只有m＝3符合．【答案】B(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一個(gè)元素，則m的取值集合是()A．{1}B．{－1}C．{0，1}D．{－1，0，1}【解析】當(dāng)m＝0時(shí)，A＝{x|2x＝0}＝{0}，滿足題意；m≠0時(shí)，Δ＝4－4m2＝0，m＝±1.綜上m的取值集合是{－1，0，1}．【答案】D【點(diǎn)評】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．考點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系eq\a\vs4\al(例2)(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是()A．A＝BB．A∩B＝?C．A?BD．B?A【解析】由集合A中的函數(shù)y＝ln(x＋3)，得到x＋3＞0，即x＞－3，∴A＝(－3，＋∞)，∵B＝{x|x≥2}＝[2，＋∞)，∴A≠B，A∩B＝[2，＋∞)，∴B?A.【答案】D(2)若集合{a，0，1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c，\f(1,b)，－1))，則a＝______，b＝______．【解析】∵0∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c，\f(1,b)，－1))，∴c＝0，從而eq\f(1,b)＝1，即b＝1，∴a＝－1.【答案】－1；1(3)已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(－∞，4)D．(－∞，4]【解析】集合A＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}＝[－1，4]，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝B，則A?B，所以a≥4，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4，＋∞)．【答案】B【點(diǎn)評】已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系．常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．考點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算eq\a\vs4\al(例3)(1)設(shè)集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|x2－3x＜0}，則A∩B＝()A．{－1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，－1，3}【解析】由題得B＝{x|0＜x＜3}，所以A∩B＝{1，2}．【答案】B(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，則?UA＝________.【解析】由已知得，A＝{x|x2－2x－3>0}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，又全集為R，根據(jù)補(bǔ)集的定義可得?UA＝[－1，3]．【答案】[－1，3](3)設(shè)全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{0，2}，則B∪(?UA)＝()A．{0}B．{－2，0，1，2}C．{－1，0，2}D．{－1，0，1，2}【解析】由題得A＝{－1，2}，所以?UA＝{0，1，－2}，所以B∪(?UA)＝{－2，0，1，2}．【答案】B(4)設(shè)全集U為實(shí)數(shù)集R，集合A＝{x|y＝ln(3－2x)}，B＝{y|(y－1)(y－3)≤0}，則圖中陰影部分所表示的集合為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，1))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞))【解析】由題意可得：A＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，B＝[1，3]，圖中陰影部分表示集合?Ueq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∩B))，其中A∩B＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，則?Ueq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∩B))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，1))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).【答案】A【點(diǎn)評】(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況；(2)運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會使運(yùn)算簡化．考點(diǎn)4集合中的創(chuàng)新問題eq\a\vs4\al(例4)(1)定義一種集合運(yùn)算A?B＝{x|x∈(A∪B)且x?(A∩B)}，設(shè)M＝{x||x|<2}，N＝{x|x2－4x＋3<0}，則M?N用區(qū)間表示為________．【解析】M＝{x||x|<2}＝(－2，2)，N＝{x|x2－4x＋3<0}＝(1，3)，∴M∪N＝(－2，3)，M∩N＝(1，2)，∴M?N＝(－2，1]∪[2，3)．【答案】(－2，1]∪[2，3)(2)S(A)表示集合A中所有元素的和，且A?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))，若S(A)能被3整除，則符合條件的非空集合A的個(gè)數(shù)是()A．10B．11C．12D．13【解析】因?yàn)锳?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))，所以符合條件的非空集合A可以是：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，4，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4，5))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))，共11個(gè)．【答案】B【點(diǎn)評】解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．方法總結(jié)【p3】1．集合中的元素的三個(gè)特征，特別是無序性和互異性在解題時(shí)經(jīng)常用到．解題后要進(jìn)行檢驗(yàn)，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化．2．對連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意單獨(dú)考察等號能否取到．3．對離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖．這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)．4．解題中要明確集合中元素的特征，關(guān)注集合的代表元素(集合是點(diǎn)集、數(shù)集還是圖形集)．對可以化簡的集合要先化簡再研究其關(guān)系運(yùn)算．5．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時(shí)刻關(guān)注對空集的討論，防止漏解．6．解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系．7．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心．走進(jìn)高考【p3】1．(2018·全國卷Ⅲ)集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，則A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解析】由題意知，A＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2}．【答案】C2．(2018·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}【解析】A＝{x|x2－x－2＞0}＝{x|x＜－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}．【答案】B3．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A．9B．8C．5D．4【解析】∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1，0，1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－1，0，1；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1，0，1；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－1，0，1，所以共有9個(gè)．【答案】A考點(diǎn)集訓(xùn)【p175】A組題1．集合{x∈N|x－3<2}用列舉法表示是()A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}【解析】由題意x<5，又x∈N，∴集合為{0，1，2，3，4}．【答案】D2．下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2}；④{0，1，2}＝{2，0，1}，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】對于①，由元素與集合的關(guān)系的可得正確；對于②，由空集是任何集合的子集知正確；對于③，根據(jù)集合間的關(guān)系知不正確；對于④，由于集合的元素具有無序性知正確．【答案】A3．設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|－1＜x＜3}，則()A．A＝BB．A?BC．A?BD．A∩B＝?【解析】∵A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，B＝{x|－1<x<3}，∴A?B.【答案】C4．設(shè)全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，則?UA＝()A．{－1，2}B．{－2，0，1}C．{－2，1}D．{－1，0，2}【解析】集合A＝{x|(x＋2)(x－1)＝0}＝{－2，1}，因?yàn)槿疷＝{－2，－1，0，1，2}，所以?UA＝{－1，0，2}．【答案】D5．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，則A∩(?UB)＝()A．{x|1≤x<2}B．{x|1<x<2}C．{x|x<2}D．{x|x≥5}【解析】?UB＝{x|x<2或x≥5}，故A∩(?UB)＝{x|1<x<2}．【答案】B6．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6<0}，則下圖中陰影部分表示的集合為()A．{x|x<3}B．{x|－3<x≤1}C．{x|x<2}D．{x|－2＜x≤1}【解析】由題意可得：A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2<x<3}，又由圖可知，陰影部分表示的集合為A∩B，∴A∩B＝{x|－2＜x≤1}．【答案】D7．設(shè)A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x－a＞0}，若A?B，則a的取值范圍是________．【解析】由題意B＝{x|x＞a}，∵A?B，∴a≤1.【答案】(－∞，1]8．已知集合A＝{2，4}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{2}，則實(shí)數(shù)a的值為________．【解析】集合A＝{2，4}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{2}，則a＝2或a2＋3＝2(無解)．所以a＝2，此時(shí)B＝{2，7}．【答案】2B組題1．設(shè)集合M＝{x|x≥4}，a＝eq\r(11)，則下列關(guān)系中正確的是()A．a(chǎn)∈MB．a(chǎn)?MC．{a}∈MD．{a}?M【解析】∵4>eq\r(11)，∴a?M.【答案】B2．已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，集合B＝{m，n}，若A∩B＝{0}，則m－n＝()A．1B．2C．4D．8【解析】因?yàn)锳∩B＝{0}，故0∈A，0∈B，所以log7m＝0，故m＝1，又n＝0，因此m－n＝1.【答案】A3．設(shè)A，B是非空集合，定義A?B＝{x|x∈(A∪B)且x?