贛州市高三月摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精贛州市2020年高三年級摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用根式函數(shù)定義域的求法和一元二次不等式的解法,先化簡集合，再利用交集的定義求解。【詳解】已知集合，，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了函數(shù)定義域及一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題。2.復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.—1 B。1 C。 D。【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【詳解】∵=,∴z=﹣1﹣i，則復(fù)數(shù)z的虛部為﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.已知，，,則（）A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解。【詳解】因為，，,所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小,屬于基礎(chǔ)題。4.等差數(shù)列的前項和記為，若的值為一個確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是（)A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)的值為一個確定的常數(shù),得到的值為一個確定的常數(shù)即可。【詳解】因為，又因為的值為一個確定的常數(shù),所以的值為一個確定的常數(shù)，所以為一個確定的常數(shù).故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。5。函數(shù)的圖象大致是（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】去掉A,B；所以選C.6。洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖,若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機(jī)各選取個數(shù)，則其和等于的概率是（）A. B. C. D。【答案】A【解析】【分析】這是一個古典概型,先算出從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機(jī)各選取個數(shù)的基本事件的總數(shù)，再利用列舉法求出其和等于9的基本事件數(shù)，代入公式求解。【詳解】從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機(jī)各選取個數(shù)的基本事件的總數(shù)個,其和等于9的基本事件有共4個，所以其和等于的概率是.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題。7。數(shù)列:，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列前兩項均為，從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和。設(shè)計如圖所示的程序框圖,若輸出“兔子數(shù)列"的第項,則圖中①，②處應(yīng)分別填入（）A. B。C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)框圖的作用，結(jié)合題意,即可得出結(jié)果?！驹斀狻坑深}意,可得，該框圖用于計算“兔子數(shù)列"第項，因此時，要輸出結(jié)果，故②應(yīng)填；而最終輸出的結(jié)果即是，所以由題意，①中計算的結(jié)果,應(yīng)是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)全循環(huán)程序框圖，根據(jù)題意，分析框圖的作用即可，屬于常考題型.8.如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的各個面中，面積大于的面的個數(shù)為（)A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖，得到幾何體是一個四棱錐，求得各面的面積比較即可?！驹斀狻咳鐖D所示：幾何體是一個四棱錐，其中，面面ABCD，,是等腰三角形,，是直角三角形，ABCD是正方形，所以，，,S正方形ABCD，所以面積大于的面的個數(shù)為2個。故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于基礎(chǔ)題.9。關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個不相等的實根,則實數(shù)的取值范圍是（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】將關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個不相等的實根,轉(zhuǎn)化為，，的交點(diǎn)個數(shù)問題，然后利用數(shù)形結(jié)合求解?！驹斀狻苛睿?，顯然在函數(shù)沒有三個公共點(diǎn)，故,令，所以，故切點(diǎn)為，代入得,當(dāng)時，，所以函數(shù)過點(diǎn),,如圖所示：所以實數(shù)的取值范圍是范圍為。故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程，還考查了轉(zhuǎn)化化歸,數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.10.平面向量、滿足，，則的最大值是（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】不妨設(shè)，，由得到關(guān)于x，y的方程,再根據(jù)，利用幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解。【詳解】不妨設(shè),，則由得，表示圓上的點(diǎn)到的距離，圓心到的距離為故.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量模的幾何意義，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題。11.為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn).若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為（)A. B。 C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】根據(jù)，得到三角形為直角三角形，再利用直角三角形內(nèi)切圓切線長定理,求得半徑,再根據(jù)內(nèi)切圓的半徑為，建立方程求解.詳解】如圖所示：因為,所以三角形為直角三角形,故它的內(nèi)切圓半徑，所以故選：A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及直角三角形內(nèi)切圓問題,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.12。關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論:①的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；②的最大值為；③在區(qū)間上單調(diào)遞增;④是周期函數(shù)。其中正確結(jié)論的個數(shù)是(）A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】①通過的關(guān)系判斷。④通過的關(guān)系判斷。②由④的結(jié)論知，是的一個周期，不妨設(shè)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為：,令，用導(dǎo)數(shù)法求解。③當(dāng)時，,再由②的單調(diào)性判斷.詳解】①，所以成立；④，故該函數(shù)為周期函數(shù)；②由④得，所以是的一個周期，不妨設(shè)，則,令，令，則遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是，，∴的極大值為,，所以最大值不為。③當(dāng)時，，由②知，在該區(qū)間內(nèi)有增有減，故不單調(diào).所以正確結(jié)論的個數(shù)是個。故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題13。的展開式中，的系數(shù)為15,則a=________.（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】因為,所以令，解得，所以=15,解得?？键c(diǎn)：本小題主要考查二項式定理的通項公式,求特定項的系數(shù)，題目難度不大，屬于中低檔.14。數(shù)列中，為的前項和，若,則____．【答案】【解析】【分析】由，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】因為，所以，又因為所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以由等比數(shù)列的求和公式得，解得【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列的定義求通項公式以及等比數(shù)列的求和公式，屬于簡單題．15.設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓的兩個焦點(diǎn)、在軸上,點(diǎn)是上一點(diǎn).若使為直角三角形的點(diǎn)恰有個，且這個直角三角形中面積的最小值為，則的方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的對稱性，若使為直角三角形的點(diǎn)恰有個，則上（或下）頂點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為直角三角形,再根據(jù)三角形中面積的最小值為求解。【詳解】如圖所示：.若使為直角三角形的點(diǎn)恰有個,則,,因為或，所以，，所以橢圓方程為。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題。16.在四棱錐中，底面是直角梯形,，.若，，且的面積為，則四棱錐的體積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】分別取和的中點(diǎn)、，若使四棱錐的體積最大，則平面平面,由，知，由底面是直角梯形，所以S梯形ABCD，，又，則，再根據(jù)的面積為和,得到求體積的最大值?！驹斀狻咳鐖D所示:分別取和的中點(diǎn)、,由，知，，又是梯形，故，從而，故平面,進(jìn)而得，而,與相交，故平面.由的面積為,得，由得，進(jìn)而,所以。故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查四棱錐的體積以及線面垂直的判定定理和面面垂直性質(zhì)定理,還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題17。在中,.（1）求的值；（2）若,的面積為，求邊長的長。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，將，變形為，再化簡利用平方關(guān)系求解。（2)由確定角A的范圍,得到，再根據(jù)的面積為,利用正弦定理求得，再結(jié)合，利用余弦定理求解。【詳解】（1）由已知得，，因為，所以，兩邊平方得，，（2)由得，，從而,于是，因為的面積為,所以由余弦定理得，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式和正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題。18。在五面體中，，。(1）證明：平面平面；（2）若，是等腰直角三角形，，求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)且、、、四點(diǎn)共面，得到,由線面平行的判定得到平面，再由線面平行的性質(zhì)定理，根據(jù)，，得到平面，再由面面垂直的判定證明.（2）根據(jù)和，，得到是正方形,建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，得到，，的坐標(biāo),求得平面的一個法向量，代入線面角向量公式求解。【詳解】（1）因為且、、、四點(diǎn)共面,所以,又平面,所以平面，又平面平面，所以，因為，所以，又，所以平面,而平面,故平面平面。（2）由和,可知，是正方形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則,，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則由,且得,，故令，得設(shè)直線與平面所成角為，則，從而【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，線面垂直,面面垂直的判定定理以及向量法求角問題,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理，運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題。19。設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，、是上兩點(diǎn).若,且線段的中點(diǎn)到軸的距離等于.(1）求的值;（2）設(shè)直線與交于、兩點(diǎn)且在軸的截距為負(fù)，過作的垂線，垂足為，若.（i)證明：直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）求點(diǎn)的軌跡方程。【答案】（1）（2）（i）證明見解析；定點(diǎn)（ii)（且）【解析】【分析】（1）過和分別作軸的垂線，垂足分別為、，根據(jù)拋物線的定義得到，，利用建立p的方程，再根據(jù)線段的中點(diǎn)到軸的距離等于，有聯(lián)立求解.(2）設(shè)的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，由得到，將韋達(dá)定理代入，解得，（i）直線恒過定點(diǎn).（ii）由知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，再根據(jù)和斜率存在確定范圍?！驹斀狻浚?）過和分別作軸的垂線，垂足分別為、，則，，因為線段的中點(diǎn)到軸的距離等于,所以,即，又因為，所以。(2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為，代入拋物線方程得，由得，（＊）,設(shè),，則.由得，，即，把代入得，解得或（舍去），（i）于是直線恒過定點(diǎn).（ii）由知,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，該圓的方程為，根據(jù)(＊）得，從而取圓在軸的上方部分，又直線的斜率存在，因此應(yīng)剔除與軸的交點(diǎn)，故點(diǎn)的軌跡方程為（且）.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,定點(diǎn)和軌跡問題，還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題.20.春節(jié)期間爆發(fā)的新型冠狀病毒（COVID—19）是新中國成立以來感染人數(shù)最多的一次疫情。一個不知道自己已感染但處于潛伏期的甲從疫區(qū)回到某市過春節(jié)，回到家鄉(xiāng)后與朋友乙、丙、丁相聚過，最終乙、丙、丁也感染了新冠病毒.可以肯定的是乙受甲感染的，丙是受甲或乙感染的,假設(shè)他受甲和受乙感染的概率分別是和.丁是受甲、乙或丙感染的,假設(shè)他受甲、乙和丙感染的概率分別是、和.在這種假設(shè)之下,乙、丙、丁中直接受甲感染的人數(shù)為.(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2）該市在發(fā)現(xiàn)在本地出現(xiàn)新冠病毒感染者后，迅速采取應(yīng)急措施，其中一項措施是各區(qū)必須每天及時，上報新增疑似病例人數(shù)。區(qū)上報的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，中位數(shù)"，區(qū)上報的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，總體方差為”。設(shè)區(qū)和區(qū)連續(xù)天上報新增疑似病例人數(shù)分別為和,和分別表示區(qū)和區(qū)第天上報新增疑似病例人數(shù)(和均為非負(fù)）。記，.①試比較和的大?。虎谇蠛椭休^小的那個字母所對應(yīng)的個數(shù)有多少組?【答案】（1)詳見解析（2）①②組【解析】【分析】（1）記事件“丙受甲感染”，事件“丁受甲感染”,則，，的取值為，,再列出的分布列并求期望.（2）（i)對于區(qū)，根據(jù)“總體均值為，總體方差為”，有，再根據(jù)是非負(fù)整數(shù),得到,從而確定,同理對于區(qū)，根據(jù)“總體均值為，中位數(shù)”，確定。（ii)當(dāng)時,只有兩種組合，一是一個是，五個是或，一個是；二是一個是,一個是或，一個是或，其余是,分別求得組數(shù)再求和.【詳解】（1）記事件“丙受甲感染”，事件“丁受甲感染”，則，的取值為所以的分布列為1230。320.560.12(2）（i）對于區(qū)，由知，，因為是非負(fù)整數(shù)，所以，即，所以當(dāng)中有一個取，有一個取，其余取時，對于區(qū)，當(dāng)，，時,滿足“總體均值為，中位數(shù)”，此時，所以（ii）當(dāng)時，只有兩種情況：①有一個是，有五個是或，有一個是；②有一個是，有一個是或，有一個是或，其余是.對于①，共有組對于②，共有組故共有組【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列，均值和方差及其應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線。（1)求的值；（2）證明：不等式在上恒成立.【答案】(1）(2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)，再由求解。（2）令，則，再分，，三種情況討論求解其最小值即可.【詳解】（1)設(shè)直線切曲線于點(diǎn)，，所以，解得，.（2）,記，則，①當(dāng)時，遞增,且，所以在上遞減，在上遞增，故，②當(dāng)時，，此時在上遞增，所以,③當(dāng)時,記，則（的導(dǎo)數(shù)為），設(shè)的根為，易知,在上遞減，在上遞增，,而，,所以在時只有一個根，因此在上遞減,在上遞增,故,從而在上遞增，所以,綜上，不等式在上恒成立。【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)幾何意義