1.4 角平分線 教案 2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊

．4角平分線第1課時角平分線1．復(fù)習(xí)角平分線的相關(guān)知識，探究歸納角平分線的性質(zhì)和判定定理；(重點)2．能夠運用角平分線的性質(zhì)和判定定理解決問題．(難點)一、情境導(dǎo)入問題：在S區(qū)有一個集貿(mào)市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點建兩條路，一條到公路，一條到鐵路．問題1：怎樣修建道路最短？問題2：往哪條路走更近呢？二、合作探究探究點一：角平分線的性質(zhì)定理【類型一】應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理證明線段相等如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF.求證：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點D到AB的距離等于點D到AC的距離，即CD＝DE.再根據(jù)Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分線的性質(zhì)證明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進行證明．證明：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝DF，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC與△ADE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝DE，,AD＝AD，))∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法總結(jié)：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個重要依據(jù)，在應(yīng)用時一定要注意是兩條“垂線段”相等．【類型二】角平分線的性質(zhì)定理與三角形面積的綜合運用如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3解析：過點D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2＋eq\f(1,2)×AC×2＝7，解得AC＝3.故選D.方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．【類型三】角平分線的性質(zhì)定理與全等三角形的綜合運用如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.解析：由角平分線上的性質(zhì)可得DE＝DF，再利用“HL”證明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝CD，,DE＝DF，))∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法總結(jié)：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的主要依據(jù)，可作為判定三角形全等的條件．探究點二：角平分線的判定定理【類型一】角平分線的判定如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分線的判定可知AD是∠BAC的平分線．證明：∵DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE與△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,BD＝CD，))∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分線．方法總結(jié)：證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角平分線上．【類型二】角平分線的性質(zhì)和判定的綜合如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.下面給出四個結(jié)論，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等．其中正確的結(jié)論有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正確；②AE＝AF正確；中垂線上的點到兩端點的距離相等，故③正確；∵④到AE、AF距離相等的點，在∠BAC的角平分線AD上，到DE、DF的距離相等的點在∠EDF的平分線DA上，兩者同一條直線上，所以到DE、DF的距離也相等正確，故④正確；①②③④都正確．故選D.方法總結(jié)：運用角平分線的性質(zhì)或判定時，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等．【類型三】添加輔助線解決角平分線的問題如圖，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點D.求證：AD是∠BAC的平分線．解析：分別過點D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，然后利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知DE＝DG，再利用到角兩邊距離相等的點在角平分線上來證明．證明：分別過D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴點D在∠BAC的平分線上，∴AD是∠BAC的平分線．方法總結(jié)：在遇到角平分線的問題時，往往過角平分線上的一點作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)解決問題．【類型四】線段垂直平分線與角平分線的綜合運用如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AD，,OC＝OD，,AO＝AO，))∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法總結(jié)：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵．三、板書設(shè)計1．角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．2．角平分線的判定定理在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．本節(jié)課由于采用了動手操作以及討論交流等教學(xué)方法，從而有效地增強了學(xué)生對角以及角平分線的性質(zhì)的感性認識，提高了學(xué)生對新知識的理解與感悟，因而本節(jié)課的教學(xué)效果較好，學(xué)生對所學(xué)的新知識掌握較好，達到了教學(xué)的目的．不足之處是少數(shù)學(xué)生在性質(zhì)的運用上還存在問題，需要在今后的教學(xué)與作業(yè)中進一步的加強鞏固和訓(xùn)練.第2課時三角形三條內(nèi)角的平分線1．在角平分線的基礎(chǔ)上歸納出三角形三條內(nèi)角的平分線的相關(guān)性質(zhì)；(重點)2．能夠運用三角形三條內(nèi)角的平分線的性質(zhì)解決實際問題．(難點)一、情境導(dǎo)入從前有一個老農(nóng)，他有一塊面積很大的三角形土地，其中BC邊緊靠河流，他打算把這塊土地平均分給他的兩個兒子，同時每個兒子的土地都要緊靠河流，應(yīng)當(dāng)怎樣分？二、合作探究探究點：三角形角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用【類型一】利用角平分線的判定求角的度數(shù)在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝70°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．125°C．130°D．140°解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線的交點AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝eq\f(1,2)∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°，∠OBC＋∠OCB＝55°，∠BOC＝180°－55°＝125°，故選B.方法總結(jié)：由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．【類型二】三角形內(nèi)外角平分線的應(yīng)用如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個塔臺，若要求它到三條公路的距離都相等，試問：(1)可選擇的地點有幾處？(2)你能畫出塔臺的位置嗎？解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出符合條件的點有4處；(2)作出相交組成的角平分線，平分線的交點就是所求的點．解：(1)可選擇的地點有4處，如圖：P1、P2、P3、P4，共4處；(2)能．如圖，根據(jù)角平分線性質(zhì)作三直線相交的角平分線，平分線的交點就是所求的點．方法總結(jié)：三角形內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，反過來，到三角形三邊距離相等的點，即為三角形內(nèi)角平分線或兩外角平分線的交點，這一結(jié)論在以后的學(xué)習(xí)中會經(jīng)常遇到．三、板書設(shè)計三角形三條內(nèi)角的角平分線三角形的三條內(nèi)