湖北省恩施州2021年中考數(shù)學試題（解析版）

考試注意事項

1.進入考場時攜帶的物品。

考生進入考場，只準攜帶準考證、二代居民身份證以及2B鉛筆、0.5毫

米黑色墨水簽字筆、直尺、圓規(guī)、三角板、無封套橡皮、小刀、空白墊紙板、

透明筆袋等文具。嚴禁攜帶手機、無線發(fā)射和接收設備、電子存儲記憶錄放

設備、手表、涂改液、修正帶、助聽器、文具盒和其他非考試用品?？紙鰞?/p>

不得自行傳遞文具等物品。

由于標準化考點使用金屬探測儀等輔助考務設備，所以提醒考生應考時盡

量不要佩戴金屬飾品，以免影響入場時間。

2.準確填寫、填涂和核對個人信息。

考生在領到答題卡和試卷后，在規(guī)定時間內、規(guī)定位置處填寫姓名、準考

證號。填寫錯誤責任自負；漏填、錯填或字跡不清的答題卡為無效卡；故意

錯填涉嫌違規(guī)的，查實后按照有關規(guī)定嚴肅處理。監(jiān)考員貼好條形碼后，考

生必須核對所貼條形碼與自己的姓名、準考證號是否一致，如發(fā)現(xiàn)不一致，

立即報告監(jiān)考員要求更正。

3.考場面向考生正前方的墻壁上方懸掛時鐘，為考生提供時間參考。

考場時鐘的時間指示不作為考試時間信號，考試時間一律以考點統(tǒng)一發(fā)出

的鈴聲信號為準。

湖北省恩施州2020年中考數(shù)學試題

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將選項前的字母代號

填涂在答題卷相應位置上.

1.5的絕對值是（）

11

A.5B.-5C.-D.—

55

【答案】A

【解析】

【分析】

根據絕對值的意義：數(shù)軸上一個數(shù)所對應的點與原點（0點）的距離叫做該數(shù)的絕對值，絕對值只能為非負

數(shù)；即可得解.

【詳解】解：在數(shù)軸上，數(shù)5所表示的點到原點0的距離是5；

故選4.

【點睛】本題考查了絕對值，解決本題的關鍵是一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反

數(shù),0的絕對值是0.

2.茶中精品“恩施綠共利川紅”享譽世界.去年恩施州茶葉產量約為120000噸，將數(shù)120000用科學記數(shù)法表示

為（）.

A.12xl04B.1.2xl03C.1.2xl06D.0.12X106

【答案】B

【解析】

【分析】

科學記數(shù)法的表示形式為axl（r的形式，其中l(wèi)<|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點

移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時,n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時,n

是負數(shù).

【詳解】120000=1.2X105,

故選：B.

【點睛】此題考察科學記數(shù)法，注意n的值的確定方法，當原數(shù)大于10時,n等于原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1,按此方

法即可正確求解.

3.下列交通標識，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，知：

A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；

B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；

C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；

D、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.

故選：D.

【點睛】掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，折疊后對稱軸兩旁的部

分可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180。后會與原圖重合.

4,下列計算正確的是（）.

A.cr-o,=a6B.?（6z+l）=a2+a

C.（a-b）~=a.2-b1D.2a+3b=5ab

【答案】B

【解析】

分析】

根據同底數(shù)暴的乘法，單項式乘多項式，完全平方公式以及合并同類項的法則進行計算即可.

【詳解】A、“3=”5,該選項錯誤,不符合題意；

B、a（a+l）="+a,該選項正確，符合題意；

C、（a-bp=Y-2"+從該選項錯誤，不符合題意；

D、2a+36不是同類項，不能合并，該選項錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了同底數(shù)基的乘法，單項式乘多項式，完全平方公式以及合并同類項，解此題的關鍵在于熟練

掌握其知識點.

5.函數(shù)y=亙的自變量的取值范圍是（）

X

A.x>-\B.xN-1且xwOC.x>0D.x>—1且xwO

【答案】B

【解析】

【分析】

根據二次根式的被開方數(shù)大于等于0,分式分母不等于0列式計算即可得解.

【詳解】解：根據題意得,X+1K）且x和,

解得：日且x和.

故選:B.

【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取

全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方

數(shù)非負.

6.“彩縷碧筠粽，香梗白玉團”.端午佳節(jié)，小明媽媽準備了豆沙粽2個、紅棗烷4個、臘肉粽3個、白米粽2

個,其中豆沙粽和紅棗粽是甜粽.小明任意選取一個，選到甜粽概率是（）.

2456

A.—B.—C.—D.—

11111111

【答案】D

【解析】

【分析】

粽子總共有11個，其中甜粽有6個，根據概率公式即可求出答案.

【詳解】由題意可得：粽子總數(shù)為II個，其中6個為甜粽，

所以選到甜粽的概率為：

故選：D.

【點睛】本題考查了概率的基本運算，熟練掌握公式是關鍵.

7.在實數(shù)范圍內定義運算“☆”：“☆〃=。+8一1,例如：2翁3=2+3—1=4.如果2^rx=l,則％的值是

（）.

A.-1B.1C.OD.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據題目中給出的新定義運算規(guī)則進行運算即可求解.

【詳解】解：由題意知：=2+x—1=1+x,

又2☆￥=1,

l+x=l,

，尤=0.

故選：c.

【點睛】本題考查了實數(shù)的計算,一元一次方程的解法，本題的關鍵是能看明白題目意思，根據新定義的運算規(guī)

則求解即可.

8.我國古代數(shù)學著作《九章算術》“盈不足”一章中記載：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛,

問大小器各容幾何意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛,1個大桶加上

5個小桶可以盛酒2斛.問1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設1個大桶盛酒X斛,1個小桶盛酒》

斛,下列方程組正確的是（）.

5x+y=35x+y=25x+3y=13x+y=5

A.<B.〈D.〈

x+5y=2x+5y=3x+2y=52x+5y=1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據大小桶所盛酒的數(shù)量列方程組即可.

【詳解】V5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛,

5x+y=3,

VI個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛,

x+5y=2,

5x+y=3

???得到方程組《

x+5y=2'

故選:A.

【點睛】此題考查二元一次方程組的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵.

9.如圖是由四個相同小正方體組成的立體圖形,它的主視圖為（）.

【解析】

【分析】

根據幾何體的三視圖解答即可.

【點睛】此題考查小正方體組成的幾何體的三視圖，解題的關鍵是掌握三視圖的視圖角度及三視圖的畫法.

io.甲乙兩車從A城出發(fā)前往B城,在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻/的對應關系如圖所示，則下

列結論埼送的是（）.

A.甲車的平均速度為60kn/〃B,乙車的平均速度為1006/〃

C.乙車比甲車先到B城D.乙車比甲車先出發(fā)1萬

【答案】D

【解析】

【分析】

根據圖象逐項分析判斷即可.

【詳解】由圖象知：

A.甲車的平均速度為則-=60（也?"）,故此選項正確；

10—5

B.乙車的平均速度為工藝=100（癡//?）,故此選項正確；

9—6

C.甲10時到達B城，乙9時到達B城，所以乙比甲先到B城，故此選項正確；

D.甲5時出發(fā)，乙6時出發(fā)，所以乙比甲晚出發(fā)lh,故此選項錯誤，

故選：D.

【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象,正確識別圖象并能提取相關信息是解答的關鍵.

11.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E在上且8E=1,尸為對角線AC上一動點，則周長的最

小值為（）.

3AE：B

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

連接ED交AC于一點F,連接BF,根據正方形的對稱性得到此時△3EE的周長最小，利用勾股定理求出DE

即可得到答案.

【詳解】連接ED交AC于一點F,連接BF,

四邊形ABCD是正方形，

點B與點D關于AC對稱，

BF=DF,

，4BFE的周長=BF+EF+BE=DE+BE,此時周長最小，

???正方形ABCD的邊長為4,

，AD=AB=4,NDAB=90°,

???點￡在A3上且BE=1,

；.AE=3,

???DEnJm+w=5,

△6五￡的周長=5+1=6,

【點睛】此題考查正方形的性質：四條邊都相等，四個角都是直角以及正方形的對稱性質，還考查了勾股定理

的計算，依據對稱性得到連接DE交AC于點F是△8EE的周長有最小值的思路是解題的關鍵.

12.如圖，已知二次函數(shù)y=o?+陵+c的圖象與x軸相交于A(—2,0)、6(1,0)兩點.則以下結論:

①ac>0；②二次函數(shù)y=依2+Z?x+c的圖象的對稱軸為x=-l；③2a+c=0；?a-h+c>Q.其中

正確的有()個.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據二次函數(shù)的圖像性質逐個分析即可.

【詳解】解：對于①：二次函數(shù)開口向下，故。<0,與y軸的交點在y的正半軸，故c>0,故如<0,故①錯誤；

—2+11

對于②：二次函數(shù)的圖像與X軸相交于4(-2,0)、8(1,0),由對稱性可知，其對稱軸為：x=-------=一-,

故②錯誤;

對于③：設二次函數(shù)y=ax?+Z?x+c的交點式為y=a(x+2)(x-l)=+公-2。,比較一般式與交點式

的系數(shù)可知：人=a,c=-2a,故2a+c=0,故③正確；

對于④：當x=-l時對應的丁=""c,觀察圖像可知》=-1時對應的函數(shù)圖像的>值在x軸上方，故

a-"c>0,故④正確.

???只有③④是正確的.

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與其系數(shù)的關系及二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的圖像性質是

解決此類題的關鍵.

二、填空題：不要求寫出解答過程，請把答案直接寫在答題卷相應位置上.

13.9的算術平方根是.

【答案】3.

【解析】

【分析】

根據一個正數(shù)的算術平方根就是其正的平方根即可得出.

【詳解】：32=9,

???9算術平方根為3.

故答案為3.

【點睛】本題考查了算術平方根，熟練掌握算術平方根的概念是解題的關鍵.

14.如圖，直線4///2，點A在直線4上，點B在直線“上，AB=BC,NC=30°,Zl=80°，則Z2=

【答案】40°

【解析】

【分析】

利用等腰三角形的性質得到NC=/4=30°,利用平行線的性質得到Nl=N3=80°,再根據三角形內角和定理

即可求解.

【詳解】如圖，延長CB交4于點D,

VAB=BC,ZC=30°,

.,?ZC=Z4=30°,

?.?/1/〃2，/l=8O。，

.?.N1=N3=8O。，

VZC+Z3+Z2+Z4=180°,B|J30°+80°+N2+30°=180°,

/.N2=40。，

故答案為：40°.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質以及三角形內角和定理的應用，解決問題的關鍵是輔助

線的作法，注意運用兩直線平行,同位角相等.

15.如圖，已知半圓的直徑A8=4,點。在半圓上，以點A為圓心,AC為半徑畫弧交AB于點D，連接BC.若

ZABC=60°，則圖中陰影部分的面積為.（結果不取近似值）

【答案】26-萬

【解析】

【分析】

根據60。特殊角求出AC和BC,再算出△ABC的面積，根據扇形面積公式求出扇形的面積，再用三角形的面積

減去扇形面積即可.

【詳解】：AB是直徑，

ZACB=90°,ZABC=60°,

BC=AB-2,AC=2百，

/.SAC273-2=273

A/IDC22

由以上可知/CAB=30。，

扇形ACD的面積萬?AC?=」-乃.（2百丫=萬，

陰影部分的面積為26-

故答案為：-兀.

【點睛】本題考查圓和扇形面積的結合，關鍵在于利用圓周角的性質找到直角三角形并結合扇形面積公式解

出.

16.如圖，在平面直角坐標系中,AABC的頂點坐標分別為：A（-2,0）,5（l,2）,C（l,-2）.已知N（—1,0）,作

點N關于點A的對稱點M，點M關于點B的對稱點N2，點N2關于點c的對稱點N,，點&關于點A的對

稱點小，點N4關于點B的對稱點N5，…，依此類推，則點”的坐標為

【答案】(-1,8)

【解析】

【分析】

先求出Ni至N6點的坐標，找出其循環(huán)的規(guī)律為每6個點循環(huán)一次即可求解.

【詳解】解：由題意得，作出如下圖形:

N點坐標為(-1,0),

N點關于A點對稱的Ni點的坐標為(-3,0),

Ni點關于B點對稱的N2點的坐標為(5,4),

N2點關于C點對稱的N3點的坐標為(-3,8),

N3點關于A點對稱的N4點的坐標為(-1,8),

N4點關于B點對稱的N5點的坐標為(3,-4),

Ns點關于C點對稱的M點的坐標為(-1,0),此時剛好回到最開始的點N處,

,其每6個點循環(huán)一次,

：.2020+6=336……4,

即循環(huán)了336次后余下4,

故N2020的坐標與N4點的坐標相同，其坐標為(-1,8).

故答案為：(-1,8).

【點睛】本題考查了平面直角坐標系內點的對稱規(guī)律問題，本題需要先去驗算前面一部分點的坐標，進而找到

其循環(huán)的規(guī)律后即可求解.

三、解答題：請在答題卷指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

'ITT-931一4=,其中加=后.

17.先化簡，再求值:

m2-6m+93,tn-3

【答案】L受

m2

【解析】

【分析】

根據分式的混合運算法則，先化簡括號內的,將除法運算轉化為乘法運算，再化簡成最簡分式，代入m值求解即

可.

2-93m2

【詳解】

m2-6m+9m-3m-3

(m+3)(m-3)3m-3

(m-3)2m-3m2

加+33m-3

)?2

m-3m-3m"

mm-3

m-3m2

1

m

當zn=J5時，原式=

【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值以及二次根式的化簡，熟練掌握分式的混合運算法則是解答的關鍵.

18.如圖,4E〃8尸，區(qū)D平分NABC交4E于點。,點C在3E上且BC=A瓦連接C。.求證：四邊形

ABC。是菱形.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

由AE〃BF,BD平分/ABC得至l」/ABD=/ADB,進而得至1以ABD為等腰三角形，進而得到AB=AD,再由

BC=AB,得到對邊AD=BC,進而得到四邊形ABCD為平行四邊形，再由鄰邊相等即可證明ABCD為菱形.

【詳解】證明：；AE〃所,

AZADB=ZDBC,

又BD平分NABC,

Z.ZDBC=ZABD,

.\ZADB=ZABD,

.?.△ABD為等腰三角形，

；.AB=AD,

又已知AB=BC,

；.AD=BC,

又即AD//BC,

/.四邊形ABCD為平行四邊形，

又AB=AD,

；?四邊形ABCD為菱形.

【點睛】本題考了角平分線性質,平行線的性質，菱形的判定方法，平行四邊形的判定方法等，熟練掌握其判定

方法及性質是解決此類題的關鍵.

19.某中學為了解九年級學生對新冠肺炎防控知識的掌握情況，從全校九年級學生中隨機抽取部分學生進行

調查.調查結果分為四類：A類一非常了解；B類一比較了解；C-一般了解；D類一不了解.現(xiàn)將調查結

果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖，請根據統(tǒng)計圖中的信息解答下列問題：

t學生數(shù)/名

（1）本次共調查了名學生；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）D類所對應扇形的圓心角的大小為；

（4）若該校九年級學生共有500名，根據以上抽樣結果，估計該校九年級學生對新冠肺炎防控知識非常了解

的約有名.

【答案】（1）50名；（2）條形圖見解析；（3）36°；（4）150名.

【解析】

【分析】

（1）根據條形圖和扇形圖得出B類人數(shù)為20名，占40%,即可得出總數(shù)；

（2）根據總人數(shù)減去A,B,D的人數(shù)即可得出C的人數(shù)；

（3）用360。乘以D類部分所占百分比即可得出圓心角的度數(shù)；

（4）用500乘以非常了解的部分所占百分比即可得出答案.

【詳解】（1）本次共調查的學生數(shù)為：20+40%=50名;

（2）C類學生人數(shù)為：50-15-20-5=10名,條形圖如下：

4學生數(shù)/名

25

（3）D類所對應扇形的圓心角為：360°XA=36°；

（4）該校九年級學生對新冠肺炎防控知識非常了解的人數(shù)為：500x1|=150名.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，根據圖得出相關信息是解題的關鍵.

20.如圖，一艘輪船以每小時30海里的速度自東向西航行，在A處測得小島P位于其西北方向（北偏西45°方

向），2小時后輪船到達8處在5處測得小島P位于其北偏東60。方向.求此時船與小島產的距離（結果保

留整數(shù)，參考數(shù)據：V2?1,414,73?1.732）.

【答案】此時船與小島P的距離約為44海里

【解析】

【分析】

過P作PH_LAB,設PH=x屈己知分別求PB、BH、AH,然后根據銳角三角函數(shù)求出x值即可求解

【詳解】如圖，過P作PHLAB,設PH=x,

由題意,AB=60,NPBH=30°,NPAH=45°,

在RtAPHA中,AH=PH=x,

在RtAPBH中,BH=AB-AH=60-x,PB=2x,

PH

..tan30°=---,

BH

即也=X,

360-x

解得：x=3O(V3-l),

.".PB=2x=60(V3-l)M4(海里)，

【點睛】本題考查了直角三角形的應用,掌握方向角的概念和解直角三角形的知識是解答本題的關鍵.

21.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=3。（“。0）與x軸、》軸分別相交于A、3兩點，與雙曲線

z-1

y=>0）的一個交點為c,且8C=2AC.

（1）求點A的坐標；

（2）當S.AOC=3時，求a和左的值.

【答案】（1）（3,0）；（2）a=-l,k=2

【解析】

【分析】

（1）令>="-3。（。彳0）中y=0即可求出點A的坐標；

（2）過C點作y軸的垂線交y軸于M點，作x軸的垂線交x軸于N點，證明△BCMs^BAO,利用3C=gAC

和OA=3進而求出CM的長，再由S.A8=3求出CN的長，進而求出點C坐標即可求解.

【詳解】解：（1）由題意得：令y=ax-3a（aH0）中y=0,

即ar—3〃=0,解得x=3,

.?.點A的坐標為(3,0),

故答案為(3,0).

(2)過C點作y軸的垂線交y軸于M點，作x軸的垂線交x軸于N點,如下圖所示:

y

顯然,CM//OA,ZBCM=ZBAO,KZABO=ZCBO,

AABCM^ABAO,

，代入數(shù)據:

BAAO

即：，='”，:.CM=1，

33

又Saoc—OACN=3

2

即：、x3xCN=3,，CN=2,

2

點的坐標為(1,2),

故反比例函數(shù)的A=1x2=2,

再將點(2(1,2)代入一次函數(shù)〉=0￥—3。(。彳0)中，

即2=a—3a,解得a=-1,

故答案為：a-

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像及性質，相似三角形的判定和性質等,熟練掌握其圖像性質

是解決此題的關鍵.

22.某校足球隊需購買A、8兩種品牌的足球.已知A品牌足球的單價比8品牌足球的單價高20元，且用900

元購買A品牌足球的數(shù)量用720元購買B品牌足球的數(shù)量相等.

(1)求A、B兩種品牌足球的單價；

(2)若足球隊計劃購買A、B兩種品牌的足球共90個，且A品牌足球的數(shù)量不小于B品牌足球數(shù)量的2倍,

購買兩種品牌足球的總費用不超過8500元.設購買A品牌足球加個，總費用為W元,則該隊共有幾種購買方

案？采用哪一種購買方案可使總費用最低？最低費用是多少元？

【答案】（1）購買A品牌足球的單價為100元,則購買B品牌足球的單價為80元；

（2）該隊共有6種購買方案，購買60個A品牌30個B品牌的總費用最低，最低費用是8400元.

【解析】

【分析】

（1）設購買A品牌足球的單價為x元,則購買B品牌足球的單價為（x-20）元,根據用900元購買A品牌足

球的數(shù)量用720元購買B品牌足球的數(shù)量相等，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；

（2）設購買m個A品牌足球,則購買（90-m）個B品牌足球，根據總價=單價x數(shù)量結合總價不超過8500

元，以及A品牌足球的數(shù)量不小于B品牌足球數(shù)量的2倍,即可得出關于m的一元一次不等式組，解之取其中

的最小整數(shù)值即可得出結論.

【詳解】解：（1）設購買A品牌足球的單價為x元,則購買B品牌足球的單價為（x-20）元，根據題意，得

900720

xx-20

解得：x=100

經檢驗x=100是原方程的解

x-20=80

答：購買A品牌足球的單價為100元,則購買B品牌足球的單價為80元.

（2）設購買m個A品牌足球，則購買（90-m）個B品牌足球，則

W=100m+80（90-m）=20m+7200

VA品牌足球的數(shù)量不小于B品牌足球數(shù)量的2倍,購買兩種品牌足球的總費用不超過8500元.

20/n+7200<8500

,?m>2（90-/n）

解不等式組得：60<m<65

所以,m的值為：60,61,62,63,64,65

即該隊共有6種購買方案，

當m=60時,W最小

m=60時,W=20x60+7200=8400（元）

答：該隊共有6種購買方案，購買60個A品牌30個B品牌的總費用最低，最低費用是8400元.

【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確

列出分式方程；（2）根據各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組.

23.如圖,AB是。。的直徑，直線AM與。。相切于點A,直線BN與。。相切于點B,點C（異于點A）在

AM上，點。在。。上，且CD=C4,延長CD與BN相交于點E,連接AD并延長交BN于點、F.

ACM

(1)求證：CE是0。的切線；

(2)求證：BE=EF；

(3)如圖，連接EO并延長與。。分別相交于點G、"，連接若AB=6,AC=4,求tan/BHE.

【答案】(1)見詳解；(2)見詳解：(3)-

3

【解析】

【分析】

(1)連接OD,根據等邊對等角可知：/CAD=/CDA,/OAD=/ODA,再根據切線的性質可知

NCAO=NCAD+/OAD=NCDA+NODA=90o=NODC,由切線的判定定理可得結論；

(2)連接BD,根據等邊對等角可知NODB=NOBD,再根據切線的性質可知NODE=NOBE=90。,由等量減等

量差相等得/EDB=/EBD,再根據等角對等邊得到ED=EB,然后根據平行線的性質及對頂角相等可得

/EDF=NEFD,推出DE=EF,由此得出結論；

(3)過E點作EL±AM于L,根據勾股定理可求出BE的長，即可求出tanZBOE的值,再利用倍角公式即可

求出tanZBHE的值.

【詳解】(1)連接OD.

CD=CA,

.\ZCAD=ZCDA,

VOA=OD

ZOAD=ZODA,

；直線AM與。。相切于點A,

ZCAO=ZCAD+ZOAD=90°

ZODC=ZCDA+ZODA=90°

???CE是。0的切線;

(2)連接BD

VOD=OB

/.ZODB=ZOBD,

VCE是。0的切線,BF是。。的切線,

ZOBD=ZODE=90°

AZEDB=ZEBD

:.ED=EB

VAM±AB,BN±AB

???AM〃BN

???ZCAD=ZBFD

ZCAD=ZCDA=ZEDF

.'.ZBFD=ZEDF

，EF二ED

.\BE=EF

(3)過E點作EL，AM于L,則四邊形ABEL是矩形,

設BE=x,則CL=4-x,CE=4+X

/.(4+X)2=(4-X)2+62

9

解得：x=-

9

tanZBOE=—==-

0634

VZBOE=2ZBHE

?八「2tanZBHE3

tan/BOE=--------------------=-

1-tan2ZBHE4

解得：tanNBHE=—或-3(-3不和題意舍去)

3

.,.tanZBHE=-

【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，三角函數(shù)/，勾股

定理等知識，熟練掌握這些知識點并能熟練應用是解題的關鍵.

24.如圖,拋物線y=-^x2+bx+c經過點C（6,0），頂點為8,對稱軸x=2與x軸相交于點A,D為線段BC

的中點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為線段上任意一點,M為x軸上一動點，連接以點M為中心，將AMPC逆時針旋轉90°,記

點P的對應點為E，點C的對應點為F.當直線EF與拋物線y=--x2+bx+c只有一個交點時，求點M

的坐標.

（3）AMPC在（2）的旋轉變換下，若PC=0（如圖）.

①求證：EA=ED.

②當點E在（1）所求的拋物線上時,求線段CM的長.

【答案】（1）y=——-^2+x+3；（2）（—,0）；（3）①見解析；②CM=2JJ—1或CM=l+2>/^

【解析】

【分析】

（1）根據點C在拋物線上和已知對稱軸的條件可求出解析式：

（2）根據拋物線的解析式求出點B及已知點C的坐標，證明△ABC是等腰直角三角形,根據旋轉的性質推出

直線EF與x軸的夾角為45。,因此設直線EF的解析式為y=x+b,設點M的坐標為（m,0）,推出點F（m,6-m）,

直線EE與拋物線y=+》+3只有一個交點，聯(lián)立兩個解析式，得到關于x的一元二次方程，根據根的判

別式為0得到關于m的方程，解方程得點M的坐標.注意有兩種情況，均需討論.

（3）①過點P作PGJ_x軸于點Q過點E作EH^x軸于點H,設點M的坐標為（m,0）,由PC=0及旋轉

的性質，證明△EHM絲Z\MGP,得到點E的坐標為（m-l,5-m）,再根據兩點距離公式證明用=團，注意分兩

種情況，均需討論；②把E代入拋物線解析式，解出m的值，進而求