加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué) 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)

加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)

廈門前埔中學(xué)阮穎芳

九年義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世

界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時(shí)為人

們交流信息提供了一種有效、簡(jiǎn)捷的手段。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于

人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。

數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，

進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí).，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到

進(jìn)步和發(fā)展。

近幾年，不僅每年高考都出了應(yīng)用題，中考也加強(qiáng)了應(yīng)用題的考察，這些應(yīng)用

題以數(shù)學(xué)建模為中心，以考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，但學(xué)生在應(yīng)用題中的得分率遠(yuǎn)

底于其他題，原因之一就是學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)。因此中學(xué)數(shù)學(xué)

教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)和創(chuàng)

新意識(shí)，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)建模教學(xué)的一些學(xué)習(xí)體會(huì)。

1.數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型的過程的縮略表示，可用下面的框圖來說明這一過程：

1.1審題建立數(shù)學(xué)模型，首先要認(rèn)真審題.實(shí)際問題的題目一般都比較長(zhǎng)，涉及

的名詞、概念較多，因此要耐心細(xì)致地讀題，深刻分解實(shí)際問題的背景，明確建模

的目的；弄清問題中的主要已知事項(xiàng)，盡量掌握建模對(duì)象的各種信息；挖掘?qū)嶋H問

題的內(nèi)在規(guī)律，明確所求結(jié)論和對(duì)所求結(jié)論的限制條件。

1.2簡(jiǎn)化根據(jù)實(shí)際問題的特征和建模的目的，對(duì)問題進(jìn)行必要簡(jiǎn)化。抓住主要因

素，拋棄次要因素，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，用精確的語言作出假設(shè)。

L3抽象將已知條件與所求問題聯(lián)系起來，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)

系，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子、圖形或表格等形式表達(dá)

出來，從而建立數(shù)學(xué)模型。按上述方法建立起來的數(shù)學(xué)模型，是不是符合實(shí)際，理

論上、方法上是否達(dá)到了優(yōu)化，在對(duì)模型求解、分析以后通常還要用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)

據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴?/p>

2.具體的建模分析方法

①關(guān)系分析法：通過尋找關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系的方法來建立問題的數(shù)學(xué)模

型方法。

②列表分析法：通過列表的方式探索問題的數(shù)學(xué)模型的方法。

③圖象分析法：通過對(duì)圖象中的數(shù)量關(guān)系分析來建立問題的數(shù)學(xué)模型的方

法。

3.掌握常見數(shù)學(xué)應(yīng)用題的基本數(shù)學(xué)模型

在初中階段，通常建立如下一些數(shù)學(xué)模型來解應(yīng)用問題：

①建立兒何圖形模型

②建立方程或不等式模型

③建立三角函數(shù)模型

④建立函數(shù)模型

案例

例1王小姐參加了某晚會(huì)，晚會(huì)中共有40人，若每?jī)扇司帐忠淮?，問參加?/p>

共握手多少次？

例2設(shè)計(jì)合適的包裝方式。

⑴現(xiàn)有4盒磁帶，有幾種包裝方式？哪種方式更省包裝紙？

⑵若有8盒磁帶，哪種方式更省包裝紙？

例3已知a、b、c均為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：

Ja~b~+c-++a~+b+c).

前兩個(gè)問題比較明顯的須建立兒何圖形模型來加以分析，第三個(gè)問題若用不等

式變形來解決則非常困難，但建立幾何圖形模型解決則輕而易舉,

如下圖。

例4甲、乙兩廠分別承印八年級(jí)數(shù)學(xué)教材20萬冊(cè)和25萬冊(cè)，供應(yīng)A、B兩地使用，

A、B兩地的學(xué)生數(shù)分別為17萬和28萬,已知甲廠往A、B兩地的運(yùn)費(fèi)分別為200

元/萬冊(cè)和180元/萬冊(cè)；乙廠往A、B兩地運(yùn)費(fèi)分別為220元/萬冊(cè)和210元/萬冊(cè)。

（1）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為w元，甲廠運(yùn)往A地x萬冊(cè)，試寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）

如何安排調(diào)動(dòng)計(jì)劃，能使總運(yùn)費(fèi)最少？

例5我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了一些測(cè)量方法，現(xiàn)在請(qǐng)你觀察一下學(xué)校中較高的物體，如教學(xué)

樓、旗桿、大樹等等，如何測(cè)量它們的高度呢？

本題顯然要建立三角函數(shù)模型來分析解決

例6爸爸準(zhǔn)備為小明買一雙新的運(yùn)動(dòng)鞋，但要小明自己算出穿幾“碼”的鞋。小明

回家量了一下媽媽36碼的鞋子長(zhǎng)23厘米，爸爸41碼的鞋子長(zhǎng)25.5厘米。那么自

己穿的21.5厘米長(zhǎng)的鞋是幾碼呢？

本題較合理的數(shù)學(xué)模型是一次函數(shù)。

例71997年11月8日電視正在播放十分壯觀的長(zhǎng)江三峽工程大江截流的實(shí)況。

截流從8：55開始，當(dāng)時(shí)龍口的水面寬40米，水深60米。11：50時(shí)，播音員報(bào)

告寬為34.4米。到13：00時(shí)，播音員又報(bào)告水面寬為31米。這時(shí)，電視機(jī)旁的

小明說，現(xiàn)在可以估算下午幾點(diǎn)合龍，從8：55到11：50,進(jìn)展的速度每小時(shí)減

少1.9米，從11：50到13：00,每小時(shí)寬度減少2.9米，小明認(rèn)為回填速度是越

來越快的，近似地每小時(shí)速度加快1米。從下午1點(diǎn)起，大約要5個(gè)多小時(shí)，即到

下午6點(diǎn)多才能合龍。但到了下午3點(diǎn)28分，電視里傳來了振奮人心的消息：大

江截流成功！小明后來想明白了，他估算的方法不好，現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，

設(shè)計(jì)一種較合理的估算方法（建立一種較合理的數(shù)學(xué)模型）進(jìn)行計(jì)算，使你的計(jì)算

結(jié)果更切合實(shí)際。

建模合理性分析：本題建模合理性有以下兩個(gè)評(píng)價(jià)點(diǎn)

⑴回填速度以每小時(shí)多少立方米填料計(jì)。這樣，能否建立合理的回填速度計(jì)算

模型便成為第一個(gè)評(píng)價(jià)要點(diǎn)。

⑵注意到回填速度是逐漸加快的：水流截面越大，水越深，回填時(shí)填料被沖走

的就越多，相應(yīng)的進(jìn)展速度就越慢。反之就越快。在模型中對(duì)回填速度越來越快這

一點(diǎn)如何作出較合理的假設(shè)，這是第二個(gè)評(píng)價(jià)要點(diǎn)。

4.數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的體會(huì)

①鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地參與，把教學(xué)過程更自覺地變成學(xué)生活動(dòng)的過程。

教師不應(yīng)只是“講演者”、“總是正確的指導(dǎo)者”而應(yīng)不時(shí)扮演下列角色：模

特——他不僅演示正確的開始，也表現(xiàn)失誤的開端和“撥亂反正”的思維技能。參

謀——提一些求解的建議，提供可參考的信息，但并不代替學(xué)生做出決斷。詢問者

一故作不知，問原因、找漏洞，督促學(xué)生弄清楚、說明白，完成進(jìn)度。仲裁者和

鑒賞者——評(píng)判學(xué)生工作成果的價(jià)值、意義、優(yōu)劣，鼓勵(lì)學(xué)生有創(chuàng)造性的想法和作

法。

②注意結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平，分層次逐步地推進(jìn)。

數(shù)學(xué)建模對(duì)教師、對(duì)學(xué)生都有一個(gè)逐步的學(xué)習(xí)和適應(yīng)的過程。教師在設(shè)計(jì)數(shù)

學(xué)建模活動(dòng)時(shí)，特別應(yīng)考慮學(xué)生的實(shí)際能力和水平，起始點(diǎn)要低，形式應(yīng)有利于

更多的學(xué)生能參與。在開始的教學(xué)中，在講解知識(shí)的同時(shí)有意識(shí)地介紹知識(shí)的應(yīng)

用背景。在應(yīng)用的重點(diǎn)環(huán)節(jié)結(jié)合比較多的訓(xùn)練，如實(shí)際語言和數(shù)學(xué)語言，列方程

和不等式解應(yīng)用題等。逐步擴(kuò)展到讓學(xué)生用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一些實(shí)際結(jié)果，

描述一些實(shí)際現(xiàn)象，模仿地解決一些比較確定的應(yīng)用問題，到獨(dú)立地解決教師提

供的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題和建模問題，最后發(fā)展成能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)、提出一些實(shí)際問題，

并能用數(shù)學(xué)建模的方法解決它。

③重視知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展過程教學(xué)。

由于知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展過程本身就蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)建模思想，因此老師既要重

視實(shí)際問題背景的分析、參數(shù)的簡(jiǎn)化、假設(shè)的約定，還要重視分析數(shù)學(xué)模型建立的

原理、過程，數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的轉(zhuǎn)化、應(yīng)用，不能僅僅講授數(shù)學(xué)建模結(jié)果，忽略數(shù)

學(xué)建模的建立過程。

④注意數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模的“活動(dòng)性”。

數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)建模的目的并不是僅僅為了給學(xué)生擴(kuò)充大量的數(shù)學(xué)課外知識(shí)，

也不是僅僅為了解決一些具體問題，而是要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)

素質(zhì)。因此我們不應(yīng)該沿用老師講題、學(xué)生模仿練習(xí)的套路，而應(yīng)該重過程、重參

與，更多地表現(xiàn)活動(dòng)的特性。

參考文獻(xiàn)

[1]全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的嘗試

一一”函數(shù)的應(yīng)用”課例及點(diǎn)評(píng)

執(zhí)教：北京順義城關(guān)第一中學(xué)茹玉蘭

點(diǎn)評(píng)：北京教科院基教研中心郭立昌

［評(píng)者按語］當(dāng)前，我們正在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中努力實(shí)施素質(zhì)教育，其

中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)造精神是一個(gè)重要方面。北京順義縣城關(guān)一中

茹玉蘭老師在“函數(shù)的應(yīng)用”復(fù)習(xí)課上，把數(shù)學(xué)建模引入課堂教學(xué)，做

了一次有益的嘗試，給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來一股清新的空氣，值得

研究。

—■、課例簡(jiǎn)介

(-)引言

教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，它

們?cè)趯?shí)際生活、生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用。今天大家嘗試一下，怎樣從實(shí)

際問題入手，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，通過抽象概括、建立數(shù)學(xué)模型來解決問

題。

(-)新課

例：順義縣城關(guān)鎮(zhèn)新建一個(gè)服裝廠，從今年7月份開始投產(chǎn)，并且前

4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，1.37萬件。由于產(chǎn)品

質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷售情況良好。為了推銷

員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受定單不至于過多或過少，需要估測(cè)以后兒個(gè)月的

產(chǎn)量，假如你是廠長(zhǎng)，將會(huì)采用什么辦法？

1、引導(dǎo)分析

教師引導(dǎo)學(xué)生審題，把學(xué)生置于“廠長(zhǎng)”的位置，調(diào)動(dòng)他們的情趣和

積極性。然后采用師生交流的方式，明確要研究的內(nèi)容，估測(cè)的依據(jù)和

方法，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到首先要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。由“月份”和

“產(chǎn)量”的“數(shù)對(duì)”，想到要建立直角坐標(biāo)系，描出各點(diǎn)位置，觀察連

線接近的函數(shù)圖象如圖?！坝蓴?shù)到形”，再“由形到數(shù)”，用幾個(gè)點(diǎn)的

坐標(biāo)找出與之相近的模擬函數(shù)，利用函數(shù)模型來解決問題。

產(chǎn)量

（萬件）

6

4

2

0

08

06

04

02

01(7)2(8)3(9)4(10)5(11)月份

2、討論模型

在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，找出模擬函數(shù)。

學(xué)生1：一次函數(shù)：fW）=b+b（尸NO）；

學(xué)生2：二次函數(shù)：以外=3？+石+c（&N0）；

￡

學(xué)生3：幕函數(shù)型：為00=收2+b；

學(xué)生4：指數(shù)函數(shù)型：/（x）=a"+c。

老師：很好，課下可以再考慮還有沒有哪些函數(shù)圖象更逼近這條曲線。

我們?cè)O(shè)月產(chǎn)量為y萬件，月份數(shù)為”,建立直角坐標(biāo)系，可得A(1,

1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)。下面同學(xué)們分成四個(gè)

組，分別確定各個(gè)函數(shù)的解析式(允許用計(jì)算器)，然后每組選出一位

同學(xué)來板演過程，并計(jì)算出剩余點(diǎn)的誤差。

(經(jīng)過各小組學(xué)生的討論，確定了各函數(shù)的解析式，并推選學(xué)生5、

學(xué)生6、學(xué)生7、學(xué)生8分別上臺(tái)板演。)

學(xué)生5：直線〃%)=以+"(2=0),將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，

有J(2)=2上+6=1.2,/(3)=3k+b=1.3解得

方=0.1,b=l故/'(x)=O.Lx+1

將A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得F(D=L1,與實(shí)際誤差為0.1,

/⑷=1.4,與實(shí)際誤差為0.03。

學(xué)生6：二次函數(shù)以切=公2+慶+C(&N°),將A、B、C三點(diǎn)

的坐標(biāo)代入，有

g(l)-a+b+c=\,g(2)=4(2+2Z?+c=1.2,

g(3)=9a+3b+c=1.3解得a=-0.05,6=0.35,c=0.7故

2

g(x)=-0.05x+0.35K+0.7。將D點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

g(4)=-0.05x42+0.35x4+0.7=1,3,與實(shí)際誤差為向。

學(xué)生7：基函數(shù)型“(式)=收2+b,將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，有

A(l)-a+b=\/z(2)=^2a+b=1.2,解得

工

a"0.48,6*0.52o故3)=0.48戶+0.52。將&D兩點(diǎn)的坐

標(biāo)代入，得力⑶=048>5+0.52=1.35,與實(shí)際誤差為0.05；

力⑷=0.48x2+0.52=1.48,與實(shí)際誤差為°口。

學(xué)生8：指數(shù)函數(shù)型，將A、B、c三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，

得，⑴="6+c=]/(2)=ab2+c=1.2,

/(3)=ab3+c=1.3解得&=_0.8,b=0.5c=1.4故

x

/(x)--0.8x(0.5)+1.4o將D點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

/⑷=-0.8X(0.5)4+1.4=1.35,與實(shí)際誤差為0.02。

3、評(píng)價(jià)模型

教師引導(dǎo)學(xué)生比較上述4個(gè)模擬函數(shù)的優(yōu)劣，指出既要考慮到剩余點(diǎn)

誤差最小，又要考慮生產(chǎn)的實(shí)際問題，比如增產(chǎn)的趨勢(shì)和可能性。經(jīng)過

篩選，普遍認(rèn)為,(X)最佳，一是誤差值最小，二是由于新建廠，開始隨

著工人技術(shù)、管理效益逐漸提高，一段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量明顯上升，但到一定

時(shí)期后，設(shè)備不更新，那么產(chǎn)量必然要趨于穩(wěn)定，而,(X)恰好反映了這

種趨勢(shì)，因此選用‘(x)~S8x(S5)'+L4比較接近客觀實(shí)際。

4、師生小結(jié)

師生一起小結(jié)了上例建模的一般過程：

(1)調(diào)查實(shí)驗(yàn)得出原始數(shù)據(jù)對(duì)；

(2)建立直角坐標(biāo)系，描出這些點(diǎn)；

(3)觀察圖象，確定用哪種函數(shù)模型；

(4)對(duì)模型進(jìn)行分析評(píng)價(jià)。

(三)練習(xí)

投影打出在順義縣經(jīng)委調(diào)查得來的1993~1998年縣財(cái)政收入情況:

年度199319941995199619971998

收入(萬元)258993050437997488986680085000

(1)請(qǐng)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)順義縣以后幾年的財(cái)政收入情況。

(2)計(jì)算順義縣財(cái)政收入的平均年增長(zhǎng)率。

(3)由(1)、(2)分別預(yù)測(cè)1999年順義縣財(cái)政收入，并討論哪種

預(yù)測(cè)結(jié)果更有可行性，假如你是縣長(zhǎng)，將會(huì)采用哪種模型？

經(jīng)過師生討論，得出二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)等，由于時(shí)間關(guān)系,

只要求建立兩個(gè)模型。

注：“年次”中第1年即1993年，其他依此類椎。

學(xué)生9：設(shè)八切=公2+/+。(4工0,工之1),將八、B、C三點(diǎn)

的坐標(biāo)代入，得

/(I)=a+b+c=2.59,/(2)=4a+2b+c=3.05,

/(3)=9tz+3Z?+c=3.80

解得F(K)=0.145x?+0.025K+2.42。計(jì)算得〃4)=4.84,

/(5)=6.17"6)=7.79,與實(shí)際誤差分別為o.05,0.51,0.71。

學(xué)生10：設(shè)將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

g(l)=ab+c=2.59g(2)=ab2+c=3.05

g(3)=ab3+c=3.80解得g(x)=0.448x(1.63)'+1.86計(jì)

算得，g⑷=5.02,g(5)=7.01,g⑹=10.26。與實(shí)際誤差分

別為0.13,0.33,1.760

對(duì)兩個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，得F(x)=°-145^2+0.025X+2.42較

好。

對(duì)于(2),學(xué)生由1993、1998年財(cái)政收入，設(shè)平均年增長(zhǎng)率為0,

有2.59x(l+a)5=8.5得a=26.83%

教師指出順義縣年增長(zhǎng)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于全國(guó)的年增長(zhǎng)率8%,北京市的

9%,我們應(yīng)為家鄉(xiāng)感到驕傲。能不能從增長(zhǎng)率的角度再建立一個(gè)財(cái)政收

入的數(shù)學(xué)模型呢？

學(xué)生得到力(幻=2.59?(1+26.83%)*,。

用/(X)和力G),分別預(yù)測(cè)1999年財(cái)政收入：

/(7)=0.145x72+0.025x7+2.42=9.76(億)

/z(7)=2.59x(l+26.83%)6=10.78(億)

分析順義縣經(jīng)濟(jì)發(fā)展形勢(shì)，兩種預(yù)測(cè)都有可行性，但是選擇IS)比

較穩(wěn)妥和留有余地，所以選用FG)較好。

（四）小結(jié)

在肯定了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)造精神的基礎(chǔ)上，歸納整理了數(shù)學(xué)建模

的概念和基本程序，鼓勵(lì)學(xué)生自己嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法去解決生活

和生產(chǎn)中的實(shí)際問題。

二、課例點(diǎn)評(píng)

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)學(xué)建模的教學(xué)是一個(gè)新的嘗試和探索。它是

指從實(shí)際問題入手，建立數(shù)學(xué)模型，求出數(shù)學(xué)模型的解并驗(yàn)證模型解的

全過程。把數(shù)學(xué)建模引入課堂教學(xué)，從教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、

教學(xué)手段上都將會(huì)給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革帶來新的突破，在這方面沒有什

么現(xiàn)成經(jīng)驗(yàn)可以借鑒，需要進(jìn)行多種形式的實(shí)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)建模中的實(shí)際問題背景更加復(fù)雜，解答具有更大的綜合性和多樣

性，而結(jié)論還需要進(jìn)行檢驗(yàn)和優(yōu)化，帶有更大的挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)

建模的教學(xué)使學(xué)生走出課本，走出傳統(tǒng)的習(xí)題演練；使他們進(jìn)入生活、

生產(chǎn)的實(shí)際中，進(jìn)入一個(gè)更加開放的天地；使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的由來、

數(shù)學(xué)的應(yīng)用，體驗(yàn)到一個(gè)充滿生命活力的教學(xué)，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意

識(shí)和創(chuàng)造精神顯然是一個(gè)很好的途徑。

茹玉蘭老師這節(jié)課的教學(xué)中，按照教學(xué)進(jìn)度安排在高一年級(jí)講授事函

數(shù)、指數(shù)函數(shù)的內(nèi)容以后進(jìn)行，選用的實(shí)際問題經(jīng)過教師加工簡(jiǎn)化，貼

近教材，便于學(xué)生在建模過程中綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)，達(dá)到鞏固提高的目

的，也便于通過簡(jiǎn)化的問題領(lǐng)會(huì)建模的過程，使數(shù)學(xué)建模帶有更大的示

范性。

應(yīng)用意識(shí)是一種觀念，要通過對(duì)學(xué)生長(zhǎng)期的滲透和學(xué)生的自身體驗(yàn)才

能形成，而這與學(xué)生的非智力因素密切相關(guān)。茹玉蘭老師在提出問題以

后，讓學(xué)生轉(zhuǎn)換角色，“假如你是廠長(zhǎng)”，“假如你是縣長(zhǎng)”，把他們

置于自主解決問題的地位，帶有更大的責(zé)任感，激發(fā)了解決問題的動(dòng)機(jī),

調(diào)動(dòng)了情感因素。教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生建模、演算的結(jié)果，及時(shí)肯定和表

揚(yáng)，并采用小組合作的形式，組織學(xué)生討論，給他們展示學(xué)習(xí)成果的機(jī)

會(huì)，激發(fā)了探索精神。把培養(yǎng)非智力因素和智力因素有機(jī)地結(jié)合起來，

使數(shù)學(xué)建模的教學(xué)注入動(dòng)力機(jī)制，有利于應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。

分析一下數(shù)學(xué)建模的過程，大致由三部分組成:

數(shù)學(xué)建模教學(xué)成功的關(guān)鍵是要在這個(gè)過程中引導(dǎo)學(xué)生深層次的參與，

充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，這就要在教學(xué)中留給學(xué)生充分的空間和時(shí)間,

尤其是②、③兩個(gè)過程，更多地體現(xiàn)著數(shù)學(xué)建模教學(xué)的特色?？梢钥吹?

要搞好數(shù)學(xué)建模教學(xué)，需要結(jié)合上述過程，對(duì)能力培養(yǎng)進(jìn)行分解落實(shí)，

提高教學(xué)的意識(shí)性。在過程①中，要培養(yǎng)閱讀和語言轉(zhuǎn)化能力，這里包

括由普通語言抽象為數(shù)學(xué)文字語言，再抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)語言。因?yàn)橹挥?/p>

出現(xiàn)了符號(hào)語言的形式，才能聯(lián)想和應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；要培養(yǎng)抽象、

概括能力，數(shù)學(xué)建模實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)去粗取精，去偽存真，抽象概括的

過程；還要培養(yǎng)數(shù)學(xué)檢索能力，從已有的知識(shí)中認(rèn)定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，

這與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的好壞有關(guān)。在過程②中，不僅需要基本的數(shù)學(xué)能力,

而且?guī)в懈蟮木C合性和靈活性，在過程③中，要培養(yǎng)聯(lián)系實(shí)際，全面

考慮問題的能力。教學(xué)中，只有對(duì)上述能力具體落實(shí)，才能取得較好的

效果。茹玉蘭老師在教學(xué)中已注意到這點(diǎn)，但還需進(jìn)一步改進(jìn)。

在一個(gè)數(shù)學(xué)建模的課例中，由于學(xué)生知識(shí)水平和課時(shí)的限制，不可能

進(jìn)行完全科學(xué)的建模過程。比如建立函數(shù)關(guān)系式由于已知點(diǎn)的選擇不同

對(duì)數(shù)學(xué)模型的影響；怎樣科學(xué)地比較各個(gè)模型的優(yōu)劣；怎樣調(diào)整數(shù)學(xué)模

型等，今后還可以進(jìn)一步展開。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，把課內(nèi)教學(xué)與課外

活動(dòng)結(jié)合起來是一條值得探索的途徑，它將形成一個(gè)新的教學(xué)模式，這

也是我們正在研究的問題。

數(shù)學(xué)問題的模型求解

上海市田林三中陳愛華

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，同一內(nèi)容可以用不同的方法進(jìn)行講解，較為直觀的

方法可以啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立地思考，培養(yǎng)他們的邏輯推理能力，特別是

把握具體問題中數(shù)量之間的關(guān)系.數(shù)學(xué)是一門推理性很強(qiáng)的學(xué)科，我們不

能象語文和英語等課程那樣要求學(xué)生去熟記這樣的規(guī)則或那樣的公式，

否則會(huì)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得枯燥乏味。在我國(guó)小學(xué)年齡段的女生的數(shù)學(xué)成績(jī)

往往高于男生，但隨著年齡的增長(zhǎng)，特別是到了高中階段她們的數(shù)學(xué)成

績(jī)卻顯得越來越差。究其原因，其實(shí)不在于他們的年齡，而是在于小學(xué)

時(shí)代女孩子通常較為順從，記憶力強(qiáng)，這就足以應(yīng)付加減乘除等少量的

規(guī)則和公式，然而到了初中和高中階段，數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于邏輯推理能力的

要求越來越高，光靠記憶力已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。有的教師常感到困惑：某某學(xué)

生上一次考了90分，這一次怎么僅考了個(gè)60分，其中最為主要的原因

恐怕是“公式化”、“規(guī)則化”的教學(xué)方法。要改變這種狀況，首先要

求不斷更新我們的教材，其次要改變過時(shí)的教育觀念，作為教師更為重

要的是在教學(xué)方法上下功夫：教師應(yīng)以學(xué)生為中心，采用直觀的教學(xué)方

法和手段，啟發(fā)學(xué)生，逐步開發(fā)每一個(gè)學(xué)生的潛力，幫助他們提高分析、

推理和綜合能力。

下面從一個(gè)具體的問題出發(fā)探討一下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)值得采用

的啟發(fā)式教學(xué)方法一一條形圖模型。

例1：小明和小剛共有蘋果若干，小明的蘋果數(shù)是小剛的5倍。若

小明給小剛36個(gè)蘋果，他們兩人的蘋果就一樣多，間他們共有多少個(gè)蘋

果？

這一問題可用列二元一次方程組求解，若令X和了分別為小明和小

剛原有的蘋果數(shù)，那么X和了滿足下面的二元一次方程組:

x-36=y+36容易解得，x=90,V=18,從而X+y=i08,

即小明和小剛共有蘋果108個(gè)。

這一問題可用條形圖模型求解如下：將小剛原有的蘋果數(shù)視為一個(gè)

單位，那么由題意，小明原有的蘋果數(shù)為5個(gè)單位，由此得到模型：

起先后來

小明IIIIII小明III1-7-1

小剛[―]小剛|||1J

36

2個(gè)單位~36,6個(gè)單位f36+2X6=108。所以小明和小剛共有108

個(gè)蘋果。

可見條形圖可使數(shù)量之間的關(guān)系變得一目了然，然后的求解過程只

涉及簡(jiǎn)單的加減乘除運(yùn)算（而不是解方程或方程組）。條形圖方法具有:

（1）簡(jiǎn)單直觀，富有啟發(fā)性；（2）易于反映量與量之間的關(guān)系；（3）

易于反映量的變化（增加或減少）的過程；（4）易于教師講解，特別是

進(jìn)行多媒體教學(xué)；（5）易于學(xué)生提高邏輯推理能力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性

思維能力。

下面進(jìn)一步就初中數(shù)學(xué)中的兒類問題分別舉例說明這種模型化解題

的具體應(yīng)用。

一、分?jǐn)?shù)問題

211

例2：某中學(xué)5的學(xué)生是女生，其余是男生。其中2的女生，2的

男生參加了校運(yùn)動(dòng)會(huì)。如果此中學(xué)共有570名學(xué)生沒有參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)，

問學(xué)校共有多少學(xué)生？

解：將學(xué)校的學(xué)生分成5個(gè)單位，則由題意，其中2個(gè)單位是女生,

3個(gè)單位是男生，由此可得下面的模型：

??]I—?????i

女生男生參加之女）未蓊加參加（男）

未參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的共有1個(gè)單位+2個(gè)單位=2個(gè)單位,

2個(gè)單位一570,5個(gè)單位一1140。所以該學(xué)校共有1140個(gè)學(xué)生。

二、比例問題

例3：4月份小王與小李在銀行的儲(chǔ)蓄額是3:5,到了6月份小王的

儲(chǔ)蓄額增加了28元，而小李的儲(chǔ)蓄額卻減少了14元，結(jié)果他們兩位的

儲(chǔ)蓄額正好相等，問小李4月份的儲(chǔ)蓄額是多少？

解：由題意，可將4月份小王和小李的儲(chǔ)蓄額分別視為3個(gè)單位和

5個(gè)單位，由此得到模型：

4月份6月份

小王_________<1、王一28元

1111

|=1>

小李小李14元

2個(gè)單位

2個(gè)單位一(28+14)元=42元，5個(gè)單位-42元+2X5=105元。

所以小李的儲(chǔ)蓄額為105元。

三、百分比問題

例4：某中學(xué)80%的學(xué)生是男生，新學(xué)期開始時(shí)，學(xué)校共增加了320

名學(xué)生，男生增加了25%,而女生數(shù)正好翻一倍，問原來學(xué)校共有多少

學(xué)生？

解：按題意可將學(xué)校原來的女生數(shù)視為1個(gè)單位，男生數(shù)視為4個(gè)

單位(5個(gè)單位的80%),由此得到模型：

開學(xué)前開學(xué)后

男生男生25%X4個(gè)單位

一新男生

女生女生1個(gè)單位

□???

新女生

2個(gè)單位一320,5個(gè)單位―320+2X5=800。所以學(xué)校原來共有學(xué)

生800名。

四、面積問題

例5：有三個(gè)正方形X、Y、Z重疊在一起（見圖）。X、Y和Z的面

積之比為1:2:3。正方形Y的40%被X所覆蓋形成陰影，問非陰影部分

占多少百分比？

解：由于Y被X覆蓋形成的陰影部分占整個(gè)圖形的40%k,故可將

陰影部分視為4個(gè)單位，再根據(jù)正方形X、Y、Z的比例可列出下面的模

型：

x??xmm

y|||=t>YIIIIIII「II

z???-iz11111111111irm

可見整個(gè)圖形被分割成為15+1=16單位，所以非陰影部分占整個(gè)

12

圖形的16X100%=75%o

五、收益問題

例6：一商人有一臺(tái)電視機(jī)，如果以原價(jià)的10%打折出售，他還可

贏利150元，但如果打折30%出售，那么他要蒙受150元的損失，問電

視機(jī)的成本價(jià)是多少？

解：商品的價(jià)格有三種：成本價(jià)、銷售價(jià)和原價(jià)之分。我們?cè)诮膺@

類題目時(shí)經(jīng)常將商品的原價(jià)視為一個(gè)單位或100%。由此根據(jù)題意我們

可作出下面的模型：

h-------------------------------原價(jià)------------------H

k----------------------------銷售價(jià)---------------H

H--------------------------成本價(jià)----------->1

贏利150

I[II

10%

30%

30%—10%=20%-150元+150元=300元，100%f300元

?20X100=1500元（通常價(jià)格）。電視機(jī)的成本價(jià)=90%X1500元一

150元=1200元（或70%X1500元+150元=1200元）。

六、行程問題

例7：兩城市A和B之間的距離為210公里。上午8點(diǎn)30分有一輛

轎車以平均速度60公里/小時(shí)從A出發(fā)駛向B,同時(shí)另有一輛公共汽車

以平均速度45公里/小時(shí)從B出發(fā)駛向A,問當(dāng)轎車與公共汽車相遇時(shí),

公共汽車行駛了多少路程？

解：公共汽車與轎車所行駛的距離之比等于兩者的速度之比，即

60:45=4:3,因此我們可將A到B的整個(gè)路程分7個(gè)單位，進(jìn)而得到下

面的模型：

悵----------210公里---------->|

AiIIIIIII*

'------轎車------普一公共汽車一

4個(gè)單位+3個(gè)單位=7個(gè)單位一210公里，3個(gè)單位一210公里

4-7X3=90公里。所以當(dāng)轎車與公共汽車相遇時(shí)公共汽車行駛了90公

里。

上面的幾類問題均可用設(shè)求未知數(shù)列方程的方式求解，例如上面的

例2至例5可用一元一次方程求解，例6和例7可用二元一次方程組求

解，請(qǐng)讀者自己完成。

數(shù)學(xué)建模與初中數(shù)學(xué)教學(xué)

談初一年級(jí)濃度問題的教學(xué)體會(huì)

福建省安溪縣第六中學(xué)（362400）謝俊民

20世紀(jì)以來，科學(xué)技術(shù)得到了飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)在這個(gè)發(fā)展過程中起

了非常重大的作用。今天，社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的需求并不只是需要數(shù)學(xué)家，而

是大量善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)的思維方法來解決實(shí)際問題的各種人

才，把實(shí)際問題化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，這就稱為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型不同

于一般的模型，它是用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)的一種模型，即把一個(gè)實(shí)際問

題中某些事物的主要特征、主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)語言，近似地反映客觀

事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化過程。

列方程解濃度問題作為分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問題的實(shí)際應(yīng)用題，不僅在工

農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)常碰到，而且在以后學(xué)習(xí)等比數(shù)列、指數(shù)方程的課程也常

涉及，學(xué)生對(duì)理解和掌握這部分內(nèi)容歷來都比較困難，是初一年級(jí)數(shù)學(xué)

的難點(diǎn)之一。本文擬就我在多年來的教學(xué)中，如何利用數(shù)學(xué)建模來突破

初一年級(jí)濃度應(yīng)用題這一難點(diǎn)教材的一些做法和體會(huì)。

?、建立數(shù)學(xué)模型，講清濃度問題的概念和關(guān)系

在初一年級(jí)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，針對(duì)初一年級(jí)學(xué)生年齡小，抽象思維能

力較弱的特點(diǎn)，采用直觀演示的教學(xué)，建立數(shù)學(xué)模型，講清溶液、溶質(zhì)、

溶劑及濃度四個(gè)名詞概念及其兩個(gè)關(guān)系式。課前準(zhǔn)備一只裝有90克水的

玻璃杯和一只裝有10克食鹽的玻璃杯，上課時(shí)把90克的水倒入裝有10

克食鹽的玻璃杯中均勻攪拌后得到鹽水100克。在這個(gè)問題中，引導(dǎo)學(xué)

生建立數(shù)學(xué)模型：溶液——100克鹽水，溶質(zhì)——10克食鹽，溶劑——90

克水，濃度一一鹽水中含鹽的百分?jǐn)?shù)（10%）.再引導(dǎo)學(xué)生建立它們之

間的兩個(gè)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型：

（1）溶液（鹽水）重量=溶質(zhì)（鹽）重量+溶劑（水）重量。

(2)

溶質(zhì)（鹽）重量

濃度=XI00%“質(zhì)翦第（水產(chǎn)。%

溶液（鹽水）重量

又例如：濃度為75%的酒精溶液X克中，含純酒精多少克？含水多

少克？

這個(gè)問題采用上面的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生就可以得到：溶液一一酒精溶

液，溶質(zhì)一一純酒精，溶劑一一水。

純酒精重量（溶質(zhì)）=酒精溶液重量X濃度=XX75%=75%X

（克）。

水重量（溶劑）=酒精溶液重量一純酒精重量（溶質(zhì)）=（X-75%

X）克。

二、建立數(shù)學(xué)模型，尋找解題鑰匙

在教學(xué)過程中，根據(jù)各種題型的解題過程中，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，通過

觀察、分析，弄清混合前后溶液、溶質(zhì)、溶劑和濃度哪些量發(fā)生變化，

哪些量沒有發(fā)生變化。然后引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住一個(gè)關(guān)鍵性相等關(guān)系建立

數(shù)學(xué)模型：

混合前溶質(zhì)的重量=混合后溶質(zhì)的重量

同時(shí)，強(qiáng)調(diào)它是解決濃度問題的一把共同鑰匙，不管題型如何變化,

只要抓住這把鑰匙總可以列方程解出應(yīng)用題，下面就濃度問題的三種類

型分別作如下講解：

1、稀釋問題

例1：要把30克含鹽16%的鹽水稀釋成含鹽0.15%的鹽水，需要

加水多少克？

（現(xiàn)行教材P.229例7）

分析：根據(jù)圖示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析，并提出下列問題要學(xué)

生回答：（1）含鹽16%的鹽水30克中含鹽多少克？（2）加上X克的

水后得到含鹽0.15%的鹽水溶液多少克？含鹽多少克？（3）混合前含

鹽量和混合后含鹽量有沒有變化？再引導(dǎo)學(xué)生列出下表：

混合前

|鹽水'J水|=|鹽水|16%的鹽水水0.15

|16%||||0.閾重量30克X克(30

溶質(zhì)罐）16%X30克00.19%

相等關(guān)系：混合前溶質(zhì)的重量=混合后溶質(zhì)的重量。

列出方程：16%X30+0=0.15%(30+X)。

2、加濃（濃縮）問題

例2：有含鹽15%的鹽水20千克，要使鹽水含鹽20%,需要加鹽

多少千克？（現(xiàn)行教材P.232練習(xí)第3題）分析：根據(jù)下列圖示，引導(dǎo)

學(xué)生通過觀察、分析，并要求學(xué)生回答下列問題：（1）濃度15%的鹽

水20千克含鹽多少千克？（2）加X千克鹽后成為含鹽20%的鹽水多少

千克？其中含鹽多少千克？（3）混合前含鹽量和混合后含鹽量有沒有變

化？再引導(dǎo)學(xué)生填寫下表：

混合前環(huán)

鹽水15%的鹽水鹽20

15%重量20千克X千克(20

溶質(zhì)信）15%X20千克X千克20%(2

相等關(guān)系：混合前溶質(zhì)的重量=混合后溶質(zhì)的重量。

列出方程：15%X20+X=20%（20+X）。

例3：在含鹽24%的鹽水2000克，要使鹽水含鹽量變?yōu)?0%,應(yīng)

蒸發(fā)掉多少克的水份？

分析：根據(jù)下列圖示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析，并要求學(xué)生回答

下列問題：（1）含鹽24%的鹽水2000克含鹽多少克？（2）蒸發(fā)掉X克

的水份后成為含鹽30%的鹽水重多少克？其中含鹽多少克？（3）蒸發(fā)

前含鹽量與蒸發(fā)后含鹽量有沒有變化？再引導(dǎo)學(xué)生列出下表：

蒸發(fā)前我

鹽水24%的鹽水水30

24%-臼二圓重量2000克X克(20

溶質(zhì)借）24%X2000克030%(2

相等關(guān)系：蒸發(fā)前溶質(zhì)的重量=蒸發(fā)后溶質(zhì)的重量。

列出方程：24%X2000=30%（2000—X）。

3、溶液與溶液混合問題

例4：在含鹽20%的鹽水30千克里，要加入含鹽40%的鹽水多少

千克，才會(huì)使鹽水濃度變?yōu)?0%?

分析：根據(jù)圖示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析，并要求學(xué)生明確兒個(gè)

問題：（1）含鹽20%的鹽水30千克含鹽多少千克？（2）加入含鹽40%

的鹽水X千克中含鹽多少千克？（3）兩種鹽水混合后得到多少千克含鹽

30%的鹽水？其中含鹽多少千克？（4）混合前含鹽量與混合后含鹽量有

沒有變化？再引導(dǎo)學(xué)生列出下表：

混合前笠

|鹽水||鹽水|二|鹽水|20%的鹽水40%的鹽水30

20%40%一130%|重量30千克X千克(30

溶質(zhì)罐）20%X30千克40%XX千克30%(：

相等關(guān)系：混合前溶質(zhì)的重量=混合后溶質(zhì)的重量。

列出方程：20%X30+40%X=30%(30+x)

總之，對(duì)于某些實(shí)際問題，可以通過建立合理的數(shù)學(xué)模型作為橋梁

來解決，對(duì)于相同類型的問題，采用相同的數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生的思維過

程形象化、公式化。這樣，學(xué)生學(xué)起來不感到抽象、難懂，并能增強(qiáng)記

憶和理解，容易被學(xué)生所接受。同時(shí)，通過直觀演示配合列表，把問題

中的已知條件、未知條件列入表中，使題目更加條理化，幫助學(xué)生透徹

理解題意，就容易找出相等關(guān)系列出方程，使教學(xué)的難點(diǎn)得以突破。一

個(gè)學(xué)生是否具有數(shù)學(xué)的創(chuàng)造能力的一個(gè)重要標(biāo)志是他是否有建立并應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型的能力。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)充分重視培養(yǎng)這種能力，鼓勵(lì)他

們獨(dú)立思考、勇于探索，發(fā)現(xiàn)前人尚未發(fā)現(xiàn)問題的新結(jié)論、新方法。

中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)構(gòu)想與實(shí)踐

四川省鄰水二中數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用課題組馮永明、張啟凡、劉鳳文

為適應(yīng)21世紀(jì)數(shù)學(xué)課程改革中加強(qiáng)應(yīng)用性、創(chuàng)新性，重視聯(lián)系學(xué)生

生活實(shí)際和社會(huì)實(shí)踐的要求，我們開展了中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用的研

究和實(shí)踐，目的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和應(yīng)用能力，把學(xué)生從純理論解

題的題海中解放出來，把學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)的始終,

讓學(xué)生學(xué)得生動(dòng)活潑，使數(shù)學(xué)素質(zhì)教育躍上一個(gè)新的高度?，F(xiàn)將我們?cè)?/p>

教學(xué)中的構(gòu)想和實(shí)踐作一個(gè)簡(jiǎn)介，并求教于廣大同行。

1、中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的基本理念

1.1使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)

值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

1.2學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活

中的問題，進(jìn)而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神。

1.3以數(shù)學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，學(xué)會(huì)團(tuán)結(jié)協(xié)作，

建立良好人際關(guān)系、相互合作的工作能力。

1.4以數(shù)學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)

展所必需的重要數(shù)學(xué)事實(shí)（包括數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的

思想方法和必要的應(yīng)用技能。

2、貫徹應(yīng)用意識(shí)的課堂數(shù)學(xué)環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的主戰(zhàn)場(chǎng)是課堂，如何圍繞課堂教學(xué)選取典型素材激

發(fā)學(xué)生興趣，以潤(rùn)物細(xì)無聲的形式滲透數(shù)學(xué)建模思想，提高建模能力呢？

根據(jù)我們的實(shí)踐，采用知識(shí)的發(fā)生、形成過程與應(yīng)用相滲透的教學(xué)模式

可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，以“問題情景一一建立模型一一解釋、應(yīng)用與拓展”

的基本敘述方式，使學(xué)生在樸素的問題情景中，通過觀察、操作、思考、

交流和運(yùn)用中，掌握重要的現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)的思想方法，逐步形成

良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，強(qiáng)化運(yùn)用意識(shí)。這種教學(xué)模式要求教師以建模的

視角來對(duì)待和處理教學(xué)內(nèi)容，把基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與應(yīng)用結(jié)合起來，使

之符合“具體一一抽象--一具體”的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

其五個(gè)基本環(huán)節(jié)是：

2.1創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)求知欲

根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，

選編合適的實(shí)際應(yīng)用題，讓學(xué)生帶著問題在迫切要求下學(xué)習(xí)，為知識(shí)的

形成做好情感上的準(zhǔn)備，并提供給學(xué)生充分進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)和交流的

機(jī)會(huì)。

2.2抽象概括，建立模型，導(dǎo)入學(xué)習(xí)課題

通過學(xué)生的實(shí)踐、交流，發(fā)表見解，搜集、整理、描述，抽象其本

質(zhì)，概括為我們需要學(xué)習(xí)的課題，滲透建模意識(shí)，介紹建模方法，學(xué)生

應(yīng)是這一過程的主體，教師適時(shí)啟發(fā)，介紹觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、矯正與

調(diào)控等合情推理模式，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者與

共同研究者。

2.3研究模型，形成數(shù)學(xué)知識(shí)

對(duì)所建立的模型，靈活運(yùn)用啟發(fā)式、嘗試指導(dǎo)法等教學(xué)方法，以教

師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體完成課題學(xué)習(xí)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，并

獲得新的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.4解決實(shí)際應(yīng)用問題，享受成功喜悅

用課題學(xué)習(xí)中形成的數(shù)學(xué)知識(shí)解答開始提出的實(shí)際應(yīng)用題。問題得

以解決，學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)在解決問題時(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)到所學(xué)

知識(shí)的用途和益處，成功的喜悅油然而生。

2.5歸納總結(jié)，深化目標(biāo)

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，指導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，拓展知識(shí)的一般結(jié)論，指出這

些知識(shí)和技能在整體中的相互關(guān)系和結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)新問

題，同化新知識(shí)，并構(gòu)建自己的智力系統(tǒng)。同時(shí)體會(huì)和掌握構(gòu)建數(shù)學(xué)模

型的方法，深化教學(xué)目標(biāo)。此外，通過解決我國(guó)當(dāng)前亟待解決的緊迫問

題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會(huì)發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)與參與意識(shí)，

發(fā)揮數(shù)學(xué)的社會(huì)化功能。

3、中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的教學(xué)方式

根據(jù)我們的實(shí)踐，數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)結(jié)合正常的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行切入，

把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)落實(shí)在平時(shí)的教學(xué)過程中，以教材為載體，以改

革教學(xué)方法為突破口，通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)加工、處理和再創(chuàng)造達(dá)到

在學(xué)中用，在用中學(xué)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)的精神、思想和方法。

3.1從課本中的數(shù)學(xué)出發(fā)，注重對(duì)課本原題的改變

對(duì)課本中出現(xiàn)的應(yīng)用問題，可以改變?cè)O(shè)問方式、變換題設(shè)條件，互

換條件結(jié)論，結(jié)合拓廣類比成新的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用問題；對(duì)課本中的純數(shù)

學(xué)問題，可以依照科學(xué)性、現(xiàn)實(shí)性、新穎性、趣味性、可行性等原則，

編擬出有實(shí)際背景或有一定應(yīng)用價(jià)值的建模應(yīng)用問題。按照這種方式開

展教學(xué)活動(dòng)，可使學(xué)生受到如何將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、抽象為數(shù)學(xué)問題的

訓(xùn)練。

例1：如圖，三個(gè)相同的正方形，求證：Zl+Z2+Z3=90°o

此問題多次出現(xiàn)在課本上（高中《代數(shù)》上冊(cè)P.203的復(fù)習(xí)參考題9,

下冊(cè)P.206的例4,初中《幾何》第二冊(cè)P.67的復(fù)習(xí)參考題21）,其重

要性可見一斑。以此問題為原型，可編擬如下一道應(yīng)用問題：在距電視

塔底部100米，200米，300米的三處，觀察電視塔頂，測(cè)得的仰角之和

為90°,那么電視塔高為多少？只要有課本題的基礎(chǔ)，就一定得出電視

塔高為100米，否則三個(gè)仰角之和要么大于90°,要么小于90°。

只要教師做有心人，精心設(shè)計(jì)，課本中的數(shù)學(xué)問題大都可挖掘出生

活模型，選擇緊貼社會(huì)實(shí)際的典型問題深入分析，逐漸滲透這方面的訓(xùn)

練，使學(xué)生養(yǎng)成自覺地把數(shù)學(xué)作為工具來用的意識(shí)。在這一過程中，既

培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力的目的，又活躍了課堂教學(xué)活動(dòng)，容易

引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.2從生活中的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)

日常生活是應(yīng)用問題的源泉之一，現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題可通過建

立中學(xué)數(shù)學(xué)模型加以解決，如合理負(fù)擔(dān)出租車資、家庭日用電量的計(jì)算、

紅綠燈管制的設(shè)計(jì)、登樓方案、住房問題、投擲問題等，都可用基礎(chǔ)數(shù)

學(xué)知識(shí)、建立初等數(shù)學(xué)模型，加以解決。

例2：某建筑工地要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只

能沿AP、BP運(yùn)到P處（如圖），其中：AP=100米，BP=150米，ZAPB

=60°,請(qǐng)問怎樣運(yùn)土才能最省工？

分析：“省工”的數(shù)學(xué)語言是：到P的距離最近，，半圓中的點(diǎn)可

分為3類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP,

BP到P等距。其中第三類點(diǎn)集是（1）、（2）類點(diǎn)集的交集（分界線）。

設(shè)乂為分界線上的任一點(diǎn)，則|則十*|=|啊+跳|,二|瓶|一|啊

=|PB|-|PA|=50（定值），在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，易

得|=175°°。以AB為“軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

得邊界線為雙曲線上弧：3750K2-625y2=625x3750（x>25）。

故運(yùn)土?xí)r在雙曲線弧左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處

最省工。

只要結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生考慮生活中的數(shù)學(xué)，會(huì)加深

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)貙⑵淙谌胝n堂教學(xué)活動(dòng)中，會(huì)增強(qiáng)數(shù)

學(xué)應(yīng)用的信心，獲得必要的應(yīng)用技能。

3.3以社會(huì)熱點(diǎn)問題出發(fā)，介紹建模方法

國(guó)家大事、社會(huì)熱點(diǎn)、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中涉及諸如成本、利潤(rùn)、儲(chǔ)蓄、保

險(xiǎn)、投標(biāo)及股份制等，是中學(xué)數(shù)學(xué)建模問題的好素材.，適當(dāng)?shù)倪x取，融

入教學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)生掌握相關(guān)類型的建模方法，不僅可以使學(xué)生樹立

正確的商品經(jīng)濟(jì)觀念，而且還為日后能主動(dòng)以數(shù)學(xué)的意識(shí)、方法、手段

處理問題提供了能力上的準(zhǔn)備。

例3：廣渝高速公路指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后將有一場(chǎng)超歷史記

錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)筑一?道堤壩以防

山洪淹沒正在緊張施工的華墓山隧道工程。經(jīng)測(cè)算，其工程量除現(xiàn)有施

工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)。但是，除了

有一輛車可立即投入施工外，其余車輛需從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘

能有--輛車到達(dá)并投入施工。已知指揮部最多可組織到25輛車，間24

小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？說明理由。

“可以設(shè)想，計(jì)算者感受到形勢(shì)的危急和責(zé)任的重大，周圍是熱切

期盼的目光，數(shù)學(xué)與生命財(cái)產(chǎn)連在一起：必須盡快算出來，算準(zhǔn)確。如

果幾個(gè)小時(shí)后才算出來，那就沒用了！算錯(cuò)了，其后果將是災(zāi)難性的。

當(dāng)你斷定：沒問題！大家該會(huì)多么興奮，多么感激?！眱壕湓?，讓學(xué)生

頓感學(xué)好數(shù)學(xué)的重要性，更多的人則拿起筆演算起來。但是，建立什么

模型，題目中沒有任何暗示，要求較高。此時(shí)再詳細(xì)介紹數(shù)學(xué)建模的方

法，無疑會(huì)收到事半功倍的效果。

解答一個(gè)應(yīng)用問題重點(diǎn)過好三關(guān)：

（1）事理關(guān)：讀懂題意，知道講的是什么事件。

（2）文理關(guān)：需要將“問題情景”的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語

言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)關(guān)系。

（3）數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，要求學(xué)生有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的

檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的

轉(zhuǎn)化，此后解答過程也需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力。

解：（1）讀題：分為讀懂和深刻理解兩個(gè)層次，把“問題情景”譯

為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系（目標(biāo)與條件的關(guān)系）：各車的工程

量之和不小于欲完成的工程總量20X24（車?小時(shí)）。

（2）建模：把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題。

設(shè)從第一輛車投入工作算起，各車的工作時(shí)間為小時(shí)，

d---

依題意，這些數(shù)組成一個(gè)公差為3（小時(shí)）的等差數(shù)列，且

%工24。⑴

（3）求解。把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解。

本題有兩種方案：

方案1：由20輛車同時(shí)工作24小時(shí)可以完成全部工程知，每輛車、

1

每小時(shí)的工作效率為480,若在24小時(shí)內(nèi)能完成全工程，則

芻_+芻_+…+馬3

480480480⑵，即

124192%>23^

_(〃2+〃25)*25之480=24-—>

235,從而5,

23工<24

由于5,可見見的工作時(shí)間滿足要求（1）,即工程可以在

24小時(shí)內(nèi)完成。

方案2：當(dāng)％=24時(shí)，應(yīng)有/+%+-?+a25之20X24,即

25al3>480,將

<213=%一-=24-4=20

3代入得：25X202480,可見25輛車陸

續(xù)投入作業(yè)可以完成20輛車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)的工程量。

（4）評(píng)價(jià)。對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以調(diào)節(jié)（此為解題者

的自我調(diào)節(jié)），最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或預(yù)測(cè).本例上述兩

種解決方案的最后一句話即為評(píng)價(jià)過程。

本例是我們?cè)?999年學(xué)習(xí)數(shù)列、不等式后，結(jié)合正在我縣修建的廣

渝高速公路的瓶頸工程一一華整山隧道工程（為全國(guó)最長(zhǎng)的公路隧道）

為背景，以1998年的抗洪斗爭(zhēng)為實(shí)際編擬的，不僅使學(xué)生從中學(xué)到數(shù)學(xué)

建模的方法，也讓學(xué)生受到德育教育，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的社會(huì)化功能。

3.4通過實(shí)踐活動(dòng)或游戲中的數(shù)學(xué)，從中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建

模應(yīng)用能力

利用課外活動(dòng)時(shí)間開展實(shí)踐活動(dòng)課，把它作為建模教學(xué)不可分割的

部分。

例4：盡可能選擇較多的方法測(cè)量學(xué)?；蚓幼〉氐囊蛔罡叩慕ㄖ?/p>

物的高。（本文方法從略）

這是一道開放型的建模題，初看難度不大，但難于下手，經(jīng)分析、

討論，中學(xué)生會(huì)想出許多方法，教師應(yīng)注意總結(jié)，與學(xué)生一起評(píng)價(jià)各個(gè)

模型是否切實(shí)可行，從而提高建模興趣與能力。

喜愛游戲是青少年的天性，數(shù)學(xué)游戲有豐富的素材，如幻方、九連

環(huán)、稱球、搶38、速算骰子等，還可結(jié)合教材內(nèi)容適時(shí)提出游戲規(guī)則，

讓學(xué)生在做游戲的過程中學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，從中引

導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛在影響很大。

3.5從其它學(xué)科中選擇應(yīng)用題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決該學(xué)科難題

的能力

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使數(shù)學(xué)敞開了一個(gè)又一個(gè)沉睡于定性分析的

科學(xué)大門，促進(jìn)了各學(xué)科的數(shù)學(xué)化趨勢(shì)。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重適時(shí)

選取其它學(xué)科的應(yīng)用題，通過構(gòu)建模型，利用數(shù)學(xué)工具，解決其它學(xué)科

的難題。

例5圖例6圖

例5：重量為G牛頓的重物掛在杠桿上距支點(diǎn)。為0米處。杠桿質(zhì)

量分布均勻，單位長(zhǎng)度上的重量為q牛頓，問：杠桿應(yīng)當(dāng)多長(zhǎng)，才能使

加在另一端用來平衡且與杠桿垂直的力F為最小（如圖）。

分析：杠桿在三個(gè)力作用下平衡，即重物G的力矩、外力F的力矩、

L

杠桿自重的力矩。設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng),則桿的重量G'=qL,其重心在2處，力

矩平衡方程為：

FL=G,--+Ga=-ql}+Ga

22，即

尸「"+生=叵

2LV2LV2（定值），當(dāng)且僅當(dāng)

更=%L=I-

2［即Y9時(shí)，F(xiàn)為最小。

由此例知，很多物理題目看上去很難做，但變成數(shù)學(xué)問題后就顯得

簡(jiǎn)潔了。其實(shí)何止是物理，中學(xué)階段的化學(xué)、生物等都離不開數(shù)學(xué)。

3.6探索數(shù)學(xué)應(yīng)用于跨學(xué)科的綜合應(yīng)用題，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力和創(chuàng)新

能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)

針對(duì)3+X高考新模式，進(jìn)行“綜合科目”考試，數(shù)學(xué)建模教學(xué)無疑

將起重要作用。綜合能力測(cè)試題知識(shí)交叉、滲透較廣，但命題時(shí)往往以

某一學(xué)科為背景、交叉滲透其它學(xué)科的知識(shí)，具有多樣性、復(fù)雜性、綜

合性。利用建模的思想方法，在解題過程中，根據(jù)客觀條件的發(fā)展和變

化，往往可機(jī)智靈活地尋找到解決問題的新方法和新途徑，有利于創(chuàng)新

思維的培養(yǎng)。

例6：如圖，一輛小車在軌道AB上行駛速度％=50km/h,在軌道以

外的平地上行駛的速度巧=40km/h,在離軌道垂直距離為PM=30km處

有一倉(cāng)庫(kù)P,有一輛小車從距離M點(diǎn)100km的A處行