數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)專題24.2 弧、弦、角、距的關(guān)系-重難點(diǎn)題型（人教版）（學(xué)生版）

專題24.2弧、弦、角、距的關(guān)系-重難點(diǎn)題型【人教版】【知識(shí)點(diǎn)1弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．

說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?/p>

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．

【題型1弧、弦、角、距的概念】【例1】（2021?浦東新區(qū)模擬）下列四個(gè)命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．真命題的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（2020秋?西林縣期末）下列說法中，正確的是（）A．等弦所對(duì)的弧相等 B．在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等 C．圓心角相等，所對(duì)的弦相等 D．弦相等所對(duì)的圓心角相等【變式1-2】在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦三組量之間，如果有一組量相等，那么，它們所對(duì)應(yīng)的其它量也相等．如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦①若AB＝CD，則有＝，＝②若弧AB＝弧CD，則有＝，＝③若∠AOB＝∠COD，則有＝，＝．【變式1-3】如圖，PO是直徑所在的直線，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，則：①AB＝CD；②弧AB等于弧CD；③PO＝PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB＝PD；其中結(jié)論正確的是（填序號(hào)）【題型2由弧、弦、角、距的關(guān)系求角度】【例2】（2020秋?新化縣期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是BE的三等分點(diǎn)，∠AOE＝60°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．80° D．120°【變式2-1】（2020?項(xiàng)城市三模）如圖，圓O通過五邊形OABCD的四個(gè)頂點(diǎn)．若AD=150°，∠A＝75°，∠D＝60°，則BC的度數(shù)為何？（）A．25° B．40° C．50° D．60°【變式2-2】如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，若∠A＝80°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．125° B．120° C．130° D．115°【變式2-3】（2021?下城區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，分別連接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，則∠OCB＝．【題型3由弧、弦、角、距的關(guān)系求線段】【例3】（2020秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求CB【變式3-1】（2020秋?濱海新區(qū)期中）如圖，MN是⊙O的直徑，點(diǎn)A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是AN的中點(diǎn)，點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，⊙O的半徑為1，則AB'的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．2【變式3-2】（2021?青浦區(qū)二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，如果AB＝CD＝23，∠AMC＝120°，那么OM的長為．【變式3-3】如圖，在半徑為4的⊙O中，AB和CD度數(shù)分別為36°和108°，弦CD與弦AB長度的差為．【題型4弧、弦、角、距中的比較問題】【例4】（2021秋?莘縣期中）如圖，在同圓中，弧AB等于弧CD的2倍，試判斷AB與2CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能確定【變式4-1】（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在⊙O中，AC=2AB，則以下數(shù)量關(guān)系正確的是（）A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB【變式4-2】（2021秋?睢寧縣校級(jí)月考）如圖所示，AB是⊙O直徑，CM是AO的垂直平分線，DN是OB的垂直平分線，則下列結(jié)論正確的是（）A．AC=CD=DB B．AC=DB＜【變式4-3】（2020秋?順義區(qū)期末）如圖，在⊙O中，若AB=BC=CD，則AC與2CD的大小關(guān)系是：AC【題型5弧、弦、角、距中的證明問題】【例5】（2021?秦淮區(qū)二模）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，且AB＝CD．求證PB＝PD．【變式5-1】（2021?武漢模擬）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且AB＝CD．求證：CE＝BE．【變式5-2】（2021?硚口區(qū)模擬）如圖，⊙O中的弦AB＝CD，AB與CD相交于點(diǎn)E．求證：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【變式5-3】（2020秋?江都區(qū)月考）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，M，N分別為AO、BO的中點(diǎn)，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N．求證：AC＝BD．【題型6弧、弦、角、距中的綜合問題】【例6】（2021?海豐縣模擬）如圖，A，B是⊙O上的點(diǎn)，∠AOB＝120°，C是AB的中點(diǎn)，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（）A．25 B．253 C．2534 D．【變式6-1】如圖所示，在⊙O中，C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列結(jié)論：①M(fèi)C＝ND，②AM=MN=NB，③四邊形MCDN是正方形，④MNA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-2】（2021春?長沙縣月考）已知銳角∠POQ，如圖，在射線OP上取一點(diǎn)A，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作MN，交射線OQ于點(diǎn)B，連接AB，分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑作弧，交MN于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，EF．（1）證明：∠