黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)2022年中考數學二模試卷【含答案】

黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)2022年中考數學二模試卷

一、選擇題：（每題3分，共30分）

1.-3的相反數為（)

A.~3B..1c.AD.3

33

2.下列運算正確的是（)

A.(a2)5=a7B.a29a4=a6

2

C.3否-3加=0D.(A)2=2a

2~2

3.在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

4.由4個相同的小立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖是（）

c

C.30°D.25°

6.將二次函數的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數

表達式是（）

A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2_2D.產(x+1)2-2

7.方程工=_。解為()

3xx+5

A.x~~~1B.0C.x=-3D.x=l

8.如圖，在△48C中，ZB=60°,4B=4,BC=6,將△48。向右平移得到再將

尸繞點。逆時針旋轉至點￡、C重合，則平移的距離和旋轉角的度數分別為（）

A.1,30°B.4,30°C.2,60°D.4,60°

9.反比例函數的圖象在每個象限內，>隨X的增大而增大，則。的取值范圍是（）

X

A.a》_3B.a>-3C.aW-3D.-3

10.如圖，在。ABCD中，點E是/8上任意一點，過點E作EF//BC交CD于點F,連接

/尸并延長交BC的延長線于點”，則下列結論中錯誤的是（)

D.AE=CH

BEEF

二、填空題：（每題3分，共30分）

11.將1060000用科學記數法表示為.

12.函數y=—1—中的自變量x的取值范圍.

x-4

13.計算'運-患的結果是.

14.分解因式：2ab2+4M+2a=.

15,不等式組的解集是_______.

[3x-5>l

16.二次函數y=-(x-1)2+2的圖象與y軸交點坐標是.

17.一個不透明的袋子中裝8個小球，其中3個紅球，3個白球，2個黑球，小球除顏色外

形狀、大小完全相同.現從中隨機摸出一個小球，摸出的小球是紅色的概率為

18.某扇形的圓心角是45°,面積為18ft,該扇形的半徑是

19.如圖，矩形488中，AB=4,8c=10,〃為/。的中點，把矩形沿著過點M的直線

折疊，點才剛好落在邊8c上的點E處，則ZE的長為

AMD

BC

20.如圖，平行四邊形43。。中，點E在CZ）邊上，連接BE,ZABE=60°,F在BE上,

AF=CE,NBAF=NCBE,若AD=7,AB=6,則8/=.

三、解答題：(21題7分，22題7分，23-24每題8分，25-27每題10分，共60分)

21.(7分)先化簡，再求代數式的值，其中x=2sin60°-tan450.

22.(7分)如圖，在小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段N8,點/、8均在小正方

形的頂點上.

(1)在圖1中畫一個以線段48為一邊的平行四邊形/8C。，點C、。均在小正方形的

頂點上，且平行四邊形力8。的面積為10；

(2)在圖2中畫一個鈍角三角形N8E,點E在小正方形的頂點上，且三角形的面

23.(8分)某校組織學生書法比賽，在限定每人只交一份書法作品的條件下，對參賽作品

按小B、C、。四個等級進行了評定.現隨機抽取部分學生書法作品的評定結果進行分

析，并繪制扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖如下：

圖①圖②

根據上述信息完成下列問題：

(1)求這次抽取的學生書法作品共計多少份；

(2)請在圖②中把條形統(tǒng)計圖補充完整；

(3)已知該校這次活動共收到參賽作品750份，請你估計參賽作品達到8級以上(即/

級和8級)有多少份？

24.(8分)在△N8C中，過4作8c的平行線，交N/C8的平分線于點。，點E是BC上

一點，連接DE,交4B于點尸,/C4D+/8ED=180°.

圖1

(1)如圖1,求證：四邊形ZCED是菱形；

(2)如圖2,若//C8=90°,BC=2AC,點G、，分別是ZC邊中點，連接CG、

EG、EH,不添加字母和輔助線，直接寫出圖中與所有的全等的三角形.

25.(10分)某商品經銷店欲購進4、8兩種紀念品，用160元購進的N種紀念品與用240

元購進的8種紀念品的數量相同，每件5種紀念品的進價比/種紀念品的進價貴10元.

(1)求/、8兩種紀念品每件的進價分別為多少元？

(2)若該商店A種紀念品每件售價24元，8種紀念品每件售價35元，這兩種紀念品共

購進1000件，這兩種紀念品全部售出后總獲利不低于4900元，求4種紀念品最多購進

多少件.

26.(10分)如圖I,在中，和C￡)是兩條弦，且垂足為點E,連接8C,

過力作加U8C于尸，交C￡＞于點G；

(1)求證：GE=DE；

(2)如圖2,連接/C、OC,求證：/OCF+/C/8=90°；

(3)如圖3,在(2)的條件下，OC交力產于點M連接EREN、DN,若OC〃EF,

ENLAF,￡W=2VI7，求NO的長.

27.(10分)如圖1,在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=-以2+6依+6與y軸

交于點8,交x軸的負半軸于點力,交x軸的正半軸于點C,且SMBC=30.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點尸為第一象限拋物線上一點，其橫坐標為f,軸于點。，設tanN

PAD等于m,求機與/之間的函數關系式；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當〃]=匡時，過點8作交/口C的平分線于

3

點N,點K在線段N8上，點”在線段ZN上，連接KM、KN,/MKN=24BNK,作

MTLKN于點T,延長MT交8N于點“，若NH=4BH,求直線KN的解析式.

參考答案與試題解析

一、選擇題：(每題3分，共30分)

I.-3的相反數為()

A.-3B.-AC.AD.3

33

【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數解答.

【解答】解：-3的相反數是3.

故選：D.

【點評】本題考查了相反數的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵.

2.下列運算正確的是()

A.(a2)5—a1B.a2,a4—a6

2

C.3a2/)-3加=0D.(A)2=J—

22

【分析】根據幕的乘方、同底數幕的乘法和同類項合并計算即可.

【解答】解：4(/)5=』，錯誤;

B、/加4="6,正確；

C、3a2b與3a必不能合并，錯誤；

2

D、(A)2=且一，錯誤；

24

故選:B.

【點評】此題考查基的乘方、同底數'幕的乘法和同類項合并，關鍵是根據法則進行計算.

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A,是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

8、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確；

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩

部分重合.

4.由4個相同的小立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖是（）

【分析】主視圖有2列，每列小正方形數目分別為2,1.

【解答】解：幾何體的主視圖有2歹U，每列小正方形數目分別為2,1,

故選：A.

【點評】本題考查實物體的三視圖.在畫圖時一定要將物體的邊緣、棱、頂點都體現出

來，看得見的輪廓線都畫成實線，看不見的畫成虛線，不能漏掉.本題畫幾何體的三視

圖時應注意小正方形的數目及位置.

5.如圖，C￡）為。。的直徑，過點。的弦?！昶叫杏诎霃饺?。的度數是50°,則N

A的度數為（)

40°C.30°D.25°

【分析】根據平行線的性質可證/。=/4。3=50°,又根據三角形外角與內角的關系

可證N/CO=NCMC=LN4OD=25°

2

【解答】解：/〃。E,

AZD=ZAOD=50°,

'：OA=OC,

：.ZACO=ZOAC=XZAOD=25°.

2

故選：D.

【點評】此題主要考查了考查的是兩直線平行的性質及三角形外角與內角的關系的知

識.關鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

6.將二次函數的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數

表達式是()

A.y—(x-1)2+2B.y—(x+1)2+2C.y—(x-1)2-2D.y—(x+1)2-2

【分析】根據函數圖象右移減、左移加，上移加、下移減，可得答案.

【解答】解：將二次函數>=—的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得

圖象的函數表達式是y=(x-1)2+2,

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，函數圖象右移減、左移加，上移加、下

移減是解題關鍵.

7.方程」_=_。解為()

3xx+5

A.x=-1B.x=0C.x=-3D.x=1

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：x+5=6x,

解得：x=\,

經檢驗X=1是分式方程的解，

故選：D.

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗.

8.如圖，在△/BC中，Z5=60°,AB=4,8c=6,將△/8C向右平移得到△￡>￡■尸，再將

△DEF繞點D逆時針旋轉至點E、C重合，則平移的距離和旋轉角的度數分別為()

A.1,30°B.4,30°C.2,60°D.4,60°

【分析】由平移的性質和旋轉的性質可證△OEC是等邊三角形，可得DE=EC=CD=4,

ZEDC=60°,即可求解.

【解答】解：???將△48C向右平移得到△■DEF,

；.NB=NDEF=60°,AB=DE=4,

?.?將△〃口繞點。逆時針旋轉至點￡、C重合，

：.DE=DC,

.??△■DEC是等邊三角形，

:.DE=EC=CD=4,/EDC=6G°,

:.BE=2,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉的性質，平移的性質，等邊三角形的判定和性質，掌握旋轉的

性質是解題的關鍵.

9.反比例函數丫底起?的圖象在每個象限內,y隨x的增大而增大，則。的取值范圍是（）

X

A.-3B.-3C."3D.a<-3

【分析】先根據反比例函數yW3的圖象在每個象限內，y隨X的增大而增大得出關于。

X

的不等式，求出〃的取值范圍即可.

【解答】解：?.?反比例函數y—至?的圖象在每個象限內，y隨X的增大而增大，

X

?"+3V0,解得〃V-3.

故選：D.

【點評】本題考查的是反比例函數的性質，熟知反比例函數了=上中，當％<0時函數圖

x

象在二、四象限，在每一象限內y隨x的增大而減小是解答此題的關鍵.

10.如圖，在。/8CO中，點E是月8上任意一點，過點E作EF〃BC交CD于點F,連接

NF并延長交8c的延長線于點”，則下列結論中錯誤的是（)

D

CAD=AED.M=CH

,麗ABBEEF

【分析】根據平行四邊形的性質可得出力力nEpuBC、AE=DF、BE=CF.

A,易證△力根據相似三角形的性質即可得出生=空，即里=空，結論

DADFEFAE

A正確;

B、易證A4BHsAFCH,根據相似三角形的性質即可得出空=里,即器請結論

ABAH

B正確;

C、易證AADFs^HBA,根據相似三角形的性質即可得出坦=如,即坦=迪，結論

HBABBHAB

C正確;

D、易證AFCHSA/EF,根據相似三角形的性質即可得出膽=里,即翳署結論

CFCH

。錯誤.

此題得解.

【解答】解：：四邊形N8CD為平行四邊形，EF//BC,

：.AD=EF=BC,AE=DF,BE=CF.

/、'JAD//CH,

.?.里=里，即生=里，結論力正確;

DADFEFAE

B、■:AB//CD,

：.△ABHSXFCH,

.?.空=里，即理=理，結論8正確;

ABAHCDAH

C、'：AD//BH,

.?.坦=更，gpAD=M,結論c正確:

HBABBHAB

D、'JAE//CF,EF//CH,

:./XFCHsAAEF、

.?.細_=變，即處=旦2,結論。錯誤.

CFCHBECH

故選：D.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性以及平行四邊形的性質，根據相似三角形的

性質逐一分析四個結論的正誤是解題的關鍵.

二、填空題：（每題3分，共30分）

11.將1060000用科學記數法表示為1.06X106

【分析】科學記數法的表示形式為“X10"的形式，其中1＜同＜10,〃為整數.確定〃

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相

同.當原數絕對值，10時，〃是正數；當原數的絕對值＜1時，〃是負數.

【解答】解:將1060000用科學記數法表示為1.06X106.

故答案是：1.06X106.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其

中1W同＜10,〃為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及”的值.

12.函數y=—1-中的自變量x的取值范圍x卉4.

x-4

【分析】根據分式的意義，分母不等于0,可以求出x的范圍.

【解答】解：根據題意得：x-4^0,

解得：xW4.

故答案為：xW4.

【點評】考查了函數自變量的范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；

（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負.

13.計算任的結果是一退一

V33

【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再合并同類項即可.

【解答】解：原式=2愿-近

3

=5?

3_

故答案為：殳應.

3

【點評】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化

成最簡二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合并，合并方法為系數相加減，根

式不變是解答此題的關鍵.

14.分解因式：2加+4"+2〃=2〃(b+1)2.

【分析】原式提取2a,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=2a(扶+26+1)—2a(6+1)2,

故答案為：2a(6+1)2

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本

題的關鍵.

15.不等式組[2X+119的解集是2<xW4.

.3x-5>l

【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【解答】解：儼+*92,由①得，/4,由②得，x>2,

[3x-5>l②

故不等式組的解集為：2VxW4.

故答案為：2<xW4.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾?/p>

間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

16.二次函數y=-(x-1)2+2的圖象與v軸交點坐標是(0,1).

【分析】求出二次函數y=-(x-1)2+2,當x=0時y的值，即可得出答案.

【解答】解：,.7=-(x-1)2+2,當工=0時，夕=-1+2=1,

...二次函數y=-(x-1)2+2的圖象與y軸交點坐標是(0,1)；

故答案為：(0,1).

【點評】本題考查了二次函數與坐標軸的交點；求出二次函數當x=0時y的值是解題的

關鍵.

17.一個不透明的袋子中裝8個小球，其中3個紅球，3個白球，2個黑球，小球除顏色外

形狀、大小完全相同.現從中隨機摸出一個小球，摸出的小球是紅色的概率為_旦_.

8

【分析】用紅球的個數除以總球的個數即可得出答案.

【解答】解：???不透明的袋子中裝8個小球，其中3個紅球，3個白球，2個黑球,

現從中隨機摸出一個小球，摸出的小球是紅色的概率為3.

8

故答案為：1.

8

【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同,

其中事件Z出現〃，種結果，那么事件/的概率P3)=%.

n

18.某扇形的圓心角是45°,面積為18n,該扇形的半徑是12.

【分析】根據扇形面積公式計算即可.

【解答】解：設扇形的半徑為為R,

則變兀

360

解得，R=12,

故答案為：12.

2

【點評】本題考查的是扇形面積計算，掌握扇形面積公式5=史回是解題的關鍵.

360

19.如圖，矩形N8CO中，AB=4,8c=10,M為/。的中點，把矩形沿著過點〃的直線

折疊，點才剛好落在邊BC上的點E處，則AE的長為2次或4店.

AMD

BC

【分析】如圖1，連接過"作MH,8c于”根據矩形的性質得到/氏4。=乙48C

=90°,4)=8C=10求得5"=//=5,由折疊的性質知是線段NE的垂直平分線，

得到EM=/M=5,根據勾股定理得到AB?+BE2=，42+22=2遙，如圖2,連

接根據線段垂直平分線的性質得到/G=EG,根據全等三角形的性質得到

=1。=5,根據勾股定理即可得到結論.

2

【解答】解：為49的中點，

:.AM=1AD,

2

如圖1,連接E/W,過M作A///_L8C于"，

???四邊形/8C。是矩形,

:.NB4D=NABC=90°,AD=BC=IO,

四邊形是矩形，AM=5,

:.MH=AB=4,

:.BH=AM=5,

由折疊的性質知期是線段ZE的垂直平分線，

：.EM=AM=5,

在RtA4E”中,EH=VEM2-MH2=V52-42=3，

:.BE=BH-EH=2,

在中，^=VAB2+BE2=V42+22=2V5-

如圖2,連接4凡

???把矩形沿著過點M的直線折疊，點A剛好落在邊8c上的點E處,

.?.”/垂直平分/￡,

：.AG^EG,

'JAD//BC,

，NAMG=/EFG,

,/ZAGM^ZEGF,

:.叢AMGQ叢EFG(AAS),

：.EF=AM=1^1D=5,

2

尸=5,

?<,BF=VAF2-AB2=3，

:.BE=8,

?■?^￡=VAB2+BF2=V42+82=4^-

故答案為：2代或4、后.

【點評】本題考查了矩形的性質，翻折變換（折疊問題），全等三角形的性質和判定，分

類討論是解題的關鍵.

20.如圖，平行四邊形中，點E在邊上，連接BE,NABE=60：尸在8E上，

AF=CE,ZBAF=ZCBE,若4D=7,AB=6,則BF=4或9.

【分析】過點/作產于點”，根據已知條件解直角三角形，可得BH,Z”的長，

設BF=x,根據勾股定理，可得力產的值，再根據平行四邊形的性質，易證AB4FSA

EBC,根據相似三角形的性質列方程，求解即可.

【解答】解：過點工作力，，8尸于點，，如圖所示：

:.NAHB=90°,

VZABE=60a,AB=6,

：.BH=AB'cos60°=3,AH=AB-sin600=3點，

設BF=x,

則FH=x-3,

根據勾股定理，^AF~=(3^3)2+(x-3)2,

在平行四邊形/8C￡>中，AB//CD,BC=AD,

：.NABF=ZBEC,

'：NBAF=NCBE,

:.ABAFsAEBC,

：.BF：EC=AF：BC,

；4F=EC,

：.AF2=BF'BC,

"：BC=AD=1,

(3V3)2+(X-3)2=7X>

解得x=4或9,

.?.8尸=4或9,

故答案為：4或9.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，涉及勾股定理，解直角三角形，相似三角形的

判定和性質，本題綜合性較強，難度較大.

三、解答題：（21題7分，22題7分，23-24每題8分，25-27每題10分，共60分）

21.（7分）先化簡，再求代數式（2+.x+2,）的值,其中x=2sin60°-tan45°.

X+1x-]X1

【分析】先計算括號內的加法，再算括號外的除法即可化簡題目中的式子，再將X的值

代入化簡后的式子計算即可.

【解答】解:2x+2x

x+1-x~l

=2(x-l)+x+2.x-1

(x+1)(xT)x

_2x-2+x+21

x+1"x

-_—3x'■—1

x+1X

=3

x+1'

當x=2sin60°-tan45°=2XM-i-a-1時，原式=-5=^——=百.

2V3-1+1

【點評】本題考查分式的化簡求值、特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是明確分式

混合運算的運算法則和運算順序.

22.(7分)如圖，在小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段點Z、8均在小正方

形的頂點上.

(1)在圖1中畫一個以線段Z8為一邊的平行四邊形Z8C。，點C、。均在小正方形的

頂點上，且平行四邊形/8CD的面積為10；

(2)在圖2中畫一個鈍角三角形N8E,點E在小正方形的頂點上，且三角形48E的面

積為4,tan//E8=L.請直接寫出BE的長.

3

圖1圖2

【分析】(1)由圖可知工、8間的垂直方向長為2,要使構建平行四邊形月8CD的面積為

10,則可以在力的水平方向取一條長為5的線段，可得點C；

(2)由圖可知/、8間的垂直方向長為2,要使構建的鈍角三角形力8E面積為4,則可

以在月的水平方向取一條長為4的線段，可得點E,且tan/ZE8=工，8E的長可以根據

3

勾股定理求得.

【解答】解：(1)如圖1所不；

(2)如圖2所示；

【點評】本題考查勾股定理運用及面積計算方法等，靈活利用數據之間的聯(lián)系，結合圖

形解決問題是關鍵.

23.（8分）某校組織學生書法比賽，在限定每人只交一份書法作品的條件下，對參賽作品

按4B、C、。四個等級進行了評定.現隨機抽取部分學生書法作品的評定結果進行分

析，并繪制扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖如下:

根據上述信息完成下列問題:

（1）求這次抽取的學生書法作品共計多少份；

（2）請在圖②中把條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）已知該校這次活動共收到參賽作品750份，請你估計參賽作品達到8級以上（即/

級和8級）有多少份？

【分析】（1）/的人數除以/的百分比即可得到總人數;

（2）總人數乘以C的百分比即可得到C的人數，補全條形圖即可;

（3）用樣本估計總體.

【解答】解：（1）2?20%=10（人）；

(2)C有10X30%=3（人），。有10-2-4-3=1（人）；

如圖:

圖①圖②

(3)750x21支=450(份).

10

答：估計參賽作品達到8級以上（即/級和B級）有450份.

【點評】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，兩圖結合是解題的關鍵.

24.(8分)在△N8C中，過/作BC的平行線，交NZCB的平分線于點。，點E是BC上

一點，連接。E,交于點F,ZCAD+ZBED^\SO°.

(1)如圖1,求證：四邊形ZCE。是菱形；

(2)如圖2,若N4cB=90°,BC=2AC,點G、，分別是/。、ZC邊中點，連接CG、

EG、EH,不添加字母和輔助線，直接寫出圖中與△CE/7所有的全等的三角形.

【分析】(1)根據平行線的性質得到根據角平分線的定義得到

=NBCD,等量代換得到N/OC=N/C￡),推出OE〃/C,于是得到結論；

(2)根據已知條件得到菱形ZCE。是正方形，求得/。=/。16=/。政7=90°,AC

=4D=CE,根據全等三角形的判定定理即可得到結論.

【解答】(1)證明：

NADC=NBCD,

平分乙4CB,

NACD=NBCD,

：.NADC=NACD,

：.AD=AC,

'JAD//BC,

：.NADE=NDEB,

?：NDEB+NDEC=T80°,NDEB+NCAD=180°,

:.NDEC=NDAC,

：.ZADE+ADAC=\^°,

J.DE//AC,

.??四邊形/CEO是菱形；

(2)解：?：ZACB=90°,

二菱形ACED是正方形，

:.ND=NCAG=NDEC=90°,

AC^AD^CE,

：G是NO的中點，H是4c邊中點,

：.AG=DG=CE,

...△￡￡)G也△CNG也(SAS),

：8C=2/C,

：.BE=CE=AD,

"：AD//BE,

：.ZB=ZDAF,

,/NAFE=NBFE,

：./\BFE^/\AFD(44S),

"：AD=CE=BE,

:.XBEF迫XECH、

二圖中與△CE”全等的三角形有△/￡＞尸，△EAG,△C/G,/\EBF.

【點評】本題考查了菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，角

平分線的定義，證得△EOG2△C4G絲△EC”是解題的關鍵.

25.(10分)某商品經銷店欲購進4、8兩種紀念品，用160元購進的1種紀念品與用240

元購進的8種紀念品的數量相同，每件8種紀念品的進價比N種紀念品的進價貴10元.

(1)求Z、8兩種紀念品每件的進價分別為多少元？

(2)若該商店/種紀念品每件售價24元，8種紀念品每件售價35元，這兩種紀念品共

購進1000件，這兩種紀念品全部售出后總獲利不低于4900元，求4種紀念品最多購進

多少件.

【分析】(1)設1種紀念品每件的進價為x元，則B種紀念品每件的進價(x+10)元，

根據用160元購進的工種紀念品與用240元購進的8種紀念品的數量相同列出方程，再

解即可：

(2)設/種紀念品購進。件，由題意得不等關系：/種紀念品的總利潤+8種紀念品的

總利潤》4900元，根據不等關系列出不等式，再解即可.

【解答】解：(1)設4種紀念品每件的進價為x元，則8種紀念品每件的進價(x+10)

元，

由題意得：240=出,

x+10x

解得：x=20,

經檢驗：x=20是原分式方程的解，

x+10=30,

答：/種紀念品每件的進價為20元，則8種紀念品每件的進價30元;

(2)設/種紀念品購進。件，由題意得：

(24-20)a+(35-30)(1000-a)24900,

解得:aWlOO,

???“為整數，

：.a的最大值為100.

答：4種紀念品最多購進100件.

【點評】此題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，關鍵是正確理解題

意，找出題目中的等量關系或不等關系，再列出不等式或方程組即可.

26.(10分)如圖1,在OO中，月8和CZ)是兩條弦，且垂足為點E,連接8C,

過N作ZFLBC于尸，交CD于點G；

(1)求證：GE=DE；

(2)如圖2,連接NC、OC,求證：ZOCF+ZCAB=90°；

(3)如圖3,在(2)的條件下，OC交AF于點、N,連接EF、EN、DN,OC//EF,

ENLAF,DN=2K,求NO的長.

【分析】(1)連接NO,可證得從而ZG=/。，進而得出結論；

(2)延長CO交OO于G,連接8G,可證得OCr+NG=90°,NCAB=NG,進而得

出結論；

（3）作NH工CD于H,連接8D,連接08,可證得NC4B=NNEF=N0CF,結合（2）

的結論NOCF+/C48=90°,從而得出/&（8=UOCF=45°,根據平行四邊形性質得

出CG=GE=￡）E=a,依次解Rtz^/8/求得8尸，解Rt^CBE求得8凡從而得出CF,

CN,解RtZX/CE求得4C,從而得出NC4尸的正余弦三角函數值，從而得出NNCD的三

角函數值，解斜三角形CDN,從而求得。的值，進一步可求得結果.

【解答】（1）證明：如圖1,

連接力。，

VAC=AC)

NB=ND,

,:CDLAB,AFA.BC,

：.ZAEG=ZAFB=90°,

：.ZB+ZBAF=90°,NAGE+NBAF=9Q°,

NB=NAGE,

：.NAGE=ND,

：.AG=AD,

.,.EG=￡)E=4-DG；

延長C。交。。于G,連接8G,

：CG是。。的直徑，

：.ZCBG=90°，

：.ZOCF+ZG=90°,

VBC=BC-

:./CAB=/G,

：?/OCF+NCAB=90°；

(3)解：如圖3,

作NHLCD于H,連接8Q,連接08,

?:ENtAF,BFLAF,

:?EN〃BC,

?：OC〃EF,

???四邊形ER?N是平行四邊形，

：.CG=EG=DEf/OCB=/FEN,

VZAFC=ZAEC=90°,

，點4、C>尸、￡共圓，

:?/CAF=/CEF,/BAF=/ECF,

?:EN//BC,

：.ZECF=ZCEN,

：./BAF=NCEN,

：./CAF+NBAF=ZCEF+ZCEN,

：.ZCAB=ZFENf

：.ZCAB=ZOCF,

由(2)得：NC48+NOCN=90°,

：.ZCAB=ZOCF=45°,

VZAEC=90°,

AZACE=90°>ZCAB=45°,

：.ZCAB=ZACEf

：.AE=CE,

設CG=EG=DE=a,

:?AE=CE=2a,

VBC=BC?

；?NBDE=NC4B=45°,NBOC=2NC4B=90°,

：.ZEBD=90°-ZBDE=45°,

**?BE=DE=a,

:?AB=CD=3a,

在RtAJEG中，

AG=VAE2+EG2=2爬a,

：.smZBAF=^-^L,

AGAB

?-?----a=---=--B--F-，

2V5a3a

5

在RtaBCE中，

fiC=VcE2+BE2=V5a,

：.CF=BC-BF=4^a-3&=RI?,

55

在RtZ\NCE中，

NC=&AE;2&a,

點

sinZCAF=^-=—-----=2/A2_,

AC2V2a10

cosNG4F=a/m,

3

NNCE=NCEF=Z.CAF,

：.smZNCE^J^_,cos/NCE="^匝，

103

在RtZXNCF中，NNCF=45°,。/=2/5_型

在RtZ\CHV中，

NH=CN，sinZNCE=a/五_2,

5a105a

c~鼠

:.DH=CD-CH=3a-^_a，

55

在RtADHN中,

"：NH2+DH2=DN2,

2

：.(2.a)+(i-a)=(2近7)2,

55

:.CN=2J^...x2V5=4V2-BC=J^x2^=10,

5

?：oc=冬BC=5企，

：.ON=OC-CN=5&-4&=&.

【點評】本題考查了圓周角定理及其推論，解直角三角形，確定圓的條件，等腰三角形

的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是探究角之間的數量關系，發(fā)現角度和圖形的特

殊性.

27.(10分)如圖1,在平面直角坐標系中，。為坐標原點，拋物線y=-a?+6“x+6與夕軸

交于點8,交x軸的負半軸于點4,交x軸的正半軸于點C,且SA，BC=30.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點P為第一象限拋物線上一點，其橫坐標為f,軸于點。，設tanN

總D等于tn,求加與f之間的函數關系式；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當加=匡時，過點8作8NL48交N/MC的平分線于

3

點N,點K在線段Z8上，點”在線段4N上，連接KM、KN,/MKN=24BNK,作

MTLKN于點7,延長MT交BN于點、H,若NH=4BH,求直線KN的解析式.

a

出”的長為J36再由三角形N8C的面積可求。的值；

(2)由題意知PC,-0?+9+6),分別求出力。與尸D,根據tan/R!O=m,建立方

84

程即可求，〃與f的函數關系式；

(3)連接8c與/尸交于點E,證明△/8O會△￡48(AAS),從而推導出△力8N是等腰

直角三角形，求出tanN/MN=工，設N(m,n),由」_=工，2亞=4+(-6)2,