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數(shù)學(xué)答案數(shù)學(xué)答案第頁2024CEE-01數(shù)學(xué)重慶縉云教育聯(lián)盟2024年高考第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1.A 2.D 3.C 4.C5.A 6.C 7.A二、多項(xiàng)選擇題8.BCD 9.ACDE 10.ACE三、填空題11. 12.13. 14.四、解答題15.解:(1)由余弦定理形式和,因此.又,即,由正弦定理得:,整理得:,.,,,.(2)由,得,得.在△ACD中,由余弦定理得,為的中點(diǎn),,即,(其中),.由正弦定理得,,,即.,由,可得;,.16.解:(1)因?yàn)?,,所以即,①?dāng)時(shí),②②①得:即,當(dāng)時(shí),,所以,所以是以2為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,又因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,綜上所述:.(2)因?yàn)?,,由題意知:,所以,假設(shè)在數(shù)列中是否存在3項(xiàng),(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列,則,即化簡(jiǎn)得:,又因?yàn)閙,k,p成等差數(shù)列,所以,所以即,又,所以即,所以,這與題設(shè)矛盾.所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng),(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.17.解:(1)由,得函數(shù)的定義域?yàn)椋?,?dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,得;令,得;所以,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由,得,故欲證,只需證:,即證,又,,,不妨設(shè),,等價(jià)于,令(),等價(jià)于(),,所以在單調(diào)遞增,而,所以,當(dāng)時(shí),恒成立.所以,所以.(3)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,所以,,不妨設(shè),,即,要證:,需證:只需證:,只需證:,只需證:,只需證:,令,只需證:,令,,所以在上單調(diào)遞減,所以,即,故.也可由對(duì)數(shù)均值不等式(),即,令(),則,即,所以.18.解:(1)由題意得,易知,
由橢圓定義可知,動(dòng)點(diǎn)在以,為焦點(diǎn),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上,又不能在直線上,∴的方程為:.(2)(2)(i)(法一)設(shè),,,易知直線的方程為,聯(lián)立,得,∴,∴,,即,同理可得,,∴,欲使,則,即,∴,∴存在唯一常數(shù),使得當(dāng)時(shí),.(法二)設(shè),,,易知的斜率不為零,否則與重合,欲使,則將在軸上,又為的中點(diǎn),則軸,這與過矛盾,故,同理有,則,可得,易知,,且,,∴,即,同理可得,,欲使,則,∴,∴,∴存在唯一常數(shù),使得當(dāng)時(shí),.(ii)由(i)易知,且,∴,即,同理可得,,∵,∴,記,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等,由橢圓的對(duì)稱性,不妨設(shè)此時(shí),,且直線和的夾角為,則,不難求得,此時(shí),易知,且,∴四邊形的面積為.19.解:(1),,,,,,所以與的線性回歸方程為;(2),,,,,,,,,設(shè)備M的性能等級(jí)為丙級(jí).(3)樣本中直徑小于等于的共有2件,直徑大于的零件共有4件,所以樣本中次品共6件,可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.由題意可知從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件,其中次品數(shù)設(shè)為Y1,則,于是;從樣本中隨意抽取2件零件其次品數(shù)設(shè)為Y2,由題意可知Y2的分布列為:Y2012P故.則次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.20.Ⅰ.解:(1)由題設(shè),長(zhǎng)軸長(zhǎng),短軸長(zhǎng),則,所以分別是中點(diǎn),而柱體中為矩形,連接,由,故四邊形為平行四邊形,則,當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),則,故,面,面,故平面.(2)由題設(shè),令,則,又,所以,,則,所以,根據(jù)橢圓性質(zhì)知,故.(3)由,要使三棱錐的體積最大,只需面積和到面距離之和都最大,,令且,則,所以,顯然時(shí),有最大;構(gòu)建如上圖直角坐標(biāo)系且,橢圓方程為,設(shè),聯(lián)立橢圓得,且,所以,,而,所以,令,則,由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上遞增,故;綜上,.Ⅱ.解:(1)和繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體可以得到兩個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐,體積之和為;正方形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱,體積為.所以,總的體積.(2)如圖3,取中點(diǎn)為,連接,則.因?yàn)椋悬c(diǎn)為,所以.又平面平面,平面平面,所以,平面,即平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖3建立空間直角坐標(biāo)系,由已知可得,,,,所以,,,,,,所以,,,所以,,所以,異面直線與所成的角的余弦值為,所以,.(3)由已知可得,圓心為點(diǎn),則半徑.六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體的體積,等于直角梯形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積的2倍.直角梯形繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體,為一個(gè)上、下底面半徑分別為1、3,高為1的圓臺(tái),體積;剩下的兩部分為全等的弓形,先研究弓形繞軸旋轉(zhuǎn)半周,得到的幾何體為球缺.現(xiàn)在用祖暅原理來求解該球缺的體積,如圖5,半球的半徑和圓柱的底面半徑均為,且圓柱的高,且,在半球中,高度為,且平行于底面的截面圓的半徑,面積為.在圓柱中,連接,設(shè)交高度為,且平行于底面的截面于點(diǎn),顯然△UVN∽△UWN1所以.所以,當(dāng)高度為時(shí),圓環(huán)的面積等于大圓的面積減去小圓的面積,即圓環(huán)的面積,所以,當(dāng)高度為時(shí),半球的截面與圓柱中的截面圓環(huán)的面積相等.根據(jù)祖暅原理可知,半球某高度截面以上的體積
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