資金等值計算

第四章資金時間價值及等值計算本章主要內(nèi)容一、現(xiàn)金流量二、資金的時間價值三、利息與利率四、資金等值計算一、現(xiàn)金流量〔一〕現(xiàn)金流量的概念假設(shè)將某工程工程〔企業(yè)、地區(qū)、部門、國家〕作為一個系統(tǒng)，對該工程在整個壽命周期內(nèi)所發(fā)生的費用和收益進(jìn)行分析和計量。在某一時間點上，將流出系統(tǒng)的實際支出〔費用〕稱為現(xiàn)金流出，而將流入系統(tǒng)的實際收入〔收益〕稱為現(xiàn)金流入，并把現(xiàn)金流入與現(xiàn)金流出的差額稱為凈現(xiàn)金流量?，F(xiàn)金流入、現(xiàn)金流出和凈現(xiàn)金流量統(tǒng)稱為現(xiàn)金流量?！捕超F(xiàn)金流量圖的繪制把一個工程在整個工程周期內(nèi)發(fā)生的現(xiàn)金流量，繪制在時間數(shù)軸上，就是現(xiàn)金流量圖。現(xiàn)金流量圖是反映工程工程在整個壽命周期內(nèi)，各年現(xiàn)金流入和現(xiàn)金流出的圖解?，F(xiàn)金流量圖的具體畫法如下：1．畫一條帶有時間坐標(biāo)的水平線，表示一個工程工程，每一格代表一個時間單位〔一般為年〕，時間的推移從左向右。時間軸上的點稱為時點，時點通常表示的是該年的年末，同時也是下一年的年初。2．畫與帶有時間坐標(biāo)水平線相垂直的箭線，表示現(xiàn)金流量。其長短與收入或支出的數(shù)量根本成比例。箭頭表示現(xiàn)金流動的方向，箭頭向上表示現(xiàn)金流入，箭頭向下表示現(xiàn)金流出。為了簡化計算，一般假設(shè)投資在年初發(fā)生，其他經(jīng)營費用或收益均在年末發(fā)生。例：某工程工程預(yù)計初始投資1000萬元，第3年開始投產(chǎn)后每年銷售收入抵銷經(jīng)營本錢后為300萬元，第5年追加投資500萬元，當(dāng)年見效且每年銷售收入抵銷經(jīng)營本錢后為750萬元，該工程的經(jīng)濟壽命約為10年，殘值為100萬元，試?yán)L制該工程的現(xiàn)金流量圖。解：由題意可知，該工程整個壽命周期為10年。初始投資1000萬元發(fā)生在第一年的年初，第5年追加投資500萬元〔發(fā)生在年初〕；其他費用或收益均發(fā)生在年末，其現(xiàn)金流量如圖2－1所示。

圖4-1現(xiàn)金流量圖

二、資金的時間價值在不同的時間付出或得到同樣數(shù)額的資金在價值上是不等的。資金的價值會隨著時間而發(fā)生變化。不同時間發(fā)生的等額資金在價值上的差異稱為資金的時間價值。一定量的貨幣資金在不同的時點上具有不同的價值，年初的1萬元投入生產(chǎn)經(jīng)營后，到年終其價值要高于1萬元?！纠浚杭灼髽I(yè)購置一臺設(shè)備，采用現(xiàn)付方式，其價格為40萬元，如延期至5年后付款，那么價格為52萬元，設(shè)企業(yè)5年存款年利率為10%，試問現(xiàn)付款同延期付款比較，哪個有利？假設(shè)該企業(yè)現(xiàn)在已籌集到40萬元資金，暫不付款，存入銀行，按單利計算，五年年末利率和=40×〔1+10%×5〕=60萬元，同52萬元比較，企業(yè)可得到8萬元的利益?？梢娧悠诟犊?2萬元比現(xiàn)付40萬元更為有利，這就說明，今年年初的40萬元5年后價值發(fā)生了增值，價值提高到60萬元。貨幣如果作為貯藏手段保存起來，不管經(jīng)多長時間仍為同等數(shù)量的貨幣，而不會發(fā)生數(shù)值的變化貨幣的作用表達(dá)在流通中，貨幣作為社會生產(chǎn)資金參與再生產(chǎn)的過程即會得到增值、帶來利潤貨幣的這種現(xiàn)象，一般稱為資金的時間價值簡單地說，“時間就是金錢〞，是指資金在生產(chǎn)經(jīng)營及其循環(huán)、周轉(zhuǎn)過程中，隨著時間的變化而產(chǎn)生的增值我們可以從以下兩個方面理解資金的時間價值：首先，資金在商品經(jīng)濟條件下，是不斷運動著的。資金的運動伴隨著生產(chǎn)和交換的進(jìn)行，生產(chǎn)與交換活動會給投資者帶來利潤，表現(xiàn)為資金的增殖。資金增殖的實質(zhì)是勞動者在生產(chǎn)過程種創(chuàng)造了剩余價值。從投資者的角度來看，資金的增殖特性使資金具有時間價值。其次，資金一旦用于投資，就不能用于現(xiàn)期消費。犧牲現(xiàn)期消費是為了能在將來得到更多的消費。從消費者的角度來看，資金的時間價值表達(dá)為對放棄現(xiàn)期消費的損失所應(yīng)作的必要補償。資金的時間價值與因通貨膨脹而產(chǎn)生的貨幣貶值是性質(zhì)不同的概念通貨膨脹是指由于貨幣發(fā)行量超過商品流通實際需要量而引起的貨幣貶值和物價上漲現(xiàn)象貨幣的時間價值是客觀存在的，是商品生產(chǎn)條件下的普遍規(guī)律，只要商品生產(chǎn)存在，資金就具有時間價值在現(xiàn)實經(jīng)濟活動中，資金的時間價值與通貨膨脹因素往往是同時存在的既要重視資金的時間價值，又要充分考慮通貨膨脹和風(fēng)險價值的影響，以利于正確地投資決策、合理有效地使用資金資金時間價值的大小取決于多方面的因素。從投資角度來看，主要有：1、投資收益率，即單位投資所能取得的利益；2、通貨膨脹因素，即對因貨幣貶值造成的損失所應(yīng)作的補償。3、風(fēng)險因素，即對因風(fēng)險的存在可能帶來的損失所應(yīng)作的補償。在市場經(jīng)濟的條件下，資金增值有兩種主要方式：將現(xiàn)有資金存入銀行，可以取得利息將現(xiàn)有資金用于生產(chǎn)建設(shè)，可以取得利潤二、利息與利率市場經(jīng)濟條件下，利率的作用影響社會投資的多少影響社會資金的供給量利率是調(diào)節(jié)經(jīng)濟政策的工具決定和影響利率水平的綜合因素有：1、社會平均利潤率；2、金融市場資金的供求情況；3、國家調(diào)節(jié)經(jīng)濟的需要；4、借貸時間的長短?！惨弧忱⒑屠时纠停奖窘穑⑾聵?biāo)n表示計算利息的周期數(shù)。利率是在一個計息周期內(nèi)所得的利息額與借貸金額〔即本金〕之比，一般以百分?jǐn)?shù)表示。通常用i表示利率?！捕硢卫蛷?fù)利利息的計算有單利計算和復(fù)利計算之分。1.單利法以本金為基數(shù)計算資金的時間價值(即利息)，不將利息計入本金，利息不再生息，所獲得利息與時間成正比。單利計息時利息計算式為：n個計息周期后的本利和為：【例】：借款100元，借期3年，每年單利利率5%，第三年末應(yīng)還本利假設(shè)干？解：三年的利息為：100×3×0.05=15元三年末共還本利為：100+15=115元由于單利沒有反映資金周轉(zhuǎn)的規(guī)律與擴大再生產(chǎn)的現(xiàn)實。在國外很少應(yīng)用，一般僅用來與復(fù)利進(jìn)行比照。2、復(fù)利法以本金和利息之和為基數(shù)計算利息，即“利滾利〞本金逐期計息，以前累計的利息也逐期加利復(fù)利計算的本利和公式為：復(fù)利計算比較符合資金在社會再生產(chǎn)過程中運動的實際情況，在技術(shù)經(jīng)濟分析中，一般采用復(fù)利計算。復(fù)利計算公式的推導(dǎo)：第1年末，F(xiàn)1＝P＋P×i＝P〔1＋i〕第2年末，F(xiàn)2＝F1＋F1×i＝P(1＋i)×(1＋i)＝P(1＋i)2第n年末，F(xiàn)n＝P〔1＋i〕n－1×〔1＋i〕＝P〔1＋i〕n【例】：企業(yè)向銀行貸款10萬元進(jìn)行技術(shù)改造，年利率5%，兩年還清，按復(fù)利計算，兩年末需向銀行歸還本利共多少？解：P=10i＝5％n＝2F=10×(1+0.05)2=11.025

3、名義利率與實際利率我們前面所講的復(fù)利的計算期都是按年計算的，給定的利率也是年利率，但實際上復(fù)利的計息期不一定總是一年，有可能是一個月，一個季度或一天，當(dāng)利息在一年內(nèi)復(fù)利幾次時，給出的年利率叫做名義利率。將計息周期實際發(fā)生的利率稱為計息周期實際利率，計息周期的利率乘以每年計息周期數(shù)就得到名義利率。例如按月計息，月利率為1％，通常稱為“年利率12％，每月計息一次〞。這里的年利率12％稱為“名義利率〞。【例】：本金1000元，年利率12％，假設(shè)每年計息一次，一年后本利和為：F=1000×〔1＋0.12〕＝1120〔元〕按年利率12％，每月計息一次，一年后本利和為：F=1000×〔1＋0.12/12〕12＝1126.8〔元〕實際年利率i為：i＝〔1126.18－1000〕÷1000×100％＝12.68％【例】：本金1000元，投資5年，年利率8%，每年復(fù)利一次。本利和F=P×(1+i)n=1000×(1+8%)5=1469〔元〕5年的復(fù)利息=F－P=1469－1000=469〔元〕例2、上例如果每季復(fù)利一次，其他條件不變，那么，每季度利率=8%÷4=2%復(fù)利率次數(shù)=5×4=20F=P×(1+i)n=1000×(1+2%)20=1486〔元〕5年的復(fù)利息=1486－1000=486〔元〕可見，比一年復(fù)利一次的利息多486-469=17〔元〕即當(dāng)一年復(fù)利幾次時，實際得到的年利率要比名義上的年利率高。設(shè)名義利率為r，一年中計息次數(shù)為m，那么一個計息周期的利率為r/m，一年后本利和為F=P×(1+r/m)m按利率定義得年實際利率i為：i=(F–P)/P＝[P×(1+r/m)m－P]/P即：當(dāng)m＝1時，r＝i；當(dāng)m>1時，r<i;當(dāng)m→∞，i＝er－1

將例2數(shù)據(jù)代入：i=〔1+8%/4〕4－1=8.27%＞8%按實際年利率計算的本利和：F=P×〔1+i〕n=1000×〔1+8.27%〕5=1486〔元〕三、資金等值計算〔一〕資金等值概念“等值〞是指在時間因素的作用下，在不同的時間點絕對值不等的資金可能具有相同的價值。在方案比較中，由于資金的時間價值作用，使得各方案在不同時間點上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直接比較，必須把在不同時間點上的現(xiàn)金按照某一利率折算至某一相同的時間點上，使之等值前方可比較。這種計算過程稱為資金的等值計算把將來某一時點的資金金額換算稱現(xiàn)在時點的等值金額稱為“折現(xiàn)〞或“貼現(xiàn)〞。將來時點上的資金折現(xiàn)后的資金金額稱為“現(xiàn)值〞。與現(xiàn)值等價的將來某時點的資金金額稱為“終值〞或“將來值〞。“現(xiàn)值〞并非專指一筆資金“現(xiàn)在〞的價值，它是一個相對的概念，與基準(zhǔn)年的選擇有關(guān)。進(jìn)行資金等值計算中使用的反映資金時間價值的參數(shù)叫折現(xiàn)率。例如，現(xiàn)在的100元在年利率為10％的條件下，與一年后的110元，雖然資金數(shù)額不相等，但其經(jīng)濟價值是相等的以借款還本付息為例：【例】某人現(xiàn)在借款1000元，在5年內(nèi)以年利率6％還清全部本金和利息，有如表3－1中的四種歸還方案。

計算公式符號說明：P——現(xiàn)值〔PresentValue〕，亦稱本金，現(xiàn)值P是指相對

于基準(zhǔn)點的資金值；F——終值〔FutureValue〕，即本利和，是指從基準(zhǔn)點起第

n個計息周期末的資金值；A——等額年值〔AnnualValue〕，是指一段時間的每個計息周期末的一系列等額數(shù)值，也稱為年等值；G——等差額，等差系列的相鄰級差值〔GradientValue〕；i——計息周期折現(xiàn)率或利率〔InterestRate〕，常以％計；n——計息周期數(shù)〔NumberofPeriod〕，無特別說明，通

常以年數(shù)計。

〔二〕資金等值計算公式

按照現(xiàn)金流量序列的特點，我們可以將資金等值計算的公式分為：1、一次支付類型2、等額分付類型3、等差系列支付1、一次支付類型

一次支付又稱整付，指現(xiàn)金流量無論是支出還是收入，均在某個時點上只發(fā)生一次。其典型現(xiàn)金流量如圖3－3所示，需要注意的是，P發(fā)生在第一年年初，F(xiàn)發(fā)生在第n年年末?！?〕一次支付終值公式第1年末，F(xiàn)1＝P＋P×i＝P〔1＋i〕第2年末，F(xiàn)2

＝F1＋F1×i＝P(1＋i)×(1＋i)＝P(1＋i)2第n年末，F(xiàn)n＝P〔1＋i〕n－1×〔1＋i〕＝P〔1＋i〕n本金現(xiàn)值P，求n年后的終值F。這個問題相當(dāng)于銀行的“整存整取〞儲蓄方式。(1＋i)n稱為一次支付終值系數(shù)〔SinglePaymentFutureValveFactor〕，常以符號〔F／P，i，n〕表示。該公式的經(jīng)濟意義是：支出資金P，當(dāng)利率為i時，在復(fù)利計算的條件下，求n期期末所取得的本利和。這個公式是資金等值計算公式中最根本的一個，所有其他公式都可以由此公式推導(dǎo)得到。于是，可以得到一次支付終值公式：【例】因工程需要向銀行貸款1000萬元，年利率為7％，5年后還清，試問到期應(yīng)歸還本利共多少？解：P＝1000萬元，i＝0.07，n＝5年，由公式得：因此，5年后的本利和是1402.55萬元。該公式的經(jīng)濟意義是：如果想在未來的第n期期末一次收入F數(shù)額的現(xiàn)金，在利率為i的復(fù)利計算條件下，求現(xiàn)在應(yīng)一次支出本金P為多少。即n年后的終值，反求現(xiàn)值P。從現(xiàn)值的經(jīng)濟意義可知，一次支付現(xiàn)值公式是一次支付終值公式的逆運算，故有：〔2〕一次支付現(xiàn)值公式式中1／(1＋i)n稱為一次支付現(xiàn)值系數(shù)〔SinglePaymentPresentValveFactor〕，常以符號〔P／F，i，n〕表示。此處i稱為貼現(xiàn)率或折現(xiàn)率，這種把終值折算為現(xiàn)值的過程稱為貼現(xiàn)或折現(xiàn)。【例】某人10年后需款20萬元買房，假設(shè)按6％的年利率〔復(fù)利〕存款于銀行，問現(xiàn)在應(yīng)存錢多少才能得到這筆款數(shù)？解：F＝20萬元，i＝0.06，n＝10年，由公式得:即：年利率為6％時，現(xiàn)在應(yīng)存款11.168萬元，10年后的本利和才能到達(dá)20萬元。2、等額分付類型從第1年末至第n年末發(fā)生的連續(xù)且數(shù)額相等的現(xiàn)金流序列稱為等額系列現(xiàn)金流，每年的金額均為A，稱為等額年值，其支付方式那么稱為等額屢次支付，其典型現(xiàn)金流量如圖3－4所示。需要注意的是，P發(fā)生在第1年初〔即0點〕，F(xiàn)發(fā)生在第n年年末，而A發(fā)生在每一年的年末。該公式的經(jīng)濟意義是：對n期期末等額支付的現(xiàn)金流量A，在利率為i的復(fù)利計算條件下，求第n期期末的終值〔本利和〕F，也就是A、i、n求F。這個問題相當(dāng)于銀行的“零存整取〞儲蓄方式。公式推導(dǎo)如下:由一次支付終值公式可知：

〔1〕等額分付終值公式利用等比級數(shù)求和公式，可得：稱為等額分付終值系數(shù)〔UniformSeriesFutureValveFactor〕，常以符號〔F／A，i，n〕表示?！纠磕撤篮楣こ探ㄔO(shè)期為6年，假設(shè)每年年末向銀行貸款3000萬元作為投資，年利率i＝7％時，到第6年末欠銀行本利和為多少？解：A＝3000萬元，i＝0.07，n＝6年，求F。由公式得:因此，到第6年末欠款總額為21460萬元；其中，利息總額為：21460－3000×6＝3460萬元〔利息為貸款資金的19.2％〕〔2〕等額分付償債基金公式

可見，等額分付償債基金公式是等額分付終值公式的逆運算，因此可由該公式直接導(dǎo)出，等額分付償債基金公式為：等額分付償債基金公式的經(jīng)濟意義是：當(dāng)利率為i時，在復(fù)利計算的條件下，如果需在n期期末能一次收入F數(shù)額的現(xiàn)金，那么在這n期內(nèi)連續(xù)每期期末需等額支付A為多少，也就是F、i、n求A。稱為等額分付償債基金系數(shù)〔SinkingFundDepositFactor〕，常以符號〔A／F，i，n〕表示?！纠磕硰S欲積累一筆復(fù)利基金，用于3年后建造職工俱樂部。此項投資總額為200萬元，銀行利率12％，問每年末至少要存款多少？解：F＝200萬元，i＝0.12，n＝3年，求A。由公式得:

=200×0.29635＝59.27〔萬元〕【例】某學(xué)生在大學(xué)四年學(xué)習(xí)期間，每年年初從銀行借款2000元用以支付學(xué)費，假設(shè)按年利率6％計復(fù)利，第四年末一次歸還全部本息需要多少錢？F=2000×〔F/A,0.06,4〕×〔1+0.06〕=2000×4.375×1.06=9275〔元〕

(3)等額分付現(xiàn)值公式

由等額分付終值公式和一次支付終值公式聯(lián)立消去F，于是得到：等額分付現(xiàn)值公式的經(jīng)濟意義是：在利率為i，復(fù)利計息的條件下，求n期內(nèi)每期期末發(fā)生的等額支付現(xiàn)金A的現(xiàn)值P，即A、i、n求P。稱為等額分付現(xiàn)值系數(shù)〔UniformSeriesPresentValueFactor〕，常用符號〔P／A，i，n〕表示?！纠考僭O(shè)有一新建水電站投入運行后，每年出售產(chǎn)品電能可獲得效益1.2億元，當(dāng)水電站運行50年時，采用折現(xiàn)率i＝7％，其總效益的現(xiàn)值為多少？解：A＝1.2億元〔假定發(fā)生在年末〕，i＝0.07，n＝50年，求P。由公式得：即：50年的總效益現(xiàn)值是16.561億元。如不考慮時間因素，那么50年的總效益為1.2×50＝60億元?？梢?，不考慮資金的時間價值與考慮時間價值的差異很大?！纠磕撤篮楣こ虖?001年起興建，2002年底竣工投入使用，2003年起連續(xù)運行10年，到2012年平均每年可獲效益800萬元。按i＝5％計算，問將全部效益折算到興建年〔2001年年初〕的現(xiàn)值為多少？解：現(xiàn)金流量圖如下：A＝800萬元，i＝5％，n1＝10年。首先根據(jù)等額系列現(xiàn)值公式，將2003～2012年的系列年等值折算到2003年初〔即2002年末〕，得到現(xiàn)值P'：再根據(jù)一次支付現(xiàn)值公式，將P'折算到2003年初〔2002年末〕，得到P：所以，全部效益折算到2001年年初的現(xiàn)值為5603.07萬元?！?〕等額分付資金回收公式由其意義可知，資金回收公式是等額系列現(xiàn)值公式的逆運算，于是有：資金回收公式的經(jīng)濟意義是：當(dāng)利率為i時，在復(fù)利計算的條件下，如果現(xiàn)在借出一筆現(xiàn)值為P的資金，那么在今后n期內(nèi)連續(xù)每期期末需等額回收多少本息A，才能保證期滿后回收全部本金和利息。也就是P、i、n求A。稱為等額分付資金回收系數(shù)〔CapitalRecoveryFactor〕，常以〔A／P，i，n〕表示。這是一個重要的系數(shù)，對應(yīng)于工程的單位投資，在工程壽命期內(nèi)每年至少應(yīng)該回收的金額。資本回收系數(shù)與償債基金系數(shù)之間存在如下關(guān)系：〔A/P,i,n〕=(A/F,i,n)+i【例】某人向銀行貸款20萬元用于購房，合同約定以后每月等額歸還，期限為20年，貸款年利率為5.04%。請問每月應(yīng)歸還多少？到期后合計歸還數(shù)是多少？解：貸款〔本金〕P＝200000元年利率為5.04%，即月利率i＝0.0504/12＝0.0042歸還期為20年，即240個月由公式得：到期后合計歸還金額為：所以，每月應(yīng)等額歸還銀行1324.33元；20年后合計歸還金額為546867.46元。3、等差系列類型設(shè)有一系列等差現(xiàn)金流0，G，2G，…，〔n－1〕G分別于第1，2，3，…，n年年末發(fā)生，求該等差系列在第n年年末的終值F、在第1年年初的現(xiàn)值P，以及相當(dāng)于等額屢次支付類型的年等值A(chǔ)，假設(shè)年利率為i。等差系列類型的典型現(xiàn)金流量如圖3－6所示。一般規(guī)定，P發(fā)生在第一年年初，F(xiàn)發(fā)生在第n年年末，而G發(fā)生在每一年的年末。需要注意的是，這個等差系列是從0開始的，第n年的現(xiàn)金流量為〔n－1〕G。〔1〕等差系列終值公式〔G求F〕由圖3－6可知，該等差序列的終值可以看作是假設(shè)干不同年數(shù)而同時到期的資金總額，那么第n年年末的終值F可以用下式計算：稱為等差序列終值系數(shù)，常以符號〔F／G，i，n〕表示?！?〕等差系列現(xiàn)值公式〔G求P〕將一次支付終值公式代入等差系列終值公式消去F可得：稱為等差序列現(xiàn)值系數(shù)，常以符號〔