期中復(fù)習(xí)三角形培優(yōu)學(xué)案（橫版）

三角形

適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級

適用區(qū)域全國新課標(biāo)課時時長（分鐘）60分鐘

1、與三角形有關(guān)的線段

知識點2、與三角形有關(guān)的角

3、多邊形及其內(nèi)角和

一、知識與技能

學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解三角形的定義；

2、會畫三角形的高、中線、角平分線，并且知道它們的性質(zhì)，識記銳角三角形、直角三

角形、鈍角三角形這"三線"的特點；

3、會用三邊關(guān)系判定所給三條線段能否構(gòu)成三角形；

4、識記并會運用三角形的內(nèi)角和定理；

5、掌握三角形外角的性質(zhì)；

6、識記多邊形內(nèi)角和、外角和、對角線公式及對角線引申式并會進(jìn)行推導(dǎo)以及運用；

二、過程與方法

1、以學(xué)生為主，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固，當(dāng)學(xué)生遇到想不起來或者記憶不太清的知識

點需要重點復(fù)習(xí)；

2、把握重難點、考點結(jié)合學(xué)生的實際以及期中考試的熱點問題、經(jīng)典例題進(jìn)行針

對性的鞏固訓(xùn)練；

3、讓學(xué)生先掌握三角形的邊角關(guān)系，再通過引導(dǎo)循序漸進(jìn)讓學(xué)生推導(dǎo)出多邊形內(nèi)角

和、外角和、對角線公式及對角線引申式；

4、根據(jù)不同學(xué)生的實際情況，要求不同學(xué)生掌握簡單、鞏固、拔高各種層次的題

型；

5、掌握圖形規(guī)律的一般解題方法：從特殊到一般，將整體分割為幾個個體的研究

方法。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1、讓學(xué)生對生活中經(jīng)常出現(xiàn)的三角形有一個整體認(rèn)知；

2、讓學(xué)生養(yǎng)成從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜、整體分離的學(xué)習(xí)方法；

3、形成對圖形的處理能力，形成解題技巧，樹立對解決此類問題的信心；

4、培養(yǎng)學(xué)生、轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，形成特定的數(shù)學(xué)思維。

學(xué)習(xí)重點三角形三邊關(guān)系、"三線"性質(zhì)、內(nèi)外角和定理、多邊形及其內(nèi)角和

學(xué)習(xí)難點多邊形及其內(nèi)角和

學(xué)習(xí)過程

一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

（-）軸對稱與軸對稱圖形：軸對稱圖形是指"一個圖形"；軸對稱是指"兩個圖形"的位置關(guān)系。

（二）軸對稱與軸對稱圖形的性質(zhì)：

軸對稱圖形（或關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形）的對應(yīng)線段（對折后重合的線段）相等，對應(yīng)角（對折

后重合的角）相等。

（三）線段的垂直平分線的性質(zhì)：

經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線。

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。這是一個證明線段相等的辦法。

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

（四）畫軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸：

如果一個圖形是軸對稱圖形或兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任意一對對應(yīng)點所連線段的垂直平

分線。因此，我們只要找到一對對應(yīng)點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的

對稱軸。

（五）軸對稱變換：

畫一個圖形關(guān)于某條直線對稱的圖形，只要分別作出這個圖形上的關(guān)鍵點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接

這些對應(yīng)點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形。

用坐標(biāo)表示軸對稱：

（六）在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于X軸對稱的兩個點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于''軸對稱

的兩個點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。如關(guān)于X軸對稱的點的坐標(biāo)為⑷詢，關(guān)于）’軸對稱

的點的坐標(biāo)為口，絲

二、知識講解

考點/易錯點1

與三角形有關(guān)的線段

1、三角形的中線、高線、角平分線

三角形

的

定義圖形表示法說明

重要線

段

從三角1.是△48C的三角形有三

A

形的一8c邊上的高線。條高,且它們

三角形

2.AD1BCTD

個頂點拄o（或它們的

的高線BDC3.

向它的延長線）相交

ZADB=ZADC=90

對邊所o于一點，這個

o

在的直交點叫做三

線作垂角形的垂心。

線，頂點

和垂足

之間的

線段。

三角形有三

三角形

條中線，都在

中，連接

1.八。是/XABC的三角形的內(nèi)

—頂A

三角形8c邊上的中線。部，且它們相

點和它

的中線交于一點，這

42.BD=DC=-BCO

對邊中2

個交點叫做

點的線

三角形的重

段。

心。三角形的

重心在三角

形的內(nèi)部。

三角形

三角形有三

—內(nèi)

條角平分線，

角的平

都在三角形

分線與

的內(nèi)部，且它

三角形它的對41.AD是/VlBC的

們相交于一

的邊相交，N84C的平分線。

點，這個交點

角平分連接這2.Z1=Z2=,

2叫做三角形

線個角的ZBAC

O的內(nèi)心。

頂點與

三角形的內(nèi)

交點之

心在三角形

間的線

的內(nèi)部。

段。

2、三邊關(guān)系

①判斷三條線段能否構(gòu)成三角形，最簡捷的方法是：用兩條較短的線段的長度之和與最長線段的長度

進(jìn)行比較，若兩條較短線段的長度之和大于最長線段的長度，則這三條線段可以組成三角形；否則不能

組成三角形。

②已知兩邊長求第三邊長的取值范圍的方法：已知三角形兩邊長為a,b,則第三邊長x的取值范圍

是卜-耳<x<a+bo

考點/易錯點2

與三角形有關(guān)的角

1.三角形內(nèi)角和定理

(1)定理：三角形內(nèi)角和是180°BPzA+zB+zC=180°

(2)作用：它是三角形三個內(nèi)角必須滿足的條件；它實際上提供了三個內(nèi)角滿足的一個等量關(guān)系，是

求三角形角度時常用的一個條件。

(3)定理形式的變形：

①//=180°-乙B-Z.C;②N8+ZC=180°-N/

-ZA+-ZB+-ZC=90°

③222(數(shù)學(xué)中的公式不是一成不變的，它可以變通。)

2.直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角互余；直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三

角形。

3.三角形的外角及三角形內(nèi)角和定理的推論

(1)三角形外角：三角形的一邊與另一條邊的延長線組成的角。

(2)三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

(3)三角形的外角和是360%

考點/易錯點3

1.在三角形中進(jìn)行有關(guān)角的計算時，要注意三角形內(nèi)角和定理這一隱含條件的應(yīng)用；

2.“直角三角形的兩個銳角互余"和"有兩個角互余的三角形是直角三角形〃是直角三角形的重要性質(zhì)及

判定，利用此性質(zhì)和判定比應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理更直接、便捷；

3.本講中很多求角的度數(shù)的問題都可以采用列方程的方法來解答；

4.三角形的外角和與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補角。

考點/易錯點4

多邊形及其內(nèi)角和

1、多邊形的有關(guān)概念

①多邊形的定義

在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。

注意：(1)理解多邊形的定義要從以下兩方面考慮：一是"在同一平面內(nèi)"；二是"一些線段首尾順次相

接"；兩者缺一不可。

(2)多邊形通常以邊數(shù)來命名，具有〃條邊的多邊形叫〃邊形。三角形、四邊形都屬于多邊形。

②.多邊形的內(nèi)角、外角、對角線的概念

多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角。

多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

注意：從〃邊形的一個頂點可以引出（〃-3）條對角線，過〃個頂點有條對角線，但每條對角

〃（九—3）

線都計算了兩遍，所以〃邊形共有條對角線。

③.正多邊形的概念

各邊相等各角也相等的多邊形稱為正多邊形。

注意：正多邊形必須同時滿足兩個條件：一是"各邊相等〃、二是“各角也相等〃，兩者缺一不可。例如，

各角都相等的四邊形是矩形；各邊相等的四邊形是菱形。只有各角相等，各邊也相等的四邊形是正方形

（正四邊形X

考點/易錯點5

2、多邊形的內(nèi)角和

1.一般地，〃邊形的內(nèi)角和等于（"2）180（?>3）o

探究方法：由于從〃邊形的一個頂點可引（〃-3）條對角線，這些對角線把〃邊形分成（〃-2）個三

角形，每個三角形的內(nèi)角和是180。，所以〃邊形的內(nèi)角和為（”2）18。。,而正〃邊形的每個內(nèi)角為

（“2）-180°

no

2.任何多邊形的外角和都等于360%

探究方法：由于〃邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180。，〃個外角連同它們各自相鄰

的內(nèi)角共有2〃個角，這些角的總和等于〃」8。。，所以外角和為〃」8?！?（"2）」8。。=36。。，即多邊形的外角

和為360°

考點/易錯點6

方程思想是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一。用方程思想求解數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)從題中的已知量與未知

量的關(guān)系入手，找出相等關(guān)系，運用數(shù)學(xué)符號語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，再通過解方程，使問題得到

解決。方程思想應(yīng)用非常廣泛，我們不但能用方程思想解決代數(shù)問題，而且還能夠解決有關(guān)的幾何問題。

考點/易錯點7

1.利用多邊形的內(nèi)角和公式伍-2）/80。解決實際問題時，如果知道〃的值，那么可以直接求出〃邊形的

內(nèi)角和；如果知道多邊形的內(nèi)角和，那么可以根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（-2）」8。。構(gòu)造方程，通過解方程

求得邊數(shù)。

2.利用多邊形的外角和等于360。解決問題時，應(yīng)真正理解多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)。所以，在解決

多邊形問題時常把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角和問題解決。

三、例題精析

[例題1]

【題干】某同學(xué)用長分別是5cm,7cm,9cm,13cm的四根木棒擺三角形（用其中三根木棒首尾

順次相接），每擺好一個后，拆開再擺，這樣最多可以擺出不同的三角形的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C.

【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊進(jìn)行分析。從4根不同長度的木棒中任

選根，有種可能:再逐一檢驗,發(fā)現(xiàn)第三組不可能，

345,7,9;5,9,13;5,7,13;7,9,13o

因為5+7<13。所以選C。

［例題2］

【題干】一個三角形的兩邊長分別為5cm和3cm,第三邊也是整數(shù)，且周長是偶數(shù)，則第三邊長是

：)

A.2cm或4cmB.4cm或6cmC.4cmD.2cm或6cm

【答案】B.

【解析】設(shè)第三邊長為x,貝?。?-3<x<5+3,即2<x<8。又x為偶數(shù)，因此x=4或6。故選B。

[例題3]

【題干】等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三角形

的底邊長是_____O

【答案】5cm.

【解析】設(shè)等腰三角形的腰長是底邊是根據(jù)題意，得：

xcm,ycmo

XfX…

X4—=12XH—=21

<2或2,

y+—=21y+—=12

、2、2

解得或f=

y=171y=5

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知：不能組成三角形，應(yīng)舍去。所以它的底邊是

8,8,175cmo

[例題4]

【題干】如圖，D為AABC中BC邊上的任意一點(不與B、C重合)，AE和AF分別是3BD和3CD

的角平分線。B

求證：

zEAF=|zBACoD/A

【答案】:AE和AF分別是“ABD杵ACD的角平分線-3=/4忖/BAD,止/2忖9口，

/.z3+z2=lzBAD+lzCAD=i(zBAD+zCAD)=izCAB,

2222

即/EAF竹/BAC。

【解析】從三角形的角平分線的定義，你能得到什么呢？“是“8。的角平分線，得到N3=N4=g

/8/。;/尸是“。的角平分線得到N1=N2=#CI。。從需要求證的N￡4尸我們想到它等于N3+N2,

再通過計算，就可以得到結(jié)論。

[例題5]

【題干】有一塊三角形綠地，現(xiàn)在要把它分成面積相等的四塊三角形，請你設(shè)計一個可行的方案，并

畫出示意圖。

【答案】如圖①所示：先找出的中點。，再連接DB,再找出的中點E,連接/￡CE,就可

以把三角形的綠地分成面積相等的四塊；

如圖②所示：先找出的中點。，再連接DC,再找出。右的中點E,連接/巳找到8c的中點F,

連接DF,就可以把三角形的綠地分成面積相等的四塊。

圖①圖②

【解析】根據(jù)"等（同）底等（同）高的三角形面積相等"，結(jié)合三角形的中線、等分點的定義去設(shè)

計方案。本題屬于方案設(shè)計類問題。實質(zhì)是把一個三角形分成面積相等的四個三角形，”等（同）底等

（同）高的三角形面積相等"是根本依據(jù)，還有很多方案，只要滿足條件均可。如下圖所示:

[例題6]

【題干】如圖，在△48C中，4。平分NBAC且與BC相交于點。，ZB=40°,ZBAD=30°,則NC的度

數(shù)是____________.

【答案】80°.

【解析】平分/必0且與8c相交于點。，「?/加仁2/8/。，?.2加。=30°,

:.^BAC=60°,.?/8=40°,/.zC=180o-(乙B+Z.BAC)=180°-(40°+60°)=80°

[例題7]

【題干】如圖，在△/8C中，/￡OB、0c分別平分乙ABC、N/U8,O2L8C,求證：N1=N2。

【答案】在“8。中，/8/U+N/8c+//告180°j/EOB、OC分別平分NmC"BC、Z.ACB,

"OAB二1ABAC,乙OBA二i乙ABC,乙OCD:乙OCB二1乙ACB,:z.l=^OAB+z.OBA=1

2222

(^BAC+^ABC)=^{180°-〃6)=90。-^ABC；：OD1.BC,:.z,2=^°-/。。=90°-^ABC,

.,.zl=z20

【解析】根據(jù)角平分線的定義和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，N1=4N/8G4

22

/以「，/2=90°-；"",而〃比；〃8/m「三個角的一半之和等于90°,所以/2等于〃歌

與NHIC的一半的和，所以N1與/2相等。

[例題8]

【題干】如圖,凸六邊形ABCDEF的六個角都是120°,邊長AB=2cm,BC=8cm,CD=11cm,

DE=6cm，你能求出這個六邊形的周長嗎？

【答案】46cm.

【解析】如圖，分別作直線、、的延長線使它們交于點、、

ABCDEFGHPo

因為六邊形的六個角都是所以六邊形的每一個外角的度數(shù)都是

ABCDEF120°,ABCDEF60°o

所以三角形APF、BGC、DHE、GHP者B是等邊三角形。所以GC=BC=8cm,DH=DE=6cm。

所以GH=8+ll+6=25cm,FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8=15cm,EF=PH-PF-EH=25-

所以六邊形的周長為

15-6=4cmo2+8+11+6+4+15=46cmo

[例題9]

【題干】如圖，小亮從/點出發(fā)前進(jìn)10/77,向右轉(zhuǎn)15°,再前進(jìn)10/77,又向右轉(zhuǎn)15°,...,這樣一直

走下去，他第一次回到出發(fā)點/時，一共走了m。

【答案】240（米）.

【解析】設(shè)邊長為10m的正多邊形的邊數(shù)為no依據(jù)多邊形的外角和等于360°,得15。.〃=360。，解

得〃=24。小亮第一次回到出發(fā)點A時，一共走了24x10=240米。

【例題10]

【題干】一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余內(nèi)角的和為2478°,求這個內(nèi)角的度數(shù)。

【答案】42°.

【解析】設(shè)這個內(nèi)角為x度，則此多邊形的內(nèi)角和為2478+x,而2478=180x13+138,故

2478+x=180xl3+(138+x),又138+x應(yīng)是180的整數(shù)倍，且0<x<180,故有138+x=180,

x=42,即這個角為42。。

四、課堂運用

【基礎(chǔ)】

1.一個三角形的兩邊分別是5和11,若第三邊是整數(shù)，則這個三角形的最小周長是（）

A.21B.22C.23D.24

2.（龍湖區(qū)模擬）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和5,那么這個等腰三角形的周長是

3、如圖,在AABC中,ZABC與NACB的平分線相交于0點.若NBOC=130°,貝！J/A=

4.一個五邊形的5個外角的比是1:2:3:4:5,則這個五邊形的最大外角的度數(shù)是

5.如圖，在ZkABC中，D是BC邊上一點，且BD：DC=2：1,AACD的面積為4,則MBC的面積為

6.如圖，點D是SBC的邊BC上任意一點，點E、F分別是線段AD、CE的中點,且MBC的面積為

18cm2,則YEF的面積=

7.已知三角形的三個外角的度數(shù)比為2：3：4,則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為

【鞏固】

1.如圖，三角形/8C中，平分N8/C,EG1AD,且分別交AB、八。、/C及8c的延長

線于點EH、F、G,下列四個式子中正確的是

A.Z1=1(Z2-Z3)B.Z1=2(Z2-Z3)

L1

C.ZG=-(Z3-Z2)D.ZG=-Z1