考研數(shù)學(xué)測(cè)試題

考研數(shù)學(xué)測(cè)試題

選擇題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分。在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）

1.下列函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，與無窮小量（1-幻相比是高階無窮小的是（B）

A.ln(3-x)B.x3-2x2+x

C.cos(r-l)D.x~—I

2.曲線y=34—3+,在(i,+oo)內(nèi)是(B)

X

A.處處單調(diào)減小B.處處單調(diào)增加

C.具有最大值D.具有最小值

3.設(shè)/（x）是可導(dǎo)函數(shù)，且lirn/支+=則/"（/）為⑺）

10h

A.1B.0

C.2D.-

2

4.若/（?=黃丁則為(D)

A.-B.1—In2

2

C.1D.In2

5.設(shè)〃=xyz,型等于（口）

dx

A.zxyzB.孫j

C.尸D.V

填空題：本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分，把答案填在

題中橫線上。

6.設(shè)z=e"+y/,則（|,2）=2e2+1.

7.設(shè)r（x）=e*+lnx,則/⑶=/+：.

Yj|

8./(%)=--，則/(一)=---

1-XXX-1

9.設(shè)二重積分的積分區(qū)域D是14/+,2<4,則，必”y=3%.

10.)v=/2.

XT82x-----

11.函數(shù)/(x)=+e-x)的極小值點(diǎn)為x=0.

12.若lim:+“X+4=3,則.=5

x"X+1

13.曲線y=arctanx在橫坐標(biāo)為1點(diǎn)處的切線方程為y-&=,。-1).

42

14.函數(shù)sin，力在x=2?處的導(dǎo)數(shù)值為乃sin。.

J。24

.?

rixsinr

15.------------ax-___0______.

J1+cosx

三、解答題：本大題共13小題，共90分，解答應(yīng)寫出推理、演算步驟。

16.(本題滿分6分)

f1

求函數(shù),/(x)=,x的間斷點(diǎn).

0x=0

解這是一個(gè)分段函數(shù)，/(x)在點(diǎn)x=0的左極限和右極限都存在.

171

lim/(x)=limarctan—=——

A->O-x->o~x2

171

Umf(x)=limarctan-=一

xfo+A->O+x2

lim/(x)wlimf(x)

x->0-x^0+

故當(dāng)Xf0時(shí)，/(x)的極限不存在，點(diǎn)x=0是/(x)的第一類間斷點(diǎn).

17.(本題滿分6分)

'」的rX+-\lX-\

計(jì)算lim,

2x2-1

18.(本題滿分6分)

1

計(jì)算limlnarcsinx+(l+x)x.

x->0

解設(shè)/(%)=arcsinx+(l+x)].

由于x=O是初等函數(shù)In/(x)的可去間斷點(diǎn),

故limIn/(x)=Inliin/(x)=Inlimarcsinx+(1+x)"

A->0k->0x->0

=Inlimarcsinx+lim(l+x)x

.v->00

=ln(O+e)=Ine=1.

19.(本題滿分6分)

”I

設(shè)函數(shù)/(x)=xe*x>°，求/'(x).

ln(l+x)-1<x<0

解首先在尤。0時(shí)，分別求出函數(shù)各表達(dá)式的導(dǎo)數(shù)，即

當(dāng)一IvxvO時(shí)，f\x)=[ln(x+l)]=—5—.

x+1

然后分別求出在元=0處函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，即

/_(0)=lim-^—=1

Xf0-X+1

(+(0)=limJx(l+,)=O

xf0+X

從而/_(0)w/'+(0)，函數(shù)在X=O處不可導(dǎo).

e-^(1+—)x>0

所以尸(x)=x

20.(本題滿分6分)

求函數(shù)y=sin(x+y)的二階導(dǎo)數(shù).

解y=sin(x+y)

y，=cos(x+y)(l+y')-cos(x+y)+y'cos(x+y)①

y"=-sin(x+y)(l+y')+y“cos(x+y)+y'|-sin(x+y)](l+y')

[1-COS(X+y)[y〃=-sin(x+y)(l+y')2

…sin……尸

②

1-cos(x+y)

又由①解得V=c°s(x+y)

l-cos(x+y)

/、cos(x+y)

cos(r+y)1+-----------

_l-cos(x+y)

代入②得了'=

l-cos(x+y)

sin(x+y)

[1-cos(x+y)F

21.(本題滿分6分)

求曲線/(尤)=/一2/的極值點(diǎn).

q

解先出求/(%)的一階導(dǎo)數(shù)：/r(x)=4x3-6x2=4x2(x--)

aa

令=oip4x2(x--)=o解得駐點(diǎn)為X1=0,%=~?

再求出f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f\x)=12X2-12X=12x(%-1).

當(dāng)％=3時(shí)，r(-)=9>o,故/(3=-衛(wèi)是極小值.

22216

3

當(dāng)玉=0時(shí)，r(0)=0,在(一8,0)內(nèi)，/(%)<0,在(0,/)內(nèi)尸(%)<0

故%|=0不是極值點(diǎn).

a

總之曲線/(幻=工4一2/只有極小值點(diǎn)冗=；.

22.(本題滿分6分)

r3

計(jì)算jr2+]公，

X3X3+x-xx(x2+1)—XX

解--------=---------------=-------------------=X------------

X2+1X2+1X2+1x2+1

[―^—dx=[(x----)dx=[xdx-[—5^—dx

Jx2+1Jx2+lJJx2+1

121f^U2+l)12",2八廠

=-x---------=-x--ln(x+1)+C

22Jx+\22

23.(本題滿分6分)

若f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xln光，求，工"(%)公.

解由題設(shè)知/(%)=(xlnX)'=InX+x(lnx)，=Inx+1

故J九?f{x}dx=Jx()nx+X)dx

^x\nxdx+^xdx

31?212

=IInx—dx+—x

J22

=-]nx-x2--\x2-CIX+-X2-

22x2

=_x~Inx—fxdxH—

22J2

11

=—x27Inx——廠?+C.

24

24.（本題滿分6分）

已知二金小=;,

求常數(shù)Z的值.

，。女廣。1fO1

解[-----dx=k\-----dx=k-lim|-----dx

J—1+xJ-001+xq-J〃i+x

=k?limarctanx)=k?lim(-arctana)=k?—

a—>-oo-2

」1

又ax=—

Jf1+/2

故k———解得k=—

227t

25.(本題滿分6分)

求函數(shù)f(x,y)=y3-x2+6x-12y+5的極值.

解更=-2x+6,笠=3/一12

dxdy

—2x+6=0,、，

解方程組,得駐點(diǎn)4(3,2),綜(3,-2)

3y-12=0

又A=fxx=-2,B=fxy=0,C=fyy=6〉

對(duì)于駐點(diǎn)A):A=—2,8=0,C=6y*=3=-12,故6?—AC=24>0

,y=2

駐點(diǎn)A。不是極值點(diǎn).

對(duì)于駐點(diǎn)瓦)：A=—2,B=0,C=6yq=—12

y=-2

故B2-AC=-24<0,又A=-2<0.

函數(shù)在Bo(3,-2)點(diǎn)取得極大值

f(3,-2)=(一2尸-9+18+24+5=30

26.(本題滿分10分)

求”(F+y)如加，其中D是由曲線y=f與X=y2所圍成的平面區(qū)域.

D

解由y=Y與X=y2得兩曲線的交點(diǎn)為。(0,0)與41,1)

X=y2(y20)的反函數(shù)為y=77.

jj(i+y)dxdy

D

5ji

(x2+—x)-(x4+—x4)dx

22

2-5)「33

7410°-140

27.(本題滿分10分)

設(shè)/(x)=--「/(x)dx，且常數(shù)aw-1，求證：「/(x)辦

J()JO3(a+1)

證\dx

^f(x)dx-^dx

Q3,a

f(x)dx

3

earaQ

J。f(x)dx+"J。f(x)dx=—

于是=

3(a+1)

28.(本題滿分10分)

求函數(shù)丁=曲史的單調(diào)區(qū)間、極值、此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)以及漸近線并作出函數(shù)的圖

X

形.

解(1)先求函數(shù)的定義域?yàn)?0,+00).

(2)求V和駐點(diǎn)：/=匕學(xué)，令y'=0得駐點(diǎn)x=e.

(3)由y的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間及極值.

當(dāng)0<x<e時(shí)，y'=上墳〉0,所以y單調(diào)增加；

當(dāng)時(shí)，y'<0,所以y單調(diào)減少.

由極值的第一充分條件可知y為極大直

(4)求y〃并確定y〃的符號(hào)：

y=21nl二3,令y”=o得彳=滔.

X

3

當(dāng)0<x<e2時(shí)，y"<0,曲線y為凸的；

3

當(dāng)x>浜時(shí)，y">0,曲線y