計(jì)算機(jī)控制理論基礎(chǔ)42

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

第4章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)

第四章計(jì)算機(jī)控制理論基礎(chǔ)

［第四章計(jì)算機(jī)控制理論基礎(chǔ)

引言離散控制系統(tǒng)基礎(chǔ)

4.1采樣信號(hào)的采樣與保持

4.2Z變換

4.3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

￡4_計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的分析

2

時(shí)域q描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型的數(shù)學(xué)

表達(dá)式稱為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式可以

是微分方程、差分方程、

傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程等，

也可以用信號(hào)流圖或模擬

圖符號(hào)表示。分析和研究

拉氏域或控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，就

復(fù)頻域是分析和研究系統(tǒng)數(shù)學(xué)模

型的特性。對(duì)微分方程，

可得到系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變

拉氏變換和拉氏反變換化的規(guī)律。當(dāng)微分方程的

階次較高時(shí)，微分方程的

代

微求解就變得十分困難，因此，

數(shù)

分常采用拉氏變換的方法，將

方

方7

程

程微分方程轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程，

求解代數(shù)方程后，再通過(guò)反

拉氏變換得到微分方程的

解。

OO

時(shí)域函數(shù)/⑺的拉氏變換定義為："S)=f(t)e-stdt

7

0

用符號(hào)表示為F(s)=9[/Q)]

數(shù)S稱為拉氏算子。由于指數(shù)函數(shù)e-st應(yīng)有意義，因此S

學(xué)

定的單位是1/時(shí)間，即頻率；由于s是復(fù)數(shù)，因此，s

義表示復(fù)頻域變量。時(shí)域函數(shù)經(jīng)拉氏變換變換后得到

拉氏函數(shù)。拉氏反變換定義為：

1r(J+jco

f^=—\F(s)estds

2%J。-加

用符號(hào)表示為/(%)二夕UF(S)]

q連續(xù)控制系統(tǒng)采用拉氏變換將微分方程轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程，并

經(jīng)拉氏反變換得到時(shí)域解，同樣，離散控制系統(tǒng)采用Z變換

將差分方程轉(zhuǎn)換成以Z為變量的代數(shù)方程，求解后經(jīng)Z反變

換得到時(shí)域解。

連系離系

續(xù)統(tǒng)散統(tǒng)

微分方一代數(shù)方差分方一代數(shù)方

程程I程程I

拉氏變換和z變換關(guān)系傳遞函Z傳遞函

引言；Z變換的導(dǎo)出

抽樣信號(hào)的拉氏變換T離散信號(hào)的Z變換

p(t)-------------

‘九G)/QT?G-仃)

OOOO

廣⑴=/⑺?3T⑺=")￡即-U)=￡/(U項(xiàng)—U)

對(duì)/*⑺取拉氏變換〃~〃~

F\s)=L[f\t)]=L￡f(nTRt—nT)

〃=-8

oooo

尸(S)=Ef(nT)L[^t-nT)]=￡/(5)*"

〃二—OOfl=-OO

其中S=(7+jco

引入復(fù)變量z=e",為連續(xù)變量，將/(〃T)表示為/1(〃)

oo

-*(5)1…"=尸(Z)

n=-8

對(duì)任一信號(hào)f(〃)的(雙邊)z變換式為

OO

F⑺=工以幾)

〃二—OO

oo

/(z)=￡/5)z一〃

幾二—8

Z的正募

+/(0)z°+%L4力4z1

z的負(fù)得

一_______二

的哥級(jí)4^

]級(jí)數(shù)的系數(shù)是f㈤:

飛勺"指出/⑹的位封

O—00<n<—1z的正賽級(jí)數(shù)構(gòu)成左邊序列

oo<n<ooz的負(fù)氟級(jí)數(shù)構(gòu)成右邊序歹4

O若雙邊序列取單邊z變換，或?qū)σ蚬盘?hào)(有起因序

列)幾20存在的序列取z變換

OO

X(z)=￡x(〃)z，單邊Z變換

H=0

這種變換也稱為雙邊Z變換，與此相應(yīng)的單邊Z變換的定義如下:

OO

b(z)=￡/S)z-〃(1-56)

n=0

這種單邊Z變換的求和限是從零到無(wú)窮，因此對(duì)于因果序列，

用兩種Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的。單邊Z變換只有在少

數(shù)幾種情況下與雙邊Z變換有所區(qū)別。比如，需要考慮序列的

起始條件，其他特性則都和雙邊Z變換相同

1.年換

如果用拉氏變換來(lái)分析采樣系統(tǒng)，則系統(tǒng)的輸出必

然是S的超越函數(shù)，求其拉氏反變換是一件十分麻煩的

事。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家們的努力，尋找了一種Z變換法，在這

種變換下，使原來(lái)的S超越方程變成了一個(gè)以Z為算子的

代數(shù)方程，這一方法的引入使采樣系統(tǒng)的分析在理論上

有了大的發(fā)展。Z變換與拉氏變換有類似之處。拉氏變

換的每一種運(yùn)算規(guī)則都有一個(gè)相應(yīng)的Z變換應(yīng)用。通過(guò)

這種類比，對(duì)理解和掌握z變換是有益的。

由前面得，采樣信號(hào)得數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

+oo

/⑺二立⑺曲-⑺

n=Q

對(duì)上式兩邊取拉氏變換，令尸*(。=4/*(3則

4-004-004-00

F*G)=￡〃/*?)]=^f(nm^t-nT)]=[以匕可

n=Qn=Qn=Q

1

令z=e",解得s=]lnz,則

4-00

尸⑶=尸(雙」般=￡/(“)”

Tn=0

+00

定義：尸⑵=4產(chǎn)(切=5*(31=￡/(⑺1

幾點(diǎn)說(shuō)明：

1、Z變換定義是關(guān)于z的賽級(jí)數(shù)。只有當(dāng)級(jí)數(shù)

收斂時(shí)，才稱為采樣函數(shù)的Z變換。

2、Z變換是針對(duì)采樣函數(shù)八。而言。即是說(shuō)Z變

換由采樣函數(shù)決定，它只對(duì)采樣點(diǎn)有意義，反

映的是采樣時(shí)刻的信息，對(duì)非采樣時(shí)刻不關(guān)心。

故Z變換與采樣函數(shù)是——對(duì)應(yīng)的O

/*a)=g*⑴

/⑶=G(z)<8J>

/Q)=g?)

上述關(guān)系說(shuō)明：一個(gè)采樣函數(shù)/⑺對(duì)應(yīng)一個(gè)z變換，

一個(gè)Z變換對(duì)應(yīng)一個(gè)采樣函數(shù)，但是由于一個(gè)采樣函

數(shù)/*（?？蓪?duì)應(yīng)無(wú)窮多的連續(xù)函數(shù)，因?yàn)椴蓸雍瘮?shù)只是

考查得一些離散點(diǎn)的值。如下圖所示：

3、Z變換的物理意義表現(xiàn)在延遲性上。

+oo

F(z)=￡f(n7)r=f(O)z°+/(7>T+/(27欠一2+Lf(g+L

tr=O

上式中，通項(xiàng)/(⑺1,由/(⑺決定幅值，二〃決

定時(shí)刻，稱z-為位移(延遲)算子,n為位移量。

因此，F(xiàn)(Z)包含采樣的量值和時(shí)間兩個(gè)信息。

2.Z變換的收斂域(ROC):

Z變換存在著收斂的問(wèn)題。

1.并非任何信號(hào)的Z變換都存在。

2.并非Z平面上的任何復(fù)數(shù)都能使X(z)收斂。Z平

面上那些能使X(z)收斂的點(diǎn)的集合，就構(gòu)成了X(z)

的ROC。

3.Z變換的ROC,一般是Z平面上以原點(diǎn)為中心的

環(huán)形區(qū)域。

OO

級(jí)數(shù)收斂

n=0

級(jí)數(shù)收斂的判定：

OO

E\an\<°°

n=-8

1）比值判別法

）<1,收斂

夕>1,發(fā)散

2）根值判別法

2=1,其他方法

nTg>11

例：求xS)=Q%S)的Z變換的收斂域。

OOOOOO

解:x（z）=￡〃■=￡（〃k）〃=￡（與

n=Qn=0n=0Z

（1）lim

幾Tg

/?<1=>|z|>\a\

（2）lim<az~1n=az

〃f8V

"<i=H>同

4收斂區(qū)域：對(duì)于所有的序列或所有的z

值，z變換并不總是收斂的。對(duì)于任意給定的序

列，使z變換收斂的z值集合稱作收斂區(qū)域：

4{Z：/⑵存在}=收斂區(qū)域。

4注意：z變換收斂域的概念很重要，不同

的序列可能有相同的z變換表達(dá)式，但是收斂域

卻不同。所以應(yīng)該特別注意，只有當(dāng)z變換的表

達(dá)式與收斂域都相同時(shí)，才能判定兩個(gè)序列相

等。

例：求序列E)=Q"”的Z變換，其中。1<1。

OO—1oo

解:-nn\-n

x(z)=二￡「zz

n=-8n=—8n=0

oooo

a〃zn+,乙\a_nz-n

n=\n=01

第一部分的收斂域?yàn)镮〃ZIV1,即lzl<

IaI

第二部分的收斂域?yàn)?Tl<1,

已知卬<1,所以

az11-a2

X(z)=---H----T=--------TT\a\<\zl<

i-az1-az(l-az)(l~az)IaI

例x(n)=u(n)

oo

X(z)=￡z-〃=|z|>l

n=0

例X(M)=-anu(-n-V)

—1oo

x(z)=-￡屋Z-〃=-￡〃2"

〃=-oon=l

幾類序列的收斂域

(1)有限長(zhǎng)序列：在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值

的序列元(〃)

"2

n

X(z)=￡x(n)z~<n<n2

n=n1

々<0,%〉0收斂域?yàn)槌?。?的整個(gè)z平面。

fjlm[z]II

n0<|z|<oo

>Re[z]另，思考：

n}<0,n2<0

nx>0,n2>0

(2)右邊序列：只在/區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值

的序列兄(〃)

CXD

X(z)="nx<n<oo

(3)左邊序列：只在區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值

的序列45)叼

n

X(z)=￡x(n)z~-oo<n<?2

oo

m=-n8n=m

X(z)=￡x(Tn)z"

圓內(nèi)為嶺域

m=—n2n=-n2若4>0

lim弗(f)z”|<1

72—>00

lim)l<卜「二I

〃78

lim^/|x(-n)|

〃一>8YI

(4)雙邊序列：在一8<〃WOO區(qū)間內(nèi)，有非零

的有限值的序列X(力

OO

X(z)=Xx(n)z~n<n<oo

-1OO

x(z)=￡x(n)z~n+￡x(n)z~njlm[z]

n=-8n=0

圓內(nèi)收斂圓外收斂

&2>4|時(shí)，有環(huán)狀收斂域求］

R0<冬|時(shí)，沒(méi)有收斂域

(\Y右邊序列

例：⑴x{n}=I—u(n)

OO1n-nA1V1z

X(z)=￡(-)?z

3z,-r

n=01)7z—

Q4」

“3

1

z>—

3

或|小1=

z

例(2)=-(f)HW(-Z2-l)lim^yj<l

=|z|<g=4

n=-m8,、-

=N")-mH?=1<0

m=l=z=0包括在內(nèi)。

oo

=1-￡(3z/

m=0

=1—!—r

z

n

記(4)，⑺唱

小結(jié):

1)Z變換存在著收斂的問(wèn)題，不是任何信號(hào)都存

在Z變換，也不是任何復(fù)數(shù)Z都能使X⑵收斂。

2)僅僅由XQ)的表達(dá)式不能唯一地確定一個(gè)信

號(hào)，只有X(z)連同相應(yīng)的ROC一道，才能與信

號(hào)x(〃)建立---對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

3)Z變換的ROC，一般是Z平面上以原點(diǎn)為中心

的環(huán)形區(qū)域。

4)如果xS)=X%5)，則其ROC是各個(gè)入⑺的

ROC的公共區(qū)員。若沒(méi)有公共區(qū)域則表明x(〃)

的Z變換不存在。

5)當(dāng)X(z)是有理函數(shù)時(shí)，其ROC的邊界總是

由X(z)的極點(diǎn)所在的圓周界定的。

’7度換的特點(diǎn)及零極點(diǎn)

1.同一個(gè)z變換函數(shù)，收斂域不同，對(duì)應(yīng)的序列不同;

2.常用序列的z變換是一個(gè)有理分式，可表示為：

AY⑺小二P(Z)

。⑵

其中，P(z)、Q(z)分別是Z的實(shí)數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式；

3.P(z)=O的根是X⑵的零點(diǎn)(分單階零點(diǎn)和多階零點(diǎn));

Q⑵二。的根是X(z)的極點(diǎn)(分單階極點(diǎn)和多階極點(diǎn));

4.在極點(diǎn)處z變換不存在，因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn),

收斂域一般為同心圓環(huán)，用極點(diǎn)限定其邊界。

:、典型信號(hào)的Z變換

1.單位脈沖函數(shù)：

設(shè)咐=時(shí),所以有

OO

E(z)=^e(kT)z~k=1^°=1

k=Q

2.單位階躍信號(hào)：

設(shè)e?)=1(0,則

OO

k

￡(Z)=￡e(kT)z~=1+[T+z—2+z—3+???

k=0

E(z)=—1―7(Iz1>1)

l-zZ-l

3.單位理想脈沖后列：

設(shè)e⑺=不(。=￡演一左T),貝！j

k=Q

oo

石。）二￡4（左T）戌"=1+zT+Z-2+Z-3+???

k=0階躍信號(hào)采樣后

1

一[T與單位理想脈沖

1-z串是一樣的，而Z

==,（Izl>1）變換是對(duì)采樣點(diǎn)

z-1上的信息有效，

只要/⑺相同，

E(z)就相同。

4.單位斜坡信號(hào):

OO

設(shè)e?)=t,則E⑺=￡kT葭

ook=a

￡1=黃？

k=0<1

上式兩邊對(duì)Z求導(dǎo)數(shù)，并將和式與導(dǎo)數(shù)交

換,得OO[

S(Li)?

兩邊同乘(-2)，得單位斜坡信號(hào)的Z變換

OOrri

(Iz1>1)

5.指數(shù)函數(shù)：

設(shè)e⑺=e3（"為實(shí)常數(shù)），則

OO

七TJ1（/z_\）=乙\、e-akT戌—k=i1+?e_QTz_1+>e-2aTz-2+.e-3aTz—3+>???

左二o

、—]一Z

石（z）--aT-1--aT

1-ezz-e

6.正弦信號(hào):

設(shè)e?)=sin03因?yàn)?/p>

sin(ot——(ejd>7-e-*“

2j

所以

E(z)=￡!?的—eW)z~k

M2j

IIII

2

422凌換性質(zhì)

1.線性定理

孔

C

/⑺==1/1(O+C2/2(0+L+c/⑺

Z=1

幾

(4-18)

F(z)=y(z)=(z)+C2F2(Z)+L+g匕(Z)

脈沖序列線性組合的鷹換，等于其凌換的線性組合

Z[x(〃)]=X(z)Rx_<1zl<Rx+

設(shè)Z[y(n)]=Y(z)R)_<1zl<Ry+

則+》乂幾)]=QX(Z)+〃Y(z)R_<\z\<R+

其中H_=max[R.，4」，R+=min[Rx+,Ry+],即線性組

合后的收斂域?yàn)楦鱾€(gè)序列z變換的公共收斂域，如果這

些組合中某些零點(diǎn)和極點(diǎn)相互抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。

2.實(shí)數(shù)位移定理

又稱平移定理，實(shí)數(shù)位移的含義，是指整

個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右平移若干個(gè)采樣周

期，向左平移為超前，向右平移為遲后。

Z[f(t-kT)]=z-kF(z)

Z[f(t+kT)]=?F(Z)-?￡于(nT)1

n=0

證明根據(jù)彼換定義有

oooo

Z[f(t-kT)]=￡于(nT-kT)z-n=z-k￡/[(H-左)7味(〃的

n=0n=0

OO

令E—k,則有Z[f(t-kT)]=z-k￡f(rnT)z-m

m=-k

由于z變換的單邊性，m<0f(rnT)=O,所以上

式可寫為oo

Z[f(t-kT)]=z-k^f(mT)z-m

m=0

再令龍=打，定理得證。

⑴滯后定理（右移定理）

設(shè)Z[f(t)]=Z[f(k7)]=F(z)且k<O，a)=F(kT)=O

貝I]：Z[f(t-kT)]=z-kF(z)

證：按Z變換的定義展開(kāi)，注意到零初始條件

Z"("TTT)]=E；/("TT7V從〃“項(xiàng)開(kāi)始展開(kāi)

=f(O)z~k+f(T)z~(k+1)+f(2T)zAk+2)+L

=口"用)

含義：f(kT-nT)是滯后于采樣信號(hào)f(kT)

n個(gè)采樣周期的采樣信號(hào)，

乙〃代表滯后〃拍開(kāi)始采樣。

例1：求有純滯后的單位階躍函數(shù)的Z變換。

w(f-T)w(/-4T)

ZMf)]=Z-ZM⑺]=z--=—=7

Z[i/a-4T)]=z-4Z[w(0]

例2求/出《，二；23L

的Z變換。

解：是序列Qk滯后一拍的采樣函數(shù)。

11

Z[ak-x]=z-xZ[ak]=z-x

\-azxz-a

思考：〃左：=；'>的Z變換。

0k-0,1

(2)超前定理(左移定理)

Z"Q+⑺]=?F(z)-？代4)11

例3Z[f(kT+3T)]=z3F(z)-z3Yl^n^n

=Z3F(Z)-z3f(0)-z7(n-n2T)

在零初始條件下L=Z"(U+U)]=z*(z)

加+KT)是超前于/(〃T)k拍的采樣信號(hào)，

淤代表超前左拍。該定理還表明F(z)經(jīng)過(guò)一個(gè)

淤超前環(huán)節(jié)，相當(dāng)于時(shí)間特性向前移動(dòng)k步。只

有數(shù)學(xué)含義，而無(wú)工程意義。

證：按z變換的定義展開(kāi)，注意到零初始條件

OC

Z[y?+左7)]=即y(〃T+左7)[一女=/邛5+左)比一人

n=Q

kmkm

if(n+k)T]=zY/(mT)z-=z\?(mT)U

iv=k\_m=0tn=O

k—1

=zkF(z)-zk^f(m7)z-m

f/F=O

3初值定理

/(0)二!則(左乃二|W)

4終值定理

若Z[f(kT)]=F⑵，且(z-l)F(z)的全部極點(diǎn)

都在單位圓內(nèi)，則

f(oo)=lim/(左T)=lim(z—1)/(z)

女一>8Z—>1

證:；，之仔旅7)]=濠

K_U

Z"(左T+T)]=￡；//T+T)z-%

兩式相減:Z[f(kT+T)]-Z[f(kT)]

左邊：zF(z)-zf(O)~F(z)=Q—1)尸Q)-zf(O)I

兩邊取極限

右邊：理￡M/T+T)T(⑺]/.

=EL"(0+T)T(⑺]=/(8)一〃°)[

左邊二鳴(z-1)/⑶-〃0)

./(g)=lim//7)=li儀z—1)尸(z)

??k―)0°z-

例盧胡=心丁匚當(dāng)酋I(">0)

解/3)=lim(z-1)F⑶=lim[l--7^—-1r]=1

"ZTIE1-ez

???F⑵是f(t)=l-e-at的Z變換，顯然

lim(l-e^)=l

，一＞8

例設(shè)Z變換函數(shù)為E(z)------------,°，921-------

xE一刈八a-l)(z2-0,416z+0,208)

解：由終值定理得

0.792z2

e(oo)=lim(z-1)?

z-A(Z-1)(Z2-0.416Z+0.208)

2

「0.792z

=hm------------------------=1

2

ZTz-0.416z+0.208

注意C-1）K⑶終值存在的條件

（i）y⑵的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，收斂半徑小于1,有終值;

例:“〃”（〃），卜|<1,終值為o

（2）若極點(diǎn)位于單位圓上，只能位于z=l,并且是一

階極點(diǎn).

例:—,終值為1

注意：和系統(tǒng)穩(wěn)定性條件區(qū)別，系統(tǒng)穩(wěn)定性條件只有

第一條。

終值定理對(duì)求穩(wěn)態(tài)誤差非常有用。

弘錚霖■解？m院9函眸游密苓、W鏟超6"2卬

5迭值定理K4

設(shè)g(kT)=￡y(iT)(刖k項(xiàng)之和)

z=0

Z[y(江)]=y(z)

G(z)=Z[g(Z:T)]=Z[fy(zT)]=^-y(z)

則

z=0Z-]

可由z變換的定義證明

例：已知:

K~\1k=\2….

oc

g(kT)=￡y(iT)=k

i=Q

求：G(z)=Z[g(左T)]

解：y(kT)是滯后一拍的單位階躍續(xù)列

y(z)=Z1y(S]=「_]

1-z

G⑶-1-yU)=--7TT■

1-z(l—z)

（落乘M后的Z受海.

若Z[y（kT）]=Y（z）

則Z[ak-y{kT）]=Y{axz）

證：Z[a‘-y（左T）]=￡：=0）＜左?。ㄆ?^^^|

=￡；旬?。á耍?-為）-，=丫（。-為）?

(7)復(fù)數(shù)位移定理：

若函數(shù)e(t)是可以Laplace變換，其z變換為E(z),則有:

；：；zQe(山石(產(chǎn))1(7-35)

證明：由z變換定義

2[6電7。)]=￡6皿〃%(〃/氏一〃=fe(〃T)(z*a)T

〃=072=0

."士"

令：Zi=ze

???z[eme?)]=fe(〃T)Z]f=X(Zi)=E(z*'T)

77=0

含義：采樣信號(hào)e*(t)乘以指數(shù)序列e±anT的z變換，等

于在e*(t)的z變換表達(dá)式E(z)中以z*”取代原算子2。

例:求te-at的Z變換

TV

QZ[d=

(1-r1)2

由復(fù)數(shù)平移定理：

T(zeaTyl

[te-at]=F(zeaT)=

Z(l-Ue^r1)2

同理可求Z[e，sin放]

復(fù)數(shù)位移定理是仿照拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理導(dǎo)出

的，其含意是函數(shù)e*(t)乘以指數(shù)序列的彼換，就等于

在e*(t)的凌換表達(dá)F[z]中用26皿丁取代原算子Zo

E姿:飛奉乩;;屬務(wù)二…：,：.：?漆:焚殳肉.?大筵河社■：J，々；F二:、二M個(gè)

例利用復(fù)數(shù)位移定理計(jì)算函數(shù)。一/in。t

的凌換。

解：由z變換表查得sin的Z變換為

rr?1zsinoff

Z[smcot]=--------------------

z2-2zcosfi?T+1

由復(fù)數(shù)定理，得

)「”,..ze"sinoff

Z[esm(ot]=――丁-------------------------------------------------

-2zcaTcosiyr+1

ze~aTsinOJT

3一2”cosW+e*

8、卷積和定理

4-00

設(shè)：c(kT)=^g[(k-n)T]r(nT)

n=Q

式中：〃=0,l,2L為正整數(shù)，當(dāng)n為負(fù)數(shù)時(shí)

c{nT)=g(nT)=r(nT)=0

則有：C(z)=G(z)^(z)

式中：C(z)=Z[c(nT)]

G(z)=Z[g(nT)]

H(z)=Z[r(U)]

時(shí)域卷積定理

已知G(z)=z[g(Q]

R(z)=z[r(k)](即<:<九)一**

則z[g⑹*?O]=G(z)R(z)

收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分

即max(7?xl,/?A1)<|z|<min(7?x2,Rh2)

描述：兩序列在時(shí)域中的卷積的z變換等效于在z域中

兩序列Z變換的乘積。

注意：如果在某些線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)相抵

消，則收斂域可能擴(kuò)大。

KZ）的收斂域?yàn)榧?）、收斂域的公共部分。若有

極點(diǎn)被抵消，收斂域可擴(kuò)大。

證

OO

C(z)=Z[g⑹*r⑹]=￡[g=)*r(左)k一出

k=0

OOOO

二E￡r(〃)g(Z-〃)2一人

k=0n=0

OOOO

￡“幾)￡g(左一〃L令k-n=m,則上式可為:

77=0\_k=—o°

OOocococ

=￡「5)￡8(帆)2一("+〃)=￡小)2一〃￡且(加)2一機(jī)二A(z)G(z)

n=0m=—nn=0m=0

max[7?x_,RhJ<lzl<min[&+，&+]

在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，如果輸入為rO),系統(tǒng)的

單位脈沖響應(yīng)為g(乃，則輸出C(吩是TU)與gU)的

卷積；利用卷積定理，通過(guò)求出4(0和。(力，然后

求出乘積A(z)C(z)的級(jí)變換，從而可得。(0。這個(gè)

定理得到廣泛應(yīng)用。

例設(shè)x(〃)=Q〃N(n),h(n)=b〃u(n)-abn-1w(n-l)

求y(幾)=%(〃)*h(n)o

解

X(z)=Z[x(n)]=---\z\>\a\

z-a

H(z)=Z[h(n)]----------="_-\z\>\b\

z-az-bz-b

所以7

y(z)=X(z)H(z)=^-\z\>b

z-b

其Z反變換為

y(〃)=x(〃)*九⑺

=z-[y(z)]

=bnu(jT)

顯然，在ZN處，X(z)的極

點(diǎn)被H(z)的零點(diǎn)所抵消，

如果固〈㈤，則丫⑵的收斂

Y(Z)的零極點(diǎn)及收斂域

域比XQ)與“⑶收斂域的重

疊部分要大，如圖所示。

例

x(n)=anu(n\h(n)=/?"〃(〃),，求y(幾)=x(〃)*/z(〃)°

解：

x(z)=±U>H)5⑵=WM>w)

2

???y(z)=X(z)?“(z)=-_三_-

(z-Q)(Z—b)

，力m(z)

收斂域:|z|>max(6z,Z?)收斂域

---------~~X-^——

0abRe(z)

由F(z)求y(/7)

1(azbzy

QY(z)=

a-b\^z-az-b

???

y(n)=-i—a-anu(n)—b-bnu

a-b

1J_b〃+，)u(n)

a-b

9.Z域微分定理

若e⑺的Z變換為反z）,則

⑶

證明：由于E⑺=2（汁）廠

k=0

將上式兩邊對(duì)Z求導(dǎo)數(shù)，得

00

,A￡（z）=A;r￡＞（左T）二

dzdzk=。

變換導(dǎo)數(shù)與和式的次序

00

Aood

丁￡(z)=(仃)丁尸=￡e(左T)(一女)2一1

dzk=odzk=a

=~^[(kT)e(kT)]z-k

Tk=o

—1

=-￡_Z[ze(r)]

所以

ZUe?)]=—Tz；￡(z)

dz

例利用Z域微分定理求單位斜坡函數(shù)僅1(。

的Z變換。

證明：只要對(duì)階躍函數(shù)的Z變換求導(dǎo)數(shù)再

乘上-Tz,即

dz

Z[?xl(z)]=-Tz—(-----)

dzz-1

-1Tz

=-rz(^TF=(T7F

10.Z域尺度定理

若已知e(t)的Z變換為E(z)

則Z[〃％?)]=￡(三)，〃為常數(shù)

a

證明：因?yàn)?/p>

OO

z[ake(t)]=Y^ake(kT)z~k

k=0

OO

=fe(kT)(±)T=E(±)

例試求Ccos。的Z變換。

解：由z變換表

z(z-cosfi?T)

Z[COSa)t]=Z2-2ZCOS°T+1

—-COS6WT)

Bp

ZIPcoscot}-----------------------------

(―)2-2—coscoT+1

BP

1一4/cosoT

cosd)T+伊

常見(jiàn)函數(shù)的Z變換表如下

f(t)

尸(s)尸（z）

11

1z

1(0sz-1

t1及

S2(z-I)2

12

—t1T2-(z+1)

2

S32(z-

________1________

ak(at,T)z

5-(1/T)Inaz-a

1z

八一at

es+az-e~aT

1-at1.(1-e-〃)z

1-es(s+a)(z-1)(N-e")

?二?刀

KA

4.2.3求Z變換的方法

▲按定義計(jì)算（無(wú)窮級(jí)數(shù)求和）

▲部分分式法

▲留數(shù)計(jì)算法

1、級(jí)數(shù)求和法(seriessumming)

⑴展開(kāi)采樣函數(shù)(expanding)

+00

f⑺=?格兇-nT)=f(0項(xiàng))+他M-T)+

n=0

f(2T)S(t-2T)+L+f(nT)S(t-nT)+L

⑵求拉氏變換(transforming)

TsnTs

F(5)=f(O)+f(T)e-+于QT)產(chǎn)+L+f^nT)e-+L

⑶令z=eTs

F(z)=f(0)+f(T)r1+/(2T)z-2+L+f(nT)z-n+L

⑷然后按級(jí)數(shù)的性質(zhì)寫出級(jí)數(shù)的和函數(shù)

例1求單位階躍函數(shù)/⑺=1⑺的Z變換

解：因f5T)=1

4-00+oo

故『Q)=?(明兇-g=工兇-明

n=0n=Q

二勤+小一為+麗—2T)+L+6(t-nT)+L

求拉氏變換得

/⑸=1+e~Ts+e~2Ts+L+e-nTs+L

令z=eTs

17

尸⑵=1+/+尸+L+1+L=丁丁士邛＜1)

例2求/(%)=

解：因f(nT)=e-anT

+00+00

/*?)=?(〃⑥的—〃7)

77=0n=Q

=3(t)+1您0—T)+6%T的—2T)+L+e-anT6(t-nT)+L

1

jj/\[?—ciT—Ts.-2aT-QTs.T.-naT—nTs.T

r(s)=\+ee+ee+L+ee+L

TsaTx2aT2naTn

令z=eF(z)=1+e~zT+e~z~+L+e~z~+L

]—aT—1

尸（z）=Z<D

1-e—ciTz—1

例4-2求的z變換。

解八)=/(*=尸,根據(jù)式(4-14),可得

2aT2naTn

F(z)=1+尸/+e~z~+L+e~z~+L

則兩邊同乘得

e—ciTz—1r二(/z)\=e—uTz—1+?e—2QTz—2+1TL+1e—nciTz—n+.TL

兩式相減，可以求得

1z

尸⑶---

1-e—ciT—1

例3求彳“與”7函數(shù)（4為常數(shù)）的Z變換。

解：根據(jù)Z變換定義有

OO

F⑺=ff(kT)"k

k=0

=1+azi+a?z+L+〃'z+L

_1_z

|z|>a

1-az"1z-a

遨鏟；：.：..；：：吟及※三寸謬匚』:；:…森工

1.按定義計(jì)算y（z）=￡y（ZT）z-"

I注意〃的延遲含義。

例：用定義法求下列函數(shù)序列的麼換

\ak左為偶數(shù)

/（左）=4

解：\bk左為奇數(shù)

OO、

尸⑶=工于（2=1+反T+/z-2+b3z-3+〃4「+L

k=0

=(l+a2z-2+a4z-4+L)+^-'+b3z-3+L)

公比：a2z~2；b2z2

自己完成

設(shè)T為F(s)的重極點(diǎn)，則

▼U.▼.P▼?▼r

成5)二-J-T----------%T]+L——+——+L+—

(S-p>(s—P])'(s—Pl)(S—2+1)(S—%：

其中系數(shù)%=[(s_pi)'尸(s)]|

ls=P]

*=；[($-P1)'/(S)]|

ds*=PI

rj

1d~rz、r、/

Cj=(、…山」(521)/(S)]

,(r-j)!dzJL=P1

則的Z變換為

；r「；

/⑵=fzi,C+￡zC[]

(s-pj]￡f

j=l

例已知函數(shù)尸(s)=7一，求尸⑶

s(s+a)

解：尸⑶有兩個(gè)單極點(diǎn)P]=。、P2=

則4=1、4=-1,

廠/、a1

展開(kāi)為部分分式之和尸⑸二右不

s+a

所以

尸⑶―Z—一ZF

z-1z-e

/I-ciT\-1

(1-e)z

1-(1+6-a)/+e"]

例1已知F(s)=

解：F(s)=—―=i—―

s(s+a)ss+a

查表得

s-Jz-1*—s+a

得__z______z_zQ_g"")

Z-1z-e-aT—(z-1)(Z-產(chǎn)

用部分分式法求Z變換時(shí)，系數(shù)求法一般采用以下兩

種方法：

1、湊(適用于展開(kāi)項(xiàng)數(shù)不多的場(chǎng)合)

2、留數(shù)法(適用于任何場(chǎng)合)

例4-4求的Z變換。

解求尺S）并將其展開(kāi)為部分分式

S+COS—JCDS+JCD

"([_2jl—ejmzT_2j]_//以z-i.

(sm69T)z-1_zsinoff

1-(2coscoT}z~x+z-2z2-2ZCOS69T+1

例求解F(s)=例A(s+a)2］的Z變換

aa

^1?2?3

尸($)二六（S+Q）2~

is|=J-

a

iS（S+〃）2》卜二。/

a.=#（$+磯=-〃T

1

F（S）

S（S+Q）2s+a

F（Z）-十―

Z［（］-e-叫”"6一叫）2+/引（〃/］+6一"0）］

Q2（Z—1）（Z—"叫）2

,.嚅5

將y（s）展成部分分式，逐項(xiàng)查表.

例6：已知函數(shù)L[y(t)]=Y(s)=^^求丫⑵

sIa

解Y(s)=—^—=-------2-------

52+a2(s+ja)(s—ja)

11

-----------------1-------------

j2(s+ja)j2(s-ja)

Y(z)=——+——

J2(z-/皿)J2(z-〃")

zsinaT

z~—2ZCOSQT+1

例求F(z)=Z[sincot]

scocos__i_1

---------1-------1-------1------

co2j222j~~J,27

解：L[sin(vt]=

s2+co2s2+co2s+j①S-jco

因?yàn)樨蝃—g一j(±*

_S±jco

CD11______11

所以尸(z)=z

s2+。22j]—"%T+.j]_〃乙一]

z-1sinoff_z-1sinafT

1一”師方一產(chǎn)二+二2-i一271cos①T+72

例求球(t)=$訪\^的2變^4歐拉^^^纂,.

./協(xié)一?一川

smax=

1zZ2j

有Z[sina]=—[--------------]

）

2jZ-ejaT°Z-e「明

Z-e~j^+eja）TQ

萬(wàn)億-1/明）（Z-〃明）

/叫_27叫

二Z2j

…+,山?初

zi_2e+eZ+1

2

ZsinoT。

Z2—2cosoir^,Z+1

例已知"S）=S（S+I）2（S+3）求其相應(yīng)采樣函數(shù)的Z變換方⑶

解：用尸（s）直接查Z變換表查不到，所以必須先進(jìn)行部分分式分解。該式可分

解為

尸（s）=

(5+1)25+1SS+3

其中

c2=(s+iys2-I二一

展(S+1)2(S+3)LI2

rd「「、2?s+213

G(s+i)

ds[gS(S+1)2°(S+3)IL=_4_

s+22

c-s^-

3S(S+1)92(S+3)3

s=0

s+21

C=(5+3)淳----j---------------------

4京(s+iy(s+3)12

s=-3

將諸常數(shù)代入部分分式中，有

?、11312111

對(duì)照Z(yǔ)變換表，查得

T

/(z)=-4Tze-72

2%-e")2

-2Tze-r-3z2+3ze-r2ziz

--+R+7?^

3、留數(shù)計(jì)算法

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換F(S)及全部極點(diǎn)已

知,則可用留數(shù)計(jì)算法求Z變換

nn

b(z)=Z"*?)]=￡resF(p)Z

p：T

i=lz—ei=l

當(dāng)F(S)具有一階極點(diǎn)S=P］時(shí)，其留數(shù)為

z

)

R[=lim(s-pi/(s)p：T

—Pi

當(dāng)F(S)具有q階重復(fù)極點(diǎn)時(shí)，其留數(shù)為