專題24 與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題-三年（2019-2021）中考真題數(shù)學(xué)分項匯編（全國通用）（解析版）

2/136專題24與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題一、選填題1．（2021·湖北黃石市·中考真題）二次函數(shù)（、、是常數(shù)，且）的自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)值如下表：…012……22…且當時，對應(yīng)的函數(shù)值．有以下結(jié)論：①；②；③關(guān)于的方程的負實數(shù)根在和0之間；④和在該二次函數(shù)的圖象上，則當實數(shù)時，．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【分析】①將點（0，2）與點（1，2）代入解析式可得到a、b互為相反數(shù)，c=2，即可判斷；②將x=-1與x=2代入解析式得到m和n的表達式，再結(jié)合當時，對應(yīng)的函數(shù)值，即可表示出m+n的取值范圍；③根據(jù)點（1，2）與當時，對應(yīng)的函數(shù)值可知方程的正實數(shù)根在1和2之間，結(jié)合拋物線的對稱性即可求出方程的負實數(shù)根的取值范圍；④分類討論，當在拋物線的右側(cè)時，的橫坐標恒大于等于對稱軸對應(yīng)的x的值時必有，求出對應(yīng)的t即可；當與在拋物線的異側(cè)時，根據(jù)拋物線的性質(zhì)當?shù)臋M坐標到對稱軸的距離小于到對稱軸的距離時滿足，求出對應(yīng)的t即可.【詳解】①將點（0，2）與點（1，2）代入解析式得：，則a、b互為相反數(shù)，∴，故①錯誤；②∵a、b互為相反數(shù)，∴將x=-1與x=2代入解析式得：，則：，∵當時，對應(yīng)的函數(shù)值，∴得：，即：，∴.故②正確；③∵函數(shù)過點（1，2）且當時，對應(yīng)的函數(shù)值，∴方程的正實數(shù)根在1和之間，∵拋物線過點（0，2）與點（1，2），∴結(jié)合拋物線的對稱性可得拋物線的對稱軸為直線，∴結(jié)合拋物線的對稱性可得關(guān)于的方程的負實數(shù)根在和0之間.故③正確；④∵函數(shù)過點（1，2）且當時，對應(yīng)的函數(shù)值，∴可以判斷拋物線開口向下，∵在拋物線的右側(cè)時，恒在拋物線的右側(cè)，此時恒成立，∴的橫坐標大于等于對稱軸對應(yīng)的x，即，解得時；∵當與在拋物線的異側(cè)時，根據(jù)拋物線的性質(zhì)當?shù)臋M坐標到對稱軸的距離小于到對稱軸的距離時滿足，即當時，滿足，∴當時，解得，即與在拋物線的異側(cè)時滿足，，∴綜上當時，.故④錯誤.故選：B.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能通過圖表所給的點以及題目的信息來判斷拋物線的開口方向以及對稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)來解決對應(yīng)的問題.2．（2021·黑龍江大慶市·中考真題）已知函數(shù)，則下列說法不正確的個數(shù)是（）①若該函數(shù)圖像與軸只有一個交點，則②方程至少有一個整數(shù)根③若，則的函數(shù)值都是負數(shù)④不存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)都成立A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】對于①：分情況討論一次函數(shù)和二次函數(shù)即可求解；對于②：分情況討論a＝0和a≠0時方程的根即可；對于③：已知條件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情況討論a＞1或a＜0時的函數(shù)值即可；對于④：分情況討論a＝0和a≠0時函數(shù)的最大值是否小于等于0即可．【詳解】解：對于①：當a＝0時，函數(shù)變?yōu)?，與只有一個交點，當a≠0時，，∴，故圖像與軸只有一個交點時，或，①錯誤；對于②：當a＝0時，方程變?yōu)?，有一個整數(shù)根為，當a≠0時，方程因式分解得到：，其中有一個根為，故此時方程至少有一個整數(shù)根，故②正確；對于③：由已知條件得到a≠0，且a＞1或a＜0當a＞1時，開口向上，對稱軸為，自變量離對稱軸越遠，其對應(yīng)的函數(shù)值越大，∵，∴離對稱軸的距離一樣，將代入得到，此時函數(shù)最大值小于0；當a＜0時，開口向下，自變量離對稱軸越遠，其對應(yīng)的函數(shù)值越小，∴時，函數(shù)取得最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實數(shù)，其對應(yīng)的函數(shù)值，故③錯誤；對于④：a＝0時，原不等式變形為：對任意實數(shù)不一定成立，故a＝0不符合；a≠0時，對于函數(shù)，當a＞0時開口向上，總有對應(yīng)的函數(shù)值，此時不存在a對對任意實數(shù)都成立；當a＜0時開口向下，此時函數(shù)的最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實數(shù)，其對應(yīng)的函數(shù)值，此時不存在a對對任意實數(shù)都成立；故④正確；綜上所述，②④正確，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系，分類討論的思想，本題難度較大，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本類題的關(guān)鍵．3．（2021·湖北隨州市·中考真題）如圖，已知拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，拋物線與軸交于點和點，與軸的負半軸交于點，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④當時，在軸下方的拋物線上一定存在關(guān)于對稱軸對稱的兩點，（點在點左邊），使得．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】依拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，逐條分析結(jié)論進行判斷即可【詳解】①從圖像觀察，開口朝上，所以，對稱軸在軸右側(cè)，所以，圖像與軸交點在x軸下方，所以，所以①不正確；②點和點，與軸的負半軸交于點，且設(shè)代入,得：，所以②正確；③，設(shè)拋物線解析式為：過，所以③正確；④如圖：設(shè)交點為P，對稱軸與x軸交點為Q，頂點為D，根據(jù)拋物線的對稱性，是等腰直角三角形，，，又對稱軸由頂點坐標公式可知由題意，解得或者由①知，所以④不正確．綜上所述：②③正確共2個故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，二次函數(shù)（a≠0），a的符號由拋物線的開口決定；b的符號由a及對稱軸的位置確定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置確定，此外還有注意利用特殊點1，-1及2對應(yīng)函數(shù)值的正負來解決是解題的關(guān)鍵．4．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點，，且過，兩點（b，a是實數(shù)），若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出二次函數(shù)的解析式，求出二次函數(shù)的最值，利用基本不等式，求出的范圍．【詳解】由題意，二次函數(shù)與x軸交于兩點，，且二次項系數(shù)為1，則：過，兩點，，二次函數(shù)的二次項系數(shù)為1，對稱軸為二次函數(shù)圖像開口朝上，且點，在對稱軸的右側(cè)．又．故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)的配方法求最值，以及基本不等式的運用，（僅當時，等于號成立）能靈活的應(yīng)用基本不等式是解題的關(guān)鍵．5．（2021·湖南岳陽市·中考真題）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形中，點，點，則互異二次函數(shù)與正方形有交點時的最大值和最小值分別是（）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1【答案】D【分析】分別討論當對稱軸位于y軸左側(cè)、位于y軸與正方形對稱軸x=1之間、位于直線x=1和x=2之間、位于直線x=2右側(cè)共四種情況，列出它們有交點時滿足的條件，得到關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可知：B（2,2）；若二次函數(shù)與正方形有交點,則共有以下四種情況:當時，則當A點在拋物線上或上方時，它們有交點，此時有，解得：；當時，則當C點在拋物線上或下方時，它們有交點，此時有，解得：；當時，則當O點位于拋物線上或下方時，它們有交點，此時有，解得：；當時，則當O點在拋物線上或下方且B點在拋物線上或上方時，它們才有交點，此時有，解得：；綜上可得：的最大值和最小值分別是，．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線與正方形的交點問題，涉及到列一元一次不等式組等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖像分析交點情況，并進行分類討論，本題綜合性較強，需要一定的分析能力與圖形感知力，因此對學(xué)生的思維要求較高，本題蘊含了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等．6．（2021·四川廣元市·中考真題）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當直線與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】由二次函數(shù)解析式，可求與x軸的兩個交點A、B，直線表示的圖像可看做是直線的圖像平移b個單位長度得到，再結(jié)合所給函數(shù)圖像可知，當平移直線經(jīng)過B點時，恰與所給圖像有三個交點，故將B點坐標代入即可求解；當平移直線經(jīng)過C點時，恰與所給圖像有三個交點，即直線與函數(shù)關(guān)于x軸對稱的函數(shù)圖像只有一個交點，即聯(lián)立解析式得到的方程的判別式等于0，即可求解．【詳解】解：由知，當時，即解得：作函數(shù)的圖像并平移至過點B時，恰與所給圖像有三個交點，此時有：平移圖像至過點C時，恰與所給圖像有三個交點，即當時，只有一個交點當?shù)暮瘮?shù)圖像由的圖像關(guān)于x軸對稱得到當時對應(yīng)的解析式為即，整理得：綜上所述或故答案是：A．

【點睛】本題主要考察二次函數(shù)翻折變化、交點個數(shù)問題、函數(shù)圖像平移的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識，屬于函數(shù)綜合題，中等難度．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運用，從而找到滿足題意的條件．7．（2021·遼寧本溪市·中考真題）如圖，在矩形中，，，動點P沿折線運動到點B，同時動點Q沿折線運動到點C，點在矩形邊上的運動速度為每秒1個單位長度，點P，Q在矩形對角線上的運動速度為每秒2個單位長度．設(shè)運動時間為t秒，的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合運動狀態(tài)分段討論：當點P在AD上，點Q在BD上時，，，過點P作，通過解直角三角形求出PE，表示出面積的函數(shù)表達式；當點P在BD上，點Q在BC上時，，，過點P作，通過解直角三角形求出PE，表示出面積的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：當點P在AD上，點Q在BD上時，，，則，過點P作，∵，∴，，∴，，，∴，∴的面積，為開口向上的二次函數(shù)；當時，點P與點D重合，點Q與點B重合，此時的面積；當點P在BD上，點Q在BC上時，，，過點P作，則，即，∴的面積，為開口向下的二次函數(shù)；故選：D．【點睛】本題考查動態(tài)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)運動狀態(tài)寫出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷是解題的關(guān)鍵．8．（2021·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）如圖，在矩形中，，，動點P，Q同時從點A出發(fā)，點P沿A→B→C的路徑運動，點Q沿A→D→C的路徑運動，點P，Q的運動速度相同，當點P到達點C時，點Q也隨之停止運動，連接．設(shè)點P的運動路程為x，為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B．

C．D．【答案】C【分析】分0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤7三種情況，分別畫出圖形，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項排除即可求解．【詳解】解：如圖1，當0≤x≤3時，，∴A選項錯誤，不合題意；如圖2，當3＜x≤4時，作QE⊥AB于E，，∴B選項錯誤，不合題意；如圖3，當4＜x≤7時，，∴選項D錯誤，不合題意．故選：C【點睛】本題為根據(jù)點的運動確定函數(shù)圖象，考查了分類討論、列函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象、勾股定理等知識，綜合性較強，根據(jù)題意分類討論，列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．9．（2021·山東威海市·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，點P，Q同時從點A出發(fā)，點P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向運動，點Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向運動，當其中一點到達D點時，兩點停止運動．設(shè)運動時間為x（s），的面積為y（cm2），則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先證明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三種情況畫出圖形，求出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項排除即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，ACD都是等邊三角形，∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．如圖1，當0≤x≤1時，AQ=2x，AP=x，作PE⊥AB于E，∴，∴，故D選項不正確；如圖2，當1＜x≤2時，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PF⊥BC與F，作QH⊥AB于H，∴，，∴，故B選項不正確；當2＜x≤3時，CP=x-2，CQ=2x-4，∴PQ=x-2，作AG⊥CD于G，∴，∴，故C不正確．故選：A【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，利用三角函數(shù)解三角形等知識，根據(jù)題意分類討論列出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．10．（2021·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）如圖，拋物線的解析式為，點的坐標為，連接：過A1作，分別交y軸、拋物線于點、：過作，分別交y軸、拋物線于點、；過作，分別交y軸、拋物線于點、…：按照如此規(guī)律進行下去，則點（n為正整數(shù)）的坐標是_________．【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法分別求出直線、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐標，得出規(guī)律，從而求得點Pn的坐標．【詳解】解：∵點的坐標為，∴直線的解析式為，∵，∴，∴，設(shè)的解析式為，∴，解得，所以直線的解析式為，解，求得，∵，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，解求得，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，．．．∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標特征得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（2021·廣西來賓市·中考真題）如圖，已知點，，兩點，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應(yīng)點分別為，，當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為__________．【答案】．【分析】先通過平移和軸對稱得到當B、E、三點共線時，的值最小，再通過設(shè)直線的解析式并將三點坐標代入，當時，求出a的值，最后將四邊形周長與時的周長進行比較，確定a的最終取值，即可得到平移后的拋物線的解析式．【詳解】解：∵，，，，∴，，由平移的性質(zhì)可知：,∴四邊形的周長為；要使其周長最小，則應(yīng)使的值最?。辉O(shè)拋物線平移了a個單位，當a>0時，拋物線向右平移，當a<0時，拋物線向左平移；∴，，將向左平移2個單位得到，則由平移的性質(zhì)可知：，將關(guān)于x軸的對稱點記為點E，則，由軸對稱性質(zhì)可知，,∴，當B、E、三點共線時，的值最小，

設(shè)直線的解析式為：，∴，當時，∴∴，將E點坐標代入解析式可得：，解得：，此時，此時四邊形的周長為；當時，，，，，此時四邊形的周長為：；∵，∴當時，其周長最小，所以拋物線向右平移了個單位，所以其解析式為：；故答案為：．【點睛】本題綜合考查了平移、軸對稱、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、拋物線的解析式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并確定什么情況下該四邊形的周長最短，本題所需綜合性思維較強，對學(xué)生的綜合分析和計算能力要求都較高，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法等．二、解答題1．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，點，在軸上，拋物線經(jīng)過點，兩點，且與直線交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對稱軸上一點，為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）為軸上一點，過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；（3）存在最小值，最小值為，此時點M的坐標為．【分析】（1）由題意易得，進而可得，則有，然后把點B、D代入求解即可；（2）設(shè)點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分①當時，②當時，然后根據(jù)兩點距離公式可進行分類求解即可；（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進而可得OM=BP，則有，若使的值為最小，即為最小，則有當點D、M、O三點共線時，的值為最小，然后問題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，，∴，，∴，∴OB=1，∴，把點B、D坐標代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得，拋物線解析式為，則有拋物線的對稱軸為直線，∵點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴由兩點距離公式可得，設(shè)點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：當時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得，即，解得：，∴點F的坐標為或；②當時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得，即，解得：，∴點F的坐標為或；綜上所述：當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；（3）由題意可得如圖所示：連接OM、DM，由（2）可知點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，，∴，DM=EM，∵過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，∴，∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴，若使的值為最小，即為最小，∴當點D、M、O三點共線時，的值為最小，此時OD與拋物線對稱軸的交點為M，如圖所示：∵，∴，∴的最小值為，即的最小值為，設(shè)線段OD的解析式為，代入點D的坐標得：，∴線段OD的解析式為，∴．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·湖北十堰市·中考真題）已知拋物線與x軸交于點和，與y軸交于點C，頂點為P，點N在拋物線對稱軸上且位于x軸下方，連交拋物線于M，連、．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當時，求M點的橫坐標；（3）如圖2，過點P作x軸的平行線l，過M作于D，若，求N點的坐標．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將點和點代入解析式，即可求解；（2）由想到將放到直角三角形中，即過點A作交CM的延長線于點E，即可知，再由想到過點E作軸，即可得到，故點E的坐標可求，結(jié)合點C坐標可求直線CE解析式，點M是直線CE與拋物線交點，聯(lián)立解析式即可求解；（3）過點M作L的垂線交于點D，故設(shè)點M的橫坐標為m，則點M的縱坐標可表示，且MD的長度也可表示，由可得即可結(jié)合兩點間距離公式表示出MN，最后由即可求解【詳解】解：（1）將點和點代入得，解得：（2）點A作交CM的延長線于點E，過作軸于如下圖軸，又即當時，即即設(shè)直線CE的解析式為，并將C、E兩點代入得解得點M是直線CE與拋物線交點解得（不合題意，舍去）點M的橫坐標為（3）設(shè)過點M垂直于L的直線交x軸于點H，對稱軸交x軸于點Q，M的橫坐標為m則對稱軸P、Q、N的橫坐標為，即當時，點D的縱坐標為4即，即，不符合題意，舍去，當時，解得，由題意知【點睛】本題考察二次函數(shù)的綜合運用、相似三角形、銳角三角函數(shù)的運用、交點坐標的求法和兩點間的距離公式，屬于綜合運用題，難度偏大．解題的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)做出輔助線和設(shè)坐標的方程思想．3．（2021·湖北黃岡市·中考真題）已知拋物線與x軸相交于，兩點，與y軸交于點C，點是x軸上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若，過點N作x軸的垂線交拋物線于點P，交直線于點G．過點P作于點D，當n為何值時，；（3）如圖2，將直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過線段的中點，然后將它向上平移個單位長度，得到直線．①______；②當點N關(guān)于直線的對稱點落在拋物線上時，求點N的坐標．【答案】（1）；（2）；（3）①；②或．【分析】（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先根據(jù)拋物線的解析式可得點的坐標，再利用待定系數(shù)法可得直線的解析式，從而可得點的坐標，然后分別求出的長，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此建立方程求解即可得；（3）①先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得直線的解析式，從而可得點的坐標，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得；②先求出直線的解析式，再與直線的解析式聯(lián)立求出它們的交點坐標，從而可得點的坐標，然后代入拋物線的解析式求解即可得．【詳解】解：（1）將點，代入得：，解得，則拋物線的解析式為；（2）由題意得：點的坐標為，對于二次函數(shù)，當時，，即，設(shè)直線的解析式為，將點，代入得：，解得，則直線的解析式為，，，，，，即，解得或（與不符，舍去），故當時，；（3）①如圖，設(shè)線段的中點為點，過點作軸的垂線，交直線于點，則點的坐標為，點的橫坐標為3，設(shè)直線的解析式為，將點，代入得：，解得，則直線的解析式為，由平移的性質(zhì)得：直線的解析式為，當時，，即，，，故答案為：；②由題意得：，則設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立，解得，即直線與直線的交點坐標為，設(shè)點的坐標為，則，解得，即，將點代入得：，整理得：，解得或，則點的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、全等三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2021·四川瀘州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與兩坐標軸分別相交于A，B，C三點（1）求證：∠ACB=90°（2）點D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點，過點D作x軸的垂線交BC于點E，交x軸于點F．①求DE+BF的最大值；②點G是AC的中點，若以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，求點D的坐標．【答案】（1）（2）①9；②或．【分析】（1）分別計算A，B，C三點的坐標，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的長，最后利用勾股定理逆定理解題；（2）①先解出直線BC的解析式，設(shè)，接著解出，利用二次函數(shù)的配方法求最值；②根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，解得AG的長，再證明，再分兩種情況討論以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）令x=0，得令得，（2）①設(shè)直線BC的解析式為：，代入，得設(shè)即DE+BF的最大值為9；②點G是AC的中點，在中，即為等腰三角形，若以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，則①又，或經(jīng)檢驗：不符合題意，舍去，②，又整理得，，或，同理：不合題意，舍去，綜上所述，或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知．（1）求m的值和直線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）P為拋物線上一點，若，請直接寫出點P的坐標；（3）Q為拋物線上一點，若，求點Q的坐標．【答案】（1），；（2），，；（3）【分析】（1）求出A，B的坐標，用待定系數(shù)法計算即可；（2）做點A關(guān)于BC的平行線，聯(lián)立直線與拋物線的表達式可求出的坐標，設(shè)出直線與y軸的交點為G，將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線，聯(lián)立方程組即可求出P；（3）取點，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作于點，得直線對應(yīng)的表達式為，即可求出結(jié)果；【詳解】（1）將代入，化簡得，則（舍）或∴，得：，則．設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為，將、代入可得，解得，則直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為．（2）如圖，過點A作∥BC，設(shè)直線與y軸的交點為G，將直線BC向下平移GC個單位，得到直線，由（1）得直線BC的解析式為，，∴直線AG的表達式為，聯(lián)立，解得：（舍），或，∴，由直線AG的表達式可得，∴，，∴直線的表達式為，聯(lián)立，解得：，，∴，，∴，，．（3）如圖，取點，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作于點，∵，∴AD=CD，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，則，．設(shè)，∵，，∴．由，則，即，解之得，．所以，又，可得直線對應(yīng)的表達式為，設(shè)，代入，得，，，又，則．所以．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．6．（2020·四川中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點M，交x軸于點N（2，0）．點D是拋物線上A，M之間的一動點，且點D不與A，M重合，連接DB交MN于點E．連接AD并延長交MN于點F．在點D運動過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF為定值4【分析】（1）先將拋物線解析式變形，可得A和B的坐標，從而得AB=1+3=4，根據(jù)三角形ABC的面積為2可得OC的長，確定點C的坐標，根據(jù)點C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點P的縱坐標為m，當y=m時，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q兩點的坐標，從而得G和H的坐標，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點D（n，﹣n2+n+1），利用待定系數(shù)法求直線AD和BD的解析式，表示FN和OK的長，直接代入計算可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面積為2，即，∴OC=1，∴C（0，1），將C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+1；（2）如圖2，設(shè)點P的縱坐標為m，當y=m時，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴點P的坐標為（1﹣，m），點Q的坐標為（1+，m），∴點G的坐標為（1﹣，0），點H的坐標為（1+，0），∵矩形PGHQ為正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴當四邊形PGHQ為正方形時，邊長為6+2或2﹣6；（3）如圖3，設(shè)點D（n，﹣n2+n+1），延長BD交y軸于K，∵A（﹣1，0），設(shè)AD的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴AD的解析式為：y=（﹣）x﹣，當x=2時，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直線BD的解析式為：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在點D運動過程中，3NE+NF為定值4．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式確定FN和OK的長，可解決問題．7．（2021·遼寧中考真題）如圖，已知點，點，直線過點B交y軸于點C，交x軸于點D，拋物線經(jīng)過點A、C、D，連接、．（1）求拋物線的表達式；（2）判斷的形狀，并說明理由；（3）E為直線上方的拋物線上一點，且，求點E的坐標；（4）N為線段上的動點，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段運動到點N，再以每秒個單位長度的速度沿線段運動到點C，又以每秒1個單位長度的速度沿線段向點O運動，當點P運動到點O后停止，請直接寫出上述運動時間的最小值及此時點N的坐標．【答案】（1）；（2）△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，理由見解析；（3）E（，）；（4）運動時間t的最小值為，此時N坐標為（﹣6，）【分析】（1）由點B坐標求出m值，進而求得點C坐標，利用待定系數(shù)法求拋物線的表達式即可；（2）由兩點間距離公式求得AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理即可做出判斷；（3）由（2）中數(shù)據(jù)可知∠BCA=∠ECA，延長BA至F，使AF=AB，連接CF，則點E為直線CF與拋物線的交點，求出直線CF的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組，解之即可求得點E坐標；（4）過N作MN⊥AC于M，過F作⊥BC交AC于，連接FN，則FN=BN，求得MN=，由點P運動時間t===，當F、N、M三點共線時，t最小，進一步求解即可解答．【詳解】解：（1）∵直線過點B交y軸于點C，∴將代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，解得：m=6，則C（0，6），將A（﹣8，0）、C（0，6）代入，得：，解得：，∴拋物線的表達式為；（2）△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，理由為：由題意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25，AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°；（3）由（2）知AB=5，AC=10，∴tan∠BCA==tan∠ECA，∴∠BCA=∠ECA，延長BA至F，使AF=AB，連接CF，則點B、F關(guān)于點A對稱，∴F（﹣11，4），∵∠BAC=∠FAC=90°，AF=AB，AC=AC，∴△FAC≌△BAC，∴∠BCA=∠FCA，∴點E為直線CF與拋物線的交點，設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b，則，解得：，∴直線CF的解析式為，聯(lián)立方程組，解得：或（舍去），故點E坐標為（，）；（4）過N作MN⊥BC于M，過F作⊥BC交AC于，連接FN，則FN=BN，∵AB=5，BC=，∴sin∠BCA=，∴MN=，又CO=6，∴點P運動時間t===≥+6，當F、N、M三點共線時，t最小，∵AC=10，BC=，∴sin∠ABC=，∴=，∴點P運動時間t的最小值為，由直線BC的表達式y(tǒng)=2x+6得點D坐標為（﹣3，0），∵FD=，∴點D與點重合，則點N（即）為直線FD與直線AC的交點，由點A（﹣8，0）和C（0，6）得直線AC的表達式為，由點F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直線FD的表達式為，聯(lián)立方程組，解得：，∴此時N坐標為（﹣6，），【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式、兩點間的距離公式、勾股定理的逆定理、銳角的三角函數(shù)、垂線段最短、軸對稱性質(zhì)、解二元二次方程組、解一元一次方程組、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強，難度較難，解答的關(guān)鍵是弄懂題意，找尋相關(guān)知識間的關(guān)聯(lián)點，利用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想進行探究、推理和計算．8．（2021·上海中考真題）已知拋物線過點．（1）求拋物線的解析式；（2）點A在直線上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．①若A與Q重合，求C到拋物線對稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標．【答案】（1）；（2）①1；②點C的坐標是【分析】(1)將兩點分別代入，得,解方程組即可;（2）①根據(jù)AB=4,斜邊上的高為2,Q的橫坐標為1,計算點C的橫坐標為-1,即到y(tǒng)軸的距離為1；②根據(jù)直線PQ的解析式，設(shè)點A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代數(shù)式表示點C的坐標，代入拋物線解析式求解即可.【詳解】解：（1）將兩點分別代入，得解得．所以拋物線的解析式是．（2）①如圖2，拋物線的對稱軸是y軸，當點A與點重合時，，作于H．∵是等腰直角三角形，∴和也是等腰直角三角形，∴，∴點C到拋物線的對稱軸的距離等于1．②如圖3，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，由，得解得∴直線的解析式為，設(shè)，∴，所以．所以．將點代入，得．整理，得．因式分解，得．解得，或（與點P重合，舍去）．當時，．所以點C的坐標是．【點評】本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活用解析式表示點的坐標，熟練解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）如圖，直線與拋物線相交于點和點，拋物線與x軸的交點分別為H，K（點H在點K的左側(cè)）．點F在線段上運動（不與點A、B重合），過點F作直線軸于點P，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接，是否存在點F，使是直角三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由；（3）如圖2，過點C作于點E，當?shù)闹荛L最大時，過點F作任意直線l，把沿直線l翻折，翻折后點C的對應(yīng)點記為點Q，求出當?shù)闹荛L最大時，點F的坐標，并直接寫出翻折過程中線段的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）存在或，理由見解析；（3）最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)題意，將代入直線解析式求得點的坐標，將坐標代入二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先證明為等腰直角三角形，分情況討論①當為斜邊時，設(shè)，則，根據(jù)求得點的坐標；②為斜邊時:，根據(jù)軸求得點的坐標；（3）是等腰直角三角形，當最大時，的周長最大，求得點的坐標；過點F作任意直線l，把沿直線l翻折，翻折后點C的對應(yīng)點記為點Q根據(jù)題意點在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)求得最值【詳解】（1）由題意過點則：將，代入，得：解得：（2）存在，理由如下設(shè)直線與軸交于點,與軸交于點過點，令,令，是等腰直角三角形是直角三角形設(shè)，則軸軸不可能為斜邊是等腰直角三角形①當為斜邊時：FC即，解得：（與點重合）②當為斜邊時:軸軸解得：（與點重合）（3）如圖：由（2）可知是等腰直角三角形的周長等于當最大時，的周長最大設(shè)()，則，則當時，取得最大值過點F作任意直線l，把沿直線l翻折翻折后點C的對應(yīng)點記為點Q根據(jù)題意點在以為圓心，為半徑的圓上，令解得：根據(jù)題意，點H在點K的左側(cè)，==【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，勾股定理，圖形的旋轉(zhuǎn)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，圓的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．10．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請在拋物線的對稱軸上找一點，使的值最小，求點的坐標，并求出此時的最小值；（4）點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使得以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3），此時的最小值為；（4）存在，或．【分析】（1）把點A、B的坐標代入求解即可；（2）設(shè)直線的解析式為，然后把點B、C的坐標代入求解即可；（3）由題意易得點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，要使的值為最小，則需滿足點B、P、C三點共線時，即為BC的長，然后問題可求解；（4）由題意可設(shè)點，然后可分①當AC為對角線時，②當AM為對角線時，③當AN為對角線時，進而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點坐標公式可進行求解．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得拋物線的解析式為，∵拋物線與y軸的交點為C，∴，設(shè)直線的解析式為，把點B、C的坐標代入得：，解得：，∴直線的解析式為；（3）由拋物線可得對稱軸為直線，由題意可得如圖所示：連接BP、BC，∵點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴，要使的值為最小，則需滿足點B、P、C三點共線時，即為BC的長，此時BC與對稱軸的交點即為所求的P點，∵，∴，∴的最小值為，∵點P在直線BC上，∴把代入得：，∴；（4）存在，理由如下：由題意可設(shè)點，，當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則可分：①當AC為對角線時，如圖所示：連接MN，交AC于點D，∵四邊形ANCM是平行四邊形，∴點D為AC、MN的中點，∴根據(jù)中點坐標公式可得：，即，解得：，∴；②當AM為對角線時，同理可得：，即，解得：，∴；③當AN為對角線時，同理可得：，即，解得：，∴；∴綜上所述：當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關(guān)鍵．11．（2021·遼寧大連市·中考真題）已知函數(shù)，記該函數(shù)圖像為G．（1）當時，①已知在該函數(shù)圖像上，求n的值；②當時，求函數(shù)G的最大值；（2）當時，作直線與x軸交于點P，與函數(shù)G交于點Q，若時，求m的值；（3）當時，設(shè)圖像與x軸交于點A，與y軸交與點B，過B做交直線與點C，設(shè)點A的橫坐標為a，C點的縱坐標為c，若，求m的值．【答案】（1）①，②函數(shù)G的最大值為；（2）；（3）或【分析】（1）由題意易得，①把點代入求解即可；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解；（2）由題意可得如圖所示，然后可得，是等腰直角三角形，則有，進而代入求解即可；（3）由題意可得如圖所示，則有，然后可得，設(shè)直線與x軸的交點為E，過點C作CD⊥y軸于點D，進而易證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，①∵在該函數(shù)圖像上，∴；②由題意得：當時，函數(shù)G的解析式為，當時，函數(shù)G的解析式為，∵，當時，則，∴當時，函數(shù)G有最大值，即為；當時，則有函數(shù)G的最大值為，∵，∴當時，函數(shù)G的最大值為；（2）由當時，作直線與x軸交于點P，與函數(shù)G交于點Q，可得點Q必定落在的函數(shù)圖象上，如圖所示：∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，化簡得：，解得：，∵，∴；（3）①當時，由題意可得如圖所示，設(shè)直線與x軸的交點為E，過點C作CD⊥y軸于點D，∴，令y=0，則有，解得：，∵，∴，由題意得：，四邊形DOEC是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，化簡得：，解得：（不符合題意，舍去），∴；②當時，設(shè)直線與x軸的交點為E，過點C作CD⊥y軸于點D，如圖所示：∴令y=0，則有，解得：，∴，同理可得，∴，化簡得：，解得：（舍去）；綜上所述：或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2021·貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）如圖，拋物線與軸交于A、B（3，0）兩點，與軸交于點C（0，－3），拋物線的頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線的對稱軸上，點Q在軸上，若以點P、Q、B、C為頂點，BC為邊的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點P、Q的坐標；（3）已知點M是軸上的動點，過點M作的垂線交拋物線于點G，是否存在這樣的點M，使得以點A、M、G為頂點的三角形與△BCD相似，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）點或、點或點；（3）存在，M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)表達式和已知坐標點代入計算即可，（2）以點P、Q、B、C為頂點，BC為邊的四邊形為平行四邊形，分為兩種情況：或，根據(jù)平行四邊形對邊相等且平行求解即可，（3）先根據(jù)題意求出A點坐標和頂點坐標，根據(jù)B，C，D坐標點得知△BDC是直角三角形，且∠BCD＝，設(shè)點M得坐標（），則點G得坐標為，根據(jù)相似的性質(zhì)分情況求解即可．【詳解】解：（1）將點B（3，0），C（0，－3）分別代入中，得：，解得，∴拋物線得函數(shù)關(guān)系為（2）點或、點或點．如圖：∵以點P、Q、B、C為頂點，BC為邊的四邊形為平行四邊形，∴或，∵點B（3，0），C（0，－3），當時，則，設(shè)對稱軸與x軸交于點M，∴，，∴；同理時，；故答案為：；．（3）當時，，解得：，∴A（－1，0）又，∴拋物線得頂點D得坐標為（1，－4）∵C（0，－3）、B（3，0）、D（1，－4）∴，∴∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝設(shè)點M得坐標（），則點G得坐標為，根據(jù)題意知：∠AMG＝∠BCD＝∴要使以A、M、G為頂點得三角形與△BCD相似，需要滿足條件：①當時，此時有：或解得：或＝0，，都不符合，所以時無解．②當時，此時有：或解得：（不符合要求，舍去）或＝0，（不符合要求，舍去），所以M（）或M（0，0）③當m＞3時，此時有：或解得：（不符合要求，舍去）或（不符要求，舍去）所以點M（6，0）或M（，0）答：存在點M，使得A、M、G為頂點得三角形與△BCD相似，點M得坐標為：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．【點睛】此題考查二次函數(shù)相關(guān)知識，綜合性較強，涵蓋平行四邊形性質(zhì)和三角形相似及勾股定理，有一定難度．13．（2021·吉林中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）當時，求二次函數(shù)的最大值和最小值；（3）點為此函數(shù)圖象上任意一點，其橫坐標為，過點作軸，點的橫坐標為．已知點與點不重合，且線段的長度隨的增大而減?。偾蟮娜≈捣秶虎诋敃r，直接寫出線段與二次函數(shù)的圖象交點個數(shù)及對應(yīng)的的取值范圍．【答案】（1）；（2）最大值為；最小值為－2；（3）①；②或時，與圖象交點個數(shù)為1，時，與圖象有2個交點．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解．（2）將函數(shù)代數(shù)式配方，由拋物線開口方向和對稱軸直線方程求解．（3）①由求出取值范圍，②通過數(shù)形結(jié)合求解．【詳解】解：（1）將，點代入得：，解得，∴．（2）∵，∵拋物線開口向上，對稱軸為直線．∴當時，取最小值為－2，∵，∴當時，取最大值．（3）①，當時，，的長度隨的增大而減小，當時，，的長度隨增大而增大，∴滿足題意，解得．②∵，∴，解得，如圖，當時，點在最低點，與圖象有1交點，增大過程中，，點與點在對稱軸右側(cè)，與圖象只有1個交點，直線關(guān)于拋物線對稱軸直線對稱后直線為，∴時，與圖象有2個交點，當時，與圖象有1個交點，綜上所述，或時，與圖象交點個數(shù)為1，時，與圖象有2個交點．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)解析式配方，通過數(shù)形結(jié)合的方法求解．14．（2021·山東淄博市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，連接．（1）若，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）在（1）的條件下，點位于直線上方的拋物線上，當面積最大時，求點的坐標；（3）設(shè)直線與拋物線交于兩點，問是否存在點（在拋物線上）．點（在拋物線的對稱軸上），使得以為頂點的四邊形成為矩形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）當以為頂點的四邊形成為矩形時，點，．【分析】（1）由題意易得，則有，然后把點C的坐標代入求解即可；（2）由（1）可得，，然后可求出線段BC的解析式為，過點P作PE∥y軸，交BC于點E，設(shè)，則有，進而可根據(jù)鉛垂法進行求解點P的坐標；（3）由題意易得，拋物線的對稱軸為，則可得，點F的橫坐標為，①當以GB為矩形的對角線時，根據(jù)中點坐標公式可得點E的橫坐標為，進而可得，，然后根據(jù)相似三角形可求解；②當以GB為矩形的對邊時，最后分類求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，把點C的坐標代入得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）由（1）可得拋物線解析式為，，，設(shè)線段BC的解析式為，把點B、C代入得：，解得：，∴線段BC的解析式為，過點P作PE∥y軸，交BC于點E，如圖所示：設(shè)，則有，∴，設(shè)的面積為S，由鉛垂法可得△PCB的面積可以點B、C的水平距離為水平寬，PE為鉛垂高，則有：，∴當a=2時，S有最大值，∴點；（3）存在，理由如下：由題意可把點B的坐標代入直線得：，∴，聯(lián)立拋物線與直線BG的解析式得：，解得：，∴，由拋物線可得對稱軸為，∴點F的橫坐標為，當以GB為矩形的對角線時，如圖所示：∴根據(jù)中點坐標公式可得點E的橫坐標為，即為，∴，根據(jù)中點坐標公式可知，即，∴，∴，∵，且四邊形是矩形，∴點E、F分別落在x軸的兩側(cè)才能構(gòu)成矩形，即，分別作EH⊥x軸于點H，過點G、B作過點F與x軸平行的直線的垂線，分別交于點M、N，如圖，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，解得：（負根舍去），∴，；②當以GB為矩形的邊時，不存在以點E、F、G、B頂點的四邊形為矩形；綜上所述：當以為頂點的四邊形成為矩形時，點，．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯市·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求A，B，C三點的坐標；（2）連接，直線與該拋物線交于點E，與交于點D，連接．當時，求線段的長；（3）點M在y軸上，點N在直線上，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點M，使得以C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、【分析】（1）分別令x=0、y=0即可求出A，B，C三點的坐標；（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐標，最后根據(jù)求出m的值即可；（3）考慮到CM都在y軸上，根據(jù)CM為菱形的邊和CM為菱形的對角線分兩種情況討論即可．【詳解】（1）令x=0得，∴C點坐標（0，-8）令y=0得：解得：∴A（-4,0），B（2,0）（2）設(shè)DE交x軸于F，設(shè)AC解析式為，代入AC坐標得：，解得∴AC解析式為∵直線與該拋物線交于點E，與交于點D∴∴∵∴∴∴∴解得∴（3）拋物線對稱軸為∵點M在y軸上，點N在直線上，點P為拋物線對稱軸上一點∴設(shè)當CM菱形的邊時，則CM∥PN，CM=CN∴N在對稱軸上，即∴∴解得此時M點坐標為當CM為菱形的對角線時，此時NP關(guān)于CM對稱，即NP關(guān)于y軸對稱∴∴∵菱形對角線互相垂直平分∴NP中點與CM中點是同一個點∴解得此時M點坐標為綜上所述，存在M、使得以C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)；會利用相似三角形處理垂直．16．（2021·天津中考真題）在平面直角坐標系中，O為原點，是等腰直角三角形，，頂點，點B在第一象限，矩形的頂點，點C在y軸的正半軸上，點D在第二象限，射線經(jīng)過點B．（Ⅰ）如圖①，求點B的坐標；（Ⅱ）將矩形沿x軸向右平移，得到矩形，點O，C，D，E的對應(yīng)點分別為，，，，設(shè)，矩形與重疊部分的面積為S．①如圖②，當點在x軸正半軸上，且矩形與重疊部分為四邊形時，與相交于點F，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（Ⅰ）點B的坐標為；（Ⅱ）①，t的取值范圍是；②．【分析】(I)過點B作，垂足為H，由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)得到，再由∠BOH=45°得到△OBH為等腰直角三角形，進而，由此求得B點坐標；(II)①由平移知，四邊形是矩形，得，進而得到，再由重疊部分面積即可求解；②畫出不同情況下重疊部分的圖形，分和兩種情況，將重疊部分的面積表示成關(guān)于t的二次函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的最值問題求解．【詳解】解：(I)如圖，過點B作，垂足為H．由點，得．∵，∴．又∠BOH=45°，∴△OBH為等腰直角三角形，∴．∴點B的坐標為．(II)①由點，得．由平移知，四邊形是矩形，得．∴，．∵，，∴．∴∴．∴．∴．∴．整理后得到：．當與A重合時，矩形與重疊部分剛開始為四邊形，如下圖(1)所示：此時，當與B重合時，矩形與重疊部分為三角形，接下來往右平移時重疊部分一直為三角形直到與A點重合，如下圖(2)所示：此時，∴t的取值范圍是，故答案為：，其中：；②當時，矩形與重疊部分的面積如下圖3所示：此時，∠BAO=45°，為等腰直角三角形，∴，∴，∴重疊部分面積，∴是關(guān)于的二次函數(shù)，且對稱軸為，且開口向下，故自變量離對稱軸越遠，其對應(yīng)的函數(shù)值越小，故將代入，得到最大值，將代入，得到最小值，當時，矩形與重疊部分的面積如下圖4所示：此時，和均為等腰直角三角形，∴，，∴重疊部分面積，∴是關(guān)于的二次函數(shù)，且對稱軸為，且開口向下，故自變量離對稱軸越遠，其對應(yīng)的函數(shù)值越小，故將代入，得到最大值，將代入，得到最小值，∵，，∴的最小值為，最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等問題，屬于綜合題，需要畫出動點不同狀態(tài)下的圖形求解，本題難度較大，需要分類討論．17．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，對稱軸l與x軸交于點F，直線mAC，過點E作EH⊥m，垂足為H，連接AE、EC、CH、AH．（1）拋物線的解析式為；（2）當四邊形AHCE面積最大時，求點E的坐標；（3）在（2）的條件下，連接EF，點P在x軸上，在拋物線上是否存在點Q，使得以F、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標；若不存在請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，符合題意的點坐標為或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）先求拋物線與y軸交點，利用勾股定理求，利用待定系數(shù)法求直線的解析式，由，交于點，可得為定值，由，把，記為定值，再求；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）當點Q在x軸上方拋物線上時，因為PF在x軸上，，點Q的縱坐標與E的縱坐標相同，當點Q在x軸下方拋物線上時，又四邊形為平行四邊形，Q與E的縱坐標互為相反數(shù)即可．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于、兩點，∴，解得，∴；故答案為；（2）將代得，∴，設(shè)直線的解析式為將，，得，解得，，∴，∵，交于點，∴為定值，∵，把，記為定值，過點作軸，垂足為，交于點，設(shè)，則，∴，，∴，∵，∴有最大值，此時，將代入中，得；（3）存在，符合題意的點坐標為或或；當點Q在x軸上方拋物線上時，因為PF在x軸上，又∵，∴點Q的縱坐標與E的縱坐標相同，∴y=，∴，∴解得，∵x=時為E點，∴，Q1()，當點Q在x軸下方拋物線上時，∵PF在x軸上，又∵四邊形為平行四邊形，∴Q與E的縱坐標互為相反數(shù)，所以yQ=，∴，整理得，△=，解得，∴Q2（），Q3（），符合題意的點坐標為或或．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式與直線解析，平行四邊形面積，二次函數(shù)最值，與平行四邊形性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式與直線解析，平行四邊形面積，二次函數(shù)最值，與平行四邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（2021·四川成都市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于O，A兩點，頂點P的坐標為．點B為拋物線上一動點，連接，過點B的直線與拋物線交于另一點C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點B的橫坐標與縱坐標相等，，且點C位于x軸上方，求點C的坐標；（3）若點B的橫坐標為t，，請用含t的代數(shù)式表示點C的橫坐標，并求出當時，點C的橫坐標的取值范圍．【答案】（1）或；（2）點C的坐標為或；（3）；【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，把點O(0，0)代入即可求解；（2）求得B(0，0)或B(8，8)，分兩種情況討論，①當點B的坐標為(0，0)時，過點B作BC∥AP交拋物線于點C，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為，解方程組即可求解；②點B的坐標為(8，8)時，作出如圖的輔助線，利用三角形函數(shù)以及軸對稱的性質(zhì)求得M(，)，同①可求解；（3）作出如圖的輔助線，點B的坐標為(t，)，得到AH=，BH=，OH=MN，由AH=，BH=，OH=MN，△ABH△BMN得到M(0，)，求得BC的解析式為：，解方程組求得點C的橫坐標為，即可求解．【詳解】（1）∵拋物線的頂點坐標為P(2，-1)，∴設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線經(jīng)過原點O，即經(jīng)過點O(0，0)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）在中，令，得：，解得或，∴B(0，0)或B(8，8)，①當點B的坐標為(0，0)時，過點B作BC∥AP交拋物線于點C，此時∠ABC=∠OAP，如圖：

在中，令，得：，解得：或，∴A(4，0)，設(shè)直線AP的解析式為，將A(4，0)，P(2，-1)代入得，解得：，∴直線AP的解析式為，∵BC∥AP，∴設(shè)直線BC的解析式為，將B(0，0)代入得，∴直線BC的解析式為，由，得：(此點為點O，舍去)或，∴點C的坐標為(6，3)；②點B的坐標為(8，8)時，過點P作PQ⊥軸于點Q，過點B作BH⊥軸于點H，作H關(guān)于AB的對稱點M，作直線BM交拋物線于C，連接AM，如圖：

∵A(4，0)，P(2，-1)，∴PQ=1，AQ=2，在Rt△APQ中，，∵A(4，0)，B(8，8)，∴AH=4，BH=8，在Rt△ABH中，，∴∠OAP=∠ABH，∵H關(guān)于AB的對稱點為M，∴∠ABM=∠ABH，∴∠ABC=∠OAP，即C為滿足條件的點，設(shè)M(x，y)，∵H關(guān)于AB的對稱點為M，∴AM=AH=4，BM=BH=8，∴兩式相減得：，代入即可解得：(此點為點H，舍去)或，∴M(，)，同理求得BM的解析式為：，解得：(此點為點B，舍去)或，∴點C的坐標為(-1，)；綜上，點C的坐標為(6，3)或(-1，)；（3）設(shè)BC交y軸于點M，過點B作BH⊥軸于點H，過點M作MN⊥于點N，如圖：

∵點B的橫坐標為t，∴點B的坐標為(t，)，又A(4，0)，∴AH=，BH=，OH=MN，∵∠ABC=90°，∴∠MBN=90°-∠ABH=∠BAH，且∠N=∠AHB=90°，∴△ABH△BMN，∴，即，∴BN=，∴HN=，∴M(0，)，同理求得BC的解析式為：，由，得，解得(點B的橫坐標)，或，∴點C的橫坐標為，當時，，∴當時，的最小值是12，此時；∴當時，點C的橫坐標的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合知識，涉及解析式、銳角三角函數(shù)、對稱變換、兩條直線平行、兩條直線互相垂直、解含參數(shù)的方程等，綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握、應(yīng)用各種綜合知識，用含字母的式子表示線段長度及函數(shù)解析式．19．（2021·廣西貴港市·中考真題）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A(－3，0)，B兩點，與y軸相交于點C(0，2)，對稱軸是直線x＝－1，連接AC．（1）求該拋物線的表達式；（2）若過點B的直線l與拋物線相交于另一點D，當∠ABD＝∠BAC時，求直線l的表達式；（3）在（2）的條件下，當點D在x軸下方時，連接AD，此時在y軸左側(cè)的拋物線上存在點P，使，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．【答案】（1）；（2）或；（3）或或【分析】（1）先根據(jù)對稱軸得出，再由點的坐標求出，最后將點的坐標代入拋物線解析式求解，即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況，Ⅰ、當點在軸上方時，先判斷出，進而得出點在直線上，再求出點的坐標，最后用待定系數(shù)法求出直線的解析式；Ⅱ、當點在軸下方時，判斷出，即可得出結(jié)論；（3）先求出點的坐標，進而求出的面積，得出的面積，設(shè)，，過作軸的平行線交直線于，得出，進而表示出，最后用面積建立方程求解，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）拋物線的對稱軸為，，，點的坐標為，，拋物線的解析式為，點在拋物線上，，，，拋物線的解析式為；（2）Ⅰ、當點在軸上方時，如圖1，記與的交點為點，，，直線垂直平分，點在直線上，點，，直線的解析式為，當時，，點，點點關(guān)于對稱，，直線的解析式為，即直線的解析式為；Ⅱ、當點在軸下方時，如圖2，，，由Ⅰ知，直線的解析式為，直線的解析式為，即直線的解析式為；綜上，直線的解析式為或；（3）由（2）知，直線的解析式為①，拋物線的解析式為②，或，，，，，點在軸左側(cè)的拋物線上，設(shè)，，過作軸的平行線交直線于，，，，或（舍）或或，或或．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，垂直平分線的性質(zhì)，坐標系中求三角形面積的方法，求出點的坐標是解本題的關(guān)鍵．20．（2021·四川雅安市·中考真題）已知二次函數(shù)．（1）當該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點時，求該二次函數(shù)的表達式；（2）在(1)的條件下，二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點為點B，與y軸的交點為點C,點P從點A出發(fā)在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，直到其中一點到達終點時，兩點停止運動，求△BPQ面積的最大值;（3）若對滿足的任意實數(shù)x，都使得成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，設(shè)運動時間為t，則AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，過點M作MQ⊥x軸，可得MQ=t，從而得到△BPQ的面積的表達式，進而即可求解；（3）設(shè)，結(jié)合函數(shù)圖像的對稱軸，開口方向，分兩種情況：或，進而即可求解．【詳解】解：（1）把代入，得：，解得：b=1，∴該二次函數(shù)的表達式為：；（2）令y=0代入，得：，解得：或，令x=0代入得：y=-3，∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，設(shè)運動時間為t，則AP=2t，BQ=t，∴BP=4-2t，過點M作MQ⊥x軸，∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∴是等腰直角三角形，∴MQ=BQ=t，∴△BPQ的面積==，∴當t=1時，△BPQ面積的最大值=；（3）拋物線的對稱軸為：直線x=-b，開口向上，設(shè)，∵對的任意實數(shù)x，都使得成立，∴或，∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，∴-3≤b≤1．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合，掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根據(jù)圖像對稱軸位置，列出不等式組，是解題的關(guān)鍵．21．（2021·遼寧營口市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，，點C為第二象限拋物線上一點，連接，，，其中與x軸交于點E，且．（1）求點C坐標；（2）點為線段上一動點（P不與B，E重合），過點P作平行于y軸的直線l與的邊分別交于M，N兩點，將沿直線翻折得到，設(shè)四邊形的面積為S，在點P移動過程中，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出所有滿足條件的m值．【答案】（1）C(-1，6)；（2）；（3）m=1或【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得：，直線BC的解析式為：y=-2x+4，聯(lián)立即可求解；（2）先求出直線AC的解析式為：y=-8x-2，直線AB的解析式為：y=x-2，然后分兩種情況：①當0≤m＜2時，不妨設(shè)M(m，-2m+4)，N(m，m-2)，②當＜m＜0時，不妨設(shè)M(m，-2m+4)，N(m，-8m-2)，分別求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，即可；（3）先求出(2m-2，0)，從而得，然后分3種情況：①當≤m＜2時，，；②當0≤m＜時，，；③當＜m＜0時，，，分別求解，即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，∴，解得：，∴，設(shè)BC交y軸于點F，∵，，∴，即：OF=4，∴F(0，4)，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+n，則，解得：，∴直線BC的解析式為：y=-2x+4，聯(lián)立，解得：或，∴C(-1，6)；（2）∵C(-1，6)，，∴直線AC的解析式為：y=-8x-2，令y=0，代入y=-8x-2得：-8x-2=0，解得：，∴E(，0)，∵，，∴直線AB的解析式為：y=x-2，①當0≤m＜2時，不妨設(shè)M(m，-2m+4)，N(m，m-2)，∴=，∴；②當＜m＜0時，不妨設(shè)M(m，-2m+4)，N(m，-8m-2)，∴=，∴，綜上所述：；（3）由題意得：點P是B的中點，，，∴(2m-2，0)，∴=，①當≤m＜2時，，，∵，∴=，解得：或（舍去），②當0≤m＜時，，，∵，∴=，解得：或（舍去），③當＜m＜0時，，，∵，∴=，解得：（舍去）或（舍去），綜上所述：m=1或時，．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)與平面幾何綜合，用函數(shù)圖像上點的坐標表示出相關(guān)線段長，掌握分類討論的思想方法，是解題的關(guān)鍵．22．（2021·江蘇常州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像都經(jīng)過點和點B，過點A作的垂線交x軸于點C．D是線段上一點（點D與點A、O、B不重合），E是射線上一點，且，連接，過點D作x軸的垂線交拋物線于點F，以、為鄰邊作．

（1）填空：________，________；（2）設(shè)點D的橫坐標是，連接．若，求t的值；（3）過點F作的垂線交線段于點P．若，求的長．【答案】（1），1；（2）；（3）【分析】（1）把分別代入一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式，即可求解；（2）先證明EF=ED，結(jié)合D(t，)，F(xiàn)(t，)，可得點E的縱坐標為：，過點A作AM⊥EG，延長GE交x軸于點N，由，從而得，進而即可求解；（3）先推出，由FP∥AC，得，結(jié)合，可得DA==，結(jié)合DA+OD=5，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）把代入得：，解得：，把代入得：，解得：b=1，故答案是：，1；（2）∵在中，，∵，∴=，∴EF=ED，∵設(shè)點D的橫坐標是，則D(t，)，F(xiàn)(t，)，∴點E的縱坐標為：（）÷2=，聯(lián)立，解得：或，∴A(4，3)，∴過點A作AM⊥EG，延長GE交x軸于點N，則∠AEM=∠NEC=∠AOC，∴，又∵=，∴，解得：（舍去）或，∴；

（3）當時，則，∵⊥FP，AB⊥AC，∴FP∥AC，∴，∵∠FDQ=∠ODH，∴，又∵DF=-=，∴DQ=，∴DA==，∵DA+OD=5，∴+=5，解得：或（舍去），∴OD==．

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，根據(jù)題意畫出圖形，添加合適的輔助線，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．23．（2021·山東東營市·中考真題）如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，直線過B、C兩點，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；（2）求證：；（3）點是拋物線上的一點，點D為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點D作軸交直線BC于點E，點P為拋物線對稱軸上一動點，當線段DE的長度最大時，求的最小值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）先利用直線得到點B和點C的坐標，利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)解析式求得點A的坐標，求出兩個三角形的邊長，根據(jù)兩組對應(yīng)邊成比例夾角相等求證；（3）設(shè)點D的坐標為，將線段DE的長用函數(shù)關(guān)系式表示為頂點式形式，利用函數(shù)的性質(zhì)得到當時，線段DE的長度最大，得到點D的坐標，再利用軸對稱及勾股定理求出答案即可．【詳解】（1）解：∵直線分別與軸和軸交于點B和點C，∴點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，2），把，分別代入，得，解得，∴拋物線的解析式為．（2）∵拋物線與x軸交于點A，∴，解得，，∴點A的坐標為，∴，，在中，，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴．（3）設(shè)點D的坐標為則點E的坐標為∴=∵，∴當時，線段DE的長度最大．此時，點D的坐標為，∵，∴點C和點M關(guān)于對稱軸對稱，連接CD交對稱軸于點P，此時最?。B接CM交直線DE于點F，則，點F的坐標為，∴，∵∴的最小值．．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)的綜合知識，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題，函數(shù)的最值問題，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，證明兩個三角形相似，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．24．（2021·遼寧本溪市·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，連接，，點P是拋物線第一象限上的一動點，過點P作軸于點D，交于點E．

（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作于點P，使，以，為鄰邊作矩形．當矩形的面積是面積的3倍時，求點P的坐標；（3）如圖2，當點P運動到拋物線的頂點時，點Q在直線上，若以點Q、A、B為頂點的三角形是銳角三角形，請直接寫出點Q縱坐標n的取值范圍．【答案】（1）（2）（1，）或（3，3）；（3）-＜n＜或＜n＜5．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出直線AB的解析式，表示出P，E的坐標，故可表示出PE的長，再根據(jù)矩形是面積的3倍，得到方程，故可求解；（3）當∠ABQ為直角時，求出直線BQ的解析式，得到n的值，當∠BQA為直角時，利用解直角三角形的方法求出此時n的值，同理求出當∠BAQ為直角時n的值，故可求解．【詳解】（1）把，代入解析式得解得∴拋物線的解析式為（2）對于，令y=0解得x=4或-1∴A（4,0），則=2設(shè)直線AB的解析式為y=px+q把A（4，0），代入得，解得∴直線AB的解析式為設(shè)P（x，），則E（x，）∴矩形的面積==3解得x=1或3∴P點坐標為（1，）或（3，3）；（3）由可得其對稱軸為x=，設(shè)Q點坐標為（，n）①當∠ABQ為直角時，如圖2-1設(shè)BQ交x軸于點H，在Rt△ABO中，tan∠ABO=，∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠BHO=90°∴∠BHO=∠ABO∴tan∠BHO=tan∠ABO=可設(shè)直線BQ的解析式為y=x+t，代入可得t=3∴直線BQ的解析式為y=x+3當x=時，y=x+3=5故n=5；②當∠BQA為直角時，如圖2-2，過點Q作直線MN∥y軸于點N，交過點A與y軸的平行線于點M，∵∠BQN+∠MQA=90°，∠MQA+∠MAQ=90°，∴∠BQN=∠MAQ∴tan∠BQN=tan∠MAQ即，則解得n=③當∠BAQ為直角時，同理可設(shè)直線AQ的解析式為y=x+h代入A（4，0）得h=-∴直線AQ的解析式為y=x-當x=時，y=x-=-故n=-；綜上，以點Q、A、B為頂點的三角形是銳角三角形，則△ABQ不為直角三角形，故點Q縱坐標n的取值范圍為-＜n＜或＜n＜5．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法、矩形的特點及面積公式、解直角三角形的方法及數(shù)形結(jié)合的特點．25．（2021·海南中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且點A的坐標為、點C的坐標為．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，若該拋物線的頂點為P，求的面積；（3）如圖2，有兩動點在的邊上運動，速度均為每秒1個單位長度，它們分別從點C和點B同時出發(fā)，點D沿折線按方向向終點B運動，點E沿線段按方向向終點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒，請解答下列問題：①當t為何值時，的面積等于；②在點運動過程中，該拋物線上存在點F，使得依次連接得到的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標．