高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B用 選擇性必修一）第03講 圓錐曲線(教師卷)

第03講圓錐曲線【易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】1.橢圓的定義如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)常數(shù)，且2a＞|F1F2|，則平面內(nèi)滿足|PF1|＋|PF2|＝2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為橢圓，其中兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓；(2)若a＝c，則點(diǎn)P的軌跡為線段；(3)若a＜c，則點(diǎn)P的軌跡不存在.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b22.雙曲線的定義一般地，如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)正常數(shù)，且2a＜|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為雙曲線，其中，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)若a<c，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；(2)若a＝c，則點(diǎn)P的軌跡為兩條射線；(3)若a>c，則點(diǎn)P的軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b23.拋物線的定義(1)一般地，設(shè)F是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，l是不過點(diǎn)F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線，其中定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離).2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點(diǎn)O(0，0)對稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下【重難點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：橢圓方程及其性質(zhì)1．如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（

）A．6 B．26 C．4 D．14【答案】D【詳解】解：根據(jù)橢圓的定義，又橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，，則，故選：D.2．己知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．36 B．25 C．20 D．16【答案】B【詳解】由橢圓易知，根據(jù)橢圓定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，即的最大值為.故選：B.3．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知可得，，則，所以，則離心率．故選：D.4．已知為圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：易知，則，即，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)且長軸長為6的橢圓，設(shè)其方程為，則，則，故，則橢圓方程為：.故選：C.5．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在P，使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)榫€段的中垂線過點(diǎn)，所以，即，化簡得，因?yàn)椋?，即，所以，又因?yàn)?，所以，解?故選：D.考點(diǎn)二：雙曲線方程及其性質(zhì)6．一動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，動(dòng)圓圓心為，半徑為，當(dāng)兩圓外切時(shí)：，所以；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)：，所以；即，表示動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，所以P在以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線上，且，，，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：，故選：C.7．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則（

）A． B．的焦距為C．的離心率為 D．的面積為【答案】B【詳解】由雙曲線，可得，，，，，把，代入雙曲線方程可得：，解得，不妨取，，，，為正三角形，，解得，，，，，．故選：．8．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是過坐標(biāo)原點(diǎn)O且傾斜角為60°的直線l與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)，且則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，由題意得：，即，故，故，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，故為等邊三角形，故，，由雙曲線定義可知：，即，解得：.故選：C.9．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線C的一條漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，，則由得；所以，漸近線方程為，即故選：A.10．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線的兩條漸近線，垂直于的延長線交于，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，不妨令，因?yàn)橹本€垂直，則，故，又，則點(diǎn)到直線的距離為=，所以，，又，可知直線的方程為：，與聯(lián)立方程組可得：，則，解得，故,由,則,中，由勾股定理可得:,故；又,則，即，因?yàn)榈难娱L線交于，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，即，故，所以，所以化簡得.則，故，則.故選：B.考點(diǎn)三：拋物線方程及其性質(zhì)11．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】解：拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，如圖，過作于，由拋物線的定義可知，所以則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為.所以的最小值為.故選：C.12．已知點(diǎn)P在拋物線上．若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【詳解】對于拋物線

，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線得定義得：點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，所以，則，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；故選：C．13．已知直線和直線，則拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【詳解】是拋物線的準(zhǔn)線，到的距離等于.過P作于Q，則到直線和直線的距離之和為拋物線的焦點(diǎn)過作于，和拋物線的交點(diǎn)就是，∴（當(dāng)且僅當(dāng)F、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)等號成立）點(diǎn)到直線的距離和到直線的距離之和的最小值就是到直線距離，最小值．故選：C．14．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn)M，若，且，則p為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】如圖，分別過點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，則由己知得，由拋物線的定義得，故，在直角三角形中，，，又因?yàn)?，則，從而得，又因?yàn)?，所?故選：B.15．已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M到直線和的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】雙曲線的漸近線，右焦點(diǎn)，依題意，，解得，因此拋物線的焦點(diǎn)為，方程為，其準(zhǔn)線為，由消去x并整理得：，，即直線與拋物線相離，過點(diǎn)F作于點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)M，過M作于點(diǎn)Q，交直線于點(diǎn)N，則有，在拋物線上任取點(diǎn)，過作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，連，如圖，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取等號，所以拋物線上一動(dòng)點(diǎn)M到直線和的距離之和的最小值為.故選：D【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．若是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則到該橢圓兩焦點(diǎn)距離之和是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由橢圓方程得：，根據(jù)橢圓定義可知：到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為.故選：B.2．是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【詳解】解：因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，所以，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，，故選：A.3．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令得即雙曲線的漸近線方程為故選：A.4．雙曲線的方程為?，則該雙曲線的離心率為（

）A．? B．?C．? D．?【答案】D【詳解】由雙曲線方程得，，則雙曲線的離心率為.故選：D.5．已知直線與拋物線交于，兩個(gè)點(diǎn)，求線段長（

）A．4 B． C．2 D．20【答案】D【詳解】由拋物線的方程，可得焦點(diǎn)，而直線的方程也過，可得直線過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得，可得，所以，由拋物線的性質(zhì)可得．故選：D6．直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．【答案】D【詳解】聯(lián)立，消y得，.因?yàn)橹本€與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有一正一負(fù)根，所以，整理得，解得.所以的取值范圍為.故選：D．7．已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由雙曲線方程可知，根據(jù)雙曲線的幾何意義可得，，又，解得，，，在中由余弦定理得,故選：A8．已知雙曲線（a＞0，b＞0）與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[，＋∞）【答案】C【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，由題意得，所以雙曲線的離心率．故選：C.二、多選題9．已知曲線，下列說法正確的是（

）A．若，，則是兩條直線B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上D．若，則是雙曲線，其漸近線方程為【答案】AD【詳解】因?yàn)榍€，若，，則：和，即表示兩條直線，所以A選項(xiàng)正確；若，則，即是以為圓心，半徑為的圓，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，即，則，即是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，即是漸近線方程為的雙曲線，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD.10．已知點(diǎn)在雙曲線上，分別是左?右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（

）A．點(diǎn)到軸的距離為B．C．為鈍角三角形D．【答案】BC【詳解】設(shè)點(diǎn)．因?yàn)殡p曲線，所以．又，所以，故A錯(cuò)誤．將代入得，得．由雙曲線的對稱性，不妨取點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得．由雙曲線的定義得，所以，故B正確．在中，，且，則為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確．由余弦定理得，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題11．拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】【詳解】由，得，準(zhǔn)線方程為：，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立.故答案為：12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作斜率為的弦．則的長是________．【答案】25【詳解】設(shè)，，雙曲線的左焦點(diǎn)為，則直線的方程為，由得，，，，則．故答案為：25.四、解答題13．已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線l的方程為，設(shè)，聯(lián)立，化簡得，，．．14．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，若，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由拋物線過點(diǎn)，且，得所以拋物線方程為；（2）由不過原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立得，所以，所以，所以因?yàn)?，所以，則，，即，解得或，又當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去；所以實(shí)數(shù)的值為.15．已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：雙曲線的漸近線為，即，所以，又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）解：設(shè)，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以直線的方程為.【能力提升】一、單選題1．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，∴過A、B的直線方程為，即：設(shè)，則∴故選：A.2．已知雙曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：橢圓的焦點(diǎn)為，又雙曲線：的一條漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線方程為.故選：C3．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則（

）A． B．的焦距為C．的離心率為 D．的面積為【答案】B【詳解】由雙曲線，可得，，，，，把，代入雙曲線方程可得：，解得，不妨取，，，，為正三角形，，解得，，，，，．故選：．4．已知橢圓的右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，則過作傾斜角為45°的直線分別交拋物線于，（在軸上方）兩點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【詳解】依題意，是拋物線的焦點(diǎn)，故，則，.根據(jù)已知條件如圖所示，在軸上方，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過B作的垂線，垂足為P，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義知，所以直角梯形中，，，又直線AB的傾斜角，故，解得，即，故選：A.5．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，且的面積為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，，，，代入拋物線方程可得，不妨設(shè)點(diǎn)在x軸上方，即，又，所以，即，同理可得所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為故選：C．二、填空題6．第24屆冬奧會(huì)，是中國歷史上第一次舉辦的冬季奧運(yùn)會(huì)，國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為______．【答案】【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，由于內(nèi)外橢圓離心率相同，由題意可設(shè)外層橢圓方程為.所以點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)切線的方程為，切線的方程為，聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，整理可得，.同理，聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程，可推出，所以.因?yàn)?，所以，則，所以.故答案為：.7．已知拋物線C：，點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，M，N是拋物線C上