專題14 相似三角形-三年（2019-2021）中考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）（解析版）

專題14.相似三角形一、單選題1．（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)為（）A．8 B．9 C．10 D．15【答案】B【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出線段比進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，∴，

∵，∴，∴故答案為：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【答案】B【分析】由三角形的中位線定理可得DE=BC，DE∥BC，可證△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE=3，∴S△ABC=12，∴四邊形BDEC的面積=12-3=9(cm2)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·重慶中考真題）如圖，△ABC與△BEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，其中OE=2OB，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【答案】A【分析】利用位似的性質(zhì)得△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問題．【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．∴△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比是：1：2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，中，，、相交于點(diǎn)D，，，，則的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由等高三角形的面積性質(zhì)得到，再證明，解得，分別求得AE、CE長(zhǎng)，最后根據(jù)的面積公式解題．【詳解】解：過點(diǎn)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與是等高三角形，設(shè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，中，，，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使，連結(jié)CE，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出，在結(jié)合題意可得，即證明，從而得出，即易證，得出．再由等腰三角形的性質(zhì)可知，，即證明，從而可間接推出．最后由，即可求出的值，即的值．【詳解】∵在中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∴，∴在和中，，∴，∴，∵為等腰三角形，∴，，∴，∴，即．∵，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將以原點(diǎn)O為位似中心放大后得到，若，，則與的相似比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3【答案】D【分析】直接利用對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比求解即可．【詳解】解：由B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可知：OB=1，OD=3；△OAB與△OCD的相似比等于；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中求兩個(gè)位似圖形的相似比的概念，同時(shí)涉及到了位似圖形的概念、平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度的確定等知識(shí)；解題關(guān)鍵是牢記相似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，準(zhǔn)確求出對(duì)應(yīng)邊的比即可完成求解，考查了學(xué)生對(duì)概念的理解與應(yīng)用等能力．7．（2020·廣西貴港市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，且，則線段的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】由∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，可判定△BCD∽△BAC，從而可得比例式，再將BC＝3，BD＝2代入，可求得BA的長(zhǎng)，然后根據(jù)AD＝BA?BD，可求得答案．【詳解】解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∵BC＝3，BD＝2，∴，∴BA＝，∴AD＝BA?BD＝?2＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．8．（2020·云南昆明市·中考真題）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．如圖，△ABC是格點(diǎn)三角形，在圖中的6×6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格點(diǎn)三角形△ADE只算一個(gè)），這樣的格點(diǎn)三角形一共有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意，得出ABC的三邊之比，并在直角坐標(biāo)系中找出與ABC各邊長(zhǎng)成比例的相似三角形，并在直角坐標(biāo)系中無(wú)一遺漏地表示出來(lái)．【詳解】解：ABC的三邊之比為，如圖所示，可能出現(xiàn)的相似三角形共有以下六種情況：所以使得△ADE∽△ABC的格點(diǎn)三角形一共有6個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考察了在直角坐標(biāo)系中畫出與已知三角形相似的圖形，解題的關(guān)鍵在于找出與已知三角形各邊長(zhǎng)成比例的三角形，并在直角坐標(biāo)系中無(wú)一遺漏地表示出來(lái)．9．（2020·湖南益陽(yáng)市·中考真題）如圖，在矩形中，是上的一點(diǎn)，是等邊三角形，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論不成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形和矩形角度的特點(diǎn)即可得出A說(shuō)法正確；假設(shè)∠BAC=45°，可得到AB=BC，又AB=BE，所以BE=BC，不成立，所以B說(shuō)法錯(cuò)誤；設(shè)EC的長(zhǎng)為x，BE=2EC=2x，BC=，證得△ECF∽△BAF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，C說(shuō)法正確；AD=BC=，AB=BE=2x，可得D說(shuō)法正確．【詳解】解：在矩形ABCD中，是等邊三角形，∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，∴∠DAE=90°-60°=30°，故A說(shuō)法正確；若∠BAC=45°，則AB=BC，又∵AB=BE，∴BE=BC，在△BEC中，BE為斜邊，BE＞BC，故B說(shuō)法錯(cuò)誤；設(shè)EC的長(zhǎng)為x，易得∠ECB=30°，∴BE=2EC=2x，BC=，AB=BE=2x，∵DC∥AB，∴∠ECA=∠CAB，∵∠EFC=∠BFA，∴△ECF∽△BAF，∴，故C說(shuō)法正確；AD=BC=，∴，故D說(shuō)法正確．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了矩形和等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握矩形和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2020·湖南永州市·中考真題）如圖，在中，，四邊形的面積為21，則的面積是（）A． B．25 C．35 D．63【答案】B【分析】在中，，即可判斷，然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∴∴∵∴∴∴∵∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，難度不大，注意相似三角形的面積比等于相似比的平方．11．（2020·海南中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，和交于點(diǎn)若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過G作GN⊥BC于N，交EF于Q，同樣也垂直于DA，利用相似三角形的性質(zhì)可求出NG，GQ，以及EF的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式可求出△BCG和△EFG的面積，用矩形ABCD的面積減去△BCG的面積減去△EFG的面積，即可求陰影部分面積．【詳解】解：過作GN⊥BC于N，交EF于Q，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC，∴△EFG∽△CBG，∵，∴EF：BC=1：2，∴GN：GQ=BC：EF=2：1，又∵NQ=CD=6，∴GN=4，GQ=2，∴S△BCG=×10×4=20，∴S△EFG=×5×2=5，∵S矩形BCDA=6×10=60，∴S陰影=60-20-5=35．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，求出陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差的關(guān)系．12．（2020·廣西中考真題）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線的比等于相似比即可求得．【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形，∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，∴．設(shè)AN=x，則EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形以及相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．13．（2020·海南中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)說(shuō)明△ABE是等腰三角形、求得BE、EC，再結(jié)合BG⊥AE，運(yùn)用勾股定理求得AG，進(jìn)一步求得AE和△ABE的周長(zhǎng)，然后再說(shuō)明△ABE∽△FCE且相似比為，最后根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比列方程求解即可．【詳解】解：∵∴AD∥BC，AB//DF∴∠DAE=∠BEA∵∠DAE=∠BAE∴∠BAE=∠BEA∴BE=AB=10,即EC=BC-BE=5∵BG⊥AE∴AG=EG=AE∵在Rt△ABG中，AB=10,BG=8∴∴AE=2AG=12∴△ABE的周長(zhǎng)為AB+BE+AE=10+10+12=32∵AB∥DF∴△ABE∽△FCE且相似比為∴,解得=16．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比是解答本題的關(guān)鍵．14．（2020·云南中考真題）如圖，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則與的面積的比等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明OE//BC，再根據(jù)△DEO∽△DCB求解即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=DO，∵是的中點(diǎn)，∴OE是△DCB的中位線，∴OE//BC，OE=BC，∴△DEO∽△DCB，∴△DEO：△DCB=．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．15．（2020·山西中考真題）泰勒斯是古希臘時(shí)期的思想家，科學(xué)家，哲學(xué)家，他最早提出了命題的證明．泰勒斯曾通過測(cè)量同一時(shí)刻標(biāo)桿的影長(zhǎng)，標(biāo)桿的高度。金字塔的影長(zhǎng)，推算出金字塔的高度。這種測(cè)量原理，就是我們所學(xué)的（）A．圖形的平移 B．圖形的旋轉(zhuǎn) C．圖形的軸對(duì)稱 D．圖形的相似【答案】D【分析】根據(jù)在同一時(shí)刻的太陽(yáng)光下物體的影長(zhǎng)和物體的實(shí)際高度成比例即可判斷；【詳解】根據(jù)題意畫出如下圖形：可以得到，則即為金字塔的高度，即為標(biāo)桿的高度，通過測(cè)量影長(zhǎng)即可求出金字塔的高度故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，根據(jù)實(shí)際情況畫出圖形即可求解.16．（2020·甘肅天水市·中考真題）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿測(cè)量建筑物的高度，已知標(biāo)桿高，測(cè)得，，則建筑物的高是()A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得AC，再說(shuō)明△ABE∽△ACD，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程解答即可．【詳解】解：∵，∴AC=1.2m+12.8m=14m∵標(biāo)桿和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD∴,即,解得CD=17.5m．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確判定相似三角形并利用相似三角形的性質(zhì)列方程計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．17．（2020·湖北孝感市·中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和已知條件可知BC=CD=5,再由旋轉(zhuǎn)可知DE=BF,設(shè)DE=BF=x，則CE=5-x，CF=5+x，然后再證明△ABG∽△CEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出x，最后求CE即可．【詳解】解：∵，∴BC=BG+GC=2+3=5∵正方形∴CD=BC=5設(shè)DE=BF=x，則CE=5-x，CF=5+x∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°∴∠HFG=∠BAG∴△ABG∽△CEF∴,即，解得x=∴CE=CD-DE=5-=．故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．18．（2020·湖北荊門市·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將沿直線翻折，得到，過作垂直于交y軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出OA，然后證明△∽△即可得出答案．【詳解】由題意可得AB=1，OB=，∵△ABC為直角三角形，∴OA=2，由翻折性質(zhì)可得=1，=，=2，∠=90°，∵∠+∠=90°，∠+∠=90°，∴∠=∠，∵⊥，∠=90°，∴△∽△，∴，即∴OC=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，證明△∽△是解題關(guān)鍵．19．（2020·四川瀘州市·中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，已知，，若D，E是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長(zhǎng)，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出BE、CD的長(zhǎng)度，得到中DE的長(zhǎng)，利用三角形面積公式即可解題.【詳解】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，在Rt,AF=，∵D是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，∴即，解得CD=，同理BE=，∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，∴S△ABC===，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式，求出DE和AF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵。20．（2020·黑龍江哈爾濱市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D在BC上，連接AD，點(diǎn)E在AC上，過點(diǎn)E作，交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作，交BC于點(diǎn)G，則下列式子一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)由平行線易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：∵，∴△AEF∽△ACD，∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∴，∵，∴△CEG∽△CAB，∴，∴，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；∵，∴，∵，∴，∴，故選項(xiàng)正確C．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)和判定，能得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．21．（2019·內(nèi)蒙古巴彥淖爾市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN⊥MC交y軸于點(diǎn)N，此時(shí)點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸移動(dòng)，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值時(shí)，就能確定點(diǎn)N的坐標(biāo)，而直線y=kx+b與y軸交于點(diǎn)N（0，b），此時(shí)b的值最大，因此根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)未知數(shù)構(gòu)造二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值得以解決．【詳解】解：連接，則四邊形是矩形，，又，，，，，設(shè)．則，，即：當(dāng)時(shí)，直線與軸交于,當(dāng)最大，此時(shí)最小，點(diǎn)越往上，的值最大，，此時(shí)，的最大值為．故選A．【點(diǎn)睛】本題綜合考查相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)；構(gòu)造相似三角形、利用二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵所在．22．（2019·臺(tái)灣中考真題）如圖，將一張面積為的大三角形紙片沿著虛線剪成三張小三角形紙片與一張平行四邊形紙片．根據(jù)圖中標(biāo)示的長(zhǎng)度，求平行四邊形紙片的面積為何？（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，設(shè)，，，平行四邊形的面積分別為，，和，過點(diǎn)作，則由為平行四邊形，易得四邊形也為平行四邊形，從而，利用面積比等于相似比的平方可求．【詳解】解：如圖，設(shè)，，，平行四邊形的面積分別為，，和，過點(diǎn)作，則由為平行四邊形，易得四邊形也為平行四邊形，從而，，，，，，，，，，，，．故選D．【點(diǎn)睛】本題是巧求面積的選擇題，綜合考查了平行四邊形，相似三角形的性質(zhì)等，難度較大．23．（2019·遼寧鞍山市·中考真題）如圖，正方形ABCD和正方形CGFE的頂點(diǎn)C，D，E在同一條直線上，頂點(diǎn)B，C，G在同一條直線上．O是EG的中點(diǎn)，∠EGC的平分線GH過點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)H，連接FH交EG于點(diǎn)M，連接OH．以下四個(gè)結(jié)論：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】由四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，從而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分線，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中點(diǎn)，利用中位線定理，得HO∥BG且HO=BG；由△EHG是直角三角形，因?yàn)镺為EG的中點(diǎn)，所以O(shè)H=OG=OE，得出點(diǎn)H在正方形CGFE的外接圓上，根據(jù)圓周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，從而證得△EHM∽△GHF；設(shè)HN=a，則BC=2a，設(shè)正方形ECGF的邊長(zhǎng)是2b，則NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出，得到，即a2+2ab-b2=0，從而求得，設(shè)正方形ECGF的邊長(zhǎng)是2b，則EG=2b，得到HO=b，通過證得△MHO∽△MFE，得到，進(jìn)而得到，進(jìn)一步得到.【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE．故①正確；∵△EHG是直角三角形，O為EG的中點(diǎn)，∴OH＝OG＝OE，∴點(diǎn)H在正方形CGFE的外接圓上，∵EF＝FG，∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，∴△EHM∽△GHF，故②正確；∵△BGH≌△EGH，∴BH＝EH，又∵O是EG的中點(diǎn)，∴HO∥BG，∴△DHN∽△DGC，設(shè)EC和OH相交于點(diǎn)N．設(shè)HN＝a，則BC＝2a，設(shè)正方形ECGF的邊長(zhǎng)是2b，則NC＝b，CD＝2a，即a2+2ab﹣b2＝0，解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），故③正確；∵△BGH≌△EGH，∴EG＝BG，∵HO是△EBG的中位線，∴HO＝BG，∴HO＝EG，設(shè)正方形ECGF的邊長(zhǎng)是2b，∴EG＝2b，∴HO＝b，∵OH∥BG，CG∥EF，∴OH∥EF，∴△MHO△MFE，∴，∴EM＝OM，∴，∴∵EO＝GO，∴S△HOE＝S△HOG，∴故④錯(cuò)誤，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求得兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的比是解決本題的關(guān)鍵．24．（2019·遼寧盤錦市·中考真題）如圖，點(diǎn)P（8，6）在△ABC的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來(lái)的，得到△A′B′C′，點(diǎn)P在A′C′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的的坐標(biāo)為（）A．（4，3） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，4）【答案】A【分析】直接利用在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k，進(jìn)而結(jié)合已知得出答案．【詳解】∵點(diǎn)P（8，6）在△ABC的邊AC上，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來(lái)的，得到△A′B′C′，∴點(diǎn)P在A′C′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的的坐標(biāo)為：（4，3）．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出位似比是解題關(guān)鍵．二、填空題25．（2021·浙江金華市·中考真題）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置．木條BC上的點(diǎn)P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點(diǎn)為D，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個(gè)光點(diǎn)E．已知，．（1）ED的長(zhǎng)為____________．（2）將木條BC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到（如圖2），點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與MN的交點(diǎn)為D′，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在MN上的光點(diǎn)為．若，則的長(zhǎng)為____________．【答案】13【分析】（1）由題意，證明△ABP∽△EDP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出ED的長(zhǎng)度；（2）過A作AH⊥BN交NB延長(zhǎng)線于H，過E′作E′F⊥BN于F，設(shè)E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可證△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P′反射后，在MN上形成一個(gè)光點(diǎn)E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．【詳解】解：（1）由題意，∵，∴，∵從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個(gè)光點(diǎn)E．∴，∴△ABP∽△EDP，∴，即，∴；故答案為：13．（2）過A作AH⊥BN交NB延長(zhǎng)線于H，過E′作E′F⊥BN于F，設(shè)E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，∵BD=12，DD′=5，由勾股定理D′B=，∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,∴，，∴,，∴，∵從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P′反射后，在MN上形成一個(gè)光點(diǎn)E′．∴，∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F=P′D′-FD′=9-，∴即，解得x=1.5，經(jīng)檢驗(yàn)x=1.5是方程的解，EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形性質(zhì)與判定，勾股定理，光束經(jīng)平面鏡P性質(zhì)，掌握相似三角形性質(zhì)與判定，勾股定理，光束經(jīng)平面鏡P性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．26．（2021·山東泰安市·中考真題）如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)作，交x軸于點(diǎn)，以為邊，向右作正方形，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)；以為邊，向右作正方形，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)；以為邊，向右作正方形，延長(zhǎng)的交x軸于點(diǎn)；…；按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為________（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)題中條件，證明所有的直角三角形都相似且確定相似比，再具體算出前幾個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后再找規(guī)律得出第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)縱坐標(biāo)為1．分別過，作軸的垂線，分別交于，下圖只顯示一條；,類似證明可得，圖上所有直角三角形都相似，有，不妨設(shè)第1個(gè)至第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別用：來(lái)表示，通過計(jì)算得：，，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似，解題的關(guān)鍵是：利用條件及三角形相似，先研究好前面幾個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，再?gòu)闹腥フ矣?jì)算第個(gè)正方形邊長(zhǎng)的方法與技巧．27．（2021·湖北隨州市·中考真題）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為______；若，則的值為______．【答案】【分析】（1）根據(jù)條件，證明，從而推斷，進(jìn)一步通過角度等量，證明，代入推斷即可.（2）通過，可知四點(diǎn)共圓，通過角度轉(zhuǎn)化，證明，代入推斷即可.【詳解】解：（1）∵，為的中點(diǎn)∴又∵平分∴又∵∴∴∴∴在與中,∴∴（2∵∴四點(diǎn)共圓，如下圖：∵∴又∵∴∵∴∴∴∴即∵∴∵∴∵∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．28．（2021·四川資陽(yáng)市·中考真題）如圖，在菱形中，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．連結(jié)交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．于點(diǎn)H，連結(jié)．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為__________．

【答案】①②③④【分析】利用菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明①，利用AA定理證明△FCE∽△FGC，從而證明②，由含30°直角三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理分析求解，從而證明③和④．【詳解】解：在菱形ABCD中，AD=DC，∠ADB=∠CDB又∵DF=DF∴△ADF≌△CDF，∴，故①正確；∵AD∥BC∴∠DAF=∠FEC又①中已證△ADF≌△CDF，∴∠DAF=∠DCF，AF=CF∴∠DCF=∠FEC又∵∠CFG=∠CFG∴△FCE∽△FGC，∴，即，故②正確；∵在菱形中，，∴∠DBC=∠BDC=30°又∵∴在Rt△DCF中，∠CDE=30°∴∴在菱形ABCD中，又∵AD∥BC，∴由①已證AF=FC∴由②已證，設(shè)FC=2k，EF=3k∴FG=，EG=∴，故③正確；由③已知設(shè)DF=2a，BF=3a∴BD=5a∴在Rt△BDE中，在Rt△CDE中，在Rt△DFH中，，∴∴在Rt△FCH中，又由②③已證，，設(shè)FG=4m，EG=5m，則EF=9m∴，解得（負(fù)值舍去）∴∴，故④正確故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及解直角三角形，題目有一定難度，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．29．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，在中，D為BC上一點(diǎn)，，則的值為________．【答案】．【分析】證明△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】∵，∴，，∴，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，證明△ABD∽△CBA是解決問題的關(guān)鍵．30．（2021·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是_________．【答案】【分析】連接DF，先根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)證明,得到,進(jìn)而根據(jù)CD=2BD，CF=2AF，得到,根據(jù)△ABC中，AB=4，BC=5，得到當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC面積最大，即可求出△AFE面積的最大值．【詳解】解：如圖，連接DF，∵CD=2BD，CF=2AF，∴，∵∠C=∠C，∴△CDF∽△CBA，∴,∠CFD=∠CAB，∴DF∥BA，∴△DFE∽△ABE，∴,∴,∵CF=2AF，∴,∴,∵CD=2BD，∴,∴,∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC面積最大，為，此時(shí)△AFE面積最大為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定得到,理解等高三角形的面積比等于底的比是解題關(guān)鍵．31．（2021·浙江嘉興市·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為__________________．【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)并結(jié)合網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)特征確定位似中心．【詳解】解：連接DB，OA并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為位似中心∴M點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心是解題的關(guān)鍵．32．（2021·四川瀘州市·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于點(diǎn)G，則AGF的面積是________．【答案】．【分析】延長(zhǎng)AG交DC延長(zhǎng)線于M，過G作GH⊥CD，交AB于N，先證明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再證△ABG∽△MFG，則利用相似比可計(jì)算出GN，再利用兩三角形面積差計(jì)算S△DEG即可．【詳解】解：延長(zhǎng)AG交DC延長(zhǎng)線于M，過G作GH⊥CD，交AB于N，如圖，∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴BE=CE，在△ABE和△MCE中，，∴△ABE≌△MCE（ASA），∴AB=MC=4，∵CF=3DF，CF+DF=4，∴DF=1，CF=3，F(xiàn)M=FC+CM=3+4=7，∵AB∥MF，∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF，∴△ABG∽△MFG，∴，∵，∴，S△AFG=S△AFB-S△AGB=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，割補(bǔ)法求三角形面積，掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，割補(bǔ)法求三角形面積，熟練運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．33．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，在中，，矩形的頂點(diǎn)D、E在上，點(diǎn)F、G分別在、上，若，，且，則的長(zhǎng)為________．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到GF∥AB，證明△CGF∽△CAB，可得，證明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．【詳解】解：∵DE=2EF，設(shè)EF=x，則DE=2x，∵四邊形DEFG是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴，即，∴，∴AD+BE=AB-DE==，∵AC=BC，∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∴△ADG≌△BEF（AAS），∴AD=BE==，在△BEF中，，即，解得：x=或（舍），∴EF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB的長(zhǎng)．34．（2021·重慶中考真題）如圖，中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，連接AD，將沿直線AD翻折至所在平面內(nèi)，得，連接，分別與邊AB交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)O．若，，則AD的長(zhǎng)為__________．【答案】3【分析】利用翻折的性質(zhì)可得推出是的中位線，得出，再利用得出AO的長(zhǎng)度，即可求出AD的長(zhǎng)度．【詳解】由翻折可知∴O是的中點(diǎn)，∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握三角形的中位線的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．35．（2020·遼寧鐵嶺市·中考真題）如圖，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的頂點(diǎn)，在射線上，頂點(diǎn)，在射線上，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，…，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，…，按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，設(shè)與的面積之和為與的面積之和為與的面積之和為，…，若，則等于__________．（用含有正整數(shù)的式子表示）【答案】【分析】先證得△ADC△，推出CD=，，同理得到，，由△△，推出△ED邊D上的高為，計(jì)算出，同理計(jì)算得出，，找到規(guī)律，即可求解【詳解】∵正方形，正方形，且，∴△和△都是等腰直角三角形，∴，∴，同理，∵正方形，正方形，邊長(zhǎng)分別為2，4，∴AC∥，∥，∴，∴，∴，，同理：，，∵∥，∴△△，設(shè)△和△的邊和上的高分別為和，∴，∵，∴，，∴；同理求得：；；．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)在規(guī)律型問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．36．（2020·遼寧鞍山市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．若的面積為1，則四邊形的面積為________．【答案】3【分析】根據(jù)□ABCD的對(duì)邊互相平行的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)知EC是△ABF的中位線；然后根證明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面積比是相似比的平方及△ECF的面積為1求得△ABF的面積；最后根據(jù)圖示求得S四邊形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．【詳解】解：∵在□ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，∴EC是△ABF的中位線；

在△ABF和△CEF中，∠B=∠DCF，∠F=∠F，∴△ABF∽△ECF，∴，∴S△ABF：S△CEF=1：4；

又∵△ECF的面積為1，∴S△ABF=4，∴S四邊形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)；解得此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形的中位線的判定證明EC是△ABF的中位線，從而求得△ABF與△CEF的相似比．37．（2020·遼寧錦州市·中考真題）如圖，在中，D是中點(diǎn)，，若的周長(zhǎng)為6，則的周長(zhǎng)為______．【答案】12【分析】由，可知，由D是中點(diǎn)，可得到相似比，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵，∴，又∵D是中點(diǎn)，∴，即與的相似比為1:2，∴與的周長(zhǎng)比為1:2，∵的周長(zhǎng)為6，∴的周長(zhǎng)為12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的相似比等于周長(zhǎng)比是解題的關(guān)鍵．38．（2020·遼寧盤錦市·中考真題）如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以點(diǎn)為位似中心，相似比為，將縮小，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是____________．【答案】或【分析】利用以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k，把B點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別乘以或即可得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)．【詳解】解：∵以點(diǎn)為位似中心，相似比為，將縮小，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（2，4）或（-2，-4）．故答案為：（2，4）或（-2，-4）．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．39．（2020·江蘇南通市·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為C1，△DEF的周長(zhǎng)為C2，則的值等于_____．【答案】【分析】先證明兩個(gè)三角形相似，再根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，得出周長(zhǎng)比的值便可．【詳解】解：∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，本題關(guān)鍵是證明三角形相似．40．（2020·遼寧沈陽(yáng)市·中考真題）如圖，在矩形中，，，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為折痕，將折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，線段與相交于點(diǎn)．若為直角三角形，則的長(zhǎng)__________．【答案】或1【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)可得，，設(shè)，從而可得，再根據(jù)直角三角形的定義分和兩種情況，然后分別利用相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理求解即可得．【詳解】四邊形ABCD是矩形，，由折疊的性質(zhì)可知，設(shè)，則由題意，分以下兩種情況：（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，為直角三角形在和中，，即解得，在中，，即解得即（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，為直角三角形，，即在和中，，即解得，即解得即綜上，DP的長(zhǎng)為或1故答案為：或1．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確畫出圖形，并分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．41．（2020·四川眉山市·中考真題）如圖，等腰中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為________．【答案】【分析】過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，先根據(jù)垂直平分線已知條件得出BC=16，再根據(jù)等腰三角形的三線合一和勾股定理得出AF=6，再根據(jù)即可得出結(jié)論【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，∠DEC=90°，AE=5∵的周長(zhǎng)為，∴AB+BD+AD=26∴AB+BD+DC=AB+BC=26∵AB=10，∴BC=16，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，∵AB=AC=10∴CF=8，∵∠DEC=∠AFC=90°，∠C=∠C∴∴∴∴DE=故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)的性質(zhì)．42．（2020·山東威海市·中考真題）如圖，點(diǎn)在的內(nèi)部，，與互補(bǔ)，若，，則__________．【答案】【分析】通過證明△ACO∽△OCB，可得，可求出OC．【詳解】解：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA與∠AOB互補(bǔ)，∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，∴△ACO∽△OCB，∴，∴OC2＝2×＝3，∴OC＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△ACO∽△OCB是本題的關(guān)鍵．43．（2020·吉林中考真題）如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)．若的面積為．則四邊形的面積為_______．【答案】【分析】先根據(jù)三角形中位線定理得出，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可得的面積，由此即可得出答案．【詳解】點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，即又則四邊形的面積為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．44．（2020·吉林中考真題）如圖，．若，，則______．【答案】10【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，由條件即可算出DF的值．【詳解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．45．（2020·山東東營(yíng)市·中考真題）如圖，為平行四邊形邊上一點(diǎn)，分別為上的點(diǎn)，且的面積分別記為．若則____．【答案】【分析】證明△PEF∽△PAD，再結(jié)合△PEF的面積為2可求出△PAD的面積，進(jìn)而求出平行四邊形ABCD的面積，再用平行四邊形ABCD的面積減去△PAD的面積即可求解．【詳解】解：∵∴，且∠APD=∠EPF，∴△PEF∽△PAD，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，且△PEF的面積為2可知，，∴，過P點(diǎn)作平行四邊形ABCD的底AD上的高PH，∴，∴，即平行四邊形ABCD的面積為，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)等，熟練掌握其性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．46．（2020·廣東深圳市·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=___．【答案】【分析】過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，證明，得到再證明利用設(shè)利用三角形的面積公式可得答案．【詳解】解：過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，BE⊥AD，，∴∴由，∴設(shè)則故答案為：47．（2020·湖南婁底市·中考真題）若，則________．【答案】【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入求職即可．【詳解】由可得，，代入．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)，準(zhǔn)確觀察分析是解題的關(guān)鍵．48．（2020·湖南郴州市·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將以點(diǎn)為位似中心，為位似比作位似變換，得到．已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】．【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵將△AOB以點(diǎn)O為位似中心，為位似比作位似變換，得到△A1OB1，A（2，3），

∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)是：，即A1．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．49．（2020·山西中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_______．【答案】【分析】過點(diǎn)F作FH⊥AC于H，則∽，設(shè)FH為x，由已知條件可得，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的長(zhǎng)．【詳解】如解圖，過點(diǎn)作于，∵，∴，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴∽∴∴，設(shè)為，則，由勾股定理得，又∵，∴，則，∵且，∴∽，∴，即，解得，∴．∵∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似的判定和性質(zhì)、以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是作垂直，構(gòu)造相似三角形．50．（2020·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）如圖①，在中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)．圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H是圖象上的最低點(diǎn)．．那么的值為_______．【答案】7【分析】過B作AC的平行線，過C作AB的平行線，交于點(diǎn)D，證明四邊形ABCD為菱形，得到點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，從而得到PA+PE=PD+PE，推出當(dāng)P，D，E共線時(shí)，PA+PE最小，即DE的長(zhǎng)，觀察圖像可知：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，PD+PE=，分別求出PA+PE的最小值為3，PC的長(zhǎng)，即可得到結(jié)果.【詳解】解：如圖，過B作AC的平行線，過C作AB的平行線，交于點(diǎn)D，可得四邊形ABCD為平行四邊形，又AB=AC，∴四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，∴PA+PE=PD+PE，當(dāng)P，D，E共線時(shí)，PA+PE最小，即DE的長(zhǎng)，觀察圖像可知：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，PD+PE=，∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴BE+BD=3BE=，∴BE=，AB=BD=，∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴DE⊥AB，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE的最小值為3，即點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為a=3，當(dāng)點(diǎn)P為DE和BC交點(diǎn)時(shí)，∵AB∥CD，∴△PBE∽△PCD，∴，∵菱形ABCD中，AD⊥BC，∴BC=2×=6，∴，解得：PC=4，即點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為b=4，∴a+b=3+4=7，故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．51．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，連接、．已知，則_________．【答案】【分析】過點(diǎn)C作CD⊥y軸，交y軸于點(diǎn)D，則CD∥AO，先證CDE≌CDB（ASA），進(jìn)而可得DE＝DB＝4－n，再證AOE∽CDE，進(jìn)而可得，由此計(jì)算即可求得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，交y軸于點(diǎn)D，則CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y軸，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴CDE≌CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴AOE∽CDE，∴，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．52．（2019·遼寧阜新市·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，DE垂直平分AB，垂足為點(diǎn)E，若AC=8，BC=6，則線段DE的長(zhǎng)度為______．【答案】【分析】先求出AE長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定得出△AED∽△ACB，得出比例式，代入求出DE長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10，∵DE垂直平分AB，∴∠DEA=90°，AE==5，∴∠DEA=∠C，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴，即∴DE=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出△AED∽△ACB是解此題的關(guān)鍵．三、解答題53．（2021·北京中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）比較與的大?。挥玫仁奖硎揪€段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1），，理由見詳解；（2），理由見詳解．【分析】（1）由題意及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得，，然后可證，進(jìn)而問題可求解；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，由（1）可得，，易證，進(jìn)而可得，然后可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（2）證明：，理由如下：過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，如圖所示：∴，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．54．（2021·湖北黃岡市·中考真題）如圖，在和中，，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）9．【分析】（1）先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】證明：（1），，即，在和中，，；（2）由（1）已證：，，，，，解得或（不符題意，舍去），則的長(zhǎng)為9．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．55．（2020·廣西中考真題）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E．（1）求證：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上；（2）求證：CD平分∠ACB；（3）過點(diǎn)D作DF∥BC交AB于點(diǎn)F，求證：BO2+OF2＝EF?BF．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析【分析】（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，判斷出OA＝OB＝OC＝OD，即可得出結(jié)論；（2）先求出∠COD＝150°，利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODC＝15°，進(jìn)而求出∠BDC＝30°，進(jìn)而求出∠BCD＝45°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，得出DF2＝BF?EF，再利用勾股定理得出OD2+OF2＝DF2，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）如圖，連接OD，OC，在Rt中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OC＝OA＝OB，在Rt中，∠ADB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的同一個(gè)圓上；（2）連接OC，OD，由（1）知，OA＝OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，在Rt中，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠BOC＝60°，在Rt中，∠DAB＝45°，∴∠ABD＝45°＝∠DAB，∴AD＝BD，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OD⊥AB，∴∠BOD＝90°，∠ODB＝∠ADB＝45°，∴∠COD＝150°，∴∠OCD＝∠ODC＝15°，∴∠BDC＝∠ODB﹣∠ODC＝30°，∵∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝105°，∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝45°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝45°＝∠BCD，∴CD平分∠ACB；（3）由（2）知，∠BCD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠BEC＝75°，∴∠AED＝75°，∵DF∥BC，∴∠BFD＝∠ABC＝60°，∵∠ABD＝45°，∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，∵∠DFE＝∠BFD，∴，∴，∴DF2＝BF?EF，連接OD，則∠BOD＝90°，OB＝OD，在Rt中，根據(jù)勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，∴OB2+OF2＝BF?EF，即BO2+OF2＝EF?BF．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．56．（2020·貴州黔南布依族苗族自治州·中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的圓”，請(qǐng)研究如下美麗的圓，如圖，中，，點(diǎn)O在線段上，且，以O(shè)為圓心．為半徑的⊙O交線段于點(diǎn)D，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：是⊙O的切線；（2）研究過短中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，回答小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否正確？如果正確，給出證明；如果不正確，說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，見解析【分析】（1）過點(diǎn)O作于H，由勾股定理可求的長(zhǎng)，由面積法可求，即可求結(jié)論．（2）連接，通過證明，可得，由，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)O作于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，且，∴是的切線；（2）結(jié)論成立，理由如下：連接，∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是正確的．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)知識(shí)．證明是解題的關(guān)鍵．57．（2020·遼寧大連市·中考真題）如圖，中，，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊以的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作，交邊（或）于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為．（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，求t的值；（2）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)＜時(shí)，【分析】（1）利用勾股定理求解的長(zhǎng)，從而可得答案；（2）分，＜兩種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解的兩條直角邊，再利用面積公式列函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：（1），（2）如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，由題意得：當(dāng)＜時(shí)，點(diǎn)在上，如圖，由題意得：同理：綜上：當(dāng)時(shí)，當(dāng)＜時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何動(dòng)點(diǎn)問題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，考查了利用面積公式列函數(shù)關(guān)系式，分類討論思想，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．58．（2020·遼寧朝陽(yáng)市·中考真題）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，請(qǐng)按如下要求畫圖：（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，請(qǐng)畫出；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在x軸下方，畫出的位似圖形，使它與的位似比為．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；（2）利用位似的性質(zhì)，找出點(diǎn)A2、B2、C2的位置，然后畫出圖形即可．【詳解】解：（1）位置正確；用直尺畫圖；（2）位置正確；用直尺畫圖．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的性質(zhì)正確的做出圖形．59．（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯市·中考真題）（1）（操作發(fā)現(xiàn)）如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．①請(qǐng)按要求畫圖：將繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．連接；②在①中所畫圖形中，＝°．（2）（問題解決）如圖2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延長(zhǎng)CA到D，使CD＝1，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接DE，求∠ADE的度數(shù)．（3）（拓展延伸）如圖3，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k為常數(shù)），求BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）．【答案】（1）①見解析，②45；（2）135°；（3）【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可．②只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可．（2）如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．證明△ABC≌△EAH（AAS）即可解決問題．（3）如圖3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，只要證明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解決問題．【詳解】解：（1）①如圖，△AB′C′即為所求．②由作圖可知，△ABB′是等腰直角三角形，∴∠AB′B＝45°，故答案為45．（2）如圖2中，過點(diǎn)E作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）如圖③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．60．（2020·遼寧沈陽(yáng)市·中考真題）在中，，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．（1）如圖，當(dāng)時(shí)，①求證：；②求的度數(shù)：（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系為__________；（3）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到的距離為__________．

【答案】（1）①證明見解析；②60°；（2）；（3）或．【分析】（1）①通過證明即可得證；②根據(jù)得到，故即可求解；（2）通過證明，對(duì)應(yīng)線段成比例可得；（3）分兩種情形，解直角三角形求出即可解決問題．【詳解】解：（1）①證明：∵，，，∴與都是等邊三角形，∴，，，∴，即，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴；（2）∵，，，∴，，∴，即，∴，∴，即，故答案為：；（3）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．如圖中，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，在中，，，，，，，，由（2）可知，，，，，如圖中，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，同法可得，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．61．（2020·四川眉山市·中考真題）如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)、、三點(diǎn)在同一直線上，連接，，交于點(diǎn)．（1）若，求證：；（2）若，．①求的值；②求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）①；②【分析】（1）先根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角對(duì)應(yīng)相等得出，再根據(jù)ASA得出即可．（2）①過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形角所對(duì)直角邊是斜邊的一半可得，從而得出，由BE=6得出，，根據(jù)勾股定理得出，然后根據(jù)即可．②在Rt中，根據(jù)勾股定理得出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)得出即可得出DF的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，又，，．和均為等邊三角形，，，，，，．（2）①，，，，，，．，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，為等邊三角形，，．在Rt中，，．②在Rt中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．62．（2020·江蘇徐州市·中考真題）我們知道：如圖①，點(diǎn)把線段分成兩部分，如果．那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．它們的比值為．（1）在圖①中，若，則的長(zhǎng)為_____；（2）如圖②，用邊長(zhǎng)為的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對(duì)折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得折痕．試說(shuō)明是的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長(zhǎng)為的正方形的邊上任取點(diǎn)，連接，作，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．他發(fā)現(xiàn)當(dāng)與滿足某種關(guān)系時(shí)、恰好分別是、的黃金分割點(diǎn)．請(qǐng)猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3）當(dāng)PB=BC時(shí)，、恰好分別是、的黃金分割點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）由黃金比值直接計(jì)算即可；（2）如圖，連接GE，設(shè)BG=x，則AG=20-x，易證得四邊形EFCD是矩形，可求得CE，由折疊知GH=BG=x，CH=BC=20，進(jìn)而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得關(guān)于x的方程，解之即可證得結(jié)論；（3）當(dāng)PB=BC時(shí)，證得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,則有BF=AE，設(shè)BF=x，則AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）AB=×20=（）(cm)，故答案為：；（2）如圖，連接GE，設(shè)BG=x，則GA=20-x，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠D=90o，由折疊性質(zhì)得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90o，AE=ED=10，在Rt△CDE中，CE=，∴EH=，在Rt△GHE中，在Rt△GAE中，,∴，解得：x=，即，∴是的黃金分割點(diǎn)；（3）當(dāng)PB=BC時(shí)，、恰好分別是、的黃金分割點(diǎn)．理由：∵，∴∠BCF+∠CBE=90o，又∠CBE+∠ABE=90o，∴∠ABE=∠BCF，∵∠A=∠ABC=90o，AB=BC，∴△BAE≌△CBF（ASA），∴AE=BF，設(shè)AE=BF=x，則AF=a-x，∵AD∥BC即AE∥PB，∴即，∴，解得：或(舍去)，即BF=AE=，∴，∴、分別是、的黃金分割點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、解一元二次方程等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找出相關(guān)信息的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．63．（2020·上海中考真題）已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】(1)先證明△CDF≌△CBE，進(jìn)而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形對(duì)邊CDBH，得到∠H=∠DCF，進(jìn)而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB?AE，得到=，再利用AGBC，平行線分線段成比例定理得到=，再結(jié)合已知條件即可求解．【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．(2)∵BE2=AB?AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．64．（2020·四川內(nèi)江市·中考真題）如圖，正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連結(jié)BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BQ，連結(jié)QP交BC于點(diǎn)E，QP延長(zhǎng)線與邊AD交于點(diǎn)F．（1）連結(jié)CQ，求證：；（2）若，求的值；（3）求證：．【答案】(1)見解析；(2)；(3)見解析【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)知△PBQ為等腰直角三角形，得到PB=QB，∠PBQ=90°，進(jìn)而證明△APB≌△CQB即可；(2)設(shè)AP=x，則AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，又△ABC為等腰直角三角形，所以BC=，PQ=，再證明△BQE∽△BCQ，由此求出BE，進(jìn)而求出CE:BC的值；(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，證明△PFA≌△QGC，進(jìn)而得到PF=QG，然后再證明∠QGE=∠QEG即可得到QG=EQ，進(jìn)而求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BQ，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,∴∠ABP=∠CBQ，在△APB和△CQB中，，∴△APB≌△CQB(SAS)，∴AP=CQ．(2)設(shè)AP=x，則AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，△ABC為等腰直角三角形，∴BC=，在Rt△PCQ中，由勾股定理有：，且△PBQ為等腰直角三角形，∴，又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ，∴△BQE∽△BCQ，∴，代入數(shù)據(jù)：，∴BE=，∴CE=BC-BE=，∴，故答案為：．(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，如圖所示：∵∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA，故有△PFA≌△QGC(SAS)，∴PF=Q