等邊三角形的性質(zhì)及判定

等邊三角形ABC一、什么是等腰三角形？二、等腰三角形有什么性質(zhì)？1、從邊看：2、從角看：回顧等腰三角形的兩腰相等

AB=AC等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高相互重合。

D等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形

等腰三角形的兩底角相等

∠B=∠C

4、從對(duì)稱(chēng)性看：3、從重要線段看：定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形。

探索新知ABC

符號(hào)語(yǔ)言：∵△ABC是等邊三角形

∴AB=BC=CA問(wèn)題：等邊三角形有哪些性質(zhì)呢？

類(lèi)比等腰三角形的性質(zhì)，從以下四個(gè)方面探討等邊三角形的性質(zhì)：我們知道，等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形，它就是—等邊三角形，也叫正三角形。1、從邊看2、從角看4、從對(duì)稱(chēng)性看3、從重要線段看1、根據(jù)定義，得出等邊三角形邊之間的關(guān)系性質(zhì)1：

等邊三角形的三條邊都相等。2、探究等邊三角形角之間的關(guān)系思考：

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系?

為什么?你能證明嗎？猜測(cè)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。證明：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)

同理，∠A=∠C

∴∠A=∠B=∠C又∵∠A+∠B+∠C=180°

∴∠A=∠B=∠C=60°：如圖，△ABC中，AB=AC=BC求證：∠A=∠B=∠C=60°性質(zhì)2符號(hào)語(yǔ)言：

∵

AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°思考：等邊三角形有“三線合一〞的性質(zhì)嗎?為什么?性質(zhì)3:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對(duì)角的角平分線都相互重合?！布础叭€合一〞的性質(zhì)對(duì)于每條邊都適用〕3、探究等邊三角形“三線合一〞的性質(zhì)思考：

等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?有幾條對(duì)稱(chēng)軸?4、探究等邊三角形的對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)4、等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸?？偨Y(jié)：等邊三角形的性質(zhì)2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,且都等于60°3.等邊三角形各邊上中線,高和所對(duì)角的平分線都三線合一.4.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸.1.等邊三角形的三條邊都相等；：如圖，△ABC中，∠A=∠B=∠C求證：△ABC是等邊三角形證明：∵∠B=∠C∴AB=AC(等角對(duì)等邊)同理，BC=AC∴AB=BC=AC探究等邊三角形的判定方法2、猜測(cè)：三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形?！唷鰽BC是等邊三角形

1、定義法：三條邊都相等的三角形是等邊三角形。判定1符號(hào)語(yǔ)言：

∵

∠A=∠B=∠C∴△ABC是等邊三角形3、猜測(cè)：有一個(gè)內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。當(dāng)頂角為60°時(shí)，兩個(gè)底角各為60°.當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí)，頂角為60°.判定2符號(hào)語(yǔ)言：

∵

AB=BC,∠B=60°

∴△ABC是等邊三角形等邊三角形三種判定方法三邊都相等的三角形是等邊三角形。三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形?！逜B=BC=AC∴△ABC是等邊三角形∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等邊三角形∵∠A=600,AB=BC∴△ABC是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。例：如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC,請(qǐng)問(wèn)△ADE是等邊三角形嗎?試說(shuō)明理由.ACBDE上題中,假設(shè)將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說(shuō)明理由.變式練習(xí)等邊三角形判定運(yùn)用練一練如圖，，△ABC是等邊三角形，BD是中線，BD=6，延長(zhǎng)BC到E。使CE=CD,求DE長(zhǎng)。ABCDE嘗試舞臺(tái)例4等邊三角形ABC的周長(zhǎng)等于21㎝，求：〔1〕各邊的長(zhǎng)；〔2〕各角的度數(shù)。解：〔1〕∵AB＝BC＝CA，又∵AB＋BC＋CA＝21㎝〔〕∴AB＝BC＝CA＝21/3＝7〔㎝〕〔2〕∵AB＝BC＝CA，〔〕∴∠A＝∠B＝∠C＝60°〔等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60°〕ABC試一試你能行１、以下四個(gè)說(shuō)法中，不正確的有〔〕〔A〕0個(gè)〔B〕1個(gè)〔C〕2個(gè)〔D〕3個(gè)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。有兩個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形。有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。有兩個(gè)角相等的等腰三角形是等邊三角形。２、等邊三角形的對(duì)稱(chēng)軸有〔〕〔A〕1條〔B〕2條〔C〕3條〔D〕4條

３、等邊三角形中，高、中線、角平分線共有〔〕〔A〕3條〔B〕6條〔C〕9條〔D〕7條

〔選擇〕ＢＣＡ名稱(chēng)圖形性質(zhì)等邊三角形等邊三角形的性質(zhì):三個(gè)角都相等，且都為60°三線合一三條邊都相等軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸名稱(chēng)圖形判定等邊三角形等邊三角形的判定:三個(gè)角都等于60°的三角形三條邊都相等的三角形有一個(gè)角等于60°的等腰三角形BACD將兩個(gè)含有30°的直角三角板如圖擺放在一起你能借助這個(gè)圖形,找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎?探究∵△ABC與△ADC關(guān)于AC軸對(duì)稱(chēng)∴AB＝AD△ABD是等邊三角形又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝1/2AB你還能用其他方法證明嗎?BACD在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.A┓）30°BC在直角△ABC中∵∠A＝30°∴AC＝2BC以下圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一局部,點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn),立柱BC、DE垂直于橫梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC、DE要多長(zhǎng)?ABDEC解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A＝30°可得2BC＝AB,2DE＝AD∴BC＝1/2×7.4＝3.7m又AD＝1/2AB

∴DE＝1/2AD＝1/2×3.7＝1.85m答:立柱BC的長(zhǎng)是3.7m,DE的長(zhǎng)是1.85m.

1如圖,在△ABC中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分線交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之長(zhǎng).作業(yè)題:MCBDA2如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分線MN交BC于M,交AB于N,求證:CM=2BMNMCBA2、在Rt△ABC中，如果∠BＣＡ＝９0°，∠A＝30°，CD是高，〔1〕BD=1，那么BC、AB各等于多少；〔2〕求證：BD=1/2BC=1/4AB解〔1〕由可求得∠BＣD=30°于是在Rt△ADC與Rt△BDC中用本定理得BC=2，AB=4〔2〕在Rt△ADC與Rt△BDC運(yùn)用本定理BD=1/2BCBC=1/2AB∴BD=1/2BC=