廣州天河區(qū)一一2022年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)y=/(x)在R上可導(dǎo)且/(x)</'(x)恒成立，則下列不等式中一定成立的是()

A./(3)>e7(0)./(2018)>e20lV(0)

B./(3)<//(0)、f(2018)…力。)

C./(3)>?/(0),/(2018)<e2OI7'(0)

D./⑶<e3/(0)、/(2018)<e2018/(0)

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明則當(dāng)---+：時，左端應(yīng)在二=二的基礎(chǔ)上加上()

/+2+3+.“+二；=告一一+」

A?二；+/B.(匚+/);

C,(二’+j)+(二'+2)+…+(二+/)；，二

3.3知函數(shù)/(x)=十j十D,g(x)=-x+m+2,若對任意辦€[1,3],總存在x2al,3],使得“石)=g(z)

成立，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.f,9B.(一00，]U[9,+oo)

-1791(17]/9)

C.—D.-co,—U-,+oo

[42j14」[2J

4.若向量叱=(1,5),5=(-2,1),則無(值+25)=()

A.30B.31C.32D.33

5.在AABC中，“sin4>sin5”是“tanA>tan6”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

,a

1-tan

34

6.已知sina-2cosc=1,ae(zr,—),則-----------=()

,a

21+tan—

2

J_

D.2

2.2

7.已知集合4=卜卜=館（2-力},集合8<2V<4L則4nB=()

A.{x|x>-2}B.1x|-2<x<2|C.{x|-2Wx<2}D.{x|x<2}

8.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計劃在高一年級每周星期一至星期五的每天閱讀半個小時

中國四大名著：《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不

同的閱讀計劃共有（）

A.120種B.240種C.480種D.600種

9.在菱形ABC。中，AC=4,BD=2,E,尸分別為AB,的中點，則詼.而=（）

13515

A.——B.-C.5D.—

444

10.己知全集為實數(shù)集R,集合AWxH+Zx-S>。},B={x\log2X<l},貝|]（44）廣|3等于（）

A.[-4,2]B.[-4,2）C.C4,2）D.（0,2）

r2v2

11.已知雙曲線M:0—斗=lS>a>0）的焦距為2c,若"的漸近線上存在點T,使得經(jīng)過點T所作的圓

a~b~

+的兩條切線互相垂直，則雙曲線M的離心率的取值范圍是（）

A.（1,V2]B.（V2,>/3]C.（V2,V5]D.（石，石]

12.已知集合4={幻1082*-1）<2},8=乂則4A8=（）

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{1,234}D.{04,2,3,4}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.袋中裝有兩個紅球、三個白球，四個黃球，從中任取四個球，則其中三種顏色的球均有的概率為.

14.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T的值為

X-j+2>0

15.若變量X,y滿足約束條件卜x+y?O,貝!!2=31+2丁的最大值為.

x+y>0

16.已知向量a=(l,2),6=(x,l),五=。+2反/=2。一5,且〃〃下，則實數(shù)x的值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在△ABC中，。、b、C分別為三個內(nèi)角A、B、C的對邊，且〃一皂|次&114+。2="2.

3

⑴求角A；

(2)若4sinBsinC=3,且a=2,求白ABC的面積.

18.(12分)設(shè)aeR,函數(shù)/(乃=//-'一。(％-1).

3

(1)當(dāng)。=1時，求在(一,2)內(nèi)的極值；

4

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+a(x-l-JT),當(dāng)g(x)有兩個極值點對尤20<%2)時，總有％ga)4Afa)，求實數(shù)

2的值.

x-2cosa

19.(12分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：在平面直角坐標(biāo)系MX中，曲線G：〈..(a為參數(shù))，在以平

y=2sina

面直角坐標(biāo)系的原點為極點、x軸的正半軸為極軸，且與平面直角坐標(biāo)系X。,取相同單位長度的極坐標(biāo)系中，曲線。2：

7C

psin(^--)=1.

(1)求曲線G的普通方程以及曲線G的平面直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G上恰好存在三個不同的點到曲線G的距離相等，求這三個點的極坐標(biāo).

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(尤)="+2av—e,g(x)=-lnx+ax+a.

(1)求函數(shù)/(X)的極值；

(2)對任意xNL都有/(力Ng(x),求實數(shù)a的取值范圍.

21.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合

格,，“不合格,，兩個等級，同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化：“合格，，記5分，，，不合格，，記o分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)

計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下：

等級不合格合格

得分[20,401[40,601[60,801[80,100]

頻數(shù)6a24b

(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

(2)其他條件不變，在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得

分低于8()分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

(3)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人，

記所選4人的量化總分為求4的數(shù)學(xué)期望EC).

22.(10分)如圖，已知拋物線E：)，2=4x與圓(x-3)2+y2=r2(r>0)相交于A,B,C,。四個

點，

(1)求r的取值范圍；

(2)設(shè)四邊形A3CD的面積為S,當(dāng)S最大時，求直線AD與直線8。的交點P的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

設(shè)g(x)="，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到g'(x)>0,得出函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

得到g(O)<g(3)<g(2018)，進(jìn)而變形即可求解?

【詳解】

由題意，設(shè)g(x)=與，則g，(x)=-4(x)(")'=7'(X)二。(幻,

又由/(x)</'(x),所以/(1)=/即函數(shù)g(x)在K上單調(diào)遞增，

貝！|g(0)<g(3)<g(2018),即華=/(0)<牛<，

eee

變形可得/(3)>?/(0),/(2018)>e20l7(0).

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函

數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.

2.C

【解析】

首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n】=_,__：時，當(dāng)n=k+l時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上的式子，可以分別

2

使得n=k,和"1i+1代入等式，然后把n=k+l時等式的左端減去n=k時等式的左端，即可得到答案.

【詳解】

當(dāng)n=k時,等式左端=1+1+…+kl

當(dāng)n=k+l時，等式左端=1+1+…+ki+H+l+ki+l+…+(k+1),,增加了項(k,+l)+(k'+l)+(k'+3)+...+(k+1)

故選：C.

【點睛】

本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題./

3.C

【解析】

將函數(shù)/(X)解析式化簡，并求得f(x),根據(jù)當(dāng)Xe［1,3］時r(x)>0可得“X通值域；由函數(shù)g(x)=-》+機(jī)+2

在9e［1,3］上單調(diào)遞減可得g伉)的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系，即可求得m的取值范圍.

【詳解】

依題意〃X)=>+3X+3=X2+X+2(X+1)+1

-x+1x+l

1°

=X-\-----F2,

則/'(力=1_/\,

(X+1)

當(dāng)x?l,3］時，r(x)>0,故函數(shù)在［1,3］上單調(diào)遞增，

「721-

當(dāng)時,

而函數(shù)8(%)=一%+7a+2在［1,3］上單調(diào)遞減，

故式/)€［加-1,加+1］,

_7

121-

只需-_-U

24-

一I

7

--<

^2-n9

得-<m<

14-2-

+1>21

1-41

179

故實數(shù)〃？的取值范圍為

故選：C.

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

4.C

【解析】

先求出￡+2九再與a相乘即可求出答案.

【詳解】

因為￡+25=(1,5)+(-4,2)=(-3,7),所以7(￡+2歷=-3+5*7=32.

故選:C.

【點睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算，考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為多yr2,7/r時

63

【詳解】

27r7T

當(dāng)4=—,8=一時，sinA>sin3,但tanAvtan故充分條件推不出；

36

jr24

當(dāng)A=一,8=—時，tanA>tan3,但sinA<sin8,故必要條件推不出；

63

所以“sinA>sinB”是“tanA>tan3”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點睛】

本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

6.B

【解析】

結(jié)合sit？。+cos2a=1求得sina,cos。的值，由此化簡所求表達(dá)式，求得表達(dá)式的值.

【詳解】

sina-2cosa=13萬34

由，9以及a€(萬,二)，解得sina=—,cosa=—.

si?n2a+cos2a-\A255

.a

sin

11

aaa.a(a1ca.a

1-tan—cos—cos----sin—cos—-sm—l-2cos—sin—

2__2_22.I22),22

[a.aa.a(a.aVa.7aya

1+tan—sin—cos—+sin—cos-----sin—cos—+sin—cos-----sin—

21+二22122JI22J22

a

cos—

2

1]-s,in?1--5-一

A=-2.

=--c-o--s-a--=_S

-5

故選：B

【點睛】

本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.

7.C

【解析】

求出集合的等價條件，利用交集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：?.?A={X|X<2},8={H-2<X<2},

:.AcB={x|-2<x<2},

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得結(jié)果.

【詳解】

^^=10種分組方法;

將周一至周五分為4組，每組至少1天，共有:

將四大名著安排到4組中，每組1種名著，共有：閻=24種分配方法；

由分步乘法計數(shù)原理可得不同的閱讀計劃共有：10x24=240種

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，易錯點是忽略分組中涉及到的平均分組問題.

9.B

【解析】

據(jù)題意以菱形對角線交點。為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出詼，前，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量

積運算計算出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)AC與BO交于點。，以。為原點，麗的方向為X軸，刀的方向為y軸，建立直角坐標(biāo)系,

則D（l,0）,詼=（一:1）加=

—■—■95

所以。石。尸=一一1=-.

44

故選：B.

【點睛】

本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題，如果直

接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.

10.D

【解析】

求解一元二次不等式化簡A,求解對數(shù)不等式化簡B,然后利用補(bǔ)集與交集的運算得答案.

【詳解】

解：由*2+2*-8>0,得xV-4或x>2,

AA={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由x>0,得0<xV2,

/.B={x\log2X<1}={x|0<x<2},

.?.（”）nB=（o,2）.

故選：D.

【點睛】

本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運算，考查了對數(shù)不等式，二次不等式的求法，是基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

由力>。可得e〉拒；由過點T所作的圓的兩條切線互相垂直可得|丁丹=41a，又焦點F(c,O)到雙曲線漸近線的距離

為b，則|7F|=四'人，進(jìn)而求解.

【詳解】

所以離心率e=￡=>母,

又圓(x-c)2+V=片是以F(c,O)為圓心，半徑r=a的圓,要使得經(jīng)過點T所作的圓的兩條切線互相垂直，必有

\TF\=y[2a,

而焦點2c,0)到雙曲線漸近線的距離為〃，所以|7F|=2仇即:W虛，

所以e=￡=jWG,所以雙曲線M的離心率的取值范圍是(JI,V3].

故選:B

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.

12.B

【解析】

解對數(shù)不等式可得集合A,由交集運算即可求解.

【詳解】

集合4={X|1。82(%_1)<2},解得4={目1<%<5},

B=N,

由集合交集運算可得Ac3={x[l<x<5}cN={2,3,4},

故選：B.

【點睛】

本題考查了集合交集的簡單運算，對數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-

7

【解析】

基本事件總數(shù)〃==126,其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數(shù)機(jī)=C\C\C；+C\CjC\+=72,由此

能求出其中三種顏色的球都有的概率.

【詳解】

解：袋中有2個紅球，3個白球和4個黃球，從中任取4個球，

基本事件總數(shù)〃=C；=126,

其中三種顏色的球都有，可能是2個紅球，1個白球和1個黃球或1個紅球，2個白球和1個黃球或1個紅球，1個白

球和2個黃球，

所以包含的基本事件個數(shù)m=+C}C\C\=72,

724

J.其中三種顏色的球都有的概率是p=—/n=r=—.

n1267

4

故答案為：一.

7

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.H

6

【解析】

初始條件〃=1,7=1,〃<3成立方；

:13

運行第一次：T=l+卜<拄=1+—=—,〃=2,〃<3成立；

Jo”22“

運行第二次：T='|+卜）必;=_1+2=口_,〃=3,〃<3不成立；

2J236

輸出T的值：結(jié)束

所以答案應(yīng)填：?

6

考點：1、程序框圖；2、定積分.

3

15.-

2

【解析】

根據(jù)約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉(zhuǎn)化為直線＞=-(*+］在〉軸截距最大的問題的求解,

通過數(shù)形結(jié)合的

方式可確定過8時,z取最大值，代入可求得結(jié)果.

【詳解】

由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:

3z

則2最大時，直線y=-^+2在y軸截距最大;

33z

由直線)，=一會平移可知，當(dāng)y=過8時，在，軸截距最大,

x—y+2=0C33

由*得：B?，?Zmax=3x+2x—=—.

[3x+y=0rib22

3

故答案為：-

2

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在》軸截距的最值的求解問題,通過數(shù)形結(jié)合的

方式可求得結(jié)果.

1

16.-

2

【解析】

7T>=（L2）,不=（x,1）,

^?=?+2?=（L2）+2（X，1）=（l+2x,4）,

?=2?-7=2（1,2）-（x,1）=（2-x,3）,

Vu//v.,.3(l+2x)-4(2-x)=1,解得：x=—.

2

點睛:由向量的數(shù)乘和坐標(biāo)加減法運算求得7然后利用向量共線的坐標(biāo)表示列式求解x的值.若(a”a2),

7=(bi,b2),則f_LHu|aia2+bib2=l,-〃半?出-a2bl=1.

babab

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)A=J(2)6

3

【解析】

(1)整理從一丈兒力必+。2=“2得：b2+c2-a2=^bcsinA,再由余弦定理可得cosA=^sinA,問題得

333

解.

(2)由正弦定理得：R二組,人=2Rsin8,c=2RsinC,再代入S?Bc=LbcsinA即可得解.

32

【詳解】

(1)由題意，得人2+/一片=2hccosA=^^〃csinA=＞cosA=^sinAntanA=G,

33

7t

??A=—；

3

(2)由正弦定理，得—2_=—J=，_=2RnR=空，

sinBsinCsinA3

b=2/?sin8,c=2RsinC

12.

S^BC=~bcsinA=2R飛inAsinBsinC=2-

【點睛】

本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式，考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)極大值是/(1)=1,無極小值；(2)九=上

e+1

【解析】

(1)當(dāng)。=1時，可求得r(X)=?f?一'''，令/?(力=(2》-馬_/7,利用導(dǎo)數(shù)可判斷〃(X)的單調(diào)性并得其零點,

e

從而可得原函數(shù)的極值點及極大值；

(2)表示出g(x),并求得g'(x)=(-x2+2x+〃)3-",由題意，得方程-丁+2%+。=0有兩個不同的實根內(nèi)，x2(x,＜x2),

從而可得△=4+4々＞0及％+々=2,由王＜々，得不＜1.則々gU)，，%/'(%)可化為+1)1,0對任意

的玉G(-8,l)恒成立，按照芯=0、玉6(0,1)、玉6(-8,0)三種情況分類討論，分離參數(shù)％后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

可解決；

【詳解】

(1)當(dāng)。=1時，r(x)=9-：一.

e

令〃(x)=2x—f一則l(x)=2—2x—,顯然〃'(x)在上(之,2)單調(diào)遞減，

4

又因為〃'(1)=!一』=<0,故xw(3,2)時，總有/?'(x)<0,所以力(功在(之,2)上單調(diào)遞減.

42%44

3

由于〃⑴=0,所以當(dāng)x€(3,l)時，/?(%)>0；當(dāng)xe(l⑵時，〃(x)<0.

4

當(dāng)x變化時，/'(X)、/(x)的變化情況如下表:

小)

X1(1,2)

f'M+-

/(x)增極大減

3

所以/⑴在憶2)上的極大值是/。)=1,無極小值.

(2)由于g(x)=(x2-a)ei,則+2x+a)ei.由題意,方程-f+2x+a=0有兩個不等實根士,當(dāng)，則

—x~i+2Xj+a=0

A=4+4a>0,解得a>—1,且，-J?+2々+a=0,又玉<七，所以王<1.

玉+々=2

由X2g(X1)44/'a),f'(x)=(2x-x2)el~x-a,可得.(M-。)之*?〃(2須一爐"一f-a]

2

又*2=2-=一.將其代入上式得：2玉(2-玉)4R(2X1-YDJF+(2x,-xl)].

Xllx1-A|

整理得x,[2e'--A(e-'+1)1<0,即丹[2廣為一2(e+l)]<0,Vx(e(-oo,l)

當(dāng)％=0時，不等式XJ2/F-+l)]V0恒成立，即幾cR.

當(dāng)王e(0,1)時，2/小一43』+1)40恒成立，即一，令-x)=f—,易證伙x)是R上的減函數(shù).因

e「』+1e'-x,+1

2e.c、2e

此,當(dāng)xw(0,1)時，k(x)<k(0)----,故￡N-----.

e+1e+\

2e'~x,

當(dāng)％e(—8,0)時,2產(chǎn)一〃產(chǎn)+1)20恒成立，即九4

e'~x'+1

因此，當(dāng)XG(—8,0)時，Z(x)>Z(O)=-L所以丸K—L

e+1e+1

綜上所述，2-—.

e+1

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運用知識分

析問題解決問題的能力，該題綜合性強(qiáng)，難度大，對能力要求較高.

x—島+2=();⑵A(2，D42總，小,葛

19.(1)x2+/=4,

【解析】

⑴把曲線G的參數(shù)方程與曲線。2的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；⑵利用圖象求出三個點的極徑與極角.

【詳解】

x=2cosa.、

解：(1)由c.消去參數(shù)a得V+y2=4,

y=2sina

即曲線C1的普通方程為d+y2=4,

又由psin[6—看)=1得p\sin^cos-cos^sinj=1

即為X-后y+2=0,即曲線。2的平面直角坐標(biāo)方程為X-+2=()

|2|1

「j______!_!_____1_±r

(2)??,圓心0到曲線X—Gy+2=0的距離5,

如圖所示，所以直線X-6y+4=()與圓的切點A以及直線X-百y=()與圓的兩個交點B,C即為所求.

'：OA±BC,則期直線心的傾斜角為父，

即A點的極角為紅，所以3點的極角為主-工=工，C點的極角為主+色=上,

3326326

所以三個點的極坐標(biāo)為4(2,2,—,cf2,--.

k3；V6；<6J

【點睛】

本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把

參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元

法，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，只要將℃os6和psin。換成)，和x即可.

20.(1)當(dāng)aNO時，/(X)無極值；當(dāng)a<0時，/(x)極小值為一2a+2aln(—2a)—e；(2)[-e-l,+oo).

【解析】

(1)求導(dǎo)，對參數(shù)。進(jìn)行分類討論，即可容易求得函數(shù)的極值；

(2)構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x),兩次求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，由恒成立問題求參數(shù)范圍即可.

【詳解】

(1)依題/'(%)="+2。，

當(dāng)時，r(x)>0,函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞增，此時函數(shù)“X)無極值；

當(dāng)〃<0時，令/'(x)=e'+2a>0,得x>ln(-2a),

令/'(x)=e"+2aV。,得犬vln(-2。)

所以函數(shù)“X)在(ln(-2a),位)上單調(diào)遞增，

在(3,In(-2。))上單調(diào)遞減.

此時函數(shù)/(x)有極小值，

且極小值為/(In(-2a))=-2a+2aIn(-2a)-e.

綜上：當(dāng)aNO時，函數(shù)/(x)無極值；

當(dāng)。<0時，函數(shù)/(%)有極小值，

極小值為/(in(-2a))=-2a+2ain(-2a)-e.

(2)令〃(x)=/(x)-g(x)=e*+or+lnx-a-e(xN1)

易得〃(1)=0且/z'(x)=e*+—+a(x>l),

令f(x)=h'^x)=ex+—+a(x>1)

所以?力=，-5@21),

因為e'Ne，0<^-<1,從而/(尢)>0,

所以，《工)在［1,+8)上單調(diào)遞增.

又f(l)=a+e+l

^a>-e-l,則《x)=”(x)2(l)=a+e+120

所以/1(X)在［1,48)上單調(diào)遞增，從而/?(%)>/?(1)=0,

所以。2—e—1時滿足題意.

若"一。一1,

所以，(x)min=，(1)=〃+e+1<。，，(一。)=e"+Q—9

在“X)中，令。=—g，由⑴的單調(diào)性可知，

/(x)=e*-x-e有最小值/(O)=l-e,從而e*Zx+1.

所以，(一Q)=e~a+a-—>-a+l-i-a--=\-—>0

aaa

所以r(l)Y(-a)<0,由零點存在性定理：

3x0e(l,-a),使心o)=。且

〃(x)在(1,%)上單調(diào)遞減，在［不，”)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)xe(l,Xo)時，〃(％)<〃⑴=0.

故當(dāng)—〃x)?g(x)不成立.

綜上所述：”的取值范圍為［-e-1,+8).

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的極值，涉及由恒成立問題求參數(shù)范圍的問題，屬壓軸題.

23

21.(1)64,65；(2)—；(3)E?)=12.

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出a,Ac,平均數(shù)，中位數(shù)；

(2)設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件A,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件B,由條件概率公

式P(例A)=4丁(可求出;

P(A)

(3)從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為丁x10=4,“合

60

格，，的學(xué)生數(shù)為6；由題意可得&=0,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計算公式即可得出概率，進(jìn)而得出分布列

與數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

由題意知，樣本容量為——-——=60,/?=60x(0.01x20)=12,

0.005x20

1Q

0=60-6-12-24=18^=——=0.015.

60x20

(1)平均數(shù)為(30x0.005+50x0.015+70x0.02+90x0.01)x20=64,

設(shè)中位數(shù)為x,因為0.005x20+0.015x20=0.4<0.5,0.005*20+0.015*20+0.02x20=0.8>0.5,所以

XG(60,80),則0.005x20+0.015x20+(x-60)*0.02=0.5,

解得x=65.

(2)由題意可知，分?jǐn)?shù)在［60,80)內(nèi)的學(xué)生有24人，分?jǐn)?shù)在［80,100］內(nèi)的學(xué)生有12人.設(shè)“第1次抽取的測試得分

低于80分”為事件A,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件B,

74?24x2346P(AB)23

則P⑷、=/(班=亞行=而，所以P⑻止

24

(3)在評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人，貝心不合格”的學(xué)生人數(shù)為二x10=4,

60

“合格”的學(xué)生人數(shù)為10-4=6.

由題意可得g的所有可能取值為0,5,10,15,1.

p(^=0)=-^-=-,P(^=5)=^V-=—,P(^=10)=^V-=—,

Gi210C；)210G2210

%=15)=善=線%=20)=旨=蔡

，JLQ<4^kVz

所以g的分布列為

J0510151

124908015

p

210210210210210

…、cu249080215

E(J)=0+5x----1-10x----P15x----(-20x---=12.

210210