集合與簡(jiǎn)易邏輯高考考點(diǎn)解析原創(chuàng)-人教版-集合與簡(jiǎn)易邏輯高考考點(diǎn)解析

集合與簡(jiǎn)易邏輯高考考點(diǎn)解析

河北灤縣第二中學(xué)龐志全

（郵編063700聯(lián)系電

集合與簡(jiǎn)易邏輯是未來學(xué)習(xí)的工具，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考中，集合

與簡(jiǎn)易邏輯問題常以選擇題、填空題題型出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本運(yùn)算

以及數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，有時(shí)也出現(xiàn)在

解答題中。

本章的考試內(nèi)容：集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集、邏輯聯(lián)結(jié)詞、四種命

題、充分條件和必要條件。

本章的考試要求：1理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空

集、全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，

并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合。2理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”

的含義；理解四種命題及其相等關(guān)系；掌握充分條件、必要條件及充要條件的

心:點(diǎn)示例與解析

考點(diǎn)1考查集合中元素個(gè)數(shù)

示例1.設(shè)集合Af=卜,y，/+y2=l,xeR,ye

N=j（x,-y=0,xe/?,ye/?）,則集合MAN中元素的個(gè)數(shù)（）

A.1B.2C.3D.4（04廣西）

解析：本例主要考查交集運(yùn)算、方程組的解法及集合的有關(guān)概念

得方程組m

（法一）依題意，

,所以集合MAN中元素的個(gè)數(shù)是2個(gè)，選擇B.

（法二）集合M+）」=l,xeR,ye/?},

是圓x2+y2=l上的點(diǎn)組成的集合，

N=b，）］x2—y=（）,xeR,yeR}是拋物線y=x2上的

點(diǎn)組成的集合.集合MAN表示圓x2+y2=l與拋物線白

y=x?的交點(diǎn)組成的集合。作出圓x2+y2=l與拋物線y=x2

的圖形，看交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求出答案。

注意：解決集合問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合能夠起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果。

考點(diǎn)2考查集合與集合的關(guān)系，即子集、真子集、相等集合的概念。

示例2.設(shè)集合尸={1,2,3,4,5,6},Q^{XER\2<X<6},那么下列結(jié)

論正確的是()(04天津)

A.=PB.PQQ^Q

C.PUQ=QD.Pf]Q^P

解析：本例主要考查子集的概念，交集運(yùn)算定義、運(yùn)算性質(zhì)及集合與集合

關(guān)系的判斷。因?yàn)镻={1,2,3,4,5,6},Q^{xeR\2<x<6},

尸口。={2,3,4,5,6},所以選擇D.

示例3.設(shè)集合P={mI-1<m<Q},Q={meR\mx2+4mx-4<0對(duì)任意實(shí)

數(shù)x恒成立},則下列關(guān)系中成立的是()(04湖北)

A.P父QB.Q&PCP=QD.PAQ=0

解析：本例主要考查集合與集合間的關(guān)系以及一元二次不等式、一元二次

方程、二次函數(shù)的關(guān)系問題。

由于集合P={用I-1<機(jī)<0},Q={m&R\mx2+4mx-4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x

、，、5,,?f(4m)2-4xmx(-4)<0.,,一、

恒成“},化簡(jiǎn)Q={m|m=0或《}={m|-Km^0),所以

m<0

P些Q,選擇A。

示例4.設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足A=B=1,則下列各式中號(hào)送

的是()

A.(GA)UB=IB.(C,A)U(GB)=I

C.AA(CB)=°D.(C,A)U(Ci

B)=C.B(04河北)I-；

解析：本例主要考查補(bǔ)集、交集、并集運(yùn)算以及廣。

集合與集合間的關(guān)系。運(yùn)用韋氏圖解決教簡(jiǎn)單。由QJQA

圖可知(GA)UB=I,選擇A

注意：解決集合與集合的關(guān)系問題時(shí)，要準(zhǔn)確

把握子集、真子集、集合相等的概念及性質(zhì)。

示例5.設(shè)A、B為兩個(gè)集合，下列四個(gè)命題：

①A至B。對(duì)任意xwA,有x史B②A生BoA^\B=0

③A生B=ANB④A里Bo存在xeA,使得x史8(04湖北)

其中真命題的序號(hào)是.(把符合要求的命題序號(hào)都填上)

解析：本例考查了子集的概念以及命題的否定形式，需要正確理解集合

之間的關(guān)系。由于“A[B”即集合A中的任何元素都是集合B中的元素，而

A生B是AqB的否定，等價(jià)于集合A中至少存在一個(gè)元素不屬于集合B,所

以應(yīng)填④。

考點(diǎn)3考查集合的運(yùn)算

(1)考查交集運(yùn)算

示例6.設(shè)集合P={1,2,3,4},Q={x||#2,xeR},貝UPAQ等于

()

A.{1,2}B.{3,4}C.{1}D.{-2,-1,0,1,2}(04江蘇)

解析：本例考查交集的定義以及絕對(duì)值不等式的解法。依題意

Q={x|k|M2,xeR}={x|-2WxW2},所以PAQ={1,2}選擇A.

示例.7已知集合M={0,1,2},N={xlx=2a,aeM},則集合McN=

()

A.{0}B.{0,1}C.[1,2}D.{0,2}(04甘肅)

解析：本例考查集合的有關(guān)概念以及交集的定義。依題意集合

N={xlx=2a,a€M}={0,2,4},所以集合加門％={0,2},選擇D。

示例8.已知集合〃={xlY<4},N={xl--2x-3<0},則集合McN=

()

A.[x\x<-2}B.{x\x>3]

C.{xl-l<x<2}D.{xl2<x<3}(04四川)

解析：本例考查交集的定義以及一元二次不等式的解法。依題意，先將集

合化簡(jiǎn)，即M={xI-2<x<2},N={x|-Kx<3},所以集合McN={xI-1<x<2},

詵搔C

(2)考查并集運(yùn)算

示例9.設(shè)集合A={5,log2(a+3)}(集合B={a,b}.若ADB=⑵,則

AUB=.(04上海)

解析：本例考查交集、并集的定義以及對(duì)數(shù)方程的解法。依題意，因?yàn)?/p>

ACB=⑵,所以logz(a+3)=2,解得a=l,因此集合B中b=2,即A={5,2},集合

B={1,2}.故AUB={L2,5}o

(3)考查交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

示例10.若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則a(MuN)=()

(A){1,2,3}(B){2}(C){1,3,4}(D){4}(04浙江)

解析：本例考查并集、補(bǔ)集的定義。易知選擇(D)

示例11.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R,M={x|-2WxW2},N={x|x<l},則(GM)D

N等于

(A){x|x<-2}(B){x|-2<x<l}

(C){x|x<l}(D){xj-2Wx〈l}(04北京)

解析：本例考查交集、補(bǔ)集的定義。利用數(shù)軸易知選擇(A)

考點(diǎn)4考查集合語(yǔ)言與集合思想的應(yīng)用

示例12.記函數(shù)f(x)=小-三彳的定義域?yàn)锳,g(x)=lg[(x—a—1)(2a—

x)](水1)的定義域?yàn)锽.

(1)求A；

(2)若B±A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(04上海)

解析：本小題主要考查集合的有關(guān)概念，分式不等式及一元二次不等式的

解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查簡(jiǎn)單的分類討論方法，以及分析問題和推理計(jì)算能力.

【解】(1)2一色20,得320,矛〈一1或

x+1x+1

即A=(—8,—1)U[1,+8]

(2)由(x—a—1)(2a—x)>0,得(x—a—1)(x—2a)<0.°??永1,?,?濟(jì)1>2H,

.,.B=(2a,a+1).VBcA,，2且21或a+lW-l,即a2*1■或aW-2,而水1,

一2

.?.工Wa〈l或aW—2,故當(dāng)B=A時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,—2)U[■,1]

2-2

示例13設(shè)全集U=R(1)解關(guān)于x的不等式Ix-lI+a-l>O(aeR);

(2)記A為(1)中不等式的解集，集合

B={xlsin(^x-1)+V3cos(^x-1)=0},若(CuA)CB恰有3個(gè)元素，求a

的取值范圍.

解析：本小題主要考查集合的有關(guān)概念，含絕對(duì)值的不等式，簡(jiǎn)單三角函

數(shù)式的化簡(jiǎn)和已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查簡(jiǎn)單的分類討論方法，以

及分析問題和推理計(jì)算能力.

解：(1)由lx—11+。—1>0得lx—1I>1—a.

當(dāng)。>1時(shí)，解集是R；

當(dāng)a41時(shí)，解集是{xlx<a或%>2-a}.

（2）當(dāng)a〉l時(shí)，（CuA）=。；

當(dāng)時(shí)，CuA={x\a<x<2-a].

因

sin（OT-y）+V3COS（OT_0）=2[sin（OT-y）cos-y+COS（G—0）sing]=2sinm.

由sin%；=0,得加=k7r（keZ）,即x=kwZ,所以8=Z.

<7<1,

當(dāng)（CuA）AB怡有3個(gè)元素時(shí)，a就滿足<242-a<3,解得

-1<a<0.

點(diǎn)撥：高考中集合問題主要有兩大類，一類是考查集合本身的知識(shí)，一類

是以集合語(yǔ)言與集合思想為載體，考查函數(shù)的定義域、值域、方程、不等式、

曲線間的交點(diǎn)問題。解題時(shí)，要分清集合屬于那一類（數(shù)集、點(diǎn)集或某類圖

形）；進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，一般要把各參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式；關(guān)于含參

數(shù)的集合問題要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想加以解決。

考點(diǎn)5考查邏輯聯(lián)結(jié)詞與復(fù)合命題真假的判斷

示例14.命題p：若a、bWR,則|a|+|b|>l是|a+b|>l的充要條件;

命題q：函數(shù)y=Jlx-ll-2的定義域是（—8,—1]U[3,+8）.則

（）

A."p或q”為假B.“p且q”為真

C.p真q假D.p假q真（04福建）

解析：本例考查復(fù)合命題真假的判斷，根據(jù)題設(shè)條件獲得命題的真假，進(jìn)

而借助真值表判斷復(fù)合命題的真假。因?yàn)閨a+b|W|a|+|b|,所以|a|+|b|〉l是

Ia+b|>1必要不充分條件，即p假；由|xT|-220解得xW-1.，或x23,即q

真，因此選擇D。

考點(diǎn)6考查四種命題的關(guān)系

示例15.在下列關(guān)于直線1、m與平面a、p的命題中,真命題是（）（04

上海）

A.若/uB且則l，a.B.若￡且?！ā?，則/_La.

C.若/_LB且a_L￡,則l〃a.D若an￡=m且/〃m,則1〃a.

解析：本例以四種命題真假的判斷為工具考查立體幾何中線面關(guān)系。由立

體兒何知識(shí)可知選擇B。

考點(diǎn)7考查充分條件、必要條件和充要條件

示例16.已知數(shù)列那么“對(duì)任意的〃eN*,點(diǎn)2（〃，a“）都在直線

y=2x+l上”是“{%}為等差數(shù)列”的

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件（04天津）

解析：本例考查了簡(jiǎn)易邏輯、充要條件的判定及其方法規(guī)律，考查等差數(shù)

列的性質(zhì)和充要條件的應(yīng)用，還考查了點(diǎn)與直線的位置關(guān)系。由點(diǎn)匕（〃，/）都

在直線y=2x+l上，則an=2n+l,所以{%}為等差數(shù)列；由{%}為等差數(shù)列，

不能推出點(diǎn)心（〃，%）在直線y=2x+l上，因此，對(duì)任意的〃eN*,點(diǎn)

心（〃，明）都在直線y=2x+l上”是“{%}為等差數(shù)列”的B.充分而不必要

條件。

點(diǎn)撥：簡(jiǎn)易邏輯在高考以基本概念為考查對(duì)象，以本單元知識(shí)作為工具

考查三角、立體幾何、解析幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)，因此要對(duì)數(shù)學(xué)概念有準(zhǔn)確的

記憶和深層次的理解，要正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)基本題型求解準(zhǔn)確迅速。

基礎(chǔ)練習(xí)

1.設(shè)A={xIx=AeN）,8{xIxW6,xeQ},則Ac8等于

（）A.{1,4}B.{1,6}C.{4,6}D.{1,4,6}（04湖北）

2.設(shè)集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},則品（An

B）等于（）

A.{1,2,4}B.{4}C.{3,5}D.0（04福建）

3.設(shè)集合U={0,1,2,3,4,5},集合M={0,3,5},N={1,4,5）,則

MD（CuN）=（）

A.{5}B.[0,3}C.{0,2,3,5}D.{0,1,3,4,5）（04甘肅）

4.設(shè)集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},則AA（CLB）

=（）

A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3}（04河北）

5.在AABC中，“A>30°”是rtsinA>-M的（）

2

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（0充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（04浙江）

6.對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c,在下列命題中，真命題是

ac>c是

AR.（（a>bn的必要條件

是

。c-c

C“a=b”的必要條件

是

Qc>c“a>b”的充分條件

是

D.QC-C"a=b”的充分條件

7.“sinA=4”是“A=30°”的（）

2

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（0充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（04浙江文）

8.已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件。

那么P是q成立的：（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.不同直線和不同平面,給出下列命題（）

①a"°一「cmHn

>=>m//B②>=nil0

maamHB

muanm,〃異面④a''

③c>=m1.0

mHa

其中假命題有：（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

10.設(shè)集合U={（x,y）|xeR,yGR},A={（x,y）12『y+m>0},

B={（x,y）|戶y-n<0},那么點(diǎn)P（2,3）eAc（。5）的充要條件是（）

A.m>-l,n<5B.w<-l,n<5

C.m>-\,n>5D.m<-\,n>5

11.已知a,3,c為非零的平面向量.甲：=a-c,乙：各=c，貝！J（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件（04湖北）

12.設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,B，7是三個(gè)不同的平面，給出下列

四個(gè)命題：

①若m_La,n〃a,則m_Ln；

②若a〃/，夕〃7,m±a,則m_Ly；

③若m〃a,n//a,則m〃n；

④若Pl.y,