黑龍江省龍東地區(qū)三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題

黑龍江省龍東地區(qū)三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編一03

解答題

一.分式的化簡求值（共3小題）

2

1.（2022?黑龍江）先化簡，再求值：（三二_］）+紅!，其中”=2COS30°+1.

a2-la+1

22

2.（2021?黑龍江）先化簡，再求值：（a—一---其中“=2cos60°+1.

2

a+1a-l

22

3.（2021?黑龍江）先化簡，再求值：（〃-且一）+——，其中〃=2tan45°+1.

a+1a2-l

二.二元一次方程組的應(yīng)用（共1小題）

4.（2022?黑龍江）學(xué)校開展大課間活動，某班需要購買A、8兩種跳繩.已知購進(jìn)10根4

種跳繩和5根B種跳繩共需175元：購進(jìn)15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元.

（1）求購進(jìn)一根A種跳繩和一根8種跳繩各需多少元?

（2）設(shè)購買A種跳繩加根，若班級計劃購買A、8兩種跳繩共45根，所花費用不少于

548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？

（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？

三.一元一次不等式組的應(yīng)用（共2小題）

5.（2021?黑龍江）”中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，

某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具.已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1

件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元.

（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？

（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進(jìn)甲、乙兩農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又

不超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具,〃件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資

金最少，最少資金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于國家對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件甲種農(nóng)機(jī)具降價0.7

萬元，每件乙種農(nóng)機(jī)具降價0.2萬元，該糧食生產(chǎn)基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購

買甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具（可以只購買一種）請直接寫出再次購買農(nóng)機(jī)具的方案有哪幾種？

6.（2021?黑龍江）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，

某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具，已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1

件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元.

（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？

（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元

又不超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具〃?件，則有哪幾種購買方案？

（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？

四.一次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）

7.（2022?黑龍江）為抗擊疫情，支援2市，A市某蔬菜公司緊急調(diào)運兩車蔬菜運往8市.甲、

乙兩輛貨車從A市出發(fā)前往8市，乙車行駛途中發(fā)生故障原地維修，此時甲車剛好到達(dá)

B市.甲車卸載蔬菜后立即原路原速返回接應(yīng)乙車，把乙車的蔬菜裝上甲車后立即原路

原速又運往8市.乙車維修完畢后立即返回A市.兩車離A市的距離y（6）與乙車所

用時間x（力）之間的函數(shù)圖象如圖所示.

（1）甲車速度是km/h,乙車出發(fā)時速度是km/h；

（2）求乙車返回過程中，乙車離A市的距離y（km）與乙車所用時間x"）的函數(shù)解析

式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）乙車出發(fā)多少小時，兩車之間的距離是120km?請直接寫出答案.

8.（2021?黑龍江）已知A、8兩地相距240切?，一輛貨車從A前往B地，途中因裝載貨物

停留一段時間.一輛轎車沿同一條公路從B地前往A地，到達(dá)A地后（在A地停留時間

不計）立即原路原速返回.如圖是兩車距8地的距離y（km）與貨車行駛時間x⑺之

間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：

（1）圖中根的值是;轎車的速度是km/h;

（2）求貨車從A地前往8地的過程中，貨車距8地的距離），（km）與行駛時間x⑺

之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）直接寫出轎車從8地到A地行駛過程中，轎車出發(fā)多長時間與貨車相距12k”？

9.(2021?黑龍江)一輛貨車從甲地到乙地，一輛轎車從乙地到甲地，兩車沿同一條公路分

別從甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速行駛.已知轎車比貨車每小時多行駛20b".兩車相遇后

休息一段時間，再同時繼續(xù)行駛.兩車之間的距離y(km)與貨車行駛時間x(//)之間

的函數(shù)圖象如圖所示的折線AB-BC-CD-DE,結(jié)合圖象回答下列問題：

(I)甲、乙兩地之間的距離是km；

(2)求兩車的速度分別是多少如"/〃？

(3)求線段。的函數(shù)關(guān)系式.直接寫出貨車出發(fā)多長時間，與轎車相距20h"?

10.(2022?黑龍江)如圖，拋物線y^^+bx+c經(jīng)過點A(-1,0),點B(2,-3),與y

軸交于點C,拋物線的頂點為￡>.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點P,使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫

11.(2021?黑龍江)如圖，拋物線y=a7+6x+3(aWO)與x軸交于點A(1,0)和點B(-

3,0),與y軸交于點C,連接BC,與拋物線的對稱軸交于點E,頂點為點。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求△BOC的面積.

七.二次函數(shù)綜合題(共1小題)

12.(2021?黑龍江)如圖，拋物線yu4f+bx+S(a^O)與x軸交于點A(1,0)和點B(-

3,0),與y軸交于點C,連接BC,與拋物線的對稱軸交于點E,頂點為點。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一個動點，點Q在射線E￡＞上，若以點P、Q、E為

頂點的三角形與△8OC相似，請直接寫出點尸的坐標(biāo).

13.（2022?黑龍江）△ABC和△AOE都是等邊三角形.

（1）將繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD,CE并延長相交于點P（點P與

點A重合），有力+P8=PC（或用+PC=PB）成立（不需證明）；

（2）將△AOE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BO,CE相交于點P,連接刑,猜想

線段雨、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

（3）將△AOE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接8。，CE相交于點P,連接行1,猜想

線段山、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明.

14.（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABC。的邊A8在x軸上，頂

點。在y軸的正半軸上，"為BC的中點，OA、OB的長分別是一元二次方程f-7x+12

=0的兩個根（OA<OB）,tan/D4B=2,動點P從點。出發(fā)以每秒1個單位長度的速

3

度沿折線。C-CB向點8運動，到達(dá)B點停止.設(shè)運動時間為f秒，△APC的面積為S.

（1）求點C的坐標(biāo)；

(2)求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量f的取值范圍；

(3)在點P的運動過程中，是否存在點P,使aCMP是等腰三角形？若存在，請直接

寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

15.(2021?黑龍江)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOS的邊OA在x軸上，OA=AB,且

線段04的長是方程，-4x7=0的根，過點8作軸，垂足為E,tan/BAE=全

3

動點M以每秒1個單位長度的速度，從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，到達(dá)點B停

止.過點M作x軸的垂線，垂足為。，以MD為邊作正方形MQCF,點C在線段04上,

設(shè)正方形MDCF與aAOB重疊部分的面積為S,點M的運動時間為f(f>0)秒.

(1)求點8的坐標(biāo)；

(2)求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量，的取值范圍；

(3)當(dāng)點尸落在線段08上時，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點P,使以M、A、0、P為頂點

的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

16.(2022?黑龍江)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平

面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(1,-1),8(2,-5),C(5,-4).

(1)將△ABC先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到△AiBi。，畫出兩次平

移后的△AiBiCi，并寫出點Ai的坐標(biāo)；

(2)畫出81cl繞點Ci順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△曲歷。，并寫出點A2的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求點4旋轉(zhuǎn)到點上的過程中所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留口).

一十一.作圖-旋轉(zhuǎn)變換(共2小題)

17.(2021?黑龍江)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面

直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABO的三個頂點坐標(biāo)分別為A(-1,3),3(-4,3),O(0,0).

(1)畫出△ABO關(guān)于x軸對稱的△A1B1。，并寫出點4的坐標(biāo)；

(2)畫出aABO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2O,并寫出點兒的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求點A旋轉(zhuǎn)到點兒所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留n).

18.(2021?黑龍江)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面

直角坐標(biāo)系內(nèi)，△AB。的三個頂點坐標(biāo)分別為A(-1,3),8(-4,3),O(0,0).

(1)畫出△ABO關(guān)于x軸對稱的△A1B1O,并寫出點81的坐標(biāo)；

(2)畫出△ABO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A282O,并寫出點&的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求點B旋轉(zhuǎn)到點明所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留n）.

一十二.幾何變換綜合題（共1小題）

19.（2021?黑龍江）在等腰△ADE中，AE=DE,aABC是直角三角形，ZCAB=90Q,Z

ABC=^ZAED,連接CO、BD,點F是8。的中點，連接EF.

2

（1）當(dāng)NEA￡>=45°,點B在邊AE上時，如圖①所示，求證：EF=^CD；

2

（2）當(dāng)/E4O=45°,把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，頂點8落在邊AO上時，如圖②所

示，當(dāng)NE4D=60°,點8在邊4E上時，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段EF和

8又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明.

一十三.條形統(tǒng)計圖（共2小題）

20.（2022?黑龍江）為進(jìn)一步開展“睡眠管理”工作，某校對部分學(xué)生的睡眠情況進(jìn)行了問

卷調(diào)查.設(shè)每名學(xué)生平均每天的睡眠時間為x小時，其中的分組情況是：

A組：x<8.5

B組：8.5Wx<9

C組：9Wx<9.5

。組：9.5WxV10

E組：Q10

根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題:

（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，求。組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；

（4）若該校有1500名學(xué)生，請估計該校睡眠時間不足9小時的學(xué)生有多少人？

21.（2021?黑龍江）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某中學(xué)開展“學(xué)史明理、學(xué)史增信、

學(xué)史崇德、學(xué)史力行”知識競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績分成A、B、C、。、E五個

等級進(jìn)行統(tǒng)計，并繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題:

抽樣成績條形統(tǒng)計圖抽樣成績扇形統(tǒng)計圖

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，求8等級所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；

（4）若該校有1200名學(xué)生參加此次競賽，估計這次競賽成績?yōu)锳和8等級的學(xué)生共有

多少名？

參考答案與試題解析

一.分式的化簡求值（共3小題）

a2-2a.])

1.（2022?黑龍江）先化簡，再求值：（小紇L,其中〃=2cos30°+1.

21

a-1a+1

a2-2a_])=2a-l

【解答】解：（

21

a-1a+1

2n21

a-2aa-12a-l

、A二,

a2-la2-l

l-2axa+1

(a+1)(a-1)2a-l

1

當(dāng)iz=2cos30°+1=2X①+1=?+1時,

2

原式=1=-返

1-V3-13

22

2.（2021?黑龍江）先化簡，再求值：（a」一),其中Q=2COS60。+1.

21

a+1a-1

【解答】解：原式=三更12二」a2

a+1(a+1)(a-1)

a(a+1)(aT)

a+1a2

—a-l

—----------------9

a

當(dāng)o=2cos600+1=2義工+1=2時,

2

原式=2二2=工

22

22

3.（2021?黑龍江）先化簡，再求值:(q-——)4--2—,其中々=2tan450+1.

21

a+1a-1

222

【解答】解：原式=afa-a..a

21

a+1a-1

a.(a+1)(a-l)

a+1a2

-_.-a---l-，

a

當(dāng)a=2tan45°+1=2義1+1=3時，原式=3二1=2.

33

二.二元一次方程組的應(yīng)用（共1小題）

4.（2022?黑龍江）學(xué)校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩.已知購進(jìn)10根A

種跳繩和5根8種跳繩共需175元：購進(jìn)15根4種跳繩和10根B種跳繩共需300元.

（1）求購進(jìn)一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？

（2）設(shè)購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于

548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？

（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？

【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)一根A種跳繩需x元，購進(jìn)一根8種跳繩需y元，

10x+5y=175

依題意得:

ll5x+10y=300

解得：（X=1°.

ly=15

答：購進(jìn)一根4種跳繩需10元，購進(jìn)一根B種跳繩需15元.

（2）???該班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，且購買A種跳繩,"根，

購買B種跳繩（45-〃?）根.

依題意得：P°m+15（45-m）＜560,

110m+15（45-m）＞548

解得:23WmW25.4,

又；機(jī)為整數(shù)，

.?.加可以取23,24,25,

共有3種購買方案，

方案1：購買23根4種跳繩，22根8種跳繩；

方案2：購買24根A種跳繩，21根8種跳繩：

方案3：購買25根A種跳繩，20根8種跳繩.

（3）設(shè)購買跳繩所需總費用為卬元，則w=10〃?+15（45-m）=-5〃?+675.

5＜0,

二卬隨m的增大而減小，

當(dāng)m=25時，w取得最小值,最小值=-5X25+675=500.

答：在（2）的條件下，購買方案3需要的總費用最少，最少費用是500元.

三.一元一次不等式組的應(yīng)用（共2小題）

5.（2021?黑龍江）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，

某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具.已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1

件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元.

（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？

（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進(jìn)甲、乙兩農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又

不超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具,"件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資

金最少，最少資金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于國家對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件甲種農(nóng)機(jī)具降價0.7

萬元，每件乙種農(nóng)機(jī)具降價0.2萬元，該糧食生產(chǎn)基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購

買甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具（可以只購買一種）請直接寫出再次購買農(nóng)機(jī)具的方案有哪幾種？

【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具x萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具y萬元.

根據(jù)題意得：產(chǎn)刊=3.5,

Ix+3y=3

解得：卜j5,

1y=0.5

答：購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具1.5萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具0.5萬元.

（2）設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具機(jī)件，購進(jìn)乙種農(nóng)機(jī)具（10-,"）件，

根據(jù)題意得：［L5m+0.58,

11.5m+0.5（10-m）<12

解得:4.8WZ7.

???加為整數(shù).

二加可取5、6、7.

...有三種方案：

方案一：購買甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件.

方案二：購買甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件.

方案三：購買甲種農(nóng)機(jī)具7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件.

設(shè)總資金為w萬元.

卬=1.5m+0.5（10-/n）=m+5.

???攵=1>0,

w隨著m的減少而減少，

二.加=5時，w最小=1X5+5=10（萬元）.

?,?方案一需要資金最少，最少資金是10萬元.

（3）設(shè)節(jié)省的資金用于再次購買甲種農(nóng)機(jī)具。件，乙種農(nóng)機(jī)具b件，

由題意得：（1.5-0.7）a+（0.5-0.2）6=0.7義5+0.2X5,

其整數(shù)解：或卜=3,

lb=15lb=7

節(jié)省的資金全部用于再次購買農(nóng)機(jī)具的方案有兩種：

方案一：購買甲種農(nóng)機(jī)具0件，乙種農(nóng)機(jī)具15件.

方案二：購買甲種農(nóng)機(jī)具3件，乙種農(nóng)機(jī)具7件.

6.（2021?黑龍江）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，

某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具，已知購進(jìn)2件甲種農(nóng)機(jī)具和1

件乙種農(nóng)機(jī)具共需3.5萬元，購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和3件乙種農(nóng)機(jī)具共需3萬元.

（1）求購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具和1件乙種農(nóng)機(jī)具各需多少萬元？

（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進(jìn)甲、乙兩種農(nóng)機(jī)具共10件，且投入資金不少于9.8萬元

又不超過12萬元，設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具機(jī)件，則有哪幾種購買方案？

（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？

【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需要x萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具需要y萬元，

依題意得：儼~3.5.

Ix+3y=3

解得：卜=L5.

Iy=0.5

答：購進(jìn)1件甲種農(nóng)機(jī)具需要1.5萬元，1件乙種農(nóng)機(jī)具需要0.5萬元.

（2）設(shè)購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具機(jī)件，則購進(jìn)乙種農(nóng)機(jī)具（10-機(jī)）件，

依題意得：［L5m+0?5（10-m）＞9.8,

11.5m+0.5（10-m）＜12

解得:4.8W，"W7,

又???，”為整數(shù)，

，機(jī)可以取5,6,7,

共有3種購買方案，

方案1：購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具5件，乙種農(nóng)機(jī)具5件；

方案2：購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具6件，乙種農(nóng)機(jī)具4件；

方案3：購進(jìn)甲種農(nóng)機(jī)具7件，乙種農(nóng)機(jī)具3件.

（3）方案1所需資金為1.5X5+0.5X5=10（萬元）；

方案2所需資金為1.5X6+0.5X4=11（萬元）；

方案3所需資金為1.5X7+0.5X3=12(萬元).

V1O<11<12,

...購買方案1所需資金最少，最少資金是10萬元.

四.一次函數(shù)的應(yīng)用(共3小題)

7.(2022?黑龍江)為抗擊疫情，支援8市，A市某蔬菜公司緊急調(diào)運兩車蔬菜運往8市.甲、

乙兩輛貨車從A市出發(fā)前往B市，乙車行駛途中發(fā)生故障原地維修，此時甲車剛好到達(dá)

B市.甲車卸載蔬菜后立即原路原速返回接應(yīng)乙車，把乙車的蔬菜裝上甲車后立即原路

原速又運往8市.乙車維修完畢后立即返回A市.兩車離A市的距離y(km)與乙車所

用時間x(〃)之間的函數(shù)圖象如圖所示.

(1)甲車速度是100km/h,乙車出發(fā)時速度是60kmlh：

(2)求乙車返回過程中，乙車離A市的距離了(如?)與乙車所用時間x")的函數(shù)解析

式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(3)乙車出發(fā)多少小時，兩車之間的距離是120h〃？請直接寫出答案.

甲車的速度為：500+5=100Ckm/h),

乙車出發(fā)時速度是：300+5=60(km/h),

故答案為：100,60；

(2)乙車返回過程中，設(shè)乙車離A市的距離y(m)與乙車所用時間x的函數(shù)解析

式是y=kx+b,

?.?點(9,300),(12,0)在該函數(shù)圖象上，

.(9k+b=300j

'I12k+b=0'

解得尸100,

lb=1200

即乙車返回過程中，乙車離A市的距離y(km)與乙車所用時間x(〃)的函數(shù)解析式是

y=-100^+1200；

(3)設(shè)乙車出發(fā)〃?小時，兩車之間的距離是120切?，

當(dāng)0<〃?<5時，

100/n-60”?=120,

解得m=3；

當(dāng)5.5</?<8時，

100(77?-5.5)+120+300=500,

解得m=6.3；

當(dāng)9〈機(jī)<12時，

乙車返回的速度為：3004-(12-9)=100(km/h),

(100+100)X(/?-9)=120,

解得〃?=9.6；

答：乙車出發(fā)3小時或6.3小時或9.6小時，兩車之間的距離是120班.

8.(2021?黑龍江)已知A、B兩地相距240M?,一輛貨車從A前往B地，途中因裝載貨物

停留一段時間.一輛轎車沿同一條公路從B地前往4地，到達(dá)A地后(在A地停留時間

不計)立即原路原速返回.如圖是兩車距8地的距離y(km)與貨車行駛時間x(〃)之

間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)圖中機(jī)的值是5；轎車的速度是⑵km/h；

(2)求貨車從A地前往8地的過程中，貨車距8地的距離)，(km)與行駛時間x

之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)直接寫出轎車從8地到A地行駛過程中，轎車出發(fā)多長時間與貨車相距12fon?

轎車的速度為：2404-2=120(km/h')；

故答案為：5；120；

(2)①設(shè)歷(心#0)(0Wx<2.5),

?.?圖象經(jīng)過點M(0,240)和點N(2.5,75),

bi=240

2.5k?+b1=75

b1二240

解得W

kp-66

-66/+240(0W/V2.5),

yNC=15(2.5Wx<3.5)；

yGH=k2x+bi(QWO)(3.5WxW5),

?.?圖象經(jīng)過點G(3.5,75)和點”(5,0),

+

5k2b2=0

+=

3.5k2b275

k=-50

解得12

b2=250

??yGH=~50x+250,

'-66x+240(0<x<2.5)

?*.y=75(2.5<x<3.5)

-50x+250(3.5<x<5)

(3)貨車從A前往8地的速度為：(240-75)+2.5=66(km/h),

設(shè)轎車出發(fā)a小時與貨車相距12km,

根據(jù)題意，得66(1+a)+120a=240+12或66(1+a)+120a=240-12,

解得a=1或a=—,

31

答：轎車從8地到A地行駛過程中，轎車出發(fā)1小時或空■小時與貨車相距12b”.

31

9.(2021?黑龍江)一輛貨車從甲地到乙地，一輛轎車從乙地到甲地，兩車沿同一條公路分

別從甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速行駛.已知轎車比貨車每小時多行駛20如1.兩車相遇后

休息一段時間，再同時繼續(xù)行駛.兩車之間的距離y(km)與貨車行駛時間x")之間

的函數(shù)圖象如圖所示的折線AB-BC-CQ-OE,結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)甲、乙兩地之間的距離是180km-.

(2)求兩車的速度分別是多少km/h'!

(3)求線段CC的函數(shù)關(guān)系式.直接寫出貨車出發(fā)多長時間，與轎車相距20加？

【解答】解：(1)由函數(shù)圖象得，甲、乙兩地之間的距離是180bw,

故答案為：180；

(2)設(shè)貨車的速度為x千米/小時，則轎車的速度為(x+20)千米/小時，根據(jù)題意，得:

x+(x+20)—180,

解得x=80,

答：貨車的速度為80千米/小時，轎車的速度為100千米〃J、時;

(3)設(shè)點。的橫坐標(biāo)為x,則：

80(x-1.5)+100(x-1.5)=144,

解得x=2.3,

故點。的坐標(biāo)為(2.3,144),

設(shè)線段CO的函數(shù)關(guān)系式為〉=丘+6(AW0),則：

(1.5k+b=0,

12.3k+b=144，

解得(k=180,

lb=-270

；.y=180x-270；

當(dāng)180x-270=20時，解得x=21；

18

設(shè)A8的解析式為〃(加W0),貝(I：

(n=180

lmtn=0

解得件T80,

ln=180

二線段AB的解析式為：7=-180x+180,

當(dāng)-180x+180=20時，解得工=區(qū),

9

.?.貨車出發(fā)3小時或29小時，與轎車相距20&〃？

918

五.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式(共1小題)

10.(2022?黑龍江)如圖，拋物線y=^+bx+c經(jīng)過點4(-1,0),點8(2,-3),與y

軸交于點C,拋物線的頂點為D

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點P,使aPBC的面積是△BCC面積的4倍，若存在，請直接寫

出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(D:拋物線y=，+bx+c經(jīng)過點A(-1,0),點8(2,-3),

.(l-b+c=0

14+2b+c=_3

解得b=-2,c=-3>

拋物線的解析式：y=？-2x-3；

(2)存在，理由如下：

?.?y=7-2x-3=(x-1)2-4,

二。點坐標(biāo)為(1,4),

令x=0,貝!Jy=?-2x-3=-3,

；.C點坐標(biāo)為(0,-3),

又點坐標(biāo)為(2,-3),

：.BC//x^,

SABCD=—X2X1=1,

2

設(shè)拋物線上的點P坐標(biāo)為Cm,nr-2m-3),

2

?'?SA/>BC=—X2X|W-2m-3-(-3)|=|W-2m\,

2

當(dāng)怵2-2匐=4)1時，

解得WJ=1±A/5>

當(dāng)時，m2-2m-3=

當(dāng)m=1-時，m2-2m-3=I>

綜上，P點坐標(biāo)為(1+收，1)或(1-依，1).

六.拋物線與x軸的交點（共1小題）

11.(2021?黑龍江)如圖，拋物線了=辦2+笈+3(“W0)與x軸交于點A(1,0)和點B(-

3,0),與y軸交于點C,連接BC,與拋物線的對稱軸交于點E,頂點為點。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求△BOC的面積.

【解答】解：(1)..?拋物線、=/+隊+3(“W0)與x軸交于點A(1,0)和點B(-3,

0),

.[a+b+3=0

19a~3b+3=0

解得卜=總，

1b=_2

二拋物線的解析式為y=-x2-2r+3；

(2)由(1)知，y=-7-2%+3,

點C的坐標(biāo)為(0,3),

：.OC=3,

???點8的坐標(biāo)為(-3,0),

；.OB=3,

VZB0C=9Q°,

△BOC的面積是°B'0C=3X3=9

222

七.二次函數(shù)綜合題(共1小題)

12.(2021?黑龍江)如圖，拋物線＞=??+公+3QW0)與x軸交于點A(1,0)和點8(-

3,0),與y軸交于點C,連接BC,與拋物線的對稱軸交于點E,頂點為點D

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一個動點，點Q在射線EO上，若以點P、Q、E為

頂點的三角形與△80C相似，請直接寫出點P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)：拋物線y=a/+樂+3過點A(1,0),8(-3,0),

.(a+b+3=0

I9a~3b+3=0

解得卜=T,

Ib=_2

...拋物線的解析式為：y=---2x+3；

(2)令%=0,y=3,

：.OC=OB=3,即△OBC是等腰直角三角形，

?.?拋物線的解析式為：y=-2x+3,

二拋物線對稱軸為：x=-1,

?.,EN〃)，軸，

：.4BENsLBC0,

???B-N-z：--E-N-1

BOCO

???2~ENf

33

:.EN=2,

①若MQESAOBC,如圖所示，過點P作PHLED垂足為H,

；?/PEH=45。,

:?NPHE=90°,

：?NHPE=NPEH=45°,

:.PH=HE,

???設(shè)點P坐標(biāo)(x,-x-1+2),

，代入關(guān)系式得，-x-1+2=-x2-2x+3,

整理得，f+x-2=0,

解得，xi=-2,切=1（舍）,

.?.點P坐標(biāo)為（-2,3）,

②若AEPQSAOCB,如圖所示，

設(shè)P（x,2）,

代入關(guān)系式得，2=-x2-2%+3,

整理得，7+2%-1=0,

解得，X[=-l-&,乂2=-1+五（舍），

點P的坐標(biāo)為（-1-2）,

綜上所述點P的坐標(biāo)為（-1-J5，2）或（-2,3）.

八.全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

13.（2022?黑龍江）ZVIBC和△AOE都是等邊三角形.

（1）將△/!￡>￡繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接3。，CE并延長相交于點P（點P與

點A重合），WPA+PB=PC（或必+PC=P8）成立（不需證明）；

（2）將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接8。，CE相交于點尸，連接孫，猜想

線段加、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

（3）將△AOE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD,CE相交于點P,連接鬼,猜想

線段以、/?、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明.

【解答】解：（2）PB=PA+PC,理由如下:

如圖②，在8P上截取BF=PC,連接AF,

圖②

「△ABC、△4￡>￡都是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAC+ZCAD^ZCAD+ZDAE,

即/D4B=/EAC,

：./\ABD^^ACE(SAS),

NABD=NACE,

"：AB=AC,BF=CP,

.?.△BAF也△CAP(SAS),

：.AF=AP,NBAF=NCAP,

以尸=90°,

...△4FP是等邊三角形，

：.PF=PA,

：.PB=BF+PF=PC+PA-,

(3)PC=PA+PB,理由如下：

如圖③，在PC上截取連接AM,

同理得：△ABO絲△ACE(S4S),

：.ZABD^ZACE,

'：AB=AC,PB=CM,

：./\AMC^/\APB(SAS),

：.AM=AP,NBAP=NCAM,

：.ZBAC=ZfAM=60°,

」.△AMP是等邊三角形，

：.PM=PA,

：.PC=PM+CM=PA+PB.

九.四邊形綜合題(共2小題)

14.(2022?黑龍江)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABC。的邊AB在x軸上，頂

點。在y軸的正半軸上，M為8c的中點，OA、OB的長分別是一元二次方程/-7x+12

=0的兩個根(OA<OB),tanND4B=_l,動點P從點D出發(fā)以每秒1個單位長度的速

3

度沿折線。C-CB向點8運動，到達(dá)8點停止.設(shè)運動時間為f秒，AAPC的面積為S.

(1)求點C的坐標(biāo)；

(2)求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量，的取值范圍；

(3)在點P的運動過程中，是否存在點P,使是等腰三角形？若存在，請直接

寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解得：xi=3,X2=4,

?：OA<OB,

???O4=3,08=4,

VtanZL>AB=P5.=A,

OA3

：.OD=4,

：四邊形ABCD是平行四邊形,

，Z）C=AB=3+4=7,DC//AB,

.,./O￡>C=/AOC=90°,

點C的坐標(biāo)為（7,4）；

(2)：①當(dāng)0WfW7時，

由題意得：PC=7-t,

...△APC的面積為5=2/>。。。=工(7-r)X4=14-2z；

22

②當(dāng)7<fW12時，過點A作AFLBC交CB的延長線于點F,

：AO=VOA2OD2=VS2+42=5'四邊形ABC。是平行四邊形,

：.BC=AD=5,

\"S^ABC=—AB-OD^1.CB'AF,

22

：.AB-OD=CB'AF,

，7X4=5AF,

：.AF=23-,

5

.?.△APC的面積為(r-7)X28=11/-

22555

，14-2t(0<t<7)

s=

綜上，\1498,J/、；

bb

(3)?.?8C=A￡>=5,M為8c的中點，C(7,4),B(4,0),

：.CM=^-,M(11,2),

22

：(7"=且

2

，CM=CP=$,

2

,:CD=1,

，OP=7-2=a,

22

...點P的坐標(biāo)為(9,4)；

2

②當(dāng)CM=MP時，過點M作ME_LC￡＞于E,

'：M(H,2),C(7,4),

2

：.E(11,4),CE=7-11=J.,

222

：.PE=CE=3.,

2

：.DP=DE-PE=-11-2=4,

22

點尸的坐標(biāo)為(4,4)；

③當(dāng)CP=MP時，過點P作PF1.BC于F,

，MF=CF=」CM=旦

24

四邊形ABCD是平行四邊形,

NBCD=ZDAB,

"

..cosZBCD=cosZD/lB=P^.=^.,

AD5

_5

?CF3pn43

PC5PC5

.?.PC=空，

12

.?.點P的坐標(biāo)為（至9,4）；

12

綜上，點尸的坐標(biāo)為（4,4）或（9,4）或（型，4）.

212

15.（2021?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△408的邊04在x軸上，0A=4B,且

線段04的長是方程，-4x7=0的根，過點8作BELc軸，垂足為E,tanN班E=4,

3

動點M以每秒1個單位長度的速度，從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，到達(dá)點B停

止.過點M作x軸的垂線，垂足為。，以MZ）為邊作正方形MDCF,點C在線段OA上,

設(shè)正方形MDC尸與△AOB重疊部分的面積為S,點M的運動時間為f（f>0）秒.

（1）求點B的坐標(biāo)；

（2）求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量，的取值范圍；

（3）當(dāng)點F落在線段0B上時，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點P,使以M、A、。、P為頂點

的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)由7-4x-5=0,解得x=5或-1,

VOA是方程的根，

；.0A=5,

.?.A8=OA=5,

在RtZ\ABE中，tan/8AE=^=冬，AB=5,

AE3

：.BE=4,AE=3,

：.OE=OA+AE=5+3=8,

：.B(8,4).

(2)如圖1中，當(dāng)點F落在08上時，AM=f,DM^h.AO=3f,

55

圖1

\'FM//OA,

.FM=?_

"OABA'

4

.虧t_5-t

55

???=t25?

9

如圖2中，當(dāng)0<rW至?xí)r，重疊部分是四邊形ACFM,S=A<AC+FM).DM=A<Ar+A

92255

-3)?生=2尸.

555

圖2

如圖3中，當(dāng)時，重疊部分是五邊形ACHGM,S=S^ACFM-S^FGH=^J1-1

952

圖3

(O<t(告)

y

綜上所述,

(等<t(5)

y

:點下落在08上時，r=2殳,

9

?.?￡>M=FM=型，A￡>=$,AC=S,

939

:.PF=PM-FM=5-圓=空，0C=5-5=也，

9999

：.F（4型），M（空，型）.

9939

：.P（A,型），p"（-旦，-型），P'（越，致）.

393939

一-h軌跡（共1小題）

16.（2022?黑龍江）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平

面直角坐標(biāo)系中，ZXABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1,-1）,8（2,-5）,C