中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練（選擇題）：銳角三角函數(shù)（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：銳角三角函數(shù)（10題）一．選擇題（共10小題）1．（2021?濟(jì)南）無(wú)人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測(cè)．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無(wú)人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，在距地面高度為135m的A處測(cè)得試驗(yàn)田右側(cè)邊界N處俯角為43°，無(wú)人機(jī)垂直下降40m至B處，又測(cè)得試驗(yàn)田左側(cè)邊界M處俯角為35°，則M，N之間的距離為（）（參考數(shù)據(jù)：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù)）A．188m B．269m C．286m D．312m2．（2021?煙臺(tái)）如圖所示，若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下：按鍵的結(jié)果為m；按鍵的結(jié)果為n；按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k3．（2021?甘肅模擬）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，則tanB的值為（）A．2 B．1 C． D．4．（2021?南崗區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝，tanC＝2，則AB的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．5．（2021?泗水縣二模）如圖，AB是斜靠在墻上的長(zhǎng)梯，AB與地面夾角為α，當(dāng)梯頂A下滑2m到A′時(shí)，梯腳B滑到B′，A'B'與地面的夾角為β，若tanα＝，BB′＝2m，則cosβ＝（）A． B． C． D．6．（2021?德州）某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把坡角由37°減至30°，已知原樓梯長(zhǎng)為5米，調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)（）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米 B．3米 C．2米 D．1米7．（2021?日照）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔AB的高度，他從古塔底部點(diǎn)B處前行30m到達(dá)斜坡CE的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡CE前行20m到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古塔AB的高度是（）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m8．（2021?濰坊）如圖，一束水平光線照在有一定傾斜角度的平面鏡上，若入射光線與出射光線的夾角為60°，則平面鏡的垂線與水平地面的夾角α的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°9．（2021?溫州校級(jí)模擬）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體木箱沿斜面滑至如圖位置時(shí)，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角為α，則木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度表示為（）m．A．+2sinα B．2cosα+sinα C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα10．（2021?淄博）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（）A． B． C． D．

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：銳角三角函數(shù)（10題）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2021?濟(jì)南）無(wú)人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測(cè)．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無(wú)人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，在距地面高度為135m的A處測(cè)得試驗(yàn)田右側(cè)邊界N處俯角為43°，無(wú)人機(jī)垂直下降40m至B處，又測(cè)得試驗(yàn)田左側(cè)邊界M處俯角為35°，則M，N之間的距離為（）（參考數(shù)據(jù)：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù)）A．188m B．269m C．286m D．312m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【分析】首先分析圖形：根據(jù)題意得兩個(gè)直角三角形△AON、△BOM，通過(guò)解這兩個(gè)直角三角形求得OB、ON的長(zhǎng)度，進(jìn)而可解即可求出答案．【解答】解：由題意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，在Rt△AON中，tanN＝＝tan43°，∴NO＝≈150m，在Rt△BOM中，tanM＝＝tan35°，∴MO＝≈135.7m，∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286m．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．2．（2021?煙臺(tái)）如圖所示，若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下：按鍵的結(jié)果為m；按鍵的結(jié)果為n；按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【考點(diǎn)】計(jì)算器—數(shù)的開(kāi)方；計(jì)算器—三角函數(shù)．【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【分析】分別計(jì)算出m，n，k的值即可得出答案．【解答】解：m＝23﹣＝8﹣4＝4；n＝﹣22＝4﹣4＝0；k＝﹣cos60°＝﹣＝4；∴m＝k，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了計(jì)算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．3．（2021?甘肅模擬）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，則tanB的值為（）A．2 B．1 C． D．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】設(shè)AB＝k，則AC＝2k，BC＝k，根據(jù)勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義作答．【解答】解：根據(jù)題意，可設(shè)AB＝k，則AC＝2k，BC＝k，∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．∴tanB＝＝＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，根據(jù)題意，運(yùn)用勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2021?南崗區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝，tanC＝2，則AB的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】由tanC＝＝2，可設(shè)BC＝x，則AB＝2x，根據(jù)勾股定理列出方程x2+（2x）2＝（）2，求出x即可．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，∴tanC＝＝2，∴可設(shè)BC＝x，則AB＝2x，∵BC2+AB2＝AC2，∴x2+（2x）2＝（）2，∴x＝1，∴AB＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，設(shè)BC＝x，根據(jù)正切函數(shù)定義表示出AB＝2x，并且根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．5．（2021?泗水縣二模）如圖，AB是斜靠在墻上的長(zhǎng)梯，AB與地面夾角為α，當(dāng)梯頂A下滑2m到A′時(shí)，梯腳B滑到B′，A'B'與地面的夾角為β，若tanα＝，BB′＝2m，則cosβ＝（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】在Rt△ABC中，由tanα＝，可設(shè)AC＝4xm，那么BC＝3xm，根據(jù)勾股定理求出AB＝5xm，那么A′B′＝AB＝5xm．在Rt△A′B′C中，根據(jù)勾股定理列出方程（4x﹣2）2+（3x+2）2＝（5x）2，求出x＝2，然后利用余弦函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：如圖．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可設(shè)AC＝4xm，那么BC＝3xm，∴AB＝＝5xm，∴A′B′＝AB＝5x（m）．在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝（4x﹣2）m，B′C＝（3x+2）m，∴（4x﹣2）2+（3x+2）2＝（5x）2，解得：x＝2，∴A′C＝6m，B′C＝8m，A′B′＝10m，∴cosβ＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．6．（2021?德州）某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把坡角由37°減至30°，已知原樓梯長(zhǎng)為5米，調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)（）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米 B．3米 C．2米 D．1米【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【分析】根據(jù)正弦的定義求出BD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，則BD＝AB?sin∠BAD≈5×＝3（米），在Rt△BCD中，∠C＝30°，∴BC＝2BD＝6（米），則調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)：6﹣5＝1（米），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2021?日照）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔AB的高度，他從古塔底部點(diǎn)B處前行30m到達(dá)斜坡CE的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡CE前行20m到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古塔AB的高度是（）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．【分析】過(guò)D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，得到DH＝BF，BH＝DF，設(shè)DF＝xm，CF＝xm，根據(jù)勾股定理得到CD＝＝2x＝20（m），求得BH＝DF＝10m，CF＝10m，AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），于是得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴＝1：，設(shè)DF＝xm，CF＝xm，∴CD＝＝2x＝20m，∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（10+30）m，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，解直角三角形的應(yīng)用﹣坡角坡度問(wèn)題，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2021?濰坊）如圖，一束水平光線照在有一定傾斜角度的平面鏡上，若入射光線與出射光線的夾角為60°，則平面鏡的垂線與水平地面的夾角α的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】作CD⊥平面鏡，垂足為G，根據(jù)EF⊥平面鏡，可得CD∥EF，根據(jù)水平線與地面所在直線平行，進(jìn)而可得夾角α的度數(shù)．【解答】解：如圖，作CD⊥平面鏡，垂足為G，交地面于D．∵EF⊥平面鏡，∴CD∥EF，∴∠CDH＝∠EFH＝α，根據(jù)題意可知：AG∥DF，∴∠AGC＝∠CDH＝α，∴∠AGC＝α，∵∠AGC＝AGB＝×60°＝30°，∴α＝30°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了入射角等于反射角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是法線CG平分∠AGB．9．（2021?溫州校級(jí)模擬）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體木箱沿斜面滑至如圖位置時(shí)，AB＝2m，木箱高BE＝1m，斜面坡角為α，則木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度表示為（）m．A．+2sinα B．2cosα+sinα C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．【分析】過(guò)E作EN⊥AC于N，交AB于M，過(guò)B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，由銳角三角函數(shù)定義分別求出BG、EH，即可求解．【解答】解：過(guò)E作EN⊥AC于N，交AB于M，過(guò)B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如圖所示：則四邊形BHNG是矩形，∴HN＝BG，在Rt△ABG中，∠BAG＝α，sin∠BAG＝，∴BG＝AB?sin∠BAG＝2sinα（m），∴HN＝2sinα（m），∵∠EBM＝∠ANM＝90°，∠BME＝∠AMN，∴∠BEM＝∠MAN＝α，在Rt△EHB中，∠BEM＝α，BE＝1m，∵oos∠BEM＝，∴EH＝BE?cos∠BEM＝1×cosα＝cosα（m），∴EN＝EH+HN＝（cosα+2sinα）m，即木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度為（cosα+2sinα）m，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．10．（2021?淄博）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的面積；直角三角形斜邊上的中線；解直角三角形．【專(zhuān)題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得CE＝AE＝BE＝AB，進(jìn)而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，從而有∠CEF＝∠CBF，根據(jù)三角形的面積公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出CF，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．【解答】解：連接BF，∵CE是斜邊AB上的中線，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分線，∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，∴S△AFB＝10＝AF?BC，∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF＝＝3，∵CE＝AE＝BE＝AB，∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．計(jì)算器—數(shù)的開(kāi)方正數(shù)a的算術(shù)平方根a與被開(kāi)方數(shù)a的變化規(guī)律是：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)每向左或向右平移2位時(shí)，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)也相應(yīng)向左或向右平移1位，即a每擴(kuò)大（或縮?。?00倍，a相應(yīng)擴(kuò)大（或縮?。?0倍．2．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．3．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來(lái)判定直角三角形．4．計(jì)算器—三角函數(shù)（1）用計(jì)算器可以求出任意銳角的三角函數(shù)值，也可以根據(jù)三角函數(shù)值求出銳角的度數(shù)．（2）求銳角三角函數(shù)值的方法：如求tan46°35′的值時(shí)，先按鍵“tan”，再輸入角的度數(shù)46°35′，按鍵“＝”即可得到結(jié)果．注意：不同型號(hào)的計(jì)算器使用方法不同．（3）已知銳角三角函數(shù)值求銳