專題16 函數(shù)幾何問(wèn)題（精講）-2019年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破全攻略（解析版）

【課標(biāo)解讀】 函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題最大的特點(diǎn)就是“數(shù)”與“形”相互結(jié)合、相互滲透，中考?jí)狠S題中函數(shù)之二次函數(shù)的幾何應(yīng)用問(wèn)題，主要是解答題，常見問(wèn)題有以三角形為背景問(wèn)題，以四邊形為背景問(wèn)題和以圓為背景問(wèn)題三類。有關(guān)二次函數(shù)中的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題在以后的專題中闡述。【解題策略】從函數(shù)性質(zhì)入手→探索函數(shù)與其它的關(guān)系→綜合應(yīng)用→解決相關(guān)問(wèn)題→得出結(jié)論【考點(diǎn)深剖】★考點(diǎn)一以三角形為背景的函數(shù)綜合題【典例1】（2018?山東棗莊?10分）如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），連接AB、AC．（1）請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達(dá)式；（2）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；（4）如圖2，若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過(guò)M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求得MD=（n+2），然后根據(jù)S△AMN=S△ABN﹣S△BMN得出關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，4），與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（8，0），∴，解得．∴拋物線表達(dá)式：y=﹣x2+x+4；（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（﹣8，0），②以C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分線，交x軸于N，此時(shí)N的坐標(biāo)為（3，0），綜上，若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如圖，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則BN=n+2，過(guò)M點(diǎn)作MD⊥x軸于點(diǎn)D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵M(jìn)N∥AC∴=，∴=，∴當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．學(xué)科&網(wǎng)★考點(diǎn)二以四邊形為背景的函數(shù)綜合題【典例2】（2018·山東威?！?2分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），線段BC的中垂線與對(duì)稱軸l交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)E，對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)H．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，⊙P與直線BC相切于點(diǎn)Q，與直線DE相切于點(diǎn)R．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）點(diǎn)M為x軸上方拋物線上的點(diǎn)，在對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)D，P，M．N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，則直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0）∴設(shè)拋物線表達(dá)式為：y=a（x+4）（x﹣2）把C（0，4）帶入得4=a（0+4）（0﹣2）∴a=﹣∴拋物線表達(dá)式為：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4（2）由（1）拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣=﹣1∵線段BC的中垂線與對(duì)稱軸l交于點(diǎn)D∴點(diǎn)D在對(duì)稱軸上設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，m）過(guò)點(diǎn)C做CG⊥l于G，連DC，DB∴DC=DB在Rt△DCG和Rt△DBH中∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2解得：m=1∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，1）設(shè)⊙P的半徑為r，⊙P與直線BC和EF都相切如圖：①當(dāng)圓心P1在直線BC左側(cè)時(shí)，連P1Q1，P1R1，則P1Q1=P1R1=r1∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°∴四邊形P1Q1ER1是正方形∴ER1=P1Q1=r1②同理，當(dāng)圓心P2在直線BC右側(cè)時(shí)，可求r2=，OP2=7∴P2坐標(biāo)為（7，0）∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（7，0）（4）存在當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）時(shí)，①若DN和MP為平行四邊形對(duì)邊，則有DN=MP當(dāng)x=時(shí)，y=﹣∴DN=MP=∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣1，）②若MN、DP為平行四邊形對(duì)邊時(shí)，M、P點(diǎn)到ND距離相等則點(diǎn)M橫坐標(biāo)為﹣則M縱坐標(biāo)為﹣由平行四邊形中心對(duì)稱性可知，點(diǎn)M到N的垂直距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)D的垂直距離當(dāng)點(diǎn)N在D點(diǎn)上方時(shí)，點(diǎn)N縱坐標(biāo)為此時(shí)點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣1，）當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣1，﹣）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（7，0）時(shí)，所求N點(diǎn)不存在．故答案為：（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）。學(xué)科&網(wǎng)★考點(diǎn)三以相似三角形為背景的函數(shù)綜合題【典例3】（2018·湖南省常德·10分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)O（0，0）．A（8，4），與x軸交于另一點(diǎn)B，且對(duì)稱軸是直線x=3．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若M是OB上的一點(diǎn)，作MN∥AB交OA于N，當(dāng)△ANM面積最大時(shí)，求M的坐標(biāo)；（3）P是x軸上的點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過(guò)A作AC⊥x軸于C，當(dāng)以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）設(shè)Q（m，m2﹣m），根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)=時(shí)，△PQO∽△COA，則|m2﹣m|=2|m|；當(dāng)=時(shí)，△PQO∽△CAO，則|m2﹣m|=|m|，然后分別解關(guān)于m的絕對(duì)值方程可得到對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線x=3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=，∴拋物線解析式為y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，∴直線MN的解析式為y=2x﹣2t，解方程組得，則N（t，t），∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM=?4?t﹣?t?t=﹣t2+2t=﹣（t﹣3）2+3，當(dāng)t=3時(shí)，S△AMN有最大值3，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；（3）設(shè)Q（m，m2﹣m），∵∠OPQ=∠ACO，∴當(dāng)=時(shí)，△PQO∽△COA，即=，∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（14，28）；解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，4）；★考點(diǎn)四以圓為背景的函數(shù)綜合題【典例4】（2018·浙江寧波·14分）如圖1，直線l：y=﹣x+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（0＜AC＜）．以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作⊙A交x軸于另一點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，連結(jié)OE并延長(zhǎng)交⊙A于點(diǎn)F．（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式和tan∠BAO的值；（2）如圖2，連結(jié)CE，當(dāng)CE=EF時(shí)，①求證：△OCE∽△OEA；②求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OE?EF的最大值．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出b即可得出直線l表達(dá)式，即可求出OA，OB，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出∠CDF=2∠CDE，進(jìn)而得出∠OAE=∠ODF，即可得出結(jié)論；②設(shè)出EM=3m，AM=4m，進(jìn)而得出點(diǎn)E坐標(biāo)，即可得出OE的平方，再根據(jù)①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出結(jié)論；（3）利用面積法求出OG，進(jìn)而得出AG，HE，再構(gòu)造相似三角形，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵直線l：y=﹣x+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直線l的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO==；②過(guò)點(diǎn)E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，設(shè)EM=3m，則AM=4m，∴OM=4﹣4m，AE=5m，∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA?OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或m=，∴4﹣4m=，3m=，∴（，），連接FH，∵EH是⊙O直徑，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE?EF=HE?EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r=時(shí)，OE?EF最大值為．【講透練活】變式1：（2018?山東淄博?9分）如圖，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（1，），點(diǎn)B（3，﹣），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若P（4，m），Q（t，n）為該拋物線上的兩點(diǎn)，且n＜m，求t的取值范圍；（3）若C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B到直線OC的距離之和最大時(shí)，求∠BOC的大小及點(diǎn)C的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（1，），點(diǎn)B（3，﹣）分別代入y=ax2+bx得解得∴y=﹣（2）由（1）拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大而減小∴當(dāng)t＞4時(shí)，n＜m．（3）如圖，設(shè)拋物線交x軸于點(diǎn)F分別過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥OC于點(diǎn)D，BE⊥OC于點(diǎn)E變式2：（2018·山東泰安·11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點(diǎn)C（0，6），在y軸上有一點(diǎn)E（0，﹣2），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ADE面積的最大值；（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，表示△ADE的面積，運(yùn)用二次函數(shù)分析最值即可；（3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如圖設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×（）=，∴當(dāng)m=時(shí)，△ADE的面積取得最大值為．變式3：（2018·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)·13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）代入x=0可求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入y=0可求出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，此題得解；（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t﹣2，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣t），進(jìn)而可得出PB、QE的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式可得出S△PBQ關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論找出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m﹣4），進(jìn)而可得出MF的長(zhǎng)度，利用三角形的面積結(jié)合△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．學(xué)科&網(wǎng)（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣4．過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，如圖1所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t﹣2，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB?QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，△PBQ的面積取最大值，最大值為．（3）當(dāng)△PBQ面積最大時(shí)，t=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣1）．假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m﹣4），變式4：（2018·四川自貢·14分）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3過(guò)A（1，0）、B（﹣3，0），直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2，點(diǎn)P（m，n）是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求直線AD及拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長(zhǎng)？（3）在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)）R，使得P、Q、D、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3；當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3，即D（﹣2，﹣3）．設(shè)AD的解析式為y=kx+b，將A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得，解得，直線AD的解析式為y=x﹣1；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3），l=（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）化簡(jiǎn)，得l=﹣m2﹣m+2配方，得l=﹣（m+）2+，當(dāng)m=﹣時(shí)，l最大=；變式5：（2018年湖北省宜昌市12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OADB的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（0，4）．過(guò)點(diǎn)C（﹣6，1）的雙曲線y=（k≠0）與矩形OADB的邊BD交于點(diǎn)E．（1）填空：OA=，k=，點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)1≤t≤6時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）與點(diǎn)N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直線交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P是過(guò)M，N兩點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線y