華師一附中2024屆高三《數(shù)列》每日一題 試題含答案

華師一附中2024屆高三數(shù)學(xué)《數(shù)列每日一題》一、多選題1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，將數(shù)列和中的項(xiàng)按照從小到大的順序排列構(gòu)成新的數(shù)列，則（

）A． B．?dāng)?shù)列中與之間共有項(xiàng)C． D．2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（

）A．是等比數(shù)列B．是遞增的等差數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，的最大值為28D．，，3．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則（

）A． B．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和小于4．在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形紙片中，取邊的中點(diǎn)，在該紙片中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片，再取的中點(diǎn)，在紙片中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片，以此類推得到紙片，，……，，……，設(shè)的周長(zhǎng)為，面積為，則（

）A． B．C． D．二、填空題5．在平面上有一系列點(diǎn)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，以點(diǎn)為圓心的都與軸相切，且與外切．若，且的前項(xiàng)之和為，則．三、解答題6．已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且（表示不超過(guò)的最達(dá)整數(shù)），．(1)求；(2)令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．7．已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，，，，且是與的等差中項(xiàng)．(1)求：數(shù)列和的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)，求.(3)若對(duì)于數(shù)列、，在和之間插入個(gè)，組成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且，數(shù)列的前項(xiàng)和（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)令，若（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對(duì)任意，都有成立.9．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，滿足（）.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，證明：.10．已知數(shù)列中，，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，其中，若對(duì)任意，總有成立，求的取值范圍.華師一附中2024屆高三數(shù)學(xué)《數(shù)列每日一題》參考答案：1．ABD【分析】先根據(jù)已知條件求，的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)也滿足，所以，又因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，所以．則數(shù)列為：，所以，故選項(xiàng)A正確；數(shù)列是由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列，都是偶數(shù)，所以與之間包含的奇數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，前面相鄰的一個(gè)奇數(shù)為，令，解得，所以數(shù)列從1到共有，也即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)位于與之間，則有，解得，所以前1022項(xiàng)中包含的前10項(xiàng)，的前1012項(xiàng)，即，故D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】注重等差數(shù)列等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，強(qiáng)化計(jì)算能力.2．AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式及其性質(zhì)，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)由為定值即可判斷；對(duì)B，，根據(jù)的正負(fù)即可判斷單調(diào)性；對(duì)C，，因?yàn)?，所以即可得解；?duì)D，由結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，又，所以?對(duì)于A選項(xiàng)，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，易知，則，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，又，故是遞減的等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤.對(duì)丁C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，的最大值為29，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，，由基本不等式知，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故D正確.故選：AD.3．ACD【分析】根據(jù)“歐拉函數(shù)”的定義對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由列表分析可知，對(duì)于，“不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)”為：不超過(guò)的奇數(shù)，則，則，，所以是等比數(shù)列，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，有列表分析可知，對(duì)于，“不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)”為：從到中，除掉的倍數(shù)，則，則，，所以是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD4．ABD【分析】畫出圖形依據(jù)裁剪規(guī)律可得比多了兩條邊，少了線段，即可得到，即A正確，比少了一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形，可得，C錯(cuò)誤；再分別利用A和C中的結(jié)論，由累加法計(jì)算可得BD正確.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示規(guī)律：對(duì)于A，易知比多了兩條邊，少了線段；由，可得，故A正確；對(duì)于B，利用A中結(jié)論由累加法可得，當(dāng)時(shí)，，又，所以，顯然當(dāng)時(shí)，也符合上式，即B正確；對(duì)于C，比少了一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形，所以，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，利用B中結(jié)論由累加法可得，當(dāng)時(shí)，，又，所以，顯然當(dāng)時(shí)，也符合上式，即D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于由裁剪規(guī)律得出以及之間的遞推規(guī)律，再利用累加法由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得結(jié)果.5．【分析】根據(jù)題意可知兩相鄰圓的半徑滿足，展開且代入中可得出，由等差數(shù)列性質(zhì)可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)相消求出即可。【詳解】因?yàn)榕c外切，且都與軸相切，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，所以，所以，所以所以，故答案為：.6．(1)2(2)證明見解析【分析】（1）先推導(dǎo)可得，再累加可得，再判斷當(dāng)時(shí)，即可得；（2）推導(dǎo)可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，代入通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)，累加求和證明即可.【詳解】（1），，，．又是遞增數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，．．（2），，則有，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，．，，原不等式得證．7．(1),;(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算可得；（2）結(jié)合兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷的前項(xiàng)中兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，然后分組和錯(cuò)位相減求和可得；（3）求出的項(xiàng)數(shù)和總共有多少個(gè)2，利用分組求和可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，則，故，所以，則，由，則，又由是與的等差中項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），故，（2）由，則，則，，兩式相減得，，，則，其中①，②①-②相減可得，則所以則；（3）根據(jù)題意可得，則，故，則，故當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，所以共有項(xiàng)，共有個(gè)，則8．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)的圖象過(guò)原點(diǎn)得到，然后利用求即可；（2）由得到，然后利用錯(cuò)位相減法求；（3）由題意得，將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論.【詳解】（1）∵的圖象過(guò)原點(diǎn)，則，∴.∴.當(dāng)時(shí)，，又∵適合，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由得：（），∴，①.②②－①得：，∴.（3），故.要使恒成立，即要恒成立，即要恒成立.下面分為奇數(shù)、為偶數(shù)討論：①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立.又的最小值為1，∴.②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立.又的最大值為，∴.綜上，，又為非零整數(shù)，∴時(shí)，使得對(duì)任意，都有成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小問(wèn)的解決關(guān)鍵是分為奇數(shù)、為偶數(shù)討論，如此才能處理恒成立的問(wèn)題.9．(1)(2)證明見解析【分析】（1）時(shí)，有，變形為，可得數(shù)列為等比數(shù)列，可利用首項(xiàng)和公比求通項(xiàng)公式；（2）利用數(shù)列求和的放縮法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求最值，證明不等式.【詳解】（1）∵數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，滿足（），時(shí)，，解得.∴時(shí)，，化為，變形為，又，∴，，數(shù)列是首項(xiàng)為4公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）先證明左邊：即證明，由（1）可得：，解得，又由，解得，又，所以，再證明右邊：.∴，下面證明，即證明，設(shè)，，則，即證明，.設(shè)，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，，∴.∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)放縮法結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式證明左邊，對(duì)右邊等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.10．(1)證明詳見解析，(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義證得數(shù)列是等比數(shù)列，先求得，進(jìn)而求得.（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值，利用商比較法求得的最大值，從而列不等式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，且，所以，則，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2），依題