吉林省延邊2023年高考仿真卷數(shù)學試題含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

/02°+3/

1.若2=*5——,貝！h的虛部是（）

1+z

A.iB.2iC.-1D.1

2.公比為2的等比數(shù)列｛叫中存在兩項金，%,滿足％4=32公，則工+3的最小值為（）

mn

95413

A.-B?—C.-D.—

73310

3.記等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前〃項和為S”.若幾=40,4=5,則（）

A.4=3B.%0=12C.§20=280D.%=-4

22

4.若雙曲線二—二=1（。>00>0）的漸近線與圓（X-2）2+V=1相切，則雙曲線的離心率為（）

crb~

A）RGr2百rr

23

5.已知片，乃是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的-一個公共點，且/片設橢圓和雙曲線的離心率分

別為e、，％則6],e2的關系為（）

314212,

—+一=4B.y+y=4

eje；

13

C.~~2~^—7=4D.e,+3%=4

qs

4i442r91

6.已知AA3C的內角的對邊分別是且巴士=^=2,2,若c為最大邊，則?的取值范圍

a2+b2c

是（）

7.已知各項都為正的等差數(shù)列{4}中，生+/+%=15,若4+2,%+4,4+16成等比數(shù)列，則4。=()

A.19B.20C.21D.22

8.在直三棱柱ABC-44G中，己知AB_L8C,45=BC=2,CC、=2叵,則異面直線AQ與44所成的角

為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

y>x

9.已知x,)，滿足,x+y?2,且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則。的值是()

x>a

10.在空間直角坐標系。-肛z中，四面體。鉆。各頂點坐標分別為:

O(O,O,O),A(O,O,2),B(|0,O,O1,C(O,|6,O].假設螞蟻窩在0點，一只螞蟻從O點出發(fā)，需要在AB,AC1.

分別任意選擇一點留下信息，然后再返回。點.那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是()

A.272B.J"-01C.75+01D.2G

11.已知函數(shù)/1(>)=￥”.下列命題：①函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱；②函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；③當x時,

x+12

函數(shù)/(x)取最大值；④函數(shù)的圖象與函數(shù)y=」的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是()

X

A.①④B.②③C.①?@D.①②④

12.高斯是德國著名的數(shù)學家,近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設xeR,

用[可表示不超過x的最大整數(shù)，則y=3稱為高斯函數(shù)，例如：[T).5]=-l,[1.5]=1,已知函數(shù)

/(X)=4'T_3.2'+4(0<X<2),則函數(shù)y=[/(x)]的值域為()

A.B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

人21,,

13.已知x>0,y>0,且一+—=1,若x+2y>+2〃z怛成立，則實數(shù)加的取值范圍是____.

xy

14.高三(1)班共有56人，學號依次為1,2,3,…，56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學

號為6,34,48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為.

15.春天即將來臨，某學校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活動.已知某種盆栽植物每株成

活的概率為P,各株是否成活相互獨立.該學校的某班隨機領養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設X為其中成活的株數(shù)，若X

的方差DX=2.1,P(X=3)<P(X=7),則〃=.

16.在三棱錐P-A8C中，AB=5,3C=3,C4=4,三個側面與底面所成的角均為60°,三棱錐的內切球的表面

積為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知點P(0,l),直線y=x+r(r<0)與拋物線y2=2x交于不同兩點A、B,直線Q4、PB與拋物線

的另一交點分別為兩點C、D,連接C￡>,點P關于直線8的對稱點為點。，連接A。、BQ.

(1)證明：AB//CD,

(2)若AQAB的面積S21一八求/的取值范圍.

18.(12分)如圖，已知橢圓E的右焦點為鳥。,0),P,。為橢圓上的兩個動點，APQF?周長的最大值為8.

(I)求橢圓E的標準方程；

(II)直線/經(jīng)過尸2,交橢圓E于點A,B,直線加與直線/的傾斜角互補，且交橢圓E于點M，N,\MNf^4\AB\,

求證：直線加與直線/的交點T在定直線上.

19.(12分)在多面體A3C0EE中，四邊形A8CD是正方形，CFl^ABCD,CF//DE,AB=CF=2DE=2,

G為8尸的中點.

4

(1)求證：CGLAF；

(2)求平面8b與平面A跖所成角的正弦值.

TT

20.（12分）在四棱錐P—ABCD中，底面A8CD為直角梯形，AD//BC,AABC=—,面

2

ABCD,AD=3A￡,AB=3C=2AE=2,PC=3.

(1)在線段上是否存在點尸，使CF〃面以6,說明理由；

(2)求二面角E—PC—。的余弦值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=/〃ln(l+x)-x,g(x)=〃a-sinx.

⑴若函數(shù)在(O,+8)上單調遞減，且函數(shù)g(X)在梏上單調遞增，求實數(shù)機的值；

(2)求證：(14-sinl)[1+sin-~14-sin—~~-1+sin-—<e~(nwN*，且.

I1x2八2x3)((〃一l)x〃,

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=H+l|.

(1)求不等式/(x)<4—|2x—3|的解集；

(2)若正數(shù)加、幾滿足m+2^=mn,求證：/()%)+/(-2幾)28.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

通過復數(shù)的乘除運算法則化簡求解復數(shù)為：a+瓦的形式，即可得到復數(shù)的虛部.

【詳解】

i+Bi_l+3i_(l+3i)(l-i)_l+2i-3/_.

由題可知2=1+z-1+z-(l+?)(l-z)~-匚?一—+l>

所以z的虛部是1.

故選：D.

【點睛】

本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.

2.D

【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項公式，求出加，〃關系，即可求解.

【詳解】

m+n

aman-a^2?=32q?,加+〃=7,

1451413

當〃?=1,〃=6時，—+—=當〃z=2,”=5時，一+—='—,

mn3mn10

14414io

當m=3,〃=4時，一+一=一,當團=4,〃=3時，一十一=一,

tnn3mn12

141114?5

當根=5,〃=2時，——F—=一,當加=6,〃=1時，一+—,

mn5mn6

—I■—最小值為77；?

mn10

故選:D.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列通項公式，注意〃&〃為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取到等號，屬于基礎題.

3.C

【解析】

由兒=(3+旬)?10=5(%+4)=40，和4=5,可求得為=3,從而求得d和4,再驗證選項.

【詳解】

因為Eo=(4+；°)?10=5(%+%)=40,4=5,

所以解得%=3,

所以d=4-%=2,

所以Go=%+4"=5+8=13,4=%—4d=3—8=—5,S-,(}-20a,+190i/=-100+380—280,

故選：C.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式、前〃項和公式，還考查運算求解能力，屬于中檔題.

4.C

【解析】

利用圓心(2,0)到漸近線的距離等于半徑即可建立a,間的關系.

【詳解】

由已知，雙曲線的漸近線方程為灰±緲=0,故圓心(2,0)到漸近線的距離等于1,即=i,

所以a?=3b2，

故選：C.

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關鍵是建立4,仇。三者間的方程或不等關系，本題是一道基礎

題.

5.A

【解析】

\PF}\+\PF2\=2a,

設橢圓的半長軸長為q,雙曲線的半長軸長為外，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得

\PF,\-\PF2\=2a2

|尸月|=4+

然后在△耳?與中，由余弦定理得:

歸閭=%-a2

4c2=(q+4)+(q-a)—2(q+4)?("1—@2),cos9化簡求解.

【詳解】

設橢圓的長半軸長為力,雙曲線的長半軸長為a2,

1|P耳|+|P[=2q

由橢圓和雙曲線的定義得：局孤:“：，

\PE\=a,+a7,.2乃

叫局二―＞設電=丁

在AEP6中，由余弦定理得：4c2=(q+4)"+(4-a2)-2(4+4)，(芻一a2),cos，

化簡得3a：+丹2=4c2,

31彳

BP—+-=4

e\e2

故選：A

【點睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質以及余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

6.C

【解析】

由::二2。2,化簡得到cos。的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.

a2+b2

【詳解】

由2+八*4,可得里士絲二i

cr+b2a2+b2

c2(a2+b2-c2)+a2b2

可得/+b2-c2

a2+h2

(a2+b2-c2)(c2-a2-b2)+a2b2

通分得=0,

a2+b2

整理得(a2+b2-c2)2=a2b2,所以("一+"cj2=

2ah4

因為C為三角形的最大角，所以cosC=—1，

2

又由余弦定理/-er+b2-2abcosC=a2+/?2-Jt-ab=(a+Z?)2-ab

>(a+b)2-(-)2=-(a+b)2,當且僅當a=6時，等號成立，

24

所以C>即----,

2c3

又由a+h>c,所以?的取值范圍是(1,手］.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了

推理與運算能力.

7.A

【解析】

試題分析：設公差為+/+%=3/=15=>%=4+2d=5=>%=5-2〃=>(4+2)(“+5J+16)

=(7—2d)(3d+21)=81n2/+7d-22=0nd=2或4=(舍)=/=1=%=1+9x2=19,故選A.

考點：等差數(shù)列及其性質.

8.C

【解析】

由條件可看出AB||4耳，則N8AC1為異面直線AC；與所成的角，可證得三角形員4G中，±5C,,解得

tanZ5AC,,從而得出異面直線AC,與A與所成的角.

【詳解】

連接AG，BCt,如圖：

又AB||，則ABAC,為異面直線AC｝與4片所成的角.

因為AB，BC,且三棱柱為直三棱柱，AB±CC,,AAB_L面5CC.B,,

:.AB±Bq,

又AB=3C=2,℃=2血，,Bq=J(2及丫+2?=2g，

AtanZBAC,=7L解得NBAC[=60°.

故選C

【點睛】

考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

9.D

【解析】

y=xx-a

試題分析：先畫出可行域如圖：由二尸2'得.)'由｛)『，得力，〃)，當直線z=2x+y過點〃(U)時,

目標函數(shù)z=2x+y取得最大值，最大值為3；當直線z=2x+y過點C(a,a)時，目標函數(shù)z=2x+y取得最小值,

最小值為3a；由條件得3=4x3a,所以故選D.

考點：線性規(guī)劃.

10.C

【解析】

將四面體0LBC沿著。4劈開，展開后最短路徑就是ZMOO'的邊00',在△40。中，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

將四面體0Ase沿著。4劈開，展開后如下圖所示：

最短路徑就是^AOO'的邊OO'.

易求得NOAB=ZO'AC=30°,

由40=2,。8=26知45=46

33

AC=-V3,BC=y]OB*2+OC2=-V6

33

…+叼空

2ABAC

16168

333=3

444

20x—產x-產

V3V3

由余弦定理知0。'2=AO2+AO'2-2AO-AO'cosZOAO'

其中AO=AO'=2,cos/OAO'=cos(60°+ABAC)=

‘OO'~=5+V21,=00,=V5+V2T

故選：c

【點睛】

本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內容，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.

11.A

【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點知②錯誤；函數(shù)定義域為R,最值點即為極值點，由

知③錯誤；令g（x）=〃x）—：，在x>0和x<0兩種情況下知g（x）均無零點，知④正確.

【詳解】

由題意得：“X）定義域為R,

sin(-x)_sinx

-/（X）,.?./（X）為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，①正確

(-x)2+lx2+l

???y=sinx為周期函數(shù)，y=f+i不是周期函數(shù)，.?./（X）不是周期函數(shù)，②錯誤;

x2+1)cosx-2xsinx

（切wo,不是最值，③錯誤;

1

sinx-x——

令g(x)=〃x)Tsinx1________x，

x2+1Xx2+1

當工>()時，sinx<x,—>0,g（x）＜0,此時〃x）與J-：無交點；

x

當x<0時，sinx>x,—<0,g（x）＞0,此時/（x）與y=g無交點；

x

綜上所述：“X）與尸一無交點，④正確.

故選：A-

【點睛】

本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的

求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.

12.B

【解析】

利用換元法化簡/（X）解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求得/（X）的取值范圍，由此求得了=[/（%）]的

值域.

【詳解】

411\2

因為/（乃=4《_32+4（0＜》＜2），所以y=三一32+4=萬（2'）-32+4,令爐=「（”＜4）,則

1013

/?)=5/一3看+4(1</<4),函數(shù)的對稱軸方程為/=3,所以/?)mm=/(3)=-5,f(t)max=f(l)=-9所以

/We-^5|L所以＞=[/（切的值域為{一1,0,1}.

故選：B

【點睛】

本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉化與化歸思想,

換元思想，分類討論和應用意識.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（-4,2）

【解析】

試題分析：因為x+2y=（x+2y）（2+!）=4+竺+±24+2」型、±=8當且僅當x=2），時取等號，所以

xyxyyxy

m2+2m<8=-4<m<2

考點：基本不等式求最值

14.20

【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，則1至14號為第一組，15至28號為第二組，29號至42

號為第三組，43號至56號為第四組.而學號6,34,48分別是第一、三、四組的學號，所以還有一個同學應該是15+6-1=20

號，故答案為20.

15.0.7

【解析】

由題意可知：X?B(10,p),且｛/La，從而可得。值.

【詳解】

由題意可知：X~B(10,p)

10p(l—p)=2.1fl00p2-100p+21=0

[P(X=3)〈尸(X=7)1p〉0.5

/.p=0.7

故答案為：0.7

【點睛】

本題考查二項分布的實際應用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題.

4萬

16.—

3

【解析】

先確定頂點在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設頂點在底面上的射影為“，“是三角形A3C的內心，內切圓半徑r=1.三個側面與底面所

成的角均為60。，APAB，APBC,APAC的高PD=PE=PF=2，PH=6,設內

切球的半徑為R,(g(3+4+5)x2+；x3x4)xH=3x；x；x3x4xG=66

:.R=B,內切球表面積S=4萬/?2=色

33

故答案為：;4萬

3

【點睛】

本題考查三棱錐內切球的表面積問題，考查學生空間想象能力，本題解題關鍵是找到內切球的半徑，是一道中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

17.(1)見解析；(2)-00,------

2

【解析】

<2

(1)設點A弓,X、B胃y\,火，求出直線24、m的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出點C、。的坐標，利

I2y27

用直線AB、CD的斜率相等證明出AB//CD

(2)設點尸到直線45、CO的距離分別為4、出，求出4,利用相似得出刈，可得出AQA8的邊4?上的高,

并利用弦長公式計算出\AB\,即可得出S關于，的表達式，結合不等式S21-/可解出實數(shù)/的取值范圍.

【詳解】

22\（

(1)設點A卷、Bq,當，貝！J女尸骨2yf

727

4y.，_

直線PA的方程為:X-y,

2（y「1）'2（y「l）'

0

Xy一y）

x-y1^-=0,

由2(^-1)-2(^-1),消去x并整理得產一y+

弘一1另一1

>,2=2x

y,X

由韋達定理可知，)匕%=先y=???先=

必-1'XT

y.（4

代入直線AF的方程，得與解得C

2(%-曠2（xT『’yT

7

同理，可得。%

（2（%-1）2'%口

為_____

.krXT_2%-x—^―=1

,,CDy"y<的:-對y+%

2（%-1）?2（y「l）2%T>i-l

k=222（y-l）

X+%=2,：.%=2_）1代入得CD-2_y?,_y「2+y_2y,-2

（2-y）Ty,-1y-l

因此，AB//CD；

IT

(2)設點尸到直線AB、CO的距離分別為4、d,貝|J4=

2正'

&旦網(wǎng)?43\PB

由（1）知ABHCD,，

"d2~\PC\~\PD\'d}附|網(wǎng)

.?.陷=J1+磕f|PC|=J1+項?2，，話=￡=（乂-1）’

\PB\,\2

同理，得好［=(必一1),

=［（＞/1）（%-1）了=［乂％-（兇+%）+11

y=x+tc

由，2.，整理得：/—2y+2f=0,由韋達定理得%+%=2,X%=2f,

y=2x

1\-t

.哥=（2一）2,得&=

V2.（l-2f）>

設點Q到直線AB的高為力，則〃=同一24|=胃;'3+U，

;|陰=71+12-一肛%=2&?Jl-2f，

，x2在Jl-2rx-」——.|2r+l|=/^L-|2r+l|21T,

2112V2（l-2r）11GF11'

3{3

v/＜0,解得，＜一］,因此，實數(shù)r的取值范圍是［一夕一］.

【點睛】

本題考查直線與直線平行的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理、弦長公式、直線

的斜率等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是難題.

22

18.（I）土+2=1；（II）詳見解析.

43

【解析】

（I）由橢圓的定義可得，APQK周長取最大值時，線段過點耳，可求出。，從而求出橢圓￡的標準方程；

（II）設直線/：y=%（x-l）（攵HO）,直線，力：y=-左（％+。，A（%,y）,以私必），"（0為），'小，”）?把

直線m與直線/的方程分別代入橢圓E的方程，利用韋達定理和弦長公式求出和|,根據(jù)=41ABi求

出t的值.最后直線m與直線/的方程聯(lián)立，求兩直線的交點即得結論.

【詳解】

（I）設AP。鳥的周長為L,

則L=|P周+|QK|+|PQ|=2aTm|+2aTQ4|+|PQ|=4aYs|+|Q6|）+|PQ|

W4aTPQ|+|PQ|=4。，當且僅當線段PQ過點片時“=”成立.

.?.4。=8,:.a=2,又：c=l,:.b=也，

二橢圓E的標準方程為上+二=1.

43

（II）若直線/的斜率不存在，則直線〃，的斜率也不存在，這與直線機與直線/相交于點T矛盾，所以直線/的斜率存

在.

設/:y=左（》一1）（左。0）,m\y=-k{x+t'）,A（%,y）,3伍,必），用（七，%），"（%,乂）-

將直線機的方程代入橢圓方程得：（3+4公）/+8/a+4,2/-3）=0.

Sk2t4(^-3)

?口十寸—W

4囪正歷_12（1+公）

同理，|AB|=VI+^2

3+4公3+4左2

由|A/N「=4|明得f=0,此時△=641產一16（3+4丹儼產—3）＞0.

直線m:y=-kx,

聯(lián)立直線加與直線/的方程得

即點T在定直線尤='.

2

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于難題.

19.(1)證明見解析(2)巫

6

【解析】

(1)首先證明CG_LA3,CGLBF,4308^=3,二CG_L平面ABE.即可得到AFu平面ABE,CG±AF.

(2)以。為坐標原點，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、＞軸、z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面AEF

和平面8c尸的法向量，帶入公式求解即可.

【詳解】

(1),??。尸，平面ABC。，AB\平面ABC。，...b，AB.

又；四邊形ABC。是正方形，；.AB1BC.

???8Cnb=c，?,?AB_L平面8CR.

又,：BC=CF=2,G為B尸的中點，,CGJ_8/.

VABp[BF=B,；.CG，平面ABF.

TAFu平面A5R,，CG.

(2)???。尸，平面ABC。，C尸〃。E,???￡＞《，平面ABCD.

以。為坐標原點，DA,DC,DE所在的直線分別為x軸、＞軸、z軸建立空間直角坐標系.

如圖所示:

則￡）（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,￡（0,0,1）*0,2,2）.

/.AE=（-2,0,1）,麗=（0,2,1）,DC=（0,2,0）.

設3=（x,y,z）為平面AEF的法向量，

\n-AE=Of-2x+z-0

則〈一，得八，

n-EF=0[2y+z=0

令x=l,貝U〃=(l,-1,2).

由題意知DC=(0,2,0)為平面BCF的一個法向量，

?cos仿PCI-n，DC-~2-

\'\n\\DC\V6x26

平面BCF與平面AEF所成角的正弦值為(一骼尸=粵.

【點睛】

本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時解題關鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標系是解題關鍵，屬于中

檔題.

20.(1)存在；詳見解析(2)B

5

【解析】

(1)利用面面平行的性質定理可得，/為PD上靠近。點的三等分點，。中點。，證明平面。。尸〃平面即

得；

(2)過E作EG//AB交8C于G,可得PE,EG,ED兩兩垂直,以分別為x,y,z軸建立空間直角坐標

系，求出EC,EP長，寫出各點坐標，用向量法求二面角.

【詳解】

解：(1)當尸為PD上靠近。點的三等分點時，滿足CP〃面B43.

證明如下，取EZ)中點Q,連結CQ,QF,CE

-.AD//BC,AD=3AE,BC=2AE=2,:.AQ=BC

即易得AB//CQ,Qb//AP所以面CQf//面Q鉆，即CF〃面RW.

R

(2)過E作EG//AB交8C于G

TT

?.PE，面ABC。，NABC=一

2

PE,EG,ED兩兩垂直,以EG,ED,EP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖,

EC=>JEG2+GC2=sf5,PE=yJPC2+EC2=2

￡(0,0,0),P(0,0,2),C(2,l,0),0(-2,1,0)

￡P=(0,0,2),PC=(2,l,-2),CD=(-2,l,0)

.一/、fn,"EP=2z=0(z-0

設面EPC法向量4=(x,y,z),貝!]｛一Z即｛°

nxPC=2x+y-2z=0[y=-2x

取x=l,??.4=(l,-2,0)

同理可得面PCD的法向量后=(1,2,2)

——-3V5

cos<&,%>=—==------

3石5

綜上可知銳二面角E-PC-。的余弦值為好.

5

【點睛】

本題考查立體幾何中的存探索性命題，考查用空間向量法求二面角.線面平行問題可通過面面平行解決，一定要掌握:

立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉化、相互依存的.求空間角一般是建立空間直角坐標系，用空間

向量法求空間角.

21.(1)1；(2)見解析

【解析】

(1)分別求得/(X)與g(x)的導函數(shù)，由導函數(shù)與單調性關系即可求得，"的值;

(2)由(1)可知當x>0時，ln(l+x)<x,當0cxem時，sinx<x,因而

sinl,sin^—,sin-^—sinI-L->0,(ne^>2),構造

1x22x3

]、

In(1+sinl)1+sin1+sin—...1+sin,由對數(shù)運算及不等式放縮可證明

11^22x3j〃一l)x

、

]

In(1+sinl)1+sin1+sin—??.1+sin=2--<2,從而不等式可證明.

1^22x3(〃-l)x〃.n

【詳解】

(1)?.?函數(shù)/(x)在(0，+8)上單調遞減,

1(力=￡-1<0,即mWl+x在(0,+8)上恒成立,

/?m￡19

又?.?函數(shù)g(x)在酷上單調遞增,

g,(x)=m-co&r>0,即mNco&r在上恒成立,m>19

秒2

*,?綜上可知，m=1.

⑵證明：由(1)知，當加=1時，函數(shù)/(x)=ln(l+x)—x在(0,+8)上為減函數(shù),

晨力=兀-5加在也§上為增函數(shù)，而/(())=(),g(0)=0,

TT

，當x>()時，ln(l+x)<x,當。<x<彳時，sinx<x.

2

sinl,sin-,sin—,sin7——\——>0,(/?GN\n>2

1x22x3

]、

AIn(l+sinl)f1+sin1+sin—!-

...1+sin

2x3)〃一l)x〃.

、