北師大版必修二球的表面積和體積

球的表面積和體積1精選課件柱體、錐體、臺體的表面積各面面積之和知識回顧展開圖圓臺圓柱圓錐2精選課件柱體、錐體、臺體的體積錐體臺體柱體知識回顧3精選課件一、創(chuàng)設(shè)情境1、在太空中存在著多顆星球，科學(xué)家為了比較各個星球的大小，需要計算它們的表面積和體積，但是星球的形狀不同于柱體、椎體、臺體，而是近似于球體，那么如何進(jìn)行計算呢？2、球隊大小是與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來表示球的體積和表面積？4精選課件思考：如何求球的體積？排液法：hHh二、探究新知5精選課件球的體積球的表面積都是以R為自變量的函數(shù)OR6精選課件例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.例題講解7精選課件(變式1)把鋼球（直徑是5cm）放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系?側(cè)棱長為5cm例題講解球內(nèi)切于正方體8精選課件例題講解9精選課件10精選課件11精選課件例4.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:(1)球的體積等于圓柱體積的三分之二；(2)球的表面積與圓柱的側(cè)面積相等.例題O12精選課件(2)圓圓柱證明:(1)設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.RO13精選課件討論長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長分別為3、4、5，若它的八個頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是——分析：長方體內(nèi)接于球，則由球和長方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則長方體對角線與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O22221150442+5)2(:RS2R=3RDDBRtppD==\+=中略解：14精選課件用一個平面α去截一個球O，截面是圓面O?球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為d，球的半徑為R，則截面問題補(bǔ)充知識：15精選課件課堂練習(xí)16精選課件17精選課件18精選課件19精選課件20精選課件21精選課件22精選課件23精選課件1、了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割→求近似和→化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法—極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分”內(nèi)容的一個應(yīng)用；2、熟練掌握球的體積、表面積公式：五、課堂小結(jié)24精選課件基本計算問題2.(1)把球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍，則體積擴(kuò)大為原來的________倍.(2)把球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍，則表面積擴(kuò)大為原來的_______倍.(3)三個球的半徑之比為1:2:3，則它們的表面積之比為_________.(4)三個球的體積之比為1:8:27，則它們的半徑之比為________.25精選課件四、鞏固深化1、正方體的內(nèi)切球和外接球體積比為______，表面積之比為1：3。2、在球心同側(cè)有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49和400，求球的表面積。答案：250026精選課件4、若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳_4_倍.5、若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______6、若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.3、若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.27精選課件球與正方體的“接切”問題典型：有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點(diǎn),求這三個球的體積之比.畫出正確的截面：(1)中截面；(2)對角面找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系28精選課件球與正方體的“接切”問題29精選課件[答案]D30精選課件31精選課件32精選課件33精選課件34精選課件[答案]C35精選課件36精選課件37精選課件38精選課件39精選課件40精選課件[答案]D41精選課件42精選課件探索延拓創(chuàng)新43精選課件44精選課件45精選課件46精選課件47精選課件48精選課件49精選課件50精選課件例2已知正方體的八個頂點(diǎn)都在球O的球面上，且正方體的表面積為a2，求球O的表面積和體積.例3有一種空心鋼球，質(zhì)量為142g（鋼的密度為7.9g/cm3），測得其外徑為5cm，求它的內(nèi)徑（精確到0.1cm）.oAC′51精選課件練習(xí)有一種空心鋼球，質(zhì)量為142g,測得外徑等于5.0cm，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為7.9g/cm3,精確到0.1cm).52精選課件解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計算器算得:53精選課件一個球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，面積別為49πcm2和400πcm2，試求球的表面積．[思路分析]

求球的表面積或體積只需要求出球的半徑，要求球的半徑只需解球的半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離組成的直角三角形．球的表面積

54精選課件[規(guī)范解答]

(1)當(dāng)球心在兩個截面同側(cè)時，如右圖，設(shè)OD＝x，由題意知π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20(cm)．設(shè)球半徑為R，則依題意，得(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15.∴R＝25，故S球＝4πR2＝2500π(cm2)．55精選課件(2)當(dāng)球心在兩個截面之間時，如右圖．設(shè)OD＝xcm，則OC＝(9－x)cm，由題意得π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20cm.設(shè)球半徑為R，則依題意，知x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，56精選課件即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程無正數(shù)解，故此情況不可能．綜上可知，所求球的表面積為2500π(cm2)．[規(guī)律總結(jié)]

常常借助于球的軸截面性質(zhì)列方程(組)求球半徑，進(jìn)而求出球的表面積．軸截面為空間問題轉(zhuǎn)化到平面幾何問題創(chuàng)造了條件．57精選課件4.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.練習(xí)一1.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______.58精選課件6.將半徑為1和2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么這個大鉛球的表面積是______.5.若兩球表面積之差為48π,它們大圓周長之和為12π,則兩球的直徑之差為______.練習(xí)二59精選課件二、探究新知1、球的體積如果用一組等距離的平面去切割球，當(dāng)距離很小時會得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于相應(yīng)的圓柱的體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”的方法來進(jìn)行。步驟：第一步：分割如圖：把半球垂直于底面的半徑OA作n等分，過這些等分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。AO60精選課件OR61精選課件第二步：求和62精選課件第三步：化為準(zhǔn)確和63精選課件

球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢?

回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式．球的表面積64精選課件第一步：分割球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：OO65精選課件第二步：求近似和由第一步得：OO66精選課件第三步：化為準(zhǔn)確和

如果網(wǎng)格分的越細(xì),則:“小錐體”就越接近小棱錐O67精選課件截面問題1.一球的球面面積為256πcm2，過此球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積.變式：在球內(nèi)有相距9cm的