函數(shù)必考知識點(diǎn)

函數(shù)必考知識點(diǎn)

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函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是重難點(diǎn)。下面是我整理的一點(diǎn)

函數(shù)必考學(xué)問點(diǎn)，歡迎閱讀。

函數(shù)必考學(xué)問點(diǎn)匯總

一次函數(shù)

一、定義與定義式

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b則此時稱y

是x的一次函數(shù)。

特殊地，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。

即：y=kx（k為常數(shù),kO）

二、一次函數(shù)的性質(zhì)

l.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b化為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù)）

2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

1.作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

⑵描點(diǎn)；

⑶連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。

因此，作一次函數(shù)的圖像只需明白2點(diǎn)，并連成直線

即可。

(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn))

2.性質(zhì)：

(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)p(x,y),都滿意等式：

y=kx+bo

(2)一次函數(shù)與v軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b),與x軸總是

交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點(diǎn)。

3.k,b與函數(shù)圖像所在象限：

當(dāng)k0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增

大；

當(dāng)k0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減

小。

當(dāng)b0時，直線必通過一、二象限；

當(dāng)b=0時，直線通過原點(diǎn)

當(dāng)b0時，直線必通過三、四象限。

特殊地，當(dāng)b=0時，直線通過原點(diǎn)o(0,0)表示的是正

比例函數(shù)的圖像。

這時，當(dāng)kO時，直線只通過一、三象限;當(dāng)kO時，直

線只通過二、四象限。

四、一次函數(shù)在生計(jì)中的應(yīng)用

L當(dāng)時候t肯定，距離s是速度v的一次函數(shù)。

S=vto

2.當(dāng)水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水時候t

的一次函數(shù)。

設(shè)水池中原有水量s。

g=S-fto

二次函數(shù)

一、定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量X和因變量y之間存在如下關(guān)系：

y=ax+bx+c

(a,b,c為常數(shù)，aO,且a打算函數(shù)的開口方向，aO

時，開口方向向上，aO時，開口方向向下,|a|還可以打算開

口大小,Ia|越大開口就越小,|a|越小開口就越大。)

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

二、二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aO)

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)+k［拋物線的頂點(diǎn)p(h,k)］

交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)［僅限于與x軸有交點(diǎn)a(x?,0)

和b(x?,0)的拋物線］

三、二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x的圖像，可以看

出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

四、拋物線的性質(zhì)

L拋物線是軸對稱圖形。

對稱軸為直線

x=-b/2ao

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)Po

特殊地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有單個頂點(diǎn)p,坐標(biāo)為

p(-b/2a,(4ac-b)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時，p在y軸上;當(dāng)=b-4ac=0時，p在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a打算拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a0時，拋物線向上開口;當(dāng)a0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同打算對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時(即abO),對稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號時(即abO),對稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c打算拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0,c)

反比例函數(shù)

形如y=k/x（k為常數(shù)且kO）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有fbx）=-f（x）,圖像關(guān)于原

點(diǎn)對稱。

另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函

數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個坐標(biāo)軸作垂線，這點(diǎn)、兩個垂

足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為|k|。

學(xué)問點(diǎn)：

1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線段,

這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對于雙曲線y=k/x,若在分母上加減任意單個實(shí)數(shù)

（即y=k/（xm）m為常數(shù)），就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平

移單個單位。

（加單個數(shù)時向左平移，減單個數(shù)時向右平移）

對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實(shí)際上便是指數(shù)函數(shù)的反

函數(shù)。

因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線

y=x的對稱圖形，由于它們互為反函數(shù)。

⑴對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥趏的實(shí)數(shù)集合。

⑵對數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。

(3)函數(shù)總是通過(1,0)這點(diǎn)。

(4)a大于1時，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸;a小于1

大于0時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。

(5)明顯對數(shù)函數(shù)無界。

指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的一般形式為，從上面咱們對于累函數(shù)的爭

論就可以明白，要想使得x能夠取整個實(shí)數(shù)集合為定義域，

則只有使得

可以得到：

⑴指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)槿繉?shí)數(shù)的集合，這里的前提

是a大于0,對于a不大于0的狀況，則必定使得函數(shù)的定

義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此咱們不予考慮。

⑵指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

(3)函數(shù)圖形都是下凹的。

(4地大于1,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0,則

為單調(diào)遞減的。

⑸可以看到單個明顯的規(guī)律，便是當(dāng)a從0趨向于無

窮大的過程中(當(dāng)然不能等于0),函數(shù)的曲線從分別接近于y

軸與x軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于

y軸的正半軸與x軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。

其中水平直線y=l是從遞減到遞增的單個過渡位置。

(6)函數(shù)總是在某單個方向上無限趨向于x軸,永不相

交。

(7)函數(shù)總是通過(0,1)這點(diǎn)。

(8)明顯指數(shù)函數(shù)無界。

奇偶性

一、定義

一般地，對于函數(shù)f(x)

⑴假如對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意單個X,都有f(-x)=-f(x),

這么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

⑵假如對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意單個X,都有f(-x)=f(x),

這么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

(3)假如對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意單個x,f(-x)=-f(x)與

f(-x)小(X)同時成立，這么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱

為既奇又偶函數(shù)。

⑷假如對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意單個X,f(-x)=-f(x)與

耳-x)E(x)都不能成立，這么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函

數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。

說明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對整個定義域

而言

②奇、偶函數(shù)的定義域肯定關(guān)于原點(diǎn)對稱，假如單個

函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這一個函數(shù)肯定不是奇(或

偶)函數(shù)。

(分析：推斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否

關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后再嚴(yán)格根據(jù)奇、偶性的定義經(jīng)過化簡、

整理、再與f(x)比較得出結(jié)論)

③推斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的依據(jù)是定義

二、奇偶函數(shù)圖像的特征

定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖表，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于y軸或軸對稱圖形。

f(x)為奇函數(shù)《==》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱

點(diǎn)(x4(-x,-y)

奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上

也是單調(diào)遞增。

偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對稱區(qū)間上

單調(diào)遞減。

三、奇偶函數(shù)運(yùn)算

1.兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).

2.兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).

3.單個偶函數(shù)與單個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)

與非偶函數(shù).

4.兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

5.兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

6.單個偶函數(shù)與單個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).

值域

一、名稱定義

函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這一個函數(shù)的值域函

數(shù)的值域，在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量全部值的集合。

常用的求值域的方法

⑴化歸法

(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)

⑶函數(shù)單調(diào)性法

⑷配方法

⑸換元法

⑹反函數(shù)法(逆求法)

⑺判別式法

⑻復(fù)合函數(shù)法

(9)三角代換法

(10)基本不等式法等

二、關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

定義域、對應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個基本“元件〃。

平常數(shù)學(xué)中，實(shí)行“定義域優(yōu)先〃的原則，無可置疑。

然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域疑問的同時，

往往就減弱或談化了，對值域疑問的探究，造成了一手“硬〃

一手“軟〃，使同學(xué)對函數(shù)的把握時好時壞，事實(shí)上，定義域

與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)?，絕不能厚此薄皮，何況它們二

者隨時處于相互轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域

與值域的相互轉(zhuǎn)化）。

假如函數(shù)的值域是無限集的話，這么求函數(shù)值域不總

是簡單的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時并不能奏效，還必需

聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的

取值狀況。

才能獲得正確答案，從這一個角度來講，求值域的疑

問有時比求定義域疑問難，實(shí)踐證明，假如加強(qiáng)了對值域求

法的討論和爭論，有利于對定義域內(nèi)函的理解，從而深化對

函數(shù)本質(zhì)的熟悉。