第二章 材料科學研究中的數(shù)學模型

第二章

材料科學研究中的數(shù)學模型

數(shù)學模型是數(shù)學科學連接其他非數(shù)學學科的中介和科學研究的有力工具。數(shù)學建模是一種具有創(chuàng)新性的科學方法，它將現(xiàn)實問題簡化，抽象為一個數(shù)學問題或數(shù)學模型，然后用適當?shù)臄?shù)學方法求解，進而對現(xiàn)實問題進行定量分析和研究，最終達到解決實際問題的目的。本章將介紹數(shù)學模型的基本概念，建立數(shù)學模型的基本步驟、原則和方法。第一節(jié)數(shù)學模型基礎(chǔ)一.基本概念如在物理學中，力學的牛頓三定律，電子學中的基爾霍夫定律，馬爾薩斯的人口模型。通常把客觀存在的事物及其運動形態(tài)統(tǒng)稱為實體，模型則是對實體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或抽象。

數(shù)學模型就是利用數(shù)學語言對某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系建立起來的符號系統(tǒng)。

數(shù)學模型是有目的的對客觀所做的一種抽象模擬，它是數(shù)學公式、數(shù)學符號、程序、圖表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，是對現(xiàn)實世界的抽象，簡化而又本質(zhì)的描述。

二．數(shù)學模型的分類

1）按照對實體的認識過程來分，數(shù)學模型可以分為描述性數(shù)學模型和解釋性數(shù)學模型。

描述性模型是從特殊到一般，從分析具體客觀事物及其狀態(tài)開始，最終得到一個數(shù)學模型。解釋性數(shù)學模型是由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助數(shù)學殼體，對公理系統(tǒng)給出正確解釋。

2）按照建立模型的數(shù)學方法分，可以分為初等模型，圖論模型，規(guī)劃論模型，微分方程模型，最優(yōu)控制模型，隨機模型，模擬模型。

隨機模型是根據(jù)概率論的方法討論描述隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型。例如描述高分子材料鏈式化學反應(yīng)的數(shù)學模型。模擬模型是用其他現(xiàn)象或過程來描述所研究的現(xiàn)象或過程，用模型的性質(zhì)來代表原來的性質(zhì)。例如采用非牛頓流體力學和流變學來描述高聚物加工過程、建立液晶高分子材料本構(gòu)方程。

3）按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分為人口模型、交通模型等。

4）按照模型的特征分，可分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型、確定性模型和隨機模型、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。

如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是連續(xù)變量，則稱其為連續(xù)系統(tǒng)，它們的數(shù)學模型為連續(xù)性模型。如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是離散變量，則稱該系統(tǒng)為離散系統(tǒng)，其模型為離散模型，當采用有限單元法和有限差分法研究材料某些性質(zhì)時（如材料的穩(wěn)、瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題），連續(xù)性模型被轉(zhuǎn)化為離散模型。如果系統(tǒng)輸入和輸出成線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，其數(shù)學模型為線性模型；如果系統(tǒng)輸入與輸出呈非線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，其數(shù)學模型稱為非線性模型。

5）按照對模型結(jié)構(gòu)了解的程度可以分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。

三、數(shù)學模型的作用

數(shù)學模型的根本作用在于它將客觀原型進行抽象和簡化，便于人們采用定量的方法去分析和解決實際問題。材料科學從最早的試錯法的手工操作到作為當代重要科學支柱，數(shù)學的應(yīng)用起著非常重要的作用，利用數(shù)學這一有效工具，可以深刻認識客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進學科發(fā)展。在材料研究和應(yīng)用中，要對有關(guān)問題進行計算，就必須先建立該問題的數(shù)學模型。（材料設(shè)計，生產(chǎn)過程（極端條件，納米槍））第二節(jié)建立數(shù)學模型的一般步驟和原則數(shù)學模型的建立，簡稱數(shù)學建模。數(shù)學建模是構(gòu)造刻畫客觀事物原型的數(shù)學模型并用以分析、研究和解決實際問題的一種科學方法。

運用這種科學方法，必須從實際問題出發(fā)，緊緊圍繞建模的目的，抽象，簡化，逐步完善，直到構(gòu)造出一個能夠用于分析、研究和解決實際問題的數(shù)學模型。是一種定量解決實際問題的科學方法，還是一種從無到有的創(chuàng)新活動過程。一般采用的建?；静襟E如下：1.建模準備

建模準備是確立建模課題的過程，就是要了解問題的實際背景，明確建模的目的。掌握與課題有關(guān)的第一手資料，匯集與課題有關(guān)的信息和數(shù)據(jù)，弄清問題的實際背景和建模的目的，進行建?；I劃。

2.建模假設(shè)

建模假設(shè)就是根據(jù)建模的目的對原型進行適當?shù)某橄?、簡化，把那些反映問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來，簡化掉那些非本質(zhì)的因素，使之擺脫原來的具體復(fù)雜形態(tài)，形成對建模有用的信息資源和前提條件，這是建立模型最關(guān)鍵的一步。

對模型的抽象、簡化不是無條件的，必須按照假設(shè)的合理性原理進行，假設(shè)合理性原則有以下幾點：(1)

目的性原則從原型中抽象出與建模目的有關(guān)的因素，簡化那些與建模無關(guān)的或關(guān)系不大的因素。(2)

簡明性原則所給出的假設(shè)條件要簡單、準確，有利于構(gòu)造模型。(3)

真實性原則假設(shè)要科學，簡化帶來的誤差應(yīng)滿足實際問題所能允許的誤差范圍。(4)

全面性原則對事物原型本身作出假設(shè)的同時，還要給出原型所處的環(huán)境條件。

建模假設(shè)實例：聚合物熔體的動態(tài)流變學分析聚合物熔體在毛細管中完全發(fā)展區(qū)的流場可以簡化為如圖的形式。rRLd

z熔體流速方向為z方向，速度梯度方向為r方向，方向為圓周方向。對聚合物熔體在毛細管內(nèi)的動態(tài)流動作理論分析時，進行如下假設(shè)：動態(tài)擠出時，料筒內(nèi)經(jīng)毛細管擠出的物料已完全塑化熔融。

(2)熔體為不可壓縮的流體，即其熔體密度保持不變；(3)熔體在毛細管中的流動為充分發(fā)展流動；(4)毛細管內(nèi)的溫度沿全長不變，即聚合物熔體為等溫流動；(5)熔體流動為軸向?qū)恿?，z向為流動方向，z向的速度uz不為零，r與方向的速度為零，即ur=u

=0；(6)熔體在流道壁面上r=R處沒有滑動，即當r=R時，uz=0；(7)重力可以忽略；根據(jù)以上假設(shè)，可知聚合物熔體擠出過程中的流場具有以下分布形式：

Uz=uz(r,z)

3.構(gòu)造模型

在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進一步分析建模假設(shè)的內(nèi)容，首先區(qū)分哪些是常量、哪些是變量，哪些是已知的量，哪些是未知的量，然后查明各種量所處的地位、作用和它們之間的關(guān)系，選擇適當?shù)臄?shù)學工具和構(gòu)造模型的方法對其進行表征，構(gòu)造出刻畫實際問題的數(shù)學模型。

4．模型求解

構(gòu)造數(shù)學模型之后，根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)計或選擇求解模型的數(shù)學方法和算法，然后編寫計算機程序或運用與算法相適應(yīng)的軟件包，并借助計算機完成對模型的求解。

5.模型分析

根據(jù)建模目的要求，對模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進行穩(wěn)定性分析，或進行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析、誤差分析。通過分析，如果不符合要求，就修改或增減建模假設(shè)條件，重新建模。如果通過分析符合要求，還可以對模型進行評價、預(yù)測、優(yōu)化等方面的分析和探討。

6.模型檢驗

模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實際中去對模型進行檢驗，看是否符合客觀實際。7.模型應(yīng)用

模型應(yīng)用是數(shù)學建模的目的。一個成功的數(shù)學模型，必須根據(jù)建模的目的，將其用于分析、研究和解決實際問題，充分發(fā)揮數(shù)學模型在生產(chǎn)和科研中特殊作用。

以上介紹的數(shù)學建?；静襟E應(yīng)該根據(jù)具體問題靈活應(yīng)用，或交叉進行，或平行進行，不必拘泥于一種模式，最大限度地發(fā)揮主觀能動性和聰明才智。

實例：激光沖擊殘余應(yīng)力的估算

目前，人們對殘余應(yīng)力的測試一般采用的是一種破壞性的測試方法，而這種方法極大的防礙了激光沖擊強化技術(shù)在工程中的應(yīng)用，造成大量人力物力的浪費，增加了生產(chǎn)的成本，限制了人們對被加工性能的有效控制。激光沖擊的基本力學模型：彈性形變塑性形變Shockwave

１.假設(shè)：

1)假設(shè)在微秒時間內(nèi)結(jié)構(gòu)在厚度方向上所有質(zhì)量都受到波及，而結(jié)構(gòu)塑性動力響應(yīng)通常需要經(jīng)歷毫秒以至更長時間才會達到結(jié)構(gòu)的最大形變；２）假設(shè)被沖擊的工件材料為理想的剛塑性材料；３）激光沖擊壓力為GPa;

激光沖擊應(yīng)力為一維平面波，在激光沖擊區(qū)取一個微體積元，僅在x方向考慮被壓縮，即沖擊波沿X方向傳播，考慮應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，為保持

x的單軸應(yīng)變條件而假設(shè)y=z,形變側(cè)面Y、Z方向尺寸不變，X方向有彈塑性變形，激光沖擊后彈性變形恢復(fù)不完全，導(dǎo)致了殘余應(yīng)力的產(chǎn)生。

x

y

x

yxX0

2.根據(jù)Mises屈服準則有：

x-

y|

b

在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：

x=

+2

x

y=

+2

y

z=

+2

z式中：＝

x＋

y＋

z，因為是單軸變形，側(cè)面受到介質(zhì)約束，

x＝（V0-V)/V,y=z=0,V是體積，＝／2(+u)，和u是材料的拉梅常數(shù)，是泊松比。（１）

在塑性變形狀態(tài)，應(yīng)變增量是彈性和塑性增量之和。因而在X方向有：

d

x=d

xe+d

xp因為不存在塑性膨脹，所以有d

xp＋d

yp+d

zp=0微元體中的殘余應(yīng)力是彈性和塑性應(yīng)變引起的，dx=d+2(d

xe+d

xp)dy=d+2（d

ye+d

yp）dz=d+2(d

ze+d

zp）（２）

激光沖擊應(yīng)力作用后，在沖擊強化區(qū)的r，z方向上由彈性應(yīng)力引起的彈性變形難以完全恢復(fù)，所以，在激光沖擊區(qū)形成殘余應(yīng)力，于是可得簡單算式：

y=

1-

x實際上

x是隨沖擊應(yīng)力波的衰減而變化，故殘余應(yīng)力y也是隨x的變化而變化，設(shè)：

x

e-x有

x=maxe-bx(3)(4)其中b為參量；

在玻璃（K9)的約束層的條件下，激光沖擊產(chǎn)生的峰壓可以估算為：Pmax=0.287

1/3(A.q0)2/3如果有

max=pmax代入公式（４）

x=pmaxe-bx

y=pmaxe-bx

1-

(5)

顯然該式(5)所表達的是Pmax未卸載時殘余應(yīng)力的情形。令x=0，取Pmax＝2.8GPa，＝0.29，則b不論取何值，

y=-1.12GPa，這顯然與實際測量值y=-400MPa相去甚遠，因此必須對式（５）加以修正。

首先，由彈性力學原理可知：＝／E

因此，材料的彈塑性形變與彈性模量關(guān)系較大，材料受到相同外力作用時，彈性模量大的材料，彈塑性形變??；因此有：

yE（6)

其次，由沖擊動力學原理可知，，當材料的沖擊變形深度相同時，材料本身的彈性模量大，屈服極限高，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的影響就深。如果材料本身彈性模量小，局部極限低，沖擊波對材料產(chǎn)生的殘余應(yīng)力深度就淺。因此有：

ye-bx/E(7)結(jié)合（４）（５）（６）（７）

x

EPmaxe-bx/E

yEPmaxe-bx/E

1-

(8)

然而此時，還需使公式（８）滿足邊界條件X=0時，解決

y與實際殘余應(yīng)力值相差太遠的問題，因此還必須在公式（８）中加入一個系數(shù)K,即：

x=EkPmaxe-bx/E

y=Ek

Pmaxe-bx/E

1-

(9)公式(9)較好地反映了材料受到激光沖擊作用時的綜合力學性能與殘余應(yīng)力之間的關(guān)系，只需代入相應(yīng)的參數(shù)并利用相應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)對式(9)進行擬合，從而求得K和b，就可以擬合出激光沖擊強化工作產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的一般計算公式。

利用45鋼試樣的一組殘余應(yīng)力數(shù)據(jù)對式（9)進行擬合，從而求得K=2.3x10-6(MPa)-1;b=2.16x108(MPa/m)，將所得的k,b數(shù)據(jù)代入公式（9）得到激光沖擊強化殘余應(yīng)力的一般估算經(jīng)驗公式：

x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x10x/E

y=2.3x10-6Pmaxe-2.16x10x/E8E

-1式中：

y-殘余應(yīng)力

E-材料彈性模量

x-沿激光沖擊波方向的深度

Pmax-激光沖擊波的峰值壓力第三節(jié)材料科學的數(shù)學建模方法在材料科學中常用的數(shù)學建模方法有理論分析法、模擬方法、類比分析法、數(shù)據(jù)分析法。

一、理論分析法

理論分析法指應(yīng)用自然科學中的定理和定律，對被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。在工藝比較成熟，對機理比較了解時，可采用理論分析法。根據(jù)問題的性質(zhì)可直接建立模型。

例：在滲碳工藝過程中通過平衡理論找出控制參量與爐氣碳勢之間的理論關(guān)系式。

二、模擬方法

模型的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量及其求解卻相當麻煩。如果有另一種系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與其相同，而且構(gòu)造出的模型也類似，就可以把后一種模型看成是原來模型的模擬，而對后一個模型去分析或?qū)嶒灢⑶蟮闷浣Y(jié)果。分為：實驗?zāi)Ｐ蛠砟M理論模型和簡單理論模型來模擬分析較復(fù)雜理論模型。

中國載人潛水器蛟龍?zhí)?000m航天模擬裝置航天服在水槽中模擬失重

例如，研究鋼鐵材料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布。步驟：1）采用環(huán)氧樹脂（EP）制備出同樣結(jié)構(gòu)的模型，并加工出裂紋。2)將環(huán)氧樹脂放入恒溫箱內(nèi)，對環(huán)氧樹脂模型在冷凍溫度下加載，并在室溫和不變的條件下緩慢冷卻到室溫卸載。3)將已凍結(jié)應(yīng)力的環(huán)氧樹脂模型在平面偏振光場或圓偏振光場下觀察，環(huán)氧樹脂模型中出現(xiàn)一定分布的條紋，這些條紋反映了模型在受載時的應(yīng)力、應(yīng)變情況。4)用照相法將條紋記錄下來并確定條紋級數(shù)，再根據(jù)條紋級數(shù)計算應(yīng)力。5)根據(jù)相似原理，材料等因素確定一定的比例系數(shù)，將計算出的應(yīng)力換算成鋼鐵材料中的應(yīng)力，從而獲得裂紋尖端的應(yīng)力，應(yīng)變分布。

三、類比分析法

若兩個不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學模型來描述，則此兩個系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法根據(jù)兩個（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的相似，去猜想兩者的其他屬性或關(guān)系也可能相似的一種方法。

例在聚合物結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動力學過程。

采用類比分析法。聚合物結(jié)晶過程包括成核和晶體生長兩個階段，這與下雨時雨滴落在水面上生成一個個圓形水波并向外擴展的情形相類似，因此可通過水波擴散模型來推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時的結(jié)晶度與時間的關(guān)系。

在水面上任選一參考點，根據(jù)概率分析，在時間從

0到t時刻的范圍內(nèi)通過該點的水波數(shù)為m的概率P(m)符合Poisson分布（假設(shè)落下的雨滴數(shù)量大于m,t時刻通過任意點P的水波數(shù)的平均值為E)。

（1）

顯然有（２）

把水波擴散模型作為結(jié)晶前期的模型來討論薄層熔體形成“二維球晶”的情況。雨滴接觸水面相當于形成晶核，水波相當于二維球晶的生長表面，當m=0時，意味著所有的球晶面都不經(jīng)過p點，即p點仍處于非晶態(tài)。根據(jù)式（１）可知其概率為：

設(shè)此時球晶部分占有的體積分數(shù)為，則有

（３）

下面求平均值E，它應(yīng)為時間的函數(shù)。

(a)先考慮平面內(nèi)一次性同時成核的情況，它對應(yīng)所有雨滴同時落入水面，到t時刻，水波前進的距離為，那么，以為半徑的圓面內(nèi)的雨滴所產(chǎn)生的水波都將通過p點。（見圖）。rrrdrr

rrdr

把這個面積稱為有效面積，通過p點的水波數(shù)等于這個有效面積內(nèi)落入的雨滴數(shù)。設(shè)單位面積內(nèi)的平均雨滴數(shù)為N,當時間由t增加到t+dt時，有效面積的增量，即圖中陰影部分的面積，為，平均值E的增量為:p

若水波前進速度即球晶徑向生長速度為

，則，積分得平均值同t的關(guān)系為：代入式（1）得（4）

式（4）表示晶核密度為N，一次性成核時體系中的非晶部分與時間的關(guān)系。

(b)如果平面內(nèi)晶核是不斷形成的，相當于不斷下雨的情況，設(shè)單位時間內(nèi)單位面積上平均產(chǎn)生的晶核數(shù)即晶核生長速度為I,到t時刻產(chǎn)生的晶核數(shù)（相當于生成的水波）則為It。時間增加dt，有效面積的增量仍為，其中，只有滿足的條件下產(chǎn)生的水波才是有效的，因此有：

積分得代入式（１）中得（5）

此為晶核不斷形成時，聚合物的非結(jié)晶度與時間的關(guān)系。

(c)同樣的方法可以用來處理三維球晶，這時把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量來代替，對于同時成核體系（N為單位體積的晶核數(shù)），則對于不斷成核體系，定義I為單位時間，單位體積中產(chǎn)生的晶核數(shù)，則代入１－（c)=e-E

將上述情況歸納起來，可用一個通式表示：

式中，k是同核密度及晶體一維生長速度有關(guān)的常數(shù)，稱為結(jié)晶速度常數(shù)。該式稱為Avrami方程。下面對所建的模型進行檢驗。

尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的Avrami處理結(jié)果lgt

四、數(shù)據(jù)分析法

當系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)不大清楚，無法從理論分析中得到系統(tǒng)的規(guī)律，也不便于類比分析，但有若干能表征系統(tǒng)規(guī)律、描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)據(jù)可利用時，就可以通過描述系統(tǒng)功能的數(shù)據(jù)分析來連接系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型。回歸方程是處理這類問題的有利工具。求一條通過或系統(tǒng)回歸方程的一般方法如下：

設(shè)有一未知系統(tǒng)，已測得該系統(tǒng)有n個輸入-輸出數(shù)據(jù)點為：或現(xiàn)尋求其函數(shù)關(guān)系

無論x，y為什么函數(shù)關(guān)系，假設(shè)用一多項式作為對輸出（觀測值）y

的估計。若能確定其階數(shù)及系數(shù)

，則所得到的就是回歸方程-數(shù)學模型。各項系數(shù)即回歸系數(shù)。當輸入為，輸出為

時，多項式擬合曲線相應(yīng)于的估計值為：

現(xiàn)在要使多項式估計值與觀測值的差的平方和為最小，這就是最小二乘法，令得到下列正規(guī)方程組

（1-65）

一般數(shù)據(jù)點個數(shù)大于多項式階數(shù)，這樣，從式（1-65）可求出回歸系數(shù)，從而建立所回歸方程數(shù)學模型。由已知觀測值尋求x與y之間函數(shù)關(guān)系的方法在工業(yè)控制應(yīng)用中稱為“系統(tǒng)辯識”

例經(jīng)實驗獲得低碳鋼的屈服點與晶粒直徑d對應(yīng)關(guān)系見表1-3中，用最小二乘法建立起與之間關(guān)系的數(shù)學模型。表1-3低碳鋼屈服點與晶粒直徑400501052d86121180242345

以作為x，作為，取為一直線。設(shè)實驗數(shù)據(jù)點為，一般來說，直線并不通過其中任一實驗數(shù)據(jù)點，因為每點均有偶然誤差，有所有實驗數(shù)據(jù)點誤差的平方和為

按照上述最小二乘法原理，誤差平方和為最小的直線是最佳直線。求最小值的條件是:及得出（1）

最小二乘法過程中的各計算值12345861211802423459740.050.140.3160.4470.7071.6673961464132400585641190252320260.00250.020.10.20.50.82254.316.9456.88108.74243.915430.209

將計算結(jié)果代入方程（1），聯(lián)立求解得得到以下公式這是典型的霍爾-配奇公式。第四節(jié)聚合物加工模型化聚合物加工過程模型主要是傳遞現(xiàn)象模型研究及計算機應(yīng)用,一些主要加工單元操作擠出、注射、壓延、吹塑等，均已建立了不同目的的多種數(shù)學模型。

1.擠出對于單螺桿、雙螺桿以及口模已作過詳細的研究。單螺桿擠出機的模擬通常包括固體輸送段、熔化段及計量段。流體模型為無彈性流體。計量段早期模型基于等