專題07 焦長與焦比體系之橢圓（教師版）2024高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破

第第⑤．注意：焦長和焦比體系當(dāng)中，一切源于焦長公式的推導(dǎo)，所以掌握焦長公式成為了重中之重，在解答題中要有必要的證明過程，除了本文給到的余弦定理外，還可以用圓錐曲線的極坐標(biāo)方程快速證明，這個(gè)問題大家可以自己去掌握，由于極坐標(biāo)方程在未來高考中的不確定性，本文不給出詳細(xì)證明過程．例1．(1)、（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到，，則，由，得點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)A又在橢圓上，由定義求得，可求橢圓的離心率.【詳解】對直線，令，解得，令，解得，故，，則，設(shè)，則，而，則，解得，則，點(diǎn)A又在橢圓上，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由，則，橢圓的離心率.故選：C(2)、（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點(diǎn)Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用焦點(diǎn)三角形的面積公式及橢圓的定義可得，進(jìn)一步得F1PQ為等邊三角形，且軸，從而可得解.【詳解】由橢圓的定義，，由余弦定理有：，化簡整理得：，又，由以上兩式可得：由，得，∴，又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知軸，所以.故選：B.【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在橢圓上且位于第一象限，滿足，的平分線與相交于點(diǎn)B，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】解法一：首先設(shè)，，在與中，求的值，求得，中，由勾股定理即可求得離心率；解法二：首先設(shè)，，再利用橢圓定義，角平分線定理，以及勾股定理，分布列式，化簡為關(guān)于的齊次式子，即可求解離心率.【詳解】解法一

設(shè)，，則.由，得.因?yàn)椋?在與中，，所以，即，得.因?yàn)?，所以，所以，得，即，則，于是在中，由勾股定理，得，整理得，得，故選：D.解法二

設(shè)，，由得，.因?yàn)椋?，在中，由勾股定理，得?由橢圓的定義得②.因?yàn)槠椒郑?，即③，?lián)立①②③并化簡得，則，得.故選：D.【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·江蘇泰州·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線與在軸上方的交點(diǎn)為.若，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】結(jié)合條件及余弦定理可得，然后利用橢圓的定義即求.【詳解】設(shè)，則，，又，在中，由余弦定理可得，∴，∴，∴，故選：A.例2．（1）、（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可設(shè)可求出所有線段用表示，在中由余弦定理得從而可求.【詳解】如圖，由已知可設(shè)，又因?yàn)楦鶕?jù)橢圓的定義，在中由余弦定理得，所以故橢圓方程為：故選：B（2）、（2019·全國·高考模擬（文））已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與相交于兩點(diǎn)（其中在第一象限），若，，則的離心率的最大值是____．【答案】【解析】【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為,連接,由橢圓對稱性得四邊形為矩形，結(jié)合橢圓定義及勾股定理得a,c不等式求解即可【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為,連接,由橢圓對稱性知四邊形為平行四邊形，又=2c=，故為矩形，=，，即,∴又,故0<e≤故答案為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓定義的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸思想，利用定義轉(zhuǎn)化為矩形是關(guān)鍵，是中檔題【變式訓(xùn)練2-1】、（2019·浙江湖州·一模）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，，過，分別作的垂線交該橢圓于不同于的，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是__________．【答案】【解析】【分析】先求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)弦長公式化簡，解得離心率.【詳解】過作的垂線的方程為，與聯(lián)立方程組解得，過作的垂線的方程為，與聯(lián)立方程組解得，因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.【變式訓(xùn)練2-2】、（2021·四川雅安·模擬預(yù)測（文））已知直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交橢圓C于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】通過直線方程可知點(diǎn)坐標(biāo)和的角度，進(jìn)而得知，通過可求出的值，即可得知的值，從而求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接．直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，又在中，由余弦定理可得，即．又，橢圓的離心率．故選：．例3．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的周長為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和焦點(diǎn)三角形周長可求得，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）易知的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓與圓的交點(diǎn)，求出AB所在的直線方程，并于橢圓方程聯(lián)立根據(jù)弦長公式求得的面積的表達(dá)式，再化簡變形構(gòu)造函數(shù)即可求得其取值范圍.【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為2c，根據(jù)橢圓定義可知，的周長為，離心率聯(lián)立，解得，，所以，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)點(diǎn)，又為切點(diǎn)，可知，所以四點(diǎn)共圓，即在以O(shè)M為直徑的圓上，則以O(shè)M為直徑的圓的方程為，又在圓上，兩式相減得直線AB的方程為，如下圖所示：設(shè)，，由，消去y整理后得，，，所以，又點(diǎn)O到直線PQ的距離，設(shè)的面積為S，則，其中，令，則，設(shè)，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得，于是可得，即的面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)過點(diǎn)M的兩條切線求出切點(diǎn)所在的直線方程，并與橢圓聯(lián)立利用韋達(dá)定理和弦長公式求出面積的表達(dá)式，再通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求面積取值范圍即可.【變式訓(xùn)練3-1】、（2023·河南平頂山·葉縣高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點(diǎn)為．(1)設(shè)M是C上任意一點(diǎn)，M到直線的距離為d，證明：為定值．(2)過點(diǎn)且斜率為k的直線與C自左向右交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB上，且，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用橢圓方程及左焦點(diǎn)可得到，設(shè)，代入橢圓方程，即可計(jì)算出為定值；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓可得二次方程，利用判別式可得，寫出韋達(dá)定理，然后利用題意的向量關(guān)系可得，結(jié)合韋達(dá)定理即可求證【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，即，設(shè)，則，即，所以，故為定值．（2）依題意可知過點(diǎn)P的直線方程為，，，聯(lián)立得，由，得，，．依題意可設(shè)，由點(diǎn)Q在線段AB上，得，所以，由，，得，即，則，即，將，代入上式并整理得，解得，所以．又，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.

1．（2022·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，直線與C交于點(diǎn)M，N.若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓的對稱性可知：四邊形為平行四邊形，結(jié)合橢圓的定義并在中利用余弦定理求出關(guān)于的值，進(jìn)而可求出離心率.【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為，如圖，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，所以，，由橢圓的定義可得：，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得：，也即，因?yàn)椋?，所以橢圓的離心率，故選：.2．（2022·江西南昌·一模（文））已知，，分別是橢圓的左焦點(diǎn)?右焦點(diǎn)?上頂點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意和橢圓的定義可得，進(jìn)而求出，，利用余弦定理求出，結(jié)合列出關(guān)于a與c的方程，解方程即可.【詳解】由橢圓的定義，得，由橢圓的對稱性，得，設(shè)，則，又，所以，因?yàn)闉榈妊切?，所以，即，得，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又，所以，即，整理，得，所以，由，?故選：C3．（2022·安徽·高二開學(xué)考試）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若的周長為16，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義得到，即可得解；【詳解】解：由橢圓定義知：，所以.故選：B4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，C，D分別為線段，的中點(diǎn)，的周長為4，當(dāng)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí)，，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可求出，再利用橢圓的幾何性質(zhì)，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，代入到橢圓方程，求得c,即可求得答案.【詳解】由橢圓的定義知，，，∴，∵C，D分別為線段，的中點(diǎn)，∴，∴的周長為，∴；當(dāng)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí)，，過點(diǎn)B作軸，垂足為M，顯然（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∵，∴，即，∴，，∴，∴，∴，∴橢圓E的離心率，故選：A.5．（2022·四川廣安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合．斜率為直線l經(jīng)過點(diǎn)F，且與C的交點(diǎn)為A，B．若，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓方程求得，寫出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得直線的方程.【詳解】橢圓，，所以，，所以拋物線:.設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立消去，化簡整理得，則.因此直線的方程是.故選：A.6．（2022·四川綿陽·二模（理））已知，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，上存在兩點(diǎn)A，使得梯形的高為（其中為半焦距），且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，可得，則為梯形的兩條底邊，作垂足為，則，從而可求得再結(jié)合建立a,b,c的關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則為梯形的兩條底邊，作于點(diǎn)，則，因?yàn)樘菪蔚母邽?，所以，在中，，則，即，設(shè)，則，在中由余弦定理，得，即，解得，同理，又，所以，即，所以.故選：D.7．（2022·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與相交于兩點(diǎn)（在第一象限）.若四點(diǎn)共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)四點(diǎn)共圓，且直線的傾斜角為，利用橢圓定義可得，進(jìn)而求得橢圓的離心率【詳解】根據(jù)題意四邊形為平行四邊形，又由四點(diǎn)共圓，可得平行四邊形為矩形，即又直線的傾斜角為，則有則，，則，即則橢圓的離心率故選：B8．（2022·四川廣安·一模（理））已知，分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).且是頂角為120°的等腰三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是頂角為120°的等腰三角形，建立等式，解方程可得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，由是頂角為120°的等腰三角形，知，.于是，在中.而，故.結(jié)合得，即，解得.故選：C.9．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的最大值為10，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓定義得到，再由過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長最短，進(jìn)而可得，即得．【詳解】∵，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，∴，，的周長為，即，若最小，則最大．又當(dāng)軸時(shí)，最小，此時(shí)，故，解得．故選：C.10．（2022·四川資陽·二模（理））已知橢圓的上焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，且，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義和離心率定義，可得，所以，所以即可得出答案.【詳解】解：設(shè)下焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓定義，又，，則，，，即.故選：C.11．（2021·云南昆明·模擬預(yù)測（文））已知是橢圓的上頂點(diǎn)，是的右焦點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量建立關(guān)系，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入橢圓方程求解即可得出離心率.【詳解】由題意，，則，因?yàn)椋?，解得，代入橢圓方程可得，即，所以，故選：D12．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率為，點(diǎn)A是橢圓上位于x軸上方的一點(diǎn)，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)橢圓的定義可得，即可得到為等邊三角形，從而得到，即可得到直線的斜率；【詳解】解：依題意，即，又，，，所以，所以為等邊三角形，即為橢圓的上頂點(diǎn)，所以，所以故選：B13．（2021·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知橢圓的長軸端點(diǎn)為，，短軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，.現(xiàn)將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過程中（不共面），以下說法不正確的是（

）A．存在某個(gè)位置,使B．存在某個(gè)位置,使二面角的平面角為C．對任意位置，都有平面D．異面直線與所成角的取值范圍是【答案】B【解析】【分析】選項(xiàng)A.設(shè)在平面的射影為，當(dāng)時(shí)，可判斷；選項(xiàng)B.設(shè)為的中點(diǎn),為二面角的平面角,從而可得范圍，即可判斷;

選項(xiàng)C.由可判斷;

選項(xiàng)D.直線,將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過程中,異面直線與所成角,即為以為軸，為母線的圓錐的母線與所成角,從而可判斷.【詳解】由,所以為銳角則為銳角三角形，故過作的垂線，垂足在線段上，設(shè),當(dāng)平面時(shí)，則，又所以平面,且平面，所以，故A正確；

如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，由,則所以為二面角的平面角.設(shè),則，所以當(dāng)時(shí)，，所以所以，所以不存在某個(gè)位置,使二面角的平面角為，，故B錯(cuò)；由，分別為的中點(diǎn)，則，由平面，平面，則平面，故C正確；直線,將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過程中異面直線與所成角,即為以為軸，為母線的圓錐的母線與所成角.以為軸，為母線的圓錐軸截面頂角為，故D正確.故選：B14．（2022·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】連接PO，則三點(diǎn)共線，延長交軸于點(diǎn)，則由平行于軸得，從而可得，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得，從而可得離心率．【詳解】∵是的中點(diǎn)，G是的重心，∴三點(diǎn)共線，延長交軸于點(diǎn)，則由平行于軸知，，則,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，∴橢圓的離心率為．故選：A﹒15．（2021·四川達(dá)州·二模（理））已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，A是該橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點(diǎn)M，N．記，設(shè)該橢圓的離心率為e，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】A【解析】【分析】設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求的坐標(biāo)，同理可求的坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線可得，利用離心率的范圍可得，從而可判斷為銳角.【詳解】不失一般性，設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，則，，，且.又.又直線的方程為，由可得，故，所以，故，同理，故，因?yàn)楣簿€，故，整理得到即，若，，因?yàn)?，，故，所以，?故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與橢圓有關(guān)的角的計(jì)算，一般利用其正切來刻畫，因?yàn)榻堑恼信c直線的斜率相關(guān)，注意運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.16．（2021·河北秦皇島·二模）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，已知，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算和橢圓的定義可得關(guān)于的方程，由橢圓的離心率的定義可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)中點(diǎn)為H，則，，，代入數(shù)據(jù)并整理得：，等式兩邊同除以得：，解得：或(舍).故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率或其范圍的方法（1）根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時(shí)要注意橢圓本身所含的一些范圍的應(yīng)用，如橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)等．17．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為__________．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義，線段比例關(guān)系和余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，在三角形中，，在三角形中，，以上兩式相等整理得，故或（舍去），故，故答案為?18．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線交橢圓于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，若，則橢圓的離心率等于_________.【答案】【分析】（1）聯(lián)立直線方程和，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)代入橢圓方程，化簡整理，即可求得本題答案.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意可得，雙曲線的一條漸近線為，因?yàn)?，所以，由，解得，即，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，即，即，即，即，即，即，即，即，解得或（舍去），所以橢圓方程為，則，所以橢圓的離心率.故答案為：19．（2021·廣東廣州·二模）已如橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為和，直線過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，且，則的方程為________．【答案】【解析】【分析】由橢圓定義、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性及已知向量等式求出，進(jìn)而求得，即可求出橢圓方程.【詳解】因?yàn)榕c關(guān)于直線對稱，所以直線為的垂直平分線.所以，由橢圓定義可得.設(shè)直線與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，所以所以，，又，解得.又，則，故橢圓C的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于結(jié)合圖形由向量等式求出.20．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于A，B兩點(diǎn)，滿足且，則______．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合勾股定理可得求得，再根據(jù)與，進(jìn)而根據(jù)求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，．設(shè)，根據(jù)橢圓定義可得，所以．因?yàn)椋?，所以，即，解得．所以，則，，所以．故答案為：21．（2016·上?！そy(tǒng)考二模）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且若的面積為，則__________．【答案】3【分析】由橢圓的定義得到，在利用與垂直，得到，化簡得到，在利用即可得到答案.【詳解】由題意知，與垂直，所以，所以，所以，所以，所以，所以．故答案為：3.22．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在橢圓上，若，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且，則橢圓C的離心率為___________.【答案】【分析】利用利用點(diǎn)在橢圓上得到，再通過得出，再聯(lián)立即可求解.【詳解】因?yàn)樵跈E圓C上，所以可得，即.由，得，所以，整理得，所以，即，.故答案為：.23．（2018·江西分宜·一模（文））已知橢圓的右焦點(diǎn)為,是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的周長的最大值為____________.【答案】14【解析】【詳解】如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，|AF|=4=|AF′|，則|PF|+|PF′|=2a=6，∵|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，∴△APF的周長=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6﹣|PF′|≤4+6+4=14，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)A，F(xiàn)′，P共線時(shí)取等號．∴△APF的周長最大值等于14．故答案為14.24．（2013·福建·高考真題（理））橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為，若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足,則該橢圓的離心率等于_____【答案】【解析】【詳解】注意到直線過點(diǎn)即為左焦點(diǎn)，又斜率為，所以傾斜角為，即．又故，那么．，，．【考點(diǎn)定位】考查離心率的算法，要求學(xué)生要有敏銳的觀察力，比如直線的特征．屬于難題．25．（2009·重慶·高考真題（文））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，則由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|設(shè)點(diǎn)（x0，y0）由焦點(diǎn)半徑公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,則a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由橢圓的幾何性質(zhì)知：x0＞-a則>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故橢圓的離心率：e∈(-1，1)，故答案為(-1，1)．考點(diǎn)：本題主要考查了橢圓的定義，性質(zhì)及焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用，特別是離心率應(yīng)是橢圓考查的一個(gè)亮點(diǎn)，多數(shù)是用a，b，c轉(zhuǎn)化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍．點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是能通過橢圓的定義以及焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而得到離心率的范圍．26．（2022·廣東·統(tǒng)考三模）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，C的短軸長為4，且C上存在一點(diǎn)P，使得，寫出C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意和橢圓的定義，求得，進(jìn)而求得，又由，求得，即可寫出一個(gè)橢圓的方程.【詳解】因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，所以，?根據(jù)題意可設(shè)C的方程為，因?yàn)闄E圓的短軸長為4，則可得，，又由，可得，解得，所以其中橢圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.故答案為：（答案不唯一）.27．（2011·全國·高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，離心率為，過作直線交于兩點(diǎn)，且的周長為，那么的方程為__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：依題意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.∴橢圓C的方程為考點(diǎn)：橢圓的定義及幾何性質(zhì)28．（2022·安徽省舒城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，P為橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，且，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到等量關(guān)系，結(jié)合余弦定理得到，，利用求出，進(jìn)而得到.【詳解】由題意得：，，，，解得：，，由余弦定理得：，解得：，因?yàn)椋獾茫?，，因?yàn)?，即，解得：，故故答案為?9．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，則斜率的值為______．【答案】或【解析】【分析】由已知點(diǎn)A,B坐標(biāo)即可表示橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，聯(lián)立橢圓方程與直線EF可得，此后再由平面向量的已知關(guān)系構(gòu)建方程求得參數(shù)即可.【詳解】由題可知，該橢圓的方程為，直線，的方程分別為，設(shè)，其中，聯(lián)立方程，故，由，知，由點(diǎn)D在直線AB上，則，所以或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，還考查了由直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)而聯(lián)立方程與已知平面向量關(guān)系求參數(shù)，屬于較難題.30．（2019·浙江嘉興·高二期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過且與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為________【答案】【解析】【分析】將代入橢圓的方程得，設(shè)，由，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，代入橢圓方程得，進(jìn)而求解橢圓的離心率，得到答案．【詳解】由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，將代入橢圓的方程，可得，可設(shè)，由，即,所以，即，可得，代入橢圓方程可得，即，又由，整理得，即，所以橢圓的離心率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識的綜合考查，其中根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入橢圓的方程得出是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．31．（2020·四川·棠湖中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式，化簡，利用橢圓的取值范圍列不等式并轉(zhuǎn)化為只含有的不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)焦半徑公式，化簡得，解得，根據(jù)橢圓橫坐標(biāo)的取值范圍，得，不等式同時(shí)除以化為.解得.即離心率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查求解有關(guān)橢圓離心率的問題，考查不等式的解法，屬于中檔題.32．（2021·江西·上高二中?？寄M預(yù)測）已知橢圓：(，)的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，直線與圓：相切于點(diǎn)，若，則的離心率為___________.【答案】【分析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，，由可知，得到，由此求得，由橢圓定義可得；在中，利用勾股定理構(gòu)造方程求得，由可得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，由圓方程知其圓心，半徑，，，又，，，解得：，由橢圓定義知：；與圓相切于點(diǎn)，，又，，，即，即，整理可得：，.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結(jié)果.33．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知橢圓C：的離心率為，直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，使得過M的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，交l于N，且滿足，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，(4，0).【解析】【分析】(1)根據(jù)離心率列出一個(gè)方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程由再得一個(gè)方程，結(jié)合本身a、b、c的關(guān)系即可解出a、b、c的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，，，直線PQ的方程為，由，得，即，聯(lián)立直線PQ與橢圓方程，得和，從而可求m、n、t的關(guān)系，再結(jié)合N是l和直線PQ的交點(diǎn)即可求出m的值，從而可判定PQ是否過定點(diǎn).(1)∵，∴，，將代入，整理得，∴，解得，∴，，∴橢圓C的方程為.(2)設(shè)，，，，直線PQ的方程為，由，得，即.將代入橢圓方程，整理得，，即，∴，.∴.將(1，n)代入，可得，代入上式可得.當(dāng)直線PQ的方程為時(shí)，也滿足題意.故定點(diǎn)M為(4，0).34．（2022·廣東·紅嶺中學(xué)高二期末）已知橢圓，其焦點(diǎn)為，，離心率為，若點(diǎn)滿足.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心滿足：，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式，結(jié)合橢圓的定義可得在橢圓上，代入橢圓方程，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系、以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解即可.(1)依題意得，點(diǎn)，滿足，可得在橢圓上，可得：，且，解得，，所以橢圓的方程為；(2)設(shè)，，，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)A,B關(guān)于y軸對稱，則重心為，由得：，則，此時(shí)與橢圓不會(huì)有兩交點(diǎn)，故不合題意，故；聯(lián)立與橢圓方程,可得，可得，化為，，，①，設(shè)的重心，由，可得②由重心公式可得，代入②式，整理可得可得③①式代入③式并整理得,則，，令，則，可得，，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程以及直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程形式是解決本題的關(guān)鍵.35．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若△為等邊三角形，且點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓