高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【復(fù)習(xí)】第04講 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（學(xué)生卷）

第04講指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、類比冪函數(shù)的研究方法，學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并對這幾類基本初等函數(shù)的變化差異進行比較。2、通過解決簡單的實際問題，體會如何根據(jù)變化差異，選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律?！究键c目錄】考點一：指數(shù)運算考點二：指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)考點三：對數(shù)運算考點四：對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)考點五：指對冪比較大小考點六：函數(shù)的零點與方程的根考點七：二分法考點八：選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實際應(yīng)用問題【基礎(chǔ)知識】知識點一、根式的概念和運算法則1、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時，正數(shù)的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時，正數(shù)的偶次方根有兩個，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．2、兩個等式（1）當(dāng)且時，；（2）知識點二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：知識點三、有理數(shù)指數(shù)冪的運算1、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無理數(shù)時，是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍適用．2、指數(shù)冪的一般運算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運算性質(zhì)．在化簡運算中，也要注意公式：，，，，的運用，能夠簡化運算．知識點四、無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點：①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．（2）定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍．知識點五、實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①．②．③．知識點六、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：時圖象時圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時，，圖象都經(jīng)過點③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時，時，⑤時，時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識點七、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時，（底大冪大）時，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：知識點八、對數(shù)概念1、對數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：．其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識點詮釋：對數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即；（2）1的對數(shù)為0，即；（3）底的對數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，．以e（e是一個無理數(shù)，）為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，簡記為．4、對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識點九、對數(shù)的運算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和；推廣：（2）兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)；知識點十、對數(shù)公式1、對數(shù)恒等式：2、換底公式同底對數(shù)才能運算，底數(shù)不同時可考慮進行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個重要的結(jié)論：．知識點十一、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，知識點十二、底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識點詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見下圖）知識點十三、反函數(shù)1、反函數(shù)的定義設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個函數(shù)（即對任意的一個，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因為自變量的取值范圍即定義域都是B，對應(yīng)法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．知識點十四：函數(shù)的零點1、函數(shù)的零點（1）一般地，如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.知識點詮釋：①函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．歸納：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．（2）二次函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點個數(shù)，方程的實根個數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個二重零點無實根無零點（3）二次函數(shù)零點的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持同號.引伸：對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點的判定（1）利用函數(shù)零點存在性的判定定理如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點，使，這個也就是方程的根.知識點十五：二分法1、二分法對于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐漸逼近零點，進而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個零點x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內(nèi)取一個閉區(qū)間，使與異號，即，零點位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)為．計算和，并判斷：①如果，則就是的零點，計算終止；②如果，則零點位于區(qū)間中，令；③如果，則零點位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點，則此中點對應(yīng)的坐標(biāo)為．計算和，并判斷：①如果，則就是的零點，計算終止；②如果，則零點位于區(qū)間中，令；③如果，則零點位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)的近似零點，計算終止．這時函數(shù)的近似零點滿足給定的精確度．【考點剖析】考點一：指數(shù)運算例1．（2023·江西南昌·高一期末）（1）若求的值；（2）計算：．例2．（2023·吉林延邊·高一期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2).例3．（2023·江蘇連云港·高一期末）計算：（1）（2）解不等式：考點二：指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)例4．（2023·湖北黃石·高一期末）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．例5．（2023·江西省銅鼓中學(xué)高一期末）函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．例6．（2023·安徽合肥·高一期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(3)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例7．（2023·江西省銅鼓中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例8．（2023·廣東惠州·高一期末）設(shè)函數(shù)．(1)若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，求函數(shù)的零點；(2)若函數(shù)在，的最大值為，求實數(shù)的值．考點三：對數(shù)運算例9．（2023·上海長寧·高一期末）已知，，用，表示_____．例10．（2023·江蘇南通·高一期末）的值為______.例11．（2023·吉林·農(nóng)安縣教師進修學(xué)校高一期末）計算______.例12．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高一期末）方程的解為___________．考點四：對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)例13．（2023·天津南開·高一期末）下列命題中：①與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱;②已知函數(shù)，則;③當(dāng)，且時，函數(shù)必過定點；④已知，且，則實數(shù).上述命題中的所有正確命題的序號是___________.例14．（2023·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知是在定義域上的單調(diào)函數(shù)，且對任意都滿足：，則滿足不等式的的取值范圍是________.例15．（2023·遼寧·新民市第一高級中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則________．例16．（2023·天津南開·高一期末）已知函數(shù).(1)求該函數(shù)的定義域；(2)求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域.例17．（2023·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知，函數(shù)(1)若函數(shù)過點，求此時函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.考點五：指對冪比較大小例18．（2023·江蘇連云港·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．例19．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．例20．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高一期末）已知，則（

）A． B．C． D．例21．（2023·貴州六盤水·高一期末）在，，，四個數(shù)中，最大的是（

）A． B． C． D．考點六：函數(shù)的零點與方程的根例22．（2023·黑龍江·佳木斯一中高一期末）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．例23．（2023·浙江·杭州高級中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，若函數(shù)（且）在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例24．（2023·河北滄州·高一期末）已知函數(shù)關(guān)于x的方程有4個根，，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例25．（2023·山西·臨汾第一中學(xué)校高一期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個不等的實數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C． D．例26．（2023·安徽合肥·高一期末）已知函數(shù)且點在函數(shù)的圖像上.(1)求，并在如圖直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像；(2)求不等式的解集；(3)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．例27．（2023·福建·福州四中高一期末）已知，(1)若函數(shù)滿足，求實數(shù)的值；(2)（i）在（1）的條件下，判斷函數(shù)在上是否有零點，并說明理由：（ii）若函數(shù)在R上有零點，求的取值范圍.考點七：二分法例28．（多選題）（2023·黑龍江·哈爾濱三中高一期末）若函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且函數(shù)的唯一零點同在區(qū)間，，，內(nèi)，則與符號不同的是（

）A． B． C． D．例29．（多選題）（2023·福建·莆田第二十五中學(xué)高一期末）設(shè)，某學(xué)生用二分法求方程的近似解（精確度為），列出了它的對應(yīng)值表如下：0123若依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，則得到符合要求的方程的近似解可以為（

）A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44例30．（2023·河南信陽·高一期末）下列函數(shù)圖象與x軸都有交點，其中不能用二分法求其零點的是___________.（寫出所有符合條件的序號）考點八：選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實際應(yīng)用問題例31．（2023·甘肅·永昌縣第一高級中學(xué)高一期末）某商人計劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當(dāng)投資額為萬元時，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別是，，已知投資額為0時，收益為0.(1)求a，b的值;(2)若該商人投入萬元經(jīng)營這兩種商品，試建立該商人所獲收益的函數(shù)模型；(3)如果該商人準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收益的最大值.例32．（2023·廣東珠?！じ咭黄谀┕麍@A占地約3000畝，擬選用果樹B進行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多可種植40棵，種植成本（萬元）與果樹數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示.149161(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個更適合作為與的函數(shù)模型；(2)已知該果園的年利潤（萬元）與的關(guān)系為，則果樹數(shù)量為多少時年利潤最大？【真題演練】1．（2023·天津·高考真題）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．62．（2023·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．3．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．4．（2023·天津·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．5．（2023·全國·高考真題（文））下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高考真題（文））青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.67．（2023·全國·高考真題（文））若是奇函數(shù)，則_____，______．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高一期末）要測定古物的年代，可以用放射性碳法：在動植物的體內(nèi)都含有微量的放射性14C．動植物死亡后，停止了新陳代謝，14C不再產(chǎn)生，且原有的14C會自動衰變，經(jīng)過5730年（14C的半衰期），它的殘余量只有原來的一半，經(jīng)過科學(xué)測定，若14C的原始含量為1，則經(jīng)過x年后的殘留量為y=0.999879x.用放射性碳法，測得我國遼東半島普蘭店附近的泥炭中發(fā)掘出的古蓮子中14C的殘余量占原來的87.9%，試推算古蓮子的生活年代約（

）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，結(jié)果保留整數(shù)）A．1033年前 B．1044年前 C．1055年前 D．1066年前2．（2023·湖北武漢·高一期末）已知正數(shù)，滿足，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023·遼寧·新民市第一高級中學(xué)高一期末）若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為增函數(shù)，又，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．（2023·天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．5．（2023·浙江·余姚中學(xué)高一期中）已知函數(shù)（，且），若對于任意恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．6．（2023·河北行唐啟明中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)f（x）＝loga（x2－4x－5）（a>1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．（－∞，－2） B．（－∞，－1）C．（2，＋∞） D．（5，＋∞）7．（2023·浙江·溫州外國語學(xué)校高一階段練習(xí)）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間為（

）A． B． C． D．8．（2023·安徽·合肥一六八中學(xué)高一期中）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的單調(diào)減區(qū)間為（

）．A． B． C． D．二、多選題9．（2023·廣東·珠海市第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．在區(qū)間上先增后減B．C．若方程在上有6個不等實根，則D．若方程恰有3個實根，則10．（2023·河北·蠡縣二中高一階段練習(xí)）已知a<b<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)2<b2 B．()a>()b C．