高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【預(yù)習(xí)】第07講 平面向量的運算（教師卷）

第07講平面向量的運算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握平面向量的運算和探索其運算性質(zhì)．2、體會平面向量運算的作用．【考點目錄】考點一：向量的加法運算考點二：向量的減法運算考點三：與向量的模有關(guān)的問題考點四：向量的數(shù)乘運算考點五：共線向量與三點共線問題考點六：平面向量數(shù)量積的運算考點七：平面向量模的問題考點八：向量垂直（或夾角）問題【基礎(chǔ)知識】知識點一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任一向量，我們規(guī)定．知識點詮釋：兩個向量的和是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進(jìn)行運算，但要注意向量的起點與終點．知識點二：向量求和的多邊形法則及加法運算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當(dāng)與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有2、向量加法的運算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：知識點三：向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當(dāng)不共線時，；（2）當(dāng)同向且共線時，同向，則；（3）當(dāng)反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，．知識點四：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．知識點詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實質(zhì)是一樣的．（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個向量的差仍是一個向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．知識點五：數(shù)乘向量1、向量數(shù)乘的定義實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）；（2）①當(dāng)時，的方向與的方向相同；②當(dāng)時．的方向與的方向相反；③當(dāng)時，．2、向量數(shù)乘的幾何意義由實數(shù)與向量積的定義知，實數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當(dāng)時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的倍得到；當(dāng)時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當(dāng)時，=；當(dāng)時，=-，與互為相反向量；當(dāng)時，=．實數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數(shù)乘的運算律設(shè)為實數(shù)結(jié)合律：；分配律：，知識點六：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當(dāng)向量時，與任一向量共線．（2）當(dāng)向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，．2、向量共線的判定定理是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．知識點詮釋：（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數(shù)，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．知識點七：平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．2、如圖（1），設(shè)是兩個非零向量，，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內(nèi)任取一點O，作．過點M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識點詮釋：1、兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定．（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分．符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因為其中有可能為0．2、投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時投影為0；當(dāng)=0時投影為；當(dāng)=180時投影為．3、投影向量是一個向量，當(dāng)對于任意的，都有．知識點八：平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．事實上，當(dāng)為銳角時，由于，所以；當(dāng)為鈍角時，由于，所以；當(dāng)時，由于，所以，此時與重合；當(dāng)時，由于，所以；當(dāng)時，由于，所以．知識點九：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，．特別的或4、5、知識點十：向量數(shù)量積的運算律1、交換律：2、數(shù)乘結(jié)合律：3、分配律：知識點詮釋：1、已知實數(shù)、、，則．但是；2、在實數(shù)中，有，但是顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．【考點剖析】考點一：向量的加法運算例1．已知、是不平行的向量，若，，，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】＝＋＋＝＝＝2．故選：C例2．設(shè)，是任一非零向量，則在下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤．正確結(jié)論的序號是（）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤【答案】D【解析】，又是任一非零向量，，，，①③⑤正確．故選：D．例3．如圖，在平行四邊形中，O是和的交點．（1）____________；（2）________；（3）_______；（4）_________．【答案】【解析】（1）由平行四邊形法則，；（2）由向量加法的三角形法則，；（3）由向量加法法則得，；（4）由向量加法法則得，．故答案為：；；；．考點二：向量的減法運算例4．在四邊形中，對角線與交于點O，若，則四邊形一定是（）A．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴四邊形一定是梯形．故選：B．例5．如圖，已知向量，，求作向量．【解析】解：（1）如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；（2）如圖，將向量的起點平移到向量的起點，以向量的終點為起點，向量的終點為終點的向量即為向量；考點三：與向量的模有關(guān)的問題例6．（1）已知、、的模分別為1、2、3，求|++|的最大值；（2）如圖所示，已知矩形ABCD中，，設(shè)，，，試求|++|的大小．【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，∴|++|的最大值為6．（2）過點D作AC的平行線，交BC的延長線于E，如圖所示．∵DE∥AC，AD∥BE，∴四邊形ADEC為平行四邊形，∴，，于是，∴．例7．已知平面上不共線的四點，若，則等于（）A． B． C．3 D．2【答案】C【解析】解：由，得，即，所以，即，故選：C．例8．已知非零向量，滿足，，且|－|=4，求|+|的值．【解析】如圖，，，則．以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則．由于．故，所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以O(shè)ACB是矩形．根據(jù)矩形的對角線相等有，即|+|=4．考點四：向量的數(shù)乘運算例9．計算下列各式：（1）4（+）3（）；（2）3（2+）（2+3）；（3）．【解析】（1）原式=43+4+3=+7．（2）原式=36+32+3=7+6．（3）原式．例10．如圖所示，的兩條對角線相交于點，且用表示【解析】在中考點五：共線向量與三點共線問題例11．設(shè)兩非零向量和不共線，（1）如果求證三點共線．（2）試確定實數(shù)，使和共線．【解析】（1）證明

共線，又有公共點，∴三點共線．（2）解

∵和共線，∴存在，使，則由于和不共線，只能有則．例12．已知向量，，其中，不共線，向量，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使向量與共線？【解析】因為向量，，所以要使與共線，則應(yīng)有實數(shù)，使，即，即得．故存在這樣的實數(shù)λ，μ，只要，就能使與共線．例13．如圖所示：，在中，向量，AD與BC交于點M，設(shè)，在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1．【解析】因為A，M，D三點共線，所以，因為B，M，C三點共線，所以，解得，所以，因為＝p，＝q，所以．因為共線，所以，即，所以＋＝1．考點六：平面向量數(shù)量積的運算例14．已知，，（1）求；（2）求向量在向量方向上的投影【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，∴，（2）∵，∴向量a在向量a＋b方向上的投影為＝＝．例15．已知平面向量，滿足，，．（1）求；（2）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）依題意，，得，，所以；（2）由向量與的夾角為銳角，可得，即有，解得，而當(dāng)向量與同向時，可知，綜上所述的取值范圍為．例16．已知，且向量與向量的夾角．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量．【解析】解：；（2）設(shè)與向量方向相同的單位向量為，則．向量在向量上的投影為：，所以向量在向量上的投影向量為．考點七：平面向量模的問題例17．已知向量與滿足，，與的夾角大小為60°，則______．【答案】【解析】解：由題可知，，，與的夾角大小為60°，則，即，則，解得：．故答案為：．例18．已知向量，滿足：，，．（1）求與的夾角；（2）求；（3）若，求實數(shù)的值．【解析】（1）由題意得，即，∴，∵，∴．（2）．（3）∵，∴，即．∴．考點八：向量垂直（或夾角）問題例19．已知，且向量在向量方向上的投影數(shù)量為．（1）求與的夾角；（2）求；（3）當(dāng)為何值時，向量與向量互相垂直？【解析】（1）因為，所以．又在方向上的投影數(shù)量為，所以，所以，所以．（2）．（3）因為與互相垂直，所以，所以，所以．例20．已知，，，求：（1）與的夾角；（2）與的夾角的余弦值．【解析】（1），，，設(shè)與的夾角為，則．又，；（2），，．，又．，設(shè)與的夾角為，則．即與的夾角的余弦值為．【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C.2．（全國·高考真題（文））已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．3．（北京·高考真題（理））設(shè)點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】∵A?B?C三點不共線,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2?>0與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.4．（2023·全國·高考真題（理））設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．5．（2023·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.【答案】【解析】∵∴∴.故答案為：.6．（2023·全國·高考真題（理））設(shè)為單位向量，且，則______________.【答案】【解析】因為為單位向量，所以所以解得：所以故答案為：7．（2023·全國·高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.【答案】【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．8．（全國·高考真題（理））已知為單位向量，且=0，若，則___________.【答案】.【解析】因為，，所以，，所以，所以．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，已知為上一點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.2．（2023·吉林·白城市通榆縣毓才高級中學(xué)有限責(zé)任公司高一階段練習(xí)）化簡等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選:C.3．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知在邊長為2的等邊中，向量，滿足，，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】如圖所示：設(shè)點是的中點，由題可知：.故選：C.4．（2023·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)（文））如圖，等腰梯形ABCD中，，點E為線段CD中點，點F為線段BC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】連接，，點為線段中點，點為線段的中點，,又，.故選：B.5．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，已知是邊上一點，若，則（

）A．2 B．１C．-2 D．－1【答案】C【解析】如圖所示：因為，所以為線段的三等分點中靠近的點，所以=,所以，所以.故選：C.6．（2023·全國·高一課時練習(xí)）是所在平面內(nèi)一點，，則點必在（

）A．內(nèi)部 B．在直線上C．在直線上 D．在直線上【答案】B【解析】，，，即與共線∴點一定在邊所在直線上.故選：B．7．（2023·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高一階段練習(xí)），，向量與向量的夾角為，則向量在向量方向上的投影等于（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】向量在向量方向上的投影等于.故選：C.8．（2023·上海市金匯高級中學(xué)高一期末）如圖，將四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，、是原來小正方形的其中兩個頂點邊，是小正方形的其余頂點，在所有中，不同的數(shù)值有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】D【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可知，，，，所以所有中有3個數(shù)值.故選：D二、多選題9．（2023·湖北·丹江口市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）邊長為2的等邊中，為的中點.下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】根據(jù)向量加法法則可知，，故A正確；根據(jù)向量減法法則可得，故B錯誤；由向量數(shù)量積公式得，故C正確；根據(jù)向量加法法則可知，，所以D正確.故選：ACD.10．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）已知非零平面向量，，，則說法正確的是（

）A．存在唯一的實數(shù)對，使 B．若，則C． D．若，則【答案】BC【解析】A選項，若與共線，與，都不共線，則與不可能共線，故A錯；B選項，因為，,是非零平面向量，若，則，，所以，故B正確；C選項，因為，故C正確；D選項，若，則，，所以，故D錯誤.故選：BC.11．（2023·安徽省淮南第五中學(xué)高一階段練習(xí)）在△ABC中，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．若，則是等腰三角形D．若則是銳角三角形【答案】ABD【解析】由向量減法法則可得，故A項錯誤；，故B項錯誤；設(shè)中點為，，則，因為,所以由三線合一得，所以是等腰三角形，故C項正確；可以得到是銳角，不能得到是銳角三角形，故D項錯誤；故選：ABD.12．（2023·吉林·長春市實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在邊長為2的菱形中，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，，因為四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，所以△ABD，△BCD均為等邊三角形，所以，所以，故B正確；對于C，因為△ABD為等邊三角形，所以所在線段為中邊上的中線，也即AB邊上的高，所以，故C正確；對于D，因為AD//BC，所以，所以，故D錯誤.故選：BC三、填空題13．（2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）設(shè)向量、滿足，則_______．【答案】2【解析】，故.故答案為：214．（2023·黑龍江·齊齊哈爾三立高級中學(xué)有限公司高一階段練習(xí)）若，則__．【答案】1【解析】，，又，，，解得，，，故答案為：1．15．（2023·上海市曹楊中學(xué)高一期末）已知向量與的夾角為，記且，則_____．【答案】【解析】且，，即又向量與的夾角為，，解得，，，又，所以故答案為：16．（2023·上