高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【預(yù)習(xí)】第09講 平面向量的應(yīng)用（學(xué)生卷）

第09講平面向量的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、學(xué)會運(yùn)用向量方法解決平面幾何和物理中的問題．2、把解直角三角形問題拓展到解任意三角形問題．【考點目錄】考點一：向量在平面幾何中的應(yīng)用考點二：向量在解析幾何中的應(yīng)用考點三：向量在物理學(xué)的應(yīng)用考點四：余弦定理的應(yīng)用考點五：正弦定理的應(yīng)用考點六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀考點七：正余弦定理舉例應(yīng)用考點八：解三角形范圍與最值問題【基礎(chǔ)知識】知識點一：向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下幾個方面：（1）證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運(yùn)用向量平行（共線）的條件：（或）．（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：（或）．（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式．（5）向量的坐標(biāo)法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題．知識點詮釋：用向量知識證明平面幾何問題是向量應(yīng)用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運(yùn)算法則運(yùn)算就可以達(dá)到解決幾何問題的目的了．知識點二：向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．常見解析幾何問題及應(yīng)對方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)．（2）垂直條件運(yùn)用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點的坐標(biāo)的方程．（3）定比分點問題：轉(zhuǎn)化為三點共線及向量共線的等式條件．（4）夾角問題：利用公式．知識點三：向量在物理中的應(yīng)用（1）利用向量知識來確定物理問題，應(yīng)注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象．（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論．知識點四、余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：余弦定理的變形公式：知識點五、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；②已知三角形的三條邊，求其三個角．知識點詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一．知識點六、正弦定理正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，即：知識點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個等式可視為一個方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：=1\*GB3①已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊．知識點七、解三角形的概念一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素．任何一個三角形都有六個元素：三邊、和三角．在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．有了關(guān)于解三角形的有關(guān)定理（如勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理，還有即將學(xué)習(xí)的余弦定理等），三角學(xué)特別是測量學(xué)得到了一次飛躍，它可以由已知的三角形的邊和角來推斷未知的邊和角．知識點八、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；知識點九：利用正、余弦定理解三角形已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形．特別是求角時盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論．在中，已知和A時，解的情況主要有以下幾類：①若A為銳角時：一解一解兩解無解②若A為直角或鈍角時：知識點十：三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余關(guān)系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；知識點十一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實際中應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確．其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；（2）根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實際問題抽象成解三角形模型；（3）分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；（4）將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題．知識點十二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實際問題畫圖數(shù)學(xué)問題解三角形數(shù)學(xué)問題的解檢驗實際問題的解【考點剖析】考點一：向量在平面幾何中的應(yīng)用例1．（2023·全國·高一課時練習(xí)）用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對角線．求證：．例2．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O為坐標(biāo)原點，的平分線交線段AB于點D，求點D的坐標(biāo)．考點二：向量在解析幾何中的應(yīng)用例3．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知點.求：（1）的值；（2）的大?。唬?）點到直線的距離.考點三：向量在物理學(xué)的應(yīng)用例4．（2023·全國·高一課時練習(xí)）兩個力，作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點移動到點（其中、分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）.求：（1），分別對該質(zhì)點做的功；（2），的合力對該質(zhì)點做的功.考點四：余弦定理的應(yīng)用例5．（2023·海南華僑中學(xué)高二期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，（1）求角A；（2）如果，，求△ABC的面積.例6．（2023·廣東羅湖·高三期末）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大??；（2）若邊上的高為，求．例7．（2023·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高一期中）已知的三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為，且(1)求角C﹔(2)若，,求的值；考點五：正弦定理的應(yīng)用例8．（2023·貴州金沙·高二期中）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．（1）若，，求外接圓的半徑；（2）若的周長為16，，求．例9．（2023·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，求的周長.考點六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀例10．（多選題）（2023·廣東·深圳市華美外國語（國際）學(xué)校高一期中）在中，角所對的邊分別為，下列說法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則為等腰直角三角形C． D．若，則為鈍角三角形考點七：正余弦定理舉例應(yīng)用例11．（2023·福建三明·高一期末）如圖，某景區(qū)擬開辟一個平面示意圖為五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為電瓶車專用道，，，．(1)求BE的長；(2)若，求五邊形ABCDE的周長．例12．（2023·山東濱州·高一期末）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，的面積為.(1)求AC；(2)求.例13．（2023·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）一艘船向正北方向航行，在點處看燈塔在北偏東的方向上，且距離為海里，這艘船航行40海里后到達(dá)點.此時燈塔在船只北偏東的方向上且距離為海里，求及.考點八：解三角形范圍與最值問題例14．（2023·湖南·長郡中學(xué)高一期末）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若_____________．（請從①；②；③這三個條件中任選一個填入上空）(1)求角C；(2)若時，求周長的最大值．例15．（2023·江蘇宿遷·高一期末）在中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，在①；②.兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中（將選的序號填在橫線處），已知，______．(1)若，求b；(2)求面積S的最大值．例16．（2023·山西省長治市第二中學(xué)校高一期末）的內(nèi)角的對邊分別為.的面積為，且.(1)求角；(2)求的最大值.例17．（2023·湖北·武漢市第四十三中學(xué)高一期中）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，且，(1)求；(2)若，求的取值范圍.【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2023·全國·高考真題（文））在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2023·浙江·高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．4．（2023·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.5．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．6．（2023·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．7．（2023·全國·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：8．（2023·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．9．（2023·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．10．（2023·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．11．（2023·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；12．（2023·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則___________，___________.【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，，則的值為（

）A． B．－ C．－ D．2．（2023·黑龍江·齊齊哈爾三立高級中學(xué)有限公司高一階段練習(xí)）如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取、兩點，從、兩點分別測得樹尖的仰角為、，且、兩點之間的距離為，則樹的高度為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列四個條件中能夠使角A被唯一確定的是（

）①；②；③，；④，b＝2，．A．①② B．②③ C．②④ D．②③④4．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）．A． B． C． D．5．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在△中，內(nèi)角的對邊分別是，且，則等于（

）A．1 B． C．3 D．6．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則角的值為（

）A． B． C． D．7．（2023·浙江·高一期中）一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里8．（2023·湖北·丹江口市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法不正確的是（

）A．若，則B．若，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若三角形為斜三角形，則二、多選題9．（2023·浙江·良渚高級中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，下列各組條件中使得有兩個解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．（2023·黑龍江·哈九中高一期中）在中，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（

）A．若，則 B．若，則該三角形有兩解C．周長有最大值12 D．面積有最小值11．（2023·福建福州·高一期末）在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，已知，且，則（

）A． B．角的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是三、填空題12．（2023·上海·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，若，，，則_____．13．（2023·上海市曹楊中學(xué)高一期末）在中，，則的外接圓半徑為______．14．（2023·遼寧·沈陽市第四十中學(xué)高一階段練習(xí)）在△AB