高考數(shù)學 拋物線課后作業(yè) 文 新人教A版

課后作業(yè)(五十一)拋物線一、選擇題1．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點重合，則p的值為()A．－2B．2C．－4D．42．(2013·大連調(diào)研)已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()A.eq\f(3,4)B．1C.eq\f(5,4)D.eq\f(7,4)3．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|＝()A．4eq\r(3)B．8C．8eq\r(3)D．164．(2012·課標全國卷)等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準線交于A，B兩點，|AB|＝4eq\r(3)，則C的實軸長為()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4D．85．(2013·宿州質(zhì)檢)直線l過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是()A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x6．已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x二、填空題7．若點P到直線y＝－1的距離比它到點(0，3)的距離小2，則點P的軌跡方程是________．8．(2012·北京高考)在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點F，且與該拋物線相交于A，B兩點．其中點A在x軸上方，若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________．9．(2012·陜西高考)如圖8－7－2所示是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m．水位下降1m圖8－7－2三、解答題圖8－7－310．如圖8－7－3所示，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A.(1)求實數(shù)b的值；(2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．11．(2013·南昌質(zhì)檢)已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程．(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．圖8－7－412．(2013·廈門模擬)如圖8－7－4所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．解析及答案1．【解析】因為橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點為(2，0)，所以拋物線y2＝2px的焦點為(2，0)，則p＝4.【答案】D2．【解析】∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq\f(1,2)＝3，∴xA＋xB＝eq\f(5,2).∴線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(5,4).【答案】C3．【解析】由題意，直線l的方程為x＝－2，焦點F為(2，0)，設A點的坐標為(－2，n)，則eq\f(n－0,－2－2)＝－eq\r(3)，解得n＝4eq\r(3)，又PA⊥l，由(4eq\r(3))2＝8x，得x＝6.∴|PF|＝x＋eq\f(p,2)＝8.【答案】B4．【解析】設C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1.∵拋物線y2＝16x的準線為x＝－4，聯(lián)立eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1和x＝－4得A(－4，eq\r(16－a2))，B(－4，－eq\r(16－a2))，∴|AB|＝2eq\r(16－a2)＝4eq\r(3)，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的實軸長為4.【答案】C5．【解析】如圖，分別過點A、B作拋物線準線的垂線，垂足分別為M、N，由拋物線的定義知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，又四邊形AMNB為直角梯形，故AB中點到準線的距離即為梯形的中位線的長度4，又拋物線的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，所以4＝2＋eq\f(p,2)＝p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x.【答案】B6．【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，且兩點在拋物線上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝2px1，①,yeq\o\al(2,2)＝2px2，②))①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又線段AB的中點的縱坐標為2，∴y1＋y2＝4，又直線的斜率為1，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，∴2p＝4，p＝2，∴拋物線的準線方程為x＝－eq\f(p,2)＝－1.【答案】B二、填空題7．【解析】由題意可知點P到直線y＝－3的距離等于它到點(0，3)的距離，故點P的軌跡是以點(0，3)為焦點，以y＝－3為準線的拋物線，且p＝6，所以其標準方程為x2＝12y.【答案】x2＝12y8．【解析】∵y2＝4x的焦點為F(1，0)，又直線l過焦點F且傾斜角為60°，故直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，將其代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0.∴x＝eq\f(1,3)或x＝3.又點A在x軸上方，∴xA＝3.∴yA＝2eq\r(3).∴S△OAF＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)9．【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則A(2，－2)，將其坐標代入x2＝－2py，得p＝1.∴x2＝－2y.當水面下降1m，得D(x0，－3)(x0>0將其坐標代入x2＝－2y得xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝eq\r(6).∴水面寬|CD|＝2eq\r(6)m.【答案】2eq\r(6)三、解答題10．【解】(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＝4y，))得x2－4x－4b＝0.(*)因為直線l與拋物線C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)為x2－4x＋4＝0，解得x＝2.將其代入x2＝4y，得y＝1.故點A(2，1)．因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y＝－1的距離，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.11．【解】(1)直線AB的方程是y＝2eq\r(2)(x－eq\f(p,2))，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，∴p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r(2))，B(4，4eq\r(2))．設eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4，4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．【解】(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)．∵點P(1，2)在拋物線上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求拋物線的方程是y2＝4x，準線方程是x＝－1.(2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，∴kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得yeq\o\al(2,1)＝4x1，①yeq\o\al(2,2)＝4x2，②∴e