高考數學 數列的綜合應用課后作業(yè) 文 新人教A版

課后作業(yè)(三十三)數列的綜合應用一、選擇題1．已知各項不為0的等差數列{an}，滿足2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，數列{bn}是等比數列，且b7＝a7，則b6b8＝()A．2B．4C．8D．162．(2012·北京高考)已知{an}為等比數列，下面結論中正確的是()A．a1＋a3≥2aB．aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,3)≥2aeq\o\al(2,2)C．若a1＝a3，則a1＝a2D．若a3>a1，則a4>a23．已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1，n∈N*)，第k項滿足750＜ak＜900，則k等于()A．8B．7C．6D．54．在如圖所示的表格中，如果每格填上一個數后，每一行成等差數列，每一列成等比數列，那么x＋y＋z的值為()2412xyzA.1B．2C．3D．45．各項均為正數的等比數列{an}的公比q≠1，a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差數列，則eq\f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝()A.eq\f(\r(5)＋1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1－\r(5),2)D.eq\f(\r(5)＋1,2)6．(2013·西安質檢)植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現將樹坑從1到20依次編號，為使各位同學從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為()A．①和?B．⑨和eq\o(○,\s\up1(10))C．⑨和?D.eq\o(○,\s\up1(10))和?二、填空題7．數列{an}是公差不為0的等差數列，且a1，a3，a7為等比數列{bn}的連續(xù)三項，則數列{bn}的公比為________．8．(2012·湖南高考)對于n∈N*，將n表示為n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，當i＝k時，ai＝1；當0≤i≤k－1時，ai為0或1.定義bn如下：在n的上述表示中，當a0，a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn＝1；否則bn＝0.b2＋b4＋b6＋b8＝________．9．對正整數n，若曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列{eq\f(an,n＋1)}的前n項和為________．三、解答題10．(2012·重慶高考)已知{an}為等差數列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通項公式；(2)記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比數列，求正整數k的值．11．(2012·安徽“江南十?！备呷摽?若數列{an}滿足：a1＝eq\f(2,3)，a2＝2，3(an＋1－2an＋an－1)＝2.(1)證明數列{an＋1－an}是等差數列；(2)求使eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)＞eq\f(5,2)成立的最小的正整數n.12．(2013·長沙模擬)一企業(yè)的某產品每件利潤100元，在未做電視廣告時，日銷售量為b件．當對產品做電視廣告后，記每日播n次時的日銷售量為an(n∈N*)件，調查發(fā)現：每日播一次則日銷售量a1件在b件的基礎上增加eq\f(b,2)件，每日播二次則日銷售量a2件在每日播一次時日銷售量a1件的基礎上增加eq\f(b,4)件…，每日播n次，該產品的日銷售an件在每日播n－1次時的日銷售量an－1件的基礎上增加eq\f(b,2n)件．合同約定：每播一次企業(yè)需支付廣告費2b元．(1)試求出an與n的關系式；(2)該企業(yè)為了獲得扣除廣告費后的日利潤最大，求每日電視廣告需播多少次．解析及答案一、選擇題1．【解析】∵數列{an}是等差數列，∴a3＋a11＝2a7由2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0得4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，又an≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝beq\o\al(2,7)＝42＝16.【答案】D2．【解析】設{an}的公比為q(q≠0)，則a2＝a1q，a3＝a1q2，∴aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,3)＝aeq\o\al(2,1)(1＋q4)≥aeq\o\al(2,1)·2q2＝2aeq\o\al(2,2).【答案】B3．【解析】由an＋1＝3Sn及an＝3Sn－1(n≥2)，得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)，又a2＝3S1＝3，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，（n＝1），,3×4n－2，（n≥2），))又750＜ak＜900，驗證k＝6.【答案】C4．【解析】由題知表格中第三列中的數成首項為4，公比為eq\f(1,2)的等比數列，故有x＝1.根據每行成等差數列得第四列前兩個數字依次為5，eq\f(5,2)，故第四列的公比為eq\f(1,2).∴y＝5×(eq\f(1,2))3＝eq\f(5,8)，同理z＝6×(eq\f(1,2))4＝eq\f(3,8).因此x＋y＋z＝2.【答案】B5．【解析】由題意知，a3＝a2＋a1，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，又q＞0，∴q＝eq\f(1＋\r(5),2)，∴eq\f(a3a4＋a2a6,a2a6＋a4a5)＝eq\f(aeq\o\al(2,1)q5＋aeq\o\al(2,1)q6,aeq\o\al(2,1)q6＋aeq\o\al(2,1)q7)＝eq\f(1＋q,q（1＋q）)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).【答案】B6．【解析】設樹苗放在第i個樹坑旁邊(如圖所示)則各個樹坑到第i個樹坑距離的和是S＝10(i－1)＋10(i－2)＋…＋10(i－i)＋10[(i＋1)－i]＋…＋10(20－i)＝10[eq\f(（i－1＋1）（i－1）,2)＋eq\f(（1＋20－i）（20－i）,2)]＝10(i2－21i＋210)．∴當i＝10或11時，S有最小值．【答案】D二、填空題7．【解析】由題意知aeq\o\al(2,3)＝a1·a7，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴等比數列{bn}的公比q＝eq\f(a3,a1)＝eq\f(a1＋2d,a1)＝2.【答案】28．【解析】依據所給定義：2＝1×21＋0×20，b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，b8＝1.故b2＋b4＋b6＋b8＝3.【答案】39．【解析】由題意，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，故曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線的斜率為k＝n2n－1－(n＋1)2n，切點為(2，－2n)，所以切線方程為y＋2n＝k(x－2)．令x＝0得an＝(n＋1)2n，即eq\f(an,n＋1)＝2n，則數列{eq\f(an,n＋1)}的前n項和為2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2.【答案】2n＋1－2三、解答題10．【解】(1)設數列{an}的公差為d，由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋2d＝8，,2a1＋4d＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2.))所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，即an＝2n.(2)由(1)可得Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（2＋2n）,2)＝n(n＋1)．因為a1，ak，Sk＋2成等比數列，所以aeq\o\al(2,k)＝a1Sk＋2.從而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.11．【解】(1)證明由3(an＋1－2an＋an－1)＝2可得：an＋1－2an＋an－1＝eq\f(2,3)，即(an＋1－an)－(an－an－1)＝eq\f(2,3)，∴數列{an＋1－an}是以a2－a1＝eq\f(4,3)為首項，eq\f(2,3)為公差的等差數列．(2)由(1)知an＋1－an＝eq\f(4,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝eq\f(2,3)(n＋1)，于是累加求和得：an＝a1＋eq\f(2,3)(2＋3＋…＋n)＝eq\f(1,3)n(n＋1)，∴eq\f(1,an)＝3(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)＝3－eq\f(3,n＋1)＞eq\f(5,2)，∴n＞5，∴最小的正整數n為6.12．【解】(1)由題意，電視廣告日播k次時，該產品的日銷售量ak滿足ak＝ak－1＋eq\f(b,2k)(k∈N*，a0＝b)，∴an＝b＋eq\f(b,2)＋eq\f(b,22)＋…＋eq\f(b,2n)＝eq\f(b[1－（\f(1,2)）n＋1],1－\f(1,2))＝b(2－eq\f(1,2n))，(n∈N*)．所以，該產品每日銷售量an(件)與電視廣告播放量n(次/日)的關系式為an＝b(2－eq\f(1,2n))，(n∈N*)．(2)該企業(yè)