適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測十二離散型隨機(jī)變量的方差新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE十二離散型隨機(jī)變量的方差(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2022·臨沂高二檢測)已知離散型隨機(jī)變量X的方差為1,則D(3X-1)= ()A.2 B.3 C.8 D.9【解析】選D.由題意,離散型隨機(jī)變量X的方差為1,即DX=1,則D(3X-1)=32×DX=9×1=9.2.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表,則ξ的標(biāo)準(zhǔn)差為 ()ξ135P0.40.1xA.3.56 B.3.2C.3.2 D.3.56【解析】選D.由分布列的性質(zhì)得0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,所以Eξ=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,所以Dξ=1-3.22×0.4+3-3.22×0.1+所以ξ的標(biāo)準(zhǔn)差為Dξ=3.563.隨機(jī)變量ξ的分布列如下表,且E(ξ)=1.1,則D(ξ)= ()ξ01xP1p3A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.684【解析】選C.先由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求得p=12.由E(ξ)=0×15+1×12+310x=1.1,得x=2,所以D(ξ)=(0-1.1)2×15+(1-1.1)2×12+(2-1.1)24.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為PX=i=13,i=1,2,3,則DX等于A.13 B.23【解析】選B.因?yàn)镻(X=i)=13,i所以E(X)=1×13+2×13+3×13=2,D(X)=13×(1-2)2+13×(2-2)2+15.(2022·太湖高級中學(xué)高二檢測)已知隨機(jī)變量X滿足E2X-1=2,D2X-A.EX=2,DX=5B.EX=32,DX=C.EX=32,DXD.EX=2,DX=1【解析】選C.E2X-1=2EX-1=2,得EX=32,D2X-1=46.(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1,則下列結(jié)果正確的有 ()A.E(X)=2 B.D(X)=2.4C.E(Y)=5 D.D(Y)=14【解析】選AC.由已知q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,得q=0.1,所以E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2×2+1=5,D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=4×1.8=7.2.二、填空題(每小題5分,共10分)7.(2021·莆田高二檢測)隨機(jī)變量ξ的分布列如下表:ξ-101Pa1b且E(ξ)=13,則D(ξ)=【解析】因?yàn)镋(ξ)=-a+b=13又a+b+12=1,所以a=112,b=512,D(ξ)=-1-132×112+0-132×12+1-132×512=718.答案:78.若隨機(jī)變量X的分布列如表,且EX=2,則D(2X-3)的值為.

X02aP1p1【解析】由題意可得:16+p+13=1,解得p=12,因?yàn)镋(X)=2,所以0×16+2×12+a×1所以D(X)=(0-2)2×16+(2-2)2×12+(3-2)2×1所以D(2X-3)=4D(X)=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知X的分布列如下:X-101P11a(1)求X2的分布列;(2)計(jì)算X的方差.【解析】(1)由分布列的性質(zhì),知12+14+a=1,故a=14,所以X201P13(2)由(1)知a=14,所以E(X)=(-1)×12+0×14+1×1故D(X)=-1+142×12+0+142×14+1+142×14=111610.已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xP11p若EX=23(1)求DX的值;(2)若Y=3X-2,求DY的值.【解析】(1)由題意可得12+13+p=1,得p=又EX=0×12+1×13+x×16解得x=2.所以DX=0-232×12+1-232×13+(2)因?yàn)閅=3X-2,所以DY=D3X-2=9DX=9×【補(bǔ)償訓(xùn)練】根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如表:降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,求:(1)在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率;(2)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差.【解析】(1)由題意可得PX≥300=1-P(X<300)=1-0.3=0X≥300且工期延誤不超過6天的概率為PX≥300,Y≤6=P300≤X<900=P(X<900)-PX<300=0.9-0.3=0.6,PY≤6X≥300=P(2)由題意可知PX<300=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0P700≤X<900=PX<900-P(X<700)=0PX≥900=1-PX<900=1-0.所以,隨機(jī)變量Y的分布列如表所示:Y02610P0.30.40.20.1所以EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,DY=0-32×0.3+2-32×0.4+6-32×0所以,工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.11.(2022·濱海高二檢測)在1,2,3,…,8這8個(gè)自然數(shù)中,任取3個(gè)數(shù)字.(1)求這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)偶數(shù)的概率;(2)設(shè)X為所取的3個(gè)數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列及方差.【解析】(1)這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)偶數(shù),則剩余2個(gè)數(shù)為奇數(shù),設(shè)這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)偶數(shù)為事件A,則P(A)=C41C(2)X的可能取值為0,1,2,3,PX=0=C40C43C83=114,PX=1=C41C42C所以隨機(jī)變量X的概率分布列為X0123P1331期望為EX=0×114+1×37+2×37+3×1方差為DX=0-322×114+1-322×37+(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知ξ的分布列為ξ-101P111下列各式:①E(ξ)=-13;②D(ξ)=23③P(ξ=0)=13.其中正確的個(gè)數(shù)是 (A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.由題意,根據(jù)隨機(jī)變量的分布列的期望與方差的計(jì)算公式可得:Eξ=(-1)×12+0×13+1×16=-13,所以①正確;Dξ=-1+131+132×16=59,所以②不正確;又由分布列可知P(ξ=0)=12.一個(gè)袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè),現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為ξ1;當(dāng)無放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為ξ2,則 ()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【解析】選B.ξ1可能的取值為0,1,2;ξ2可能的取值為0,1,Pξ1=0=Pξ1=2=19,Pξ1=1=1-49-19=49,故E(ξ1)=23,D(ξ1)=02×49+22×Pξ2=0=2×13×2=13,Pξ2=1=2×1×23×2=23,故E(ξ2)=2故E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2).3.(2021·麗水高二檢測)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下:ξ132Pnm2m-n則D(ξ)的最大值為 ()A.136 B.118 C.16【解析】選C.由已知,m+n+2m-n=1,即m=13所以E(ξ)=n+32×13+2×23-n=116-D(ξ)=n-562×n+n-132×13+n+162×23-n=-n2+23n+118=-n-132+16,因?yàn)閚>0,23-n>0,所以0<n<2所以由二次函數(shù)性質(zhì)得,當(dāng)n=13時(shí),D(ξ)的最大值為14.(多選題)隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ012Pabb其中ab≠0,下列說法正確的是 ()A.a+b=1B.E(ξ)=3C.D(ξ)隨b的增大而減小D.D(ξ)有最大值【解析】選ABD.由已知a+b2+b2=1,即a+b=1,所以A正確;E(ξ)=0×a+1×b2+2×b2=3b2,所以B正確;D(ξ)=a0-3b22+b21-3b22+b22-3b22=-94b2+52b,b∈(0,1),所以在0,59上函數(shù)是增函數(shù),在59,1上函數(shù)是減函數(shù),所以D(ξ)先增大后減小、有最大值,當(dāng)b=5二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ123P0.5xy若E(ξ)=158,則D(ξ)=【解析】由E(ξ)=1×0.5+2x+3y=158,整理得2x+3y=118,又由0.5+x+y=1,即x+y=所以x=18,y=38,D(ξ)=1-1582×0.5+2-158答案:556.已知不透明口袋中裝有除顏色外其余完全相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球,現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個(gè)黑球;若取出的是黑球,則放回一個(gè)白球).記換好后袋中的白球個(gè)數(shù)為X,則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=.

【解析】依題意可知X的可能取值為1,3,且PX=1=25,PX=3=35X13P23所以EX=1×25+3×35=115,DX=1-1152×2答案:1157.已知隨機(jī)變量X的分布列為X012Pa2ab當(dāng)D(X)最大時(shí),E(X)=.

【解析】由題知b=1-3a,所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a,D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a,故當(dāng)a=316時(shí)D(X)最大,此時(shí)E(X)=5答案:58.隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=n)=an2+n(n=1,2,3),其中a是常數(shù),則D【解析】由題意得a1×2+=a1-12+12-13+13-14=34a=1,PX=3=19,則E(X)=23+49+13=139,D(X)=1-1392×23所以D(aX)=a2D(X)=608729答案:608三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2022·麗水高二檢測)某校從學(xué)生會宣傳部6名成員(其中男生4人,女生2人)中,任選3人參加某省舉辦的“我看中國改革開放三十年”演講比賽活動(dòng).(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ,求ξ的分布列;(2)求ξ的均值,方差.【解析】(1)由題意得ξ可能取值為0,1,2,所以Pξ=0=C43C63=15,Pξ=1=C42所以ξ的分布列為ξ012P131(2)由(1)知,Eξ=0×15+1×35+2×Dξ=0-12×15+1-12×310.(2022·廣州高二檢測)甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲,投籃者若投中,則繼續(xù)投籃,否則由對方投籃,第一次由甲投籃.已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為13,3(1)求第三次由乙投籃的概率;(2)在前3次投籃中,乙投籃的次數(shù)為ξ,求ξ的分布列;(3)求ξ的期望及標(biāo)準(zhǔn)差.【解析】(1)因?yàn)榈谌斡梢彝痘@包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中,所以P=13×23+23×3(2)由題意,ξ可取0,1,2.P(ξ=0)=13×13=19;P(ξ=1)=13×23+23×14=718;P(故ξ的分布列為ξ012P171(3)由(2)有E(ξ)=0×19+1×718+2×12D(ξ)=0-25182×19+1-25182×718+2【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(2022·溫州高二檢測)某運(yùn)動(dòng)隊(duì)擬派出甲、乙兩人去參加自由式滑雪比賽.比賽分為初賽和決賽,其中初賽有兩輪,只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽.已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為12;乙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和1-p,其中0<p<1(1)甲、乙兩人中,誰進(jìn)入決賽的可能性大?(2)若甲、乙兩人中恰有1人進(jìn)入決賽的概率為1336,設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為ξ,試比較ξ的方差與12【解析】(1)記甲、乙兩人進(jìn)入決賽的概率分別為P1,P2,則P1=12×12=14,P2=p1-p<p+1-p22=14所以,甲進(jìn)決賽的可能性大.(2)由題知,14×1-p1-p+34p1-p解得p=13所以P2=p1-p=13×2所以P(ξ=0)=34×79=2136,P(ξ=1)=14×79+34×29=1336,P(ξ的分布列為ξ012P21132所以Eξ=0×2136+1×1336+2×236Eξ2=1336+836Dξ=Eξ2-Eξ2=2136-17362.某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為ξ12345P0.20.30.30.10.1商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為300元;分4期或5期付款,其利潤為400元,η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.(1)求事件A:“購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率PA;(2)求η的分布列、期望和方差.【解析】(1)購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款,由A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”,知A表