楊輝三角問題

第六章

楊輝三角問題1(2004年上海市普通高校春季高考數(shù)學(xué)試卷第11題)如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第_____行中從左至右第14與第15個數(shù)的比為2:3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………………………一.引入高考問題楊輝是誰?什么叫楊輝三角形?2解讀:楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家。字謙光，錢塘〔今杭州〕人。楊輝的數(shù)學(xué)著作甚多,有《日用算法》《楊輝算法》等.楊輝楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)涵了許多優(yōu)美的規(guī)律。古今中外，許多數(shù)學(xué)家如賈憲、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，并將研究結(jié)果應(yīng)用于實踐。二.楊輝簡介3

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

這個表就稱為楊輝三角三.什么叫楊輝三角?4四.這個表出自何處？這樣的表，最早出現(xiàn)在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算術(shù)》一書中。在這本書里，記載著類似下面的表：56歷史證明，“楊輝三角〞出現(xiàn)在楊輝編著的《詳解九章算術(shù)》一書中，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲〔約公元11世紀(jì)〕已經(jīng)用過它，這說明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀(jì)．然而，在歐洲，這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的,他們把這個表叫做帕斯卡三角．其實，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右.7五.楊輝三角根本性質(zhì)1.三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加2.楊輝三角具有對稱性〔對稱美〕，與首末兩端“等距離〞的兩個數(shù)相等3.所有行的第二個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

討論8

111

12113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

所有行的第二個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列9

111121

13311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

三角形數(shù)4.第三斜行的規(guī)律10

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

5.與數(shù)字11的冪的關(guān)系11

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

6.與數(shù)字2的冪的關(guān)系++++++楊輝三角第n行中n個數(shù)之和等于2的n-1次冪。12〔a+b)1=〔a+b)2=〔a+b)3=〔a+b)4=〔a+b)5=〔a+b)6=

1a+1b1a2+2ab+1b21a3+3a2b+3ab2+1b31a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b41a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b51a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6

111211331146411510105116152015617.與二項式展開式系數(shù)的關(guān)系〔a+b)n展開式的系數(shù)就是楊輝三角的第n+1行寫一寫13右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式Cnk

an-kbk

：二項展開式的通項,記作Tk+1Cnk：

二項式系數(shù)(k∈{0,1,2,‥·n})(a+b)n＝Cn0

an

＋Cn1

an-1b＋Cn2

an-2b2＋‥·＋Cnk

an-kbk＋

‥·＋Cnnbn(n∈N*)Tk+1=Cnk

an-kbk(k∈{0,1,2,‥·n})二項式系數(shù)為Cn0，Cn1，Cn2，…

Cnk,…,Cnn.就是楊輝三角的第n+1行的數(shù)字.重要性質(zhì)：〔每年必考〕14第1行1第6行15101051第2行11第3行121第4行1331第5行14641第7行1615201561第8行172135352171第9行18285670562881……第n+1行15

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

8.斜行和水平行之間的關(guān)系

n行中的第i個數(shù)是斜行i-1中前n-1個數(shù)之和第1行第6行第2行第3行第4行第5行第7行16

111121133114641151010511615201561

9.斐波那契數(shù)列112358換一角度“斜〞向看：斜線的和依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．a(chǎn)1=1,a2=1,a3＝2，……有：an=an-1+an-2(n≥3)17斐波那契數(shù)與植物花瓣3……百合和蝴蝶花5…藍(lán)花、耬[lóu]

斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛[gèn]花8………翠雀花13………金盞和玫瑰21……………紫宛34、55、89……………雛菊18同學(xué)們，楊輝三角中還有很多奧秘等待你們?nèi)ヌ剿?、發(fā)現(xiàn)！19(2004年上海市普通高校春季高考數(shù)學(xué)試卷第11題)如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第_____行中從左至右第14與第15個數(shù)的比為2:3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………………………n=34解決高考問題20高考模擬題21高考模擬題222007年高考23多24高考模擬題2526【2010年高考浙江卷理科數(shù)學(xué)試題】〔19〕如圖，一個小球從M處投入，通過管道自上面下落到A或B或C，小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動，假設(shè)投入的小球落到A，B，C，那么分別設(shè)為1，2，3等獎.〔I〕獲得1，2，3等獎的折扣率分別為50%，70%，90%，記隨機(jī)變量為獲得k(k=1,2,3)等獎的折扣率，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望〔II〕假設(shè)有3人次〔投入1球為1人次〕參加促銷活動，記隨機(jī)變量為獲得1等獎或2等獎的人次，求.27（Ⅰ）解：由題意得的分布列為 則（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，獲得1等獎或2等獎的概率為 由題意得 則P90%70%50%3328

11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………

1.在彈球游戲中的應(yīng)用

六.楊輝三角的實際應(yīng)用29彈球游戲，小球向容器內(nèi)跌落，碰到第一層擋物后向兩側(cè)跌落碰到第二層阻擋物，再向兩側(cè)跌落第三層阻擋物，如此一直下跌最終小球落入底層。根據(jù)具體地區(qū)獲的相應(yīng)的獎品〔AG區(qū)獎品最好，BF區(qū)獎品次之，CE區(qū)獎品第三，D區(qū)獎品最差〕。AB