巧用三角形輔助線

三角形---作輔助線例題講解一：利用轉化倍角，構造等腰三角形當一個三角形中出現一個角是另一個角的2倍時，我們就可以通過轉化倍角尋找到等腰三角形.如圖①中，假設∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，那么△DBC是等腰三角形；如圖②中，假設∠ABC＝2∠C，如果延長線CB到D，使BD＝BA，連結AD，那么△ADC是等腰三角形；BCDA①②BCDA③BCDA如圖③中，假設∠B＝2∠ACB，如果以BCDA①②BCDA③BCDADCBA1、如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求證：∠DBC＝∠DCBAABC2、如圖，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求證：∠AABC二、利用角平分線+平行線，構造等腰三角形當一個三角形中出現角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖①中，假設AD平分∠BAC，AD∥EC，那么△ACE是等腰三角形；如圖②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，那么△ADE是等腰三角形；如圖③中，AD平分∠BAC，CE∥AB，那么△ACE是等腰三角形；①ADCBE②ECBDA①ADCBE②ECBDABACDE③④ABFCDEG3、如圖，△ABC中，AB＝AC，在AC上取點P，過點P作EF⊥BC，交BA的延長線于點E，垂足為點F.求證：.AE＝AP.FFBACPEFCDEBA4、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CDFCDEBA求證：EF∥AB.E圖1E圖1ABCD當一個三角形中出現角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中，假設AD平分∠BAC，AD⊥DC，那么△AEC是等腰三角形.5、如圖2，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于D。求證：BF＝2CD.圖圖2BFDCA四：其他方法總結1．截長補短法ABCDE6、ABCDE求證：AB+BE=AC．2．倍長中線法題中條件假設有中線，可延長一倍，以構造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內。EABCDF7、EABCDF求證：AC=BFAE8、△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖,求證EF＝2AD。AEFBFBCDCD3．平行線法〔或平移法〕假設題設中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt△,有時可作出斜邊的中線．ABCPQO9、△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°ABCPQOOABCOABCPQD圖〔1〕ABCPQDE圖〔2〕O構造全等三角形，即“截長補短法〞．⑵此題利用“平行法〞解法也較多，舉例如下：如圖〔1〕，過O作OD∥BC交AC于D，那么△ADO≌△ABO來解決．AABCPQ圖〔3〕DO如圖〔2〕，過O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，那么△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO來解決．如圖〔3〕，過P作PD∥BQ交AB的延長線于D，那么△APD≌△APC來解決．AABCPQ圖〔4〕DO④如圖〔4〕，過P作PD∥BQ交AC于D，那么△ABP≌△ADP來解決．ABCDM10、：如圖，在△ABC中，ABCDM求證：AM=〔AB+AC〕穩(wěn)固練習1、〔2023年浙江省紹興市〕如圖，分別為的，邊的中點，將此三角形沿折疊，使點落在邊上的點處．假設，那么等于〔〕A．B．C．D．CDBCDBAABCD2〔2023柳州〕如下圖，圖中三角形的個數共有〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個3、(2023寧夏)如圖，的周長為32，且于，的周長為24，那么的長為．4、(09年達州)長度為2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的四條線段，從中任取三條線段能組成三角形的概率是______DCBA5、如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C.求證：CD＝ABDCBA6、如圖，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分線相交于點O，過點O作DE∥AC，分別交AB、BC于點D、E.試猜測線段AD、CE、DE的數量關系，并說明你的猜測理由.CCABEDO7、〔2023年長沙〕如圖，是平行四邊形對角線上兩點，，求證：．DDCABEF8、AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。9、D為△ABC內的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。10、(2023年寧德市)如圖〔1〕，正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．〔1〕連接GD，求證：△ADG≌△ABE；〔2〕連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數，并說明理由；NMBEACDFG圖〔1〕圖〔2〕MBE