5.1任意角和弧度制（七大考點(diǎn)）（原卷版）

任意角和弧度制1.了解任意角的概念,區(qū)分正角、負(fù)角、零角與象限角；2.理解并掌握終邊相同的角的概念,能寫(xiě)出終邊相同的角所組成的集合；3.了解角度制與弧度制的概念,能進(jìn)行弧度和角度的互化；4.掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式.一、任意角1.任意角（1）角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．（2）角的表示如圖，射線的端點(diǎn)是圓心，它從起始位置按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置，形成一個(gè)角，射線分別是角的始邊和終邊．“角”或“”可以簡(jiǎn)記成“”．（3）角的分類(lèi)類(lèi)型定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角（4）相等角與相反角①設(shè)角由射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，角由射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成．如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱.②我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角的相反角記為.③設(shè)是任意兩個(gè)角．我們規(guī)定，把角的終邊旋轉(zhuǎn)角，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是.④角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．3．終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和．（1）為任意角，“”這一條件不能漏；（2）與中間用“”連接，如可理解成．二、弧度制1．角的單位制（1）角度制：規(guī)定1度的角等于周角的，這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制．（2）弧度制：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度(radian)的角，弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度．2．角度與弧度的換算角度化弧度弧度化角度度數(shù)弧度數(shù)弧度數(shù)度數(shù)3．扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式弧長(zhǎng)公式面積公式角度制弧度制（1）運(yùn)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡(jiǎn)單得多，但要注意它的前提是為弧度制．（2）在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)公式的變形運(yùn)用：①考點(diǎn)01與任意角有關(guān)的概念辨析1．下列命題正確的是（

）A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C．小于的角是銳角D．集合內(nèi)的角不一定是鈍角2．如圖，花樣滑冰是冰上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一．運(yùn)動(dòng)員通過(guò)冰刀在冰面上劃出圖形，并表演跳躍、旋轉(zhuǎn)等高難度動(dòng)作．運(yùn)動(dòng)員在原地轉(zhuǎn)身的動(dòng)作中，僅僅幾秒內(nèi)就能旋轉(zhuǎn)十幾圈，甚至二十幾圈，因此，花樣滑冰美麗而危險(xiǎn)．運(yùn)動(dòng)員順時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩圈半所得角的度數(shù)是，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩圈半所得角的度數(shù)是．3．（多選）下列命題不正確的是（

）A．終邊相同的角都相等 B．鈍角比第三象限角小C．互為相反的兩個(gè)角關(guān)于軸對(duì)稱 D．銳角都是第一象限角4．（多選）鐘表在我們的生活中隨處可見(jiàn)，高一某班的同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對(duì)鐘表的運(yùn)行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開(kāi)了激烈的討論，若將時(shí)針與分針視為兩條線段，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．小趙同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)了．”B．小錢(qián)同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12:35時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為．”D．小李同學(xué)說(shuō)：“時(shí)鐘的時(shí)針與分針一天之內(nèi)會(huì)重合22次．”5．時(shí)針走過(guò)1小時(shí)30分鐘，則分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度是.考點(diǎn)02終邊相同的角的表示及應(yīng)用6．終邊落在直線上的角的集合為（

）A． B．C． D．7．（多選）與463°角終邊相同的角可以表示為（

）A． B． C． D．8．在與角終邊相同的角中最大的負(fù)角是；最小的正角是.9．寫(xiě)出與的角終邊重合的所有角組成的集合．10．寫(xiě)出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．考點(diǎn)03象限角和區(qū)域角的表示11．已知α是第二象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角12．如果角α為銳角，那么，所在的象限是．13．集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

14．在區(qū)間內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．(1)；(2)；(3)．15．用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.16．寫(xiě)出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

考點(diǎn)04判斷所在象限17．若角的終邊落在第三或第四象限，則的終邊落在（

）A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限18．若是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角19．（多選）已知是第三象限角，則不可能是第幾象限角（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限20．（多選）若是第三象限的角，則可能是（

）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角21．已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個(gè)象限的角；（2）求的范圍.考點(diǎn)05角度與弧度的互化與應(yīng)用22．3rad是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四23．（多選）把表示成，的形式，則值可以是（

）A． B． C． D．24．（多選）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是25．將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)326．將下列角度與弧度進(jìn)行互化：(1)；(2)；(3)；(4)．考點(diǎn)06用弧度制表示角的集合27．用弧度制表示與角的終邊相同的角的集合為（

）A． B．C． D．28．終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為．（弧度制表示）29．用弧度制寫(xiě)出終邊落在直線上的角是．30．在平面直角坐標(biāo)系中用陰影部分表示角，，，其中31．用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界，如圖所示).考點(diǎn)07扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式32．扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國(guó)傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來(lái)慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂(lè)、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類(lèi)較多，受大眾喜愛(ài)的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開(kāi)后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長(zhǎng)為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．33．設(shè)扇形周長(zhǎng)為，圓心角的弧度數(shù)是3，則扇形的面積為（

）A．12 B．16 C．18 D．2434．某時(shí)鐘的分針長(zhǎng)，時(shí)間從12：00到12：25，求：(1)分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過(guò)的扇形面積；(3)分針尖端所走過(guò)的弧長(zhǎng)（取，計(jì)算結(jié)果精確到）．35．已知兩圓錐的底面積分別為、，其側(cè)面展開(kāi)圖中圓心角之和為，則兩圓錐的母線長(zhǎng)之和的最小值為（

）A． B． C． D．36．扇形的周長(zhǎng)為.(1)若這個(gè)扇形的面積為，求圓心角的大?。?2)求該扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小.37．已知扇形的圓心角為，半徑為．(1)若，，求扇形的周長(zhǎng)和面積；(2)若扇形的面積是定值，求扇形的周長(zhǎng)最小時(shí)，圓心角的值．基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．2．已知為第二象限角，那么是（

）A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角3．已知扇形的半徑為，面積為，則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．2 B．1 C． D．44．下列命題中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長(zhǎng)為半徑的弦所對(duì)的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個(gè)角的終邊重合，則這兩個(gè)角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)5．（多選）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．6．（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．1弧度的角與的角一樣大B．三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角C．若是第三象限角，則是第二或第四象限角D．終邊在軸正半軸上的角的集合為7．已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．8．如圖，射線繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120到達(dá)位置，則．9．沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以為圓心為半徑的圓弧，C是的中點(diǎn)，D在上，且．記的弧長(zhǎng)的近似值為，“會(huì)圓術(shù)”給出了的一種計(jì)算公式：．若，，則根據(jù)該公式計(jì)算．10．在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出下列角的集合：(1)終邊在軸的非負(fù)半軸上；(2)終邊在上．11．設(shè)角.(1)將角用弧度表示出來(lái)，并指出它是第幾象限角；(2)將角用角度表示出來(lái)，并在內(nèi)找出與它終邊相同的角.12．時(shí)鐘的分針長(zhǎng)5cm，從到，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角是多少弧度？分針掃過(guò)的扇形面積是多少？分針尖端所走過(guò)的弧長(zhǎng)是多少？（取，計(jì)算結(jié)果精確到）能力提升練1．設(shè)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．2．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼從書(shū)中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）記為，夏至那天正午，陽(yáng)光直射，立桿無(wú)影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為，測(cè)得立桿與太陽(yáng)光線所成的角約為.他又派人測(cè)得，兩地的距離km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（

）（）A．km B．km C．km D．km4．（多選）下列結(jié)論中不正確的是（

）A．終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的角的集合是B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是C．若是第一象限角，則是第一象限角，為第一或第二象限角D．，，則5．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛沷現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫(huà)法：先畫(huà)等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長(zhǎng)為2，則萊洛三角形的面積是．6．（1）時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為．（2）如圖，射線繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120到達(dá)位置，則．7．如圖，扇形半徑為6，陰影部分周長(zhǎng)為，則矩形面積等于.8．（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫(xiě)出角的集合