5.1任意角和弧度制（七大考點）（原卷版）

任意角和弧度制1.了解任意角的概念,區(qū)分正角、負角、零角與象限角；2.理解并掌握終邊相同的角的概念,能寫出終邊相同的角所組成的集合；3.了解角度制與弧度制的概念,能進行弧度和角度的互化；4.掌握并能應(yīng)用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式.一、任意角1.任意角（1）角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．（2）角的表示如圖，射線的端點是圓心，它從起始位置按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，形成一個角，射線分別是角的始邊和終邊．“角”或“”可以簡記成“”．（3）角的分類類型定義圖示正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角（4）相等角與相反角①設(shè)角由射線繞端點旋轉(zhuǎn)而成，角由射線繞端點旋轉(zhuǎn)而成．如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱.②我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角的相反角記為.③設(shè)是任意兩個角．我們規(guī)定，把角的終邊旋轉(zhuǎn)角，這時終邊所對應(yīng)的角是.④角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．3．終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和．（1）為任意角，“”這一條件不能漏；（2）與中間用“”連接，如可理解成．二、弧度制1．角的單位制（1）角度制：規(guī)定1度的角等于周角的，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制．（2）弧度制：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．2．角度與弧度的換算角度化弧度弧度化角度度數(shù)弧度數(shù)弧度數(shù)度數(shù)3．扇形的弧長公式及面積公式弧長公式面積公式角度制弧度制（1）運用弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡單得多，但要注意它的前提是為弧度制．（2）在運用公式時，還應(yīng)熟練地掌握這兩個公式的變形運用：①考點01與任意角有關(guān)的概念辨析1．下列命題正確的是（

）A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個角一定相等C．小于的角是銳角D．集合內(nèi)的角不一定是鈍角2．如圖，花樣滑冰是冰上運動項目之一．運動員通過冰刀在冰面上劃出圖形，并表演跳躍、旋轉(zhuǎn)等高難度動作．運動員在原地轉(zhuǎn)身的動作中，僅僅幾秒內(nèi)就能旋轉(zhuǎn)十幾圈，甚至二十幾圈，因此，花樣滑冰美麗而危險．運動員順時針旋轉(zhuǎn)兩圈半所得角的度數(shù)是，逆時針旋轉(zhuǎn)兩圈半所得角的度數(shù)是．3．（多選）下列命題不正確的是（

）A．終邊相同的角都相等 B．鈍角比第三象限角小C．互為相反的兩個角關(guān)于軸對稱 D．銳角都是第一象限角4．（多選）鐘表在我們的生活中隨處可見，高一某班的同學(xué)們在學(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對鐘表的運行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開了激烈的討論，若將時針與分針視為兩條線段，則下列說法正確的是（

）A．小趙同學(xué)說：“經(jīng)過了5h，時針轉(zhuǎn)了．”B．小錢同學(xué)說：“經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學(xué)說：“當時鐘顯示的時刻為12:35時，時針與分針所夾的鈍角為．”D．小李同學(xué)說：“時鐘的時針與分針一天之內(nèi)會重合22次．”5．時針走過1小時30分鐘，則分鐘轉(zhuǎn)過的角度是.考點02終邊相同的角的表示及應(yīng)用6．終邊落在直線上的角的集合為（

）A． B．C． D．7．（多選）與463°角終邊相同的角可以表示為（

）A． B． C． D．8．在與角終邊相同的角中最大的負角是；最小的正角是.9．寫出與的角終邊重合的所有角組成的集合．10．寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．考點03象限角和區(qū)域角的表示11．已知α是第二象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角12．如果角α為銳角，那么，所在的象限是．13．集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

14．在區(qū)間內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角．(1)；(2)；(3)．15．用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.16．寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

考點04判斷所在象限17．若角的終邊落在第三或第四象限，則的終邊落在（

）A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限18．若是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角19．（多選）已知是第三象限角，則不可能是第幾象限角（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限20．（多選）若是第三象限的角，則可能是（

）A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角21．已知角的終邊在第四象限.（1）試分別判斷、是哪個象限的角；（2）求的范圍.考點05角度與弧度的互化與應(yīng)用22．3rad是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四23．（多選）把表示成，的形式，則值可以是（

）A． B． C． D．24．（多選）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是25．將下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)326．將下列角度與弧度進行互化：(1)；(2)；(3)；(4)．考點06用弧度制表示角的集合27．用弧度制表示與角的終邊相同的角的集合為（

）A． B．C． D．28．終邊與坐標軸重合的角的集合為．（弧度制表示）29．用弧度制寫出終邊落在直線上的角是．30．在平面直角坐標系中用陰影部分表示角，，，其中31．用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界，如圖所示).考點07扇形的弧長公式及面積公式32．扇子是引風用品，夏令必備之物.我國傳統(tǒng)扇文化源遠流長，是中華文化的一個組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹做扇面而制成的.完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．33．設(shè)扇形周長為，圓心角的弧度數(shù)是3，則扇形的面積為（

）A．12 B．16 C．18 D．2434．某時鐘的分針長，時間從12：00到12：25，求：(1)分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過的扇形面積；(3)分針尖端所走過的弧長（取，計算結(jié)果精確到）．35．已知兩圓錐的底面積分別為、，其側(cè)面展開圖中圓心角之和為，則兩圓錐的母線長之和的最小值為（

）A． B． C． D．36．扇形的周長為.(1)若這個扇形的面積為，求圓心角的大??；(2)求該扇形的面積取得最大值時圓心角的大小.37．已知扇形的圓心角為，半徑為．(1)若，，求扇形的周長和面積；(2)若扇形的面積是定值，求扇形的周長最小時，圓心角的值．基礎(chǔ)過關(guān)練1．與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．2．已知為第二象限角，那么是（

）A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角3．已知扇形的半徑為，面積為，則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．2 B．1 C． D．44．下列命題中，正確的是（

）A．1弧度的角就是長為半徑的弦所對的圓心角B．若是第一象限的角，則也是第一象限的角C．若兩個角的終邊重合，則這兩個角相等D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)5．（多選）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．6．（多選）下列說法正確的是（

）A．1弧度的角與的角一樣大B．三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角C．若是第三象限角，則是第二或第四象限角D．終邊在軸正半軸上的角的集合為7．已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．8．如圖，射線繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時針旋轉(zhuǎn)120到達位置，則．9．沈括的《夢溪筆談》是中國科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以為圓心為半徑的圓弧，C是的中點，D在上，且．記的弧長的近似值為，“會圓術(shù)”給出了的一種計算公式：．若，，則根據(jù)該公式計算．10．在直角坐標系中寫出下列角的集合：(1)終邊在軸的非負半軸上；(2)終邊在上．11．設(shè)角.(1)將角用弧度表示出來，并指出它是第幾象限角；(2)將角用角度表示出來，并在內(nèi)找出與它終邊相同的角.12．時鐘的分針長5cm，從到，分針轉(zhuǎn)過的角是多少弧度？分針掃過的扇形面積是多少？分針尖端所走過的弧長是多少？（取，計算結(jié)果精確到）能力提升練1．設(shè)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．2．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）記為，夏至那天正午，陽光直射，立桿無影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為，測得立桿與太陽光線所成的角約為.他又派人測得，兩地的距離km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（

）（）A．km B．km C．km D．km4．（多選）下列結(jié)論中不正確的是（

）A．終邊經(jīng)過點的角的集合是B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是C．若是第一象限角，則是第一象限角，為第一或第二象限角D．，，則5．數(shù)學(xué)中處處存在著美，機械學(xué)家萊洛沷現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為2，則萊洛三角形的面積是．6．（1）時鐘走了3小時20分，則時針所轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為．（2）如圖，射線繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時針旋轉(zhuǎn)120到達位置，則．7．如圖，扇形半徑為6，陰影部分周長為，則矩形面積等于.8．（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合