排列與組合解題技巧

佛山學(xué)習(xí)前線教育培訓(xùn)中心佛山學(xué)習(xí)前線教育培訓(xùn)中心高二數(shù)學(xué)（理）講義專題：排列與組合解題技巧主要技巧：一.運(yùn)用兩個(gè)基本原理例1：n個(gè)人參加某項(xiàng)資格考試，能否通過(guò)，有多少種可能的結(jié)果？練習(xí)1：同室四人各寫(xiě)了一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（）（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種二.特殊元素（位置）優(yōu)先例2：從0，1，……，9這10個(gè)數(shù)字中選取數(shù)字組成偶數(shù)，一共可以得到不含相同數(shù)字的五位偶數(shù)多少個(gè)？練習(xí)2：8人站成兩排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的邊上，一共有多少種排法？三.捆綁法例3：8人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站在丙的兩旁，有多少種排法？練習(xí)3：記者要為名志愿者和他們幫助的為老人拍照，要求排成一排，位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有種種種種四.插入法例4：排一張有8個(gè)節(jié)目的演出表，其中有3個(gè)小品，既不能排在第一個(gè)，也不能有兩個(gè)小品排在一起，有幾種排法？練習(xí)4：安排位工作人員在月日到月日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在月日和日，不同的安排方法共有種。五.排除法例5：求以一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)。練習(xí)5：100件產(chǎn)品中有3件是次品，其余都是正品。現(xiàn)在從中取出5件產(chǎn)品，其中含有次品，有多少種取法？練習(xí)6：8個(gè)人站成一排，其中A與B、A與C都不能站在一起，一共有多少種排法？六.機(jī)會(huì)均等法例6：10個(gè)人排成一隊(duì)，其中甲一定要在乙的左邊，丙一定要在乙的右邊，一共有多少種排法？練習(xí)7：用1，4，5，四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，所有這些四位數(shù)中的數(shù)字的總和為288，求。七.轉(zhuǎn)化法例7：一個(gè)樓梯共10級(jí)臺(tái)階，每步走1級(jí)或2級(jí)，8步走完，一共有多少種走法？參考答案：一.運(yùn)用兩個(gè)基本原理加法原理和乘法原理是解排列組合應(yīng)用題的最基本的出發(fā)點(diǎn)，可以說(shuō)對(duì)每道應(yīng)用題我們都要考慮在記數(shù)的時(shí)候進(jìn)行分?jǐn)?shù)或分步處理。例1：n個(gè)人參加某項(xiàng)資格考試，能否通過(guò)，有多少種可能的結(jié)果？解法1：用分類記數(shù)的原理，沒(méi)有人通過(guò)，有種結(jié)果；1個(gè)人通過(guò)，有種結(jié)果，……；n個(gè)人通過(guò)，有種結(jié)果。所以一共有種可能的結(jié)果。解法2：用分步記數(shù)的原理。第一個(gè)人有通過(guò)與不通過(guò)兩種可能，第二個(gè)人也是這樣，……，第n個(gè)人也是這樣。所以一共有種可能的結(jié)果。例2：同室四人各寫(xiě)了一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（）（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種解：設(shè)四個(gè)人分別為甲、乙、丙、丁，各自寫(xiě)的賀年卡分別為a、b、c、d。第一步，甲取其中一張，有3種等同的方式；第二步，假設(shè)甲取b，則乙的取法可分兩類：（1）乙取a，則接下來(lái)丙、丁的取法都是唯一的，（2）乙取c或d（2種方式），不管哪一種情況，接下來(lái)丙、丁的取法也都是唯一的。根據(jù)加法原理和乘法原理，一共有種分配方式。二.特殊元素（位置）優(yōu)先例3：從0，1，……，9這10個(gè)數(shù)字中選取數(shù)字組成偶數(shù)，一共可以得到不含相同數(shù)字的五位偶數(shù)多少個(gè)？解：個(gè)位選0，有個(gè)，個(gè)位不選0且萬(wàn)位不能選0，有個(gè)，所以一共可以得到個(gè)偶數(shù)。注0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更為特殊，首位與末位是特殊的位置。例4：8人站成兩排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的邊上，一共有多少種排法？解：先排甲，有種排法。再排乙，有種排法，再排其余的人，又有種排法，所以一共有種排法。三.捆綁法例5：8人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站在丙的兩旁，有多少種排法？解：把甲、乙、丙先排好，有種排法，把這三個(gè)人“捆綁”在一起看成是一個(gè)，與其余5個(gè)人相當(dāng)于6個(gè)人排成一排，有種排法，所以一共有=1440種排法。四.插入法例6：排一張有8個(gè)節(jié)目的演出表，其中有3個(gè)小品，既不能排在第一個(gè)，也不能有兩個(gè)小品排在一起，有幾種排法？解：先排5個(gè)不是小品的節(jié)目，有種排法，它們之間以及最后一個(gè)節(jié)目之后一共有6個(gè)空隙，將3個(gè)小品插入進(jìn)去，有種排法，所以一共有=7200種排法。注：捆綁法與插入法一般適用于有如上述限制條件的排列問(wèn)題。五.排除法例7；求以一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)。解：從8個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)，共有種方法，其中取出的4個(gè)點(diǎn)共面的有種，所以符合條件的四面體的個(gè)數(shù)為個(gè)。例8：100件產(chǎn)品中有3件是次品，其余都是正品?，F(xiàn)在從中取出5件產(chǎn)品，其中含有次品，有多少種取法？解：從100件產(chǎn)品中取5件產(chǎn)品，有種取法，從不含次品的95件中取出5件產(chǎn)品有種取法，所以符合題意的取法有種。例9：8個(gè)人站成一排，其中A與B、A與C都不能站在一起，一共有多少種排法？解：無(wú)限制條件有種排法。A與B或A與C在一起各有種排法，A、B、C三人站在一起且A在中間有種排法，所以一共有+=21600種排法。六.機(jī)會(huì)均等法例10：10個(gè)人排成一隊(duì)，其中甲一定要在乙的左邊，丙一定要在乙的右邊，一共有多少種排法？解：甲、乙、丙三人排列一共有6種排法，在這6種排法中各種排列順序在10個(gè)人的所有排列中出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，因此符合題設(shè)條件的排法種數(shù)為。例11：用1，4，5，四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，所有這些四位數(shù)中的數(shù)字的總和為288，求。解：若不為0，在每一個(gè)數(shù)位上1，4，5，，出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的。由于一共可以得到24個(gè)四位數(shù)，所以每一個(gè)數(shù)字在每一個(gè)數(shù)位上出現(xiàn)6次，于是得到：，解得。若為0，無(wú)解。七.轉(zhuǎn)化法例12：一個(gè)樓梯共10級(jí)臺(tái)階，每步走1級(jí)或2級(jí)，8步走完，一共有多少種走法？解：10級(jí)臺(tái)階，要求8步走完，并且每步只能走一級(jí)或2級(jí)。顯然，必須有2步中每步走2級(jí)，6步中每步走一級(jí)。記每次走1級(jí)臺(tái)階為A，記每次走2級(jí)臺(tái)階為B，則原問(wèn)題就相當(dāng)于在8個(gè)格子中選2個(gè)填寫(xiě)B(tài)。其余的填寫(xiě)A，這是一個(gè)組合問(wèn)題，所以一共有種走法。例13：動(dòng)點(diǎn)從（0，0）沿水平或豎直方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)（6，8），要使行駛的路程最小，有多少種走法？解：動(dòng)點(diǎn)只能向上或向右運(yùn)動(dòng)才能使路程最小而且最小的路程為14，把動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位看成是1步，則動(dòng)點(diǎn)走了14步，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在14個(gè)格子中填寫(xiě)6個(gè)“上”和8個(gè)“右”，這也是一個(gè)組合的問(wèn)題，于是得到一共有種走法。八.隔板法例14：20個(gè)相同的球分給3個(gè)人，允許有人可以不取，但必須分