概率論第1章-課件

概率論P(yáng)robabilityTheory2024/1/241總評(píng)成績的評(píng)定總評(píng)成績是下面兩部分成績的加權(quán)平均:

(一)平時(shí)成績占

30﹪

由作業(yè)、考勤、上課表現(xiàn)等確定；

(二)期末考試占70﹪

2第一章隨機(jī)事件及其概率§1.1隨機(jī)事件2024/1/243§1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn)確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象（事前可預(yù)言的現(xiàn)象），例如，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，將水加熱至100℃必然沸騰；同性電荷必然排斥等等。

在自然界和實(shí)際生活中，我們通常會(huì)遇到兩類不同的現(xiàn)象，一類是確定性現(xiàn)象，另一類是非確定性現(xiàn)象。一隨機(jī)現(xiàn)象特征：條件完全決定結(jié)果。非確定性現(xiàn)象：模糊現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象１.模糊現(xiàn)象

由事物本身含義不確定導(dǎo)致結(jié)果不確定的現(xiàn)象，例如：“健康的人”，“稠密的深林”，“高大的山脈”等等。4２．隨機(jī)現(xiàn)象

事前不可預(yù)言的現(xiàn)象，即在相同條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，每次結(jié)果未必相同，或知道事物過去的狀況，但未來的發(fā)展卻不能完全肯定。例如，擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上，也可能出現(xiàn)反面向上；?。担傲７N子做發(fā)芽試驗(yàn)，觀察發(fā)芽的種子粒數(shù)，結(jié)果可能是０粒，１粒，．．．，５０粒種子發(fā)芽等等。

特征：條件不能完全決定結(jié)果。

確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是事物本身的含義確定。隨機(jī)現(xiàn)象與模糊現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是不確定性，隨機(jī)現(xiàn)象的不確定性是指試驗(yàn)的結(jié)果不確定，而模糊現(xiàn)象的不確定性有兩層含義，一是指事物本身的定義不確定，二是結(jié)果不確定。5

模糊數(shù)學(xué)將數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從清晰確定擴(kuò)大到模糊現(xiàn)象的領(lǐng)域，而概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)則將數(shù)學(xué)的應(yīng)用從必然現(xiàn)象擴(kuò)大到隨機(jī)現(xiàn)象的領(lǐng)域。

對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象，人們經(jīng)過長期實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下，它的結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)某種規(guī)律性，這種規(guī)律性我們稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

概率論就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科；數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為基礎(chǔ)，研究如何通過觀察和試驗(yàn)認(rèn)識(shí)自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的一門方法論學(xué)科。6概率論的起源

概率論起源于15世紀(jì)中葉，肇事于所謂的“賭金分配問題”。賭金分配問題：在一場賭博中,某一方先勝6局便算贏家,那么,當(dāng)甲方勝了4局,乙方勝了3局的情況下,因出現(xiàn)意外,賭局被中斷,無法繼續(xù),此時(shí),賭金應(yīng)該如何分配?當(dāng)時(shí)，有一答案是：應(yīng)當(dāng)按照4:3的比例把賭金分給雙方。意大利科學(xué)家帕西奧尼給出的7

當(dāng)時(shí)，許多人都認(rèn)為帕西奧尼的分法不是那么公平合理。因?yàn)?已勝了4局的一方只要再勝2局就可以拿走全部的賭金，而另一方則需要?jiǎng)?局，并且至少有2局必須連勝，這樣要困難得多。但是，人們又找不到更好的解決方法。在這以后100多年中，先后有多位數(shù)學(xué)家研究過這個(gè)問題，但均未得到過正確的答案。8大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點(diǎn)9

直到1654年，一位經(jīng)驗(yàn)豐富的法國賭徒默勒以自己的親身經(jīng)歷向帕斯卡請(qǐng)教“賭金分配問題“，求助其對(duì)這種現(xiàn)象作出解釋，引起了這位法國天才數(shù)學(xué)家的興趣，帕斯卡接受了這些問題，但他沒有立即去解決它，而是把它交給另一位法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬。之后，他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學(xué)問題開始了深入細(xì)致的研究。這些問題后來被來到巴黎的荷蘭科學(xué)家惠更斯獲悉，回荷蘭后，他也開始就這方面展開研究。10

帕斯卡和費(fèi)爾馬一邊親自做賭博實(shí)驗(yàn)，一邊仔細(xì)分析計(jì)算賭博中出現(xiàn)的各種問題，最后分別獨(dú)立的解決了“分賭注問題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個(gè)基本概念——數(shù)學(xué)期望，這是描述隨機(jī)變量取值的平均水平的一個(gè)量。而惠更斯經(jīng)過多年的潛心研究，也解決了擲骰子中的一些數(shù)學(xué)問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計(jì)算》。這本書迄今為止被認(rèn)為是概率論中最早的論著。因此可以說早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費(fèi)爾馬和惠更斯。這一時(shí)期被稱為組合概率時(shí)期，主要是計(jì)算各種古典概率。11費(fèi)爾馬的解法

費(fèi)爾馬注意到，如果繼續(xù)賭下去，最多只要再賭4輪便可決出勝負(fù)，如果用“甲”表示甲方勝，用“乙”表示乙方勝，那么最后4輪的結(jié)果，不外乎以下16種排列。甲甲甲甲

甲甲乙乙

甲乙乙乙甲甲甲乙

甲乙甲乙

乙甲乙乙甲甲乙甲

甲乙乙甲

乙乙甲乙甲乙甲甲

乙乙甲甲

乙乙乙甲乙甲甲甲

乙甲乙甲

乙乙乙乙乙甲甲乙12

在這16種排列中，當(dāng)甲出現(xiàn)2次或2次以上時(shí)，甲方獲勝，這種情況共有11種；當(dāng)乙出現(xiàn)3次或3次以上時(shí)，乙方勝出，這種情況共有5種。因此，賭金應(yīng)當(dāng)按11:5比例分配。13帕斯卡的解法

帕斯卡解決這個(gè)問題則利用了他的“算術(shù)三角形”，歐洲人常稱之為“帕斯卡三角形”。事實(shí)上，早在北宋時(shí)期中國數(shù)學(xué)家賈憲就在《黃帝九章算法細(xì)草》中討論過，后經(jīng)南宋數(shù)學(xué)家楊輝加以完善，并載入其著作《詳解九章算法》一書中。這就是我們常說的楊輝三角形。11

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1………14帕斯卡利用這個(gè)三角形獲得了從n件物品中任取r件的組合數(shù)，由上圖可知，三角形第五行上的數(shù)恰好是，其中是甲出現(xiàn)4次的組合數(shù)，是甲出現(xiàn)3次的組合數(shù)等等。因此賭金應(yīng)按照的比例分配，這與費(fèi)馬得到的結(jié)果是完全一致的。15

在他們之后，對(duì)概率論這一學(xué)科做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家族——伯努利家族的幾位成員。關(guān)于概率論的后續(xù)發(fā)展，可參見課本后面的附錄1。16二、隨機(jī)試驗(yàn)

對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象，在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，一般用E表示。

可以是各類科學(xué)試驗(yàn)，也可以是對(duì)某些事物的某些特征的觀察。17一些隨機(jī)試驗(yàn)的例子

例1.1拋擲一枚硬幣，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況。例1.2在分別寫有數(shù)字1，2，…，10的10張卡片中任意抽取一張卡片，觀察其數(shù)字。

例1.3投擲兩枚骰子，觀察朝上一面的點(diǎn)數(shù)。例1.4從一批燈泡中，任抽取一只，觀察其使用壽命。18隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)特點(diǎn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)前由試驗(yàn)條件能預(yù)知試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，且所有可能結(jié)果不止一個(gè)；每次試驗(yàn)前不能預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。

有時(shí)，我們也稱滿足以上三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。注：上面的結(jié)果指的是基本結(jié)果。19§1.1.2

樣本空間隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能的結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為Ω。Ω的每個(gè)元素，即Ω的每一個(gè)可能的結(jié)果，稱為E的一個(gè)樣本點(diǎn)或基本事件。樣本點(diǎn)指的是基本結(jié)果一、樣本空間20上面提到的各試驗(yàn)的樣本空間為Ω1={H,T}Ω2={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}Ω3={(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,

(2,6),(3,1),(3,2),…,(3,6),(4,1),(4,2),

…,(4,6),(5,1),(5,2),…,(5,6),(6,1),(6,2),

…,(6,6)}Ω4={t:t≥0}21二、隨機(jī)事件

從本質(zhì)上講，隨機(jī)事件就是關(guān)于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的命題；從集合的角度來講，隨機(jī)事件是樣本空間的子集，是由一部分樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合，隨機(jī)事件簡稱事件，常用英文字母A，B，C，…，表示。一個(gè)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)屬于它的某一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。不必是基本結(jié)果

例如，在例1.2中“出現(xiàn)的數(shù)字是3”，“出現(xiàn)的數(shù)字是偶數(shù)”都是隨機(jī)事件。記為“B”,則B={2,4,6,8,10}

在一次具體的試驗(yàn)中，我們說B發(fā)生了當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)2，4，6，8，10中某一個(gè)出現(xiàn)。22隨機(jī)事件的分類隨機(jī)事件基本事件復(fù)雜事件特殊事件試驗(yàn)最直接的可能結(jié)果

由若干個(gè)基本事件(至少2個(gè))共同在一起才能表達(dá)的結(jié)果必然事件不可能事件每次試驗(yàn)必然發(fā)生的結(jié)果，記為Ω每次試驗(yàn)必不發(fā)生的結(jié)果，記為由滿足某種條件的樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合23

顯然，樣本空間是以基本事件為元素的集合，復(fù)雜事件是樣本空間的至少包含兩個(gè)元素的真子集，基本事件就是一個(gè)單點(diǎn)集，必然事件就是樣本空間，不可能事件是樣本空間的空子集。從集合的角度看24§1.1.3事件的關(guān)系及運(yùn)算

設(shè)A，B，…，是隨機(jī)試驗(yàn)E的事件，Ω是E的樣本空間。1.事件的包含關(guān)系

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B或事件B包含事件A，記作。

例如，在例1.2中，若令

A={抽到能被4整除的號(hào)碼}，

B={抽到偶數(shù)號(hào)碼}，事實(shí)上，A={4，8}，B={2，4，6，8，10}。25事件的相等

若，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。ΩBA262.事件的和（并）

我們稱“事件A與事件B至少一個(gè)發(fā)生”的事件為事件A與事件B的和事件，記作A+B（或A∪B）。

例1.5連續(xù)射擊兩次，觀察各次中靶情況。設(shè)事件A={第一次命中}，B={第二次命中}，則和事件A+B={至少命中一次}。ΩBA27

兩個(gè)事件和的概念可以推廣到任意有限多個(gè)事件，甚至無窮可列個(gè)事件上。283.事件的積

我們稱“事件A和事件B同時(shí)發(fā)生”的事件為事件A和事件B的積事件，記作AB或A∩B。如例1.5中，事件AB={兩次都命中}。ΩABAB29推廣n個(gè)事件的積事件可列個(gè)事件的積事件304.事件的差

我們稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”的事件為事件A與事件B的差事件，記作A-B。

如在例1.5中，事件A-B={第一次命中而第二次未命中}。ΩABΩAB315.事件的互斥性（互不相容性）

若每次試驗(yàn)中，事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即A∩B=。則稱事件A與事件B互斥或互不相容。

在例1.2中，若令A(yù)={抽到的號(hào)碼能被3整除}，B={抽到的號(hào)碼能被5整除}，則A與B互斥。326.事件的對(duì)立

若事件A與事件B互斥，且在每次試驗(yàn)中事件A與事件B必有一個(gè)發(fā)生，即

則稱事件A稱為事件B的對(duì)立事件，記為。

實(shí)例拋擲一枚硬幣，“出現(xiàn)花面”與“出現(xiàn)字面”是兩個(gè)對(duì)立的事件。33互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別ΩΩABABA、B對(duì)立A、B互斥互斥對(duì)

立348.互斥事件完備群

設(shè)為試驗(yàn)E的一組事件，如果它們之中任意兩個(gè)之間互斥，且每次試驗(yàn)中必有其中一個(gè)發(fā)生，則稱這組事件形成互斥事件完備群。即

由定義可看出，互斥事件完備群構(gòu)成樣本空間的一個(gè)分割。特別地，隨機(jī)事件的任一事件A與其對(duì)立事件構(gòu)成一個(gè)最簡單的互斥事件完備群。35§1.1.4事件的運(yùn)算律注這些運(yùn)算律都可以推廣到有限個(gè)事件的情況，對(duì)偶律還可以推廣到無窮可列多個(gè)事件的情況。36

例1.6設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C表示出來。A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);A,B出現(xiàn),C不出現(xiàn);三個(gè)事件都出現(xiàn);三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);三個(gè)事件都不出現(xiàn);不多于一個(gè)事件出現(xiàn);不多于兩個(gè)事件出現(xiàn);三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn);A,B至少有一個(gè)出現(xiàn),C不出現(xiàn);A，B，C中恰好有兩個(gè)出現(xiàn)。37解38概率論研究的一個(gè)基本任務(wù)就是給隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小一個(gè)合理而科學(xué)的測度?！?.2事件發(fā)生的概率這也就意味著我們需要找到一個(gè)定義在一個(gè)由隨機(jī)試驗(yàn)的所有隨機(jī)事件構(gòu)成的集合上的集函數(shù)使得它能科學(xué)合理的反映集合當(dāng)中每個(gè)元素發(fā)生的可能性大小。39§1.2.1古典概型中的概率定義

我們稱具有下列兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型：（1）試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的的基本結(jié)果;（2）每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。古典概型中的概率定義，只適用于古典概型。40

例1.7將一枚硬幣拋擲3次。（1）設(shè)事件A1為恰有一次出現(xiàn)正面，求P(A1)。（2）設(shè)事件A2為至少有一次出現(xiàn)正面，求P(A2)。解：

該實(shí)驗(yàn)的樣本空間Ω={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}。（1）因?yàn)锳1={HTT，THT，TTH}，故P(A1)=3/8。41例1.8

設(shè)一批產(chǎn)品有a件次品，b件合格品，隨機(jī)從中抽取n件產(chǎn)品，求抽到的n件產(chǎn)品中正好有k件是次品的概率?？紤]如下兩種情況:（1）有放回抽?。?）不放回抽取記A={抽到的n件產(chǎn)品正好有k件次品}42樣本空間中的樣本點(diǎn)總數(shù)為確定哪k次取得次品，看有多少種可能在確定好哪k次后，考慮這k個(gè)次品共有多少中取法在確定好哪k次后，考慮剩下n-k個(gè)合格品共有多少中取法（1）有放回抽取概率論中稱為是二項(xiàng)分布的概率公式43（2）無放回抽取概率論中稱為超幾何分布的概率公式恰好取出k個(gè)次品的基本事件數(shù)44例1.9

30只元件中有27只一等品，3只二等品。隨機(jī)將30只元件平均分裝入三盒，求：（1）每盒有一只二等品的概率；（2）有一盒有3只二等品的概率。解：（1）把3只二等品平均分到三個(gè)盒子有：1233x2x1種分法。余下的27只應(yīng)該平均分到3個(gè)盒子中；有：種分法。45第2個(gè)問題，首先從3個(gè)盒子中任選一個(gè)出來放3只二等品，這個(gè)盒子的另7只從余下的27個(gè)一等品中選；4647§1.2.2幾何概型中的概率定義

若隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω是某一有界可度量的區(qū)域（可以是一維，二維，…，n維空間的），此區(qū)域中每個(gè)點(diǎn)都是E的一個(gè)樣本點(diǎn)，其樣本點(diǎn)具有所謂的“均勻性質(zhì)”，即樣本點(diǎn)落入Ω中任意一子區(qū)域A的概率與A的測度（長度，面積，體積等）成正比，而與A的形狀和位置無關(guān)，我們稱這種隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概率模型。定義設(shè)E為幾何概型,A為其任意一個(gè)事件，它的樣本空間的測度為μ(Ω)，μ(A)為事件A的測度，則事件A的概率為48例1.10隨機(jī)在單位圓內(nèi)擲一點(diǎn)M，求M點(diǎn)到原點(diǎn)距離小于1/4的概率。11/4解：49

例1.11某貨運(yùn)碼頭僅能容一船卸貨，而甲、乙兩船在碼頭卸貨時(shí)間分別為1小時(shí)和2小時(shí)，設(shè)甲、乙兩船在24小時(shí)內(nèi)隨時(shí)可能到達(dá)，求它們中任何一船都不需要等待碼頭空出的概率。解：5024２１Y=x+1Y=x-25152零概率事件不一定不發(fā)生

例如在[0,1]區(qū)間上任意取一個(gè)隨機(jī)數(shù),則這個(gè)隨機(jī)數(shù)恰好等于0.5的概率是多少?010.5P=點(diǎn)(0.5)的長度/[0,1]區(qū)間的長度=053§1.2.3概率的統(tǒng)計(jì)定義

大量實(shí)踐表明：事件發(fā)生頻率有波動(dòng)性，但隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，事件發(fā)生頻率會(huì)呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性，即頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)值附近擺動(dòng)，且n越大擺動(dòng)幅度越小。

設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)隨機(jī)事件，若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了k次，則稱比值k/n為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fn(A)。

在歷史上，為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，許多學(xué)者對(duì)拋硬幣進(jìn)行了觀察，一些記錄如下表所示:54正面出現(xiàn)的頻率拋擲次數(shù)的增加1/255容易驗(yàn)證，頻率具有下列性質(zhì)：56概率的統(tǒng)計(jì)定義

設(shè)在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n次試驗(yàn),事件A出現(xiàn)了k次。若隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率fｎ（Ａ）穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng),

且n越大,擺動(dòng)幅度越小,則稱P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,記作P（A）。2.以上概率的統(tǒng)計(jì)定義對(duì)試驗(yàn)沒有特殊限制，適用于所有隨機(jī)試驗(yàn)，在理論和實(shí)踐上都有一定的意義。優(yōu)點(diǎn)是易于理解，在試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)能給出概率的近似值，也提供了一種檢驗(yàn)理論正確與否的準(zhǔn)則；不足是粗糙、模糊和不便使用。注57

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，?是它的樣本空間。對(duì)于每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P（A）,稱為事件A

的概率，如果集合函數(shù)P（·）滿足以下三條：§1.2.4概率的公理化定義非負(fù)性規(guī)范性可列可加性1933年，（前）蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥落夫提出的58§1.3概率的性質(zhì)性質(zhì)1證明：因，由可列可叫性，所以，性質(zhì)2設(shè)是兩兩互斥的事件，則有概率的有限可加性這里的概率是公理化定義中的概率59證明：且則由可列可加性，有60性質(zhì)3設(shè)A，B是隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，且證明：61性質(zhì)4

證明：性質(zhì)562證明：由圖可得又由性質(zhì)3得因此得63

加法公式可以推廣到有限個(gè)事件的情況，下面給出三個(gè)事件的情況64例1.12A，B為兩事件，已知解：AABB6566§1.4條件概率與事件的獨(dú)立性67§1.4.1條件概率定義：設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P(B)＞0，則稱為已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。68例1.13在有兩個(gè)小孩的家庭中,考慮其性別，已知其中一個(gè)是女孩,問另一個(gè)也是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的)解法一:考慮樣本空間:{男，女），（女，女）,(女，男)}記A={另一個(gè)也是女孩}則P(A)=1/3.解法二:考慮樣本空間:{男，男}，{男，女），（女，女），（女，男）}69

記B={兩個(gè)孩子中至少有一個(gè)是女孩}，C={兩個(gè)都是女孩}。

則已知一個(gè)是女孩的條件下，另一個(gè)也是女孩的概率等價(jià)于已知B發(fā)生的條件下，C發(fā)生的概率。記為P(C|B)解法二70例1.14袋中有7個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中無放回地隨機(jī)摸3個(gè)球，已知其中之一是黑球，試求其余兩球都是白球的概率。解：設(shè)A={取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球}，B={一黑二白}。故所求事件的概率為P(B∣A)。方法1.利用條件概率定義計(jì)算。此時(shí)樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為,事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)。事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)。71方法2.考慮已知A發(fā)生的條件下的樣本空間，則易知,條件概率具有概率的一切性質(zhì):72例1.15某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

解：設(shè)A表示“一動(dòng)物能活20歲以上”，B表示“一動(dòng)物能活25歲以上”,則有735.乘法公式74抓鬮是否與次序有關(guān)?例1.16五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有”字，三個(gè)鬮內(nèi)不寫字，五人依次抓取,問每個(gè)人抓到“有”字鬮的概率是否相同?則有75依此類推故抓鬮與次序無關(guān)。76§1.4.2事件的獨(dú)立性

先看一個(gè)例子一個(gè)盒子中有６只黑球、４只白球，從中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。設(shè)A表示“第一次摸到黑球”；B表示“第二次摸到黑球”。

從結(jié)果可以看出：第一次抽到黑球并沒有影響到第二次抽到黑球的概率，即在這個(gè)試驗(yàn)中，有P(B∣A)=P(B)。

容易計(jì)算得：77定義2設(shè)A,B是任意兩個(gè)事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。由定義顯然有：事件與任意事件A相互獨(dú)立。如果P(A)＞0，則有事件A與事件B相互獨(dú)立兩個(gè)非零概率事件A與B相互獨(dú)立的實(shí)質(zhì)是：

“事件A發(fā)生與事件B發(fā)生互不影響”定理下列四組事件相互獨(dú)立性等價(jià)。78證明：只證明另一方面79事件獨(dú)立性的推廣有限個(gè)事件的獨(dú)立性8081例1.17

設(shè)一均勻堆成的四面體，第一面涂為紅色，第二面涂為黃色，第三面涂為籃色，第四面紅黃藍(lán)三種顏色各涂一部分。旋轉(zhuǎn)上拋，下落到地面后，觀察接觸地面面的顏色。記A1表示接觸地面面有紅色；A2表示接觸地面面有黃色；A3表示接觸地面面有藍(lán)色。試判斷的獨(dú)立性。解：由題設(shè)條件與古典概率定義有82直覺未必可信必須深入研究從而所以兩兩相互獨(dú)立。但是即不是相互獨(dú)立的。83例1.183人獨(dú)立地破譯一組密碼，他們各自能破譯密碼的概率分別為1/5，1/3，1/4。試求此密碼能被破譯出的概率。解：設(shè)Ai={第i個(gè)人破譯出密碼},i=1,2,3。解法一：解法二：則密碼能被破譯出這一事件可表示為A1+A2+A3。84§1.5全概率公式與貝葉斯公式例1.19一在線計(jì)算機(jī)系統(tǒng),有3條輸入線,其性質(zhì)如下表:通訊線通訊量份額無誤差的訊息份額1230.40.350.250.99980.99990.9997(1)求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號(hào)無誤差地被接受的概率;85例1.19(續(xù))解:設(shè)事件B:“一訊號(hào)無誤差地被接受”Ai：“訊號(hào)來自于第i條通訊線”，i=1,2,3由題意，問題轉(zhuǎn)化為B=BA1+BA2+BA3，所以，86例1.19(續(xù))A1A2A3B

我們的思路：是把樣本空間分割成了3個(gè)不相交的