汽車隨機振動理論與應用(講義帶重點)

汽車隨機振動理論與應用

主編：馬天飛

目錄

第一章隨機過程的基礎知識.........................................1

1.1隨機變量.....................................................................1

1.2隨機過程的描述..............................................................10

第二章線性系統(tǒng)在隨機激勵下的響應.................................25

2.1確定性理論的回顧...........................................................25

2.2線性系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機激勵的響應...............................................32

2.3單自由度線性系統(tǒng)對平穩(wěn)隨機激勵的響應.......................................43

2.4多自由度線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機響應的模態(tài)分析法..................................52

2.5無限自由度線性系統(tǒng)對隨機激勵的響應.........................................56

第三章動力可靠性分析.............................................62

3.1可靠性概念與結(jié)構(gòu)破壞的形式.................................................62

3.2平穩(wěn)高斯窄帶過程的統(tǒng)計特性................................................64

3.3穿越分析...................................................................67

3.4峰值分布...................................................................71

3.5隨機振動引起的疲勞破壞.....................................................78

3.6隨機振動引起的首次超越破壞................................................80

題型：

一、名詞解釋（3,X7）

二、計算（5，X4）

三、問答（6題，共29分）

四、綜合分析（15,X2）

車輛隨機振動理論與應用

第一章隨機過程的基礎知識

1.1隨機變量

假設在隨機試驗中的基本事件(樣本點)為e,樣本空間為S={e}。若每一樣本點e

有一實數(shù)X(e)與之對應，則稱X(e)(ees)為實隨機變毒。顯然，X(e)為一實數(shù)的集合,

故又稱X(e)為樣本空間S的每一樣本點e映射到實軸上數(shù)的集合，簡記X。

樣本空間S中的每一樣本點e映射到復平面上的數(shù)的集合，稱為復隨機變量，記作

Z(e)=X(e)+/Y(e),(式中X、Y為實隨機變量)。今后若不作特殊說明，均假定隨機變

量為實數(shù)的。

若樣本空間S中的一個樣本點eGS與n個實數(shù)X1(e),X2(e),……X“(e)相對應，則稱

(X1,X2,……，X,)為定義在S上的n維隨機變量。例如，發(fā)動機的工作狀態(tài)是隨機

變化的，其工況可以看成是由功率Pe和轉(zhuǎn)速n決定的二維隨機變量，即(Pe,n)。如圖

所示，a、b等工況都是由發(fā)動機相應的功率和轉(zhuǎn)速表示的二維隨機變量。又如，發(fā)動機懸

置元件強度I和剛度k是其重要特性，每一個元件的強度和剛度都是隨機變化的，因此發(fā)動

機懸置元件的特性可以用二維隨機變量(I，k)來描述。

n/(r.min'1)

圖l-l發(fā)動機工作狀態(tài)(工況)

隨機變量僅可能取得有限個數(shù)值的，稱為離散型隨機變量。例如，在擲骰子試驗中，得

到的點數(shù)即為離散型隨機變量X,1~6是隨機變量X的值；隨機變量可以取得某一區(qū)間內(nèi)的

任何數(shù)值，則稱為連續(xù)型隨機變量.例如，某零件的加工尺寸X=30±0.05加加，它可以

得到29.95mm到30.05的〃之間的任何尺寸，它就是連續(xù)型隨機變量。

二、概率描述

對于離散型隨機變量，可用分布列來描述其統(tǒng)計特性。分布列就是隨機變量X取得各

車輛隨機振動理論與應用

個值的概率列表；而對于連續(xù)型隨機變量X,取得區(qū)域內(nèi)某一點的值的概率為零，因此要用

X取值小于等于區(qū)間內(nèi)某一實數(shù)x的概率來描述其統(tǒng)計特征。

定義隨機變量X的分布函數(shù)

F（x）=P{X〈x}（1-1）

根據(jù)定義可知:尸（X）是非減函數(shù),0<F（x）<l,且尸（一8）=0,F（+8）=l。

設分布函數(shù)尸（x）連續(xù)且可微，則連續(xù)型隨機變量X還可以用概率密度函數(shù)來描述其統(tǒng)

計特性

/（x）=；F（x）

(1-2)

dr

有

(1-3)

P[x<X<x+公}=f^x^dx(1-4)

可見，概率密度函數(shù)〃x）是非負函數(shù)，且J二/（X）公=1。

對于多維隨機變量（X1,X2,…，Xn）,其聯(lián)合分布函數(shù)：

耳(外再,…,x")=P{X]<^0X2<x2---nxn<%?}(1-5)

聯(lián)合概率密度函數(shù):

d"

工（卬々，…，Z）耳,（玉多，?一，七,）(1-6)

切切???dxn

三、隨機變量函數(shù)的概率密度

1、一維隨機變量的函數(shù)

設連續(xù)型隨機變量X的函數(shù)Y=g（X）也為一連續(xù)型隨機變量，如圖1-2所示。Y與X

定義在同一樣本空間。令X與Y的概率密度分別為f（x）和f（y）,則

P[y<Y<y+Ay}=P<(x,.<X<為+AxJ>=ZP{±<X<x；+Ax,}(1-7)

當Ac,足夠小時，可寫成:

2

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P[y<Y<y+/\y}=f(y)/^y=/(%,.)|Ax(.|(1-8)

當△yTO時，有Ar,T0,則

?*）檐卜如噌L(1-9)

［例1-1」求時間歷程曲線X。）（如圖1-3所示）的X的概率密度函數(shù)/（X）。

解：用近似法求解。

根據(jù)題意可知：隨機變量X是隨機變量t的函數(shù)。由于時間t在時間軸上取

值是等可能的，即隨機變量t服從均勻分布，則

于⑴=:

式中，T為采樣時間。

由式（1-4）可得

P{x<X<x+Ar}=/(x)Ax

=Z.f(GIMI

即

工M

/(*)=」—

TAx

對于某次實驗記錄的樣本，X⑺曲線是由等間隔采樣的離散點組成的。設采

樣間隔時間為At,采樣頻率為工，時間T內(nèi)采樣點數(shù)為N,則:

丁/(N、

/*)=、〒/

iJs\^sJ

=.△〃,./(NAx)

An

NAY

3

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式中：An——在Ax帶寬內(nèi)的米樣點數(shù)。

此式表明：根據(jù)樣本函數(shù)的總采樣點數(shù)N、設定帶寬Ax和帶內(nèi)數(shù)據(jù)點數(shù)An

可求得隨機過程X（t）JKj/（x）。

2、多維隨機變量的函數(shù)：

設同一樣本空間S內(nèi)的樣本點e有n維隨機變量（丫,丫2,…，Yn）和內(nèi)占,…，X”）與

之相對應，二者之間存在函數(shù)關系：h=gk（X1,X2L、XJk=1,2,…，n。若其存在反

函數(shù)，為X”=4（丫|,丫2,…，YJk=l,2,…，n,且”單調(diào)連續(xù)，則它們的概率密

度函數(shù)之間存在以下變換關系：

…，Yn4（X|,X2,…，X?）|J|（1-10）

式中，川為雅可比（Jacobi）行列式的絕對值，

陽

a加

￥￥

加

如ay

￥￥

川=ax

…aj:

…?

M譏

心

一

雙

次

力

式中,x,為（*,丫2,…，工）的函數(shù)。

「例1-2]^Z=X+Y,已知隨機變量X,Y的聯(lián)合概率密度%y（x,y）,求/（z）.

解：

構(gòu)造一個新的二維隨機變量（X,Z）：

x=x

z=x+y

其反函數(shù)為

X=x

Y^Z-X

則

la-xa-x

10

Jlaxaz力=1

ll=lj>一-11

I3Xaz

4

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于是

fxz（x,z）=fXY（x,y）\j\

=fXY（x,z-x）

則，邊際概率密度函數(shù)

y（z）=ffxz（x,z）dx

1zJ—oo

=L/xy（X,Z-幻心

如果X與Y相互獨立，即

/xy（x,y）=/x（x）K（y）

則

/xz（x，z）=人丫（X,Z-X）=力（X）4（Z-X）

從而

/z（Z）=J8/x（尤）/y（Z-X）公=人（Z）*人（z）

即兩個獨立隨機變量之和的概率密度函數(shù)等于這兩個隨機變量概率密度函數(shù)的卷積。

若構(gòu)造的二維隨機變量為（Y,Z）,同樣可以得到以上結(jié)論。

［例1-3］若隨機變量X與Y互相獨立，求2=乂丫的概率密度函數(shù)/（z）。

解：設二維隨機變量（X,Z）,有

x=x

z=xy

其反函數(shù)

x=x

'Y=—

IX

雅可比行列式的絕對值為

則

/xz（X，Z）=/xy（X,j）-p|

=冊（羽一）廠（

尤kl

5

車輛隨機振動理論與應用

由于X與Y互相獨立，則

工(z)=「⑴人(三心

同理

工(Z)=「白4⑺人(三)辦

四、數(shù)字特征——矩_____________

對于隨機變量X,稱E[X[=J：X"/(x)公為X的n階原點矩；稱

E[(X—4X)[=J[(X-%)"/")公為X的n階中心矩。

當n=1時，，一階原點矩E[X]=Jxf(x)dx,就是均值外，一階中心矩

E[X—4x]=0；當n=2時，二階原點矩七[乂2]=匚X2/(幻公，就是均方值〃；，二階

中心矩E[(X-4x)2]=cr；,就是方差。對于任何的隨機變量X,總有以下關系成立：

歸=尤+其。

概率密度函數(shù)/(x)可以全面地描述隨機變量X的統(tǒng)計規(guī)律，而各階矩可以描述/(x)

的圖形特征，也是X的統(tǒng)計特征。那么矩與概率密度函數(shù)之間的關系如何，還要先介紹特

征函數(shù)。

五、特征函數(shù)________

對于連續(xù)型隨機變量X,稱復隨機變量的數(shù)學期望為X的特征函數(shù)，記

作也⑻：

Mx(9)=E[/x]=「e〃"(x)公(1-12)

與付氏變換

F3)=F[/■")]=匚/(De"力

<e](1-13)

/(/)=F'[F(o)]=「F(oj)e刖d3

相對比，顯然Mx(6)可看作/(幻的付氏變換，其區(qū)別僅在于"x(e)=尸[/(X)]。由于

/(%)在(-8,+8)區(qū)間內(nèi)的積分等于1,符合經(jīng)典付氏變換絕對可積的條件，故以上變換對

于每■個隨機變量總是存在的。那么按付氏變換理論，通過對Mx(⑶進行逆變換，就可以

6

車輛隨機振動理論與應用

求出概率密度函數(shù)/（幻：

iex

=Mx（0）e-d0（1-14）

當X為離散型隨機變量時，/（x）可表示為f（x）=￡pE（x—x）,其中b（x）為單位脈

沖函數(shù)，定義為

3（x）=<'"°且J3{x）dx=\（1-15）

0,xw0~0°

單位脈沖函數(shù)具有篩選性質(zhì)

L/⑺3（'一幻必=/&）（26）

這時，離散型隨機變量X的特征函數(shù)為

Mx⑹=匚e網(wǎng)（ZP"（x-為））公=ZpJ-eb（x-x：）dx=Ep/孫（1-17）

iii

其逆變換亦存在。

由此可見，/（X）與Mx（6）構(gòu)成一個付式變換對，二者一一對應，故Mx（。）可完全描

述X的統(tǒng)計特性。在實際問題中，Mx0比/（%）的求解更方便，因此可以先求出Mx（6），

然后經(jīng)付式逆變換求/（幻。

下面求解特征函數(shù)與矩的關系.把Mx（6）在6=0處展成泰勒級數(shù)

“小〃、、ndMAO)62d2M(0)6"4"Mx(0)/°、

%(6)=%(0)+。----+------------■+…+------------2cLz+…(1-18)

xxde2!de2n\dff'

d"M(0)_d"M(0)

xx(〃=1,2,…)

d&'-d&'-

根據(jù)定義可以得到：

jSx(

Mx(0)=fef(x)dx-fe'f(x)dx=1

J-CO8=0J~°0

dMx（0）_fA-eJ0xf(x)dx=，L尤-fMdx=jE[X]

dO—6=()

j2\y2-f(x)dx=j2E[X2]

6=0

7

車輛隨機振動理論與應用

所以，特征函數(shù)

(1-19)

n=1〃?

,16/M(0)

式中：EXY(1-20)

[]=—n

J“d0

由于〃x（e）與/（X）一—對應，故可用各階矩來完整描述x的統(tǒng)計特性。一般來說,

各階矩都需要知道。實際上，高階矩難于得到，因此在工程實際中，往往只用少數(shù)幾個低階

矩（一般用到二階，有時在解決非線性問題時用到四階）來描述它，顯然會存在一定的近似

性，除非隨機變量X為高斯的。

-e~mx>0

［例1-4J已知某隨機變量X的分布函數(shù)尸（x）=〈，常數(shù)a>0,即X服從指

0x<0

數(shù)分布,求Mx（。）,E［X］和E［X2］。

dF(x)ae~axx>0

解：fM=

dx0x<0

一

-e^

a0a

[X2]=匚/加=J：2,-^=(_2.e”

Exaedxx『+

2?+oo2

ax,€ltxdx——r-

a°a1

Mx(6)=]=JeJ0xf(x)dx=￡"xae2dx='一

a-jO

也可以利用特征函數(shù)計算均值和均方值:

1aj

2

jde6=0j(a-j0)?=oa

124

E[X2]=1d2Mx⑹2

22

jde-e=oj(a-jof8=0a

r例i-5j［求標準化的高斯隨機變量x的特征函數(shù)Mx（e）與各階矩。

解：對于標準化的高斯隨機變量X,即X~N（0.1）,有

(—8<X<4-00)

8

車輛隨機振動理論與應用

且〃x=O，bx=l，那么X的特征函數(shù)

*2

M*⑹=「M-~^=e~dx

J<2兀

尤/2j0x

e2e2e2e2dx

生

~2e2*e2e2dx

的+oo”徹2

2「e2dx

因為dx=1,所以

一絲

Mx(e)=，E

根據(jù)式(1-20),可以得到

=0

de

jdee=o

e~

1d2Mx(°)_1詭Mx(8)1.-4=1

E[X2]==—(^--1)~2

j2de2i2dO22

8=0J0=0J

11必(0)i更

小二--3(02-3Ye2=0

j3次

8=0

中4]==方防式_1)_3的2_1)卜溫

￥甯。)=3

?=0

不難驗證，所有奇數(shù)階矩都等于0,偶數(shù)階矩則為(n-1),即

E「x"]=J°〃為奇數(shù)

L」一[nT〃為偶數(shù)

[例1-6」當高斯隨機變量X的均值為4x，標準差為＜Tx時，求各階原點矩E[X"]。

解：根據(jù)題意，有：

_(A〃X.

f(x)=^^-e2武

兀Ox

令y=X*,則得到標準化的高斯隨機變量Y,其概率密度函數(shù)

°x

9

車輛隨機振動理論與應用

1上

△y)F2

由上例可知

jffY

MY(0)=E[e]=e~

而X=axY+]Ux,則

MxS)=E[ej0X]=E[ej3(axY+Px)]=ejePx-E[ej0t7xY]

一幽."返)

eJ卯x.ez=e2

根據(jù)式（1-20）,可以得到各階原點矩

幽

E吐“

e2（外一町）二4x

0=0J

8=0

E[X[=11Mx3)

22=云+/

idd8=0

1d3Mx⑻

=3犬%+/4=4X9；+4；)+2b；4x

3次

je=o

2

=/lxE[X]+2a^jux

中[=”⑹=3,+6小必十解

dae=o

=/X(3/〃x+m)+3氏⑹+Ax)

32

=//x￡[X]+3<r^￡[X]

2

E[X"]=jUxE[X'-']+(n-\)a^E[X"-]

可見，高斯隨機變量的任意高階矩都可以用一、二階矩表示,最終都是取決于〃X和。

1.2隨機過程的描述

一、隨機過程

定義1：定義在樣本空間5=伙｝上的時間函數(shù)（樣本函數(shù)）/。），feT的集合（如

圖1-4所示），稱為隨機過程，簡記為X?）。

10

車輛隨機振動理論與應用

時，x（fj為一連續(xù)型隨機變量，xg）又稱為x?）在《時刻的截口或狀態(tài)；當k一定且1=乙

時，XQ）為樣本函數(shù)/。）在乙時刻的值。

定義2：隨機過程X。）是一族隨機變量X（G（4eT）的集合。即可以看作是無限多

個隨機變量組成的隨機變量系，或者說X（f）是隨時間t而變的一族隨機變量。

X。）又稱隨機函數(shù)。

二、概率描述

1、一維概率分布

隨機過程X”）在內(nèi)時刻的截口X6）為一個連續(xù)型的隨機變量。它的分布函數(shù)

6（"）=P{X（G〈xj（1-21）

式中，4為截口時間，是確定值。

相應的概率密度函數(shù)

11

車輛隨機振動理論與應用

（1-22）

dX]

2、n維概率分布

隨機過程X。）在n個時刻LM，…，％的截口X&）、X?2）、……、X&J為一個n維隨

機變量。它的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)為

工（X|,X2,…，Xn；t|,t2,…，％）（1-23）

工,（X|,X2,…，xn;t1,t2,--,tn）（1-24）

若已知n維隨機變量的概率密度函數(shù)力區(qū)送2,…，Xn；t1,t2,…，4）,則可以求出較低維

隨機變量的概率密度函數(shù)，如同根據(jù)聯(lián)合概率密度函數(shù)求邊際概率密度函數(shù)一樣。

￡,-A（X|，X2,…，Xn.k；t|，t2,…，%*）

=J-8…LZ,（xpx2?"">…，y）公"近…公，T+I

'iS'

可見，對于隨機過程XQ）,知道概率密度函數(shù)的維數(shù)越高，對它的統(tǒng)計特性了解得越徹底。

三、數(shù)字特征：

1、單個隨機過程的主要數(shù)字特征

n維概率密度函數(shù)<（X],X2,…，x/LQ,…，4）可近似的描述隨機過程X0）的統(tǒng)計特

性。n越高，概率密度函數(shù)描述得越完善。但求解￡（X1,X2,…，X/t1,t2,…，4）一般十分困

難，有時甚至不可能。因此，在實際問題中，往往只要知道某些主要數(shù)字特征，即可對X（r）

有足夠的也手。常用的有

均值：E[X（f）]=Jxf（x,t）dx=jUx（t）（1-26）

方差：

qX⑺]=譏（X⑺一〃x⑺力=匚（九一％0））2/（X，1）公=另⑺

均方值：E[X2(/)]=J：x旺(x,t)dx=叭(r)=(/)+(f)

自相關函數(shù)：

E[X（QX?2）]=Rx（M2）=匚匚￥2八和入2；44）血血

2、n維隨機過程的數(shù)字特征

設n維隨機過程X1⑺,X?⑺，…，X,⑺，其數(shù)字特征包括

12

車輛隨機振動理論與應用

均值：E[X,.（O]i=l，2,…，n

均方值：E[X,2(r)]i=12…，n

相關函數(shù)矩陣：

Rx、Xi（，1"2）&也(％，’2)…RX|X〃(4，12)

Rx?Xi（4"2）^X2X2(4，’2)…^X2X?(4，’2)

RxtXj（彳,，2）=（1-30）

Rx“X|聯(lián)冬由國)…Rx.x”（4”2）

矩陣中的對角元素為自相關函數(shù)，非對角元素為互相關函數(shù)。由于互相關函數(shù)

這里只討論具有簡單初等函數(shù)關系的隨機過程之間數(shù)字特征的運算關系。

①Y(t)=9Q)X(E)(其中(p(t)為確定性函數(shù))

對于任一時刻八,有

Y&)=9(GX(G

式中，是確定值，X&)、Y?)是隨機變量。所以，有

E?(t])]=3(GE[X(G]

由于時刻4是任意的，所以

E[YM]=(p(t)E[X(t)]（1-31）

13

車輛隨機振動理論與應用

同理可得

E[Y2M]=（p\t）E[X2（t）]（1-32）

）X-）夕一）X。）]

=8（G*2）E[X（GX?2）]（1-33）

=夕（———，幻

②z⑺=x?）+y?）

E[Z（t）]=E[X（t）]+E[Y（t）]（1-34）

Rz（Ad）=E[Z（GZa2）]

=E[（x（G+y（G）（x?2）+y"2））]（1-35）

=RX（%，，2）+RY（%，，2）+—#2）+/

當x（r）與y?）不相關，且均值為。時，因為

RXY.,，2）=CXY儲，12）+〃X（%M&）=°

同理：7?氏（44）=0

???Hz儲，/2）=RX（32）+R）&，，2）（1-36）

其中，協(xié)方差

Cxy&冉）=切（X⑷一小&））（丫?2）一悶&））]

=E[X（fjy（f2）一〃y（f2）E[X（G]—〃x0）E[y（f2）]+〃x（fMyG）]

=E[X-）]-"xQMyG）

=/?xyaiJ2）-〃x（A）〃y“2）（1-37）

而相關系數(shù)（標準化協(xié)方差）PXY=C"）（1-38）

當%=J=f時，自相關函數(shù)變成均方值，有

必⑺=⑺（1-39）

又因為它們的均值等于0,所以方差存在以下關系

#（f）=<7；（/）+CT；（/）（1-40）

?般地，對于Z（f）=￡x?）,如果有X,⑺與X,Q）（iw/）不相關且均值為0,則

14

車輛隨機振動理論與應用

有:

。汕=2&。(1-41)

/=1

③z(f)=x(/)y⑺

當X。)與丫⑺相互獨立時，則

￡[Z(r)]=E[X(r)y(r)]

,+8p+CO

=Jxy-/(x,Z；y,t)dxdy

:+oop+co

=LL盯溫y(1-42)

=JIX,/(x,f)辦j：>1'f(y,t)dy

=E[X(t)]E[Y(t)]

Rz/w)=磯x&)y(Gx&)y(/

=E[x(rl)x(/2)y(/,)y(r2)]

=&(4,，2)曷(;"2)

[例1-7J質(zhì)量彈簧系統(tǒng)如圖1-6所示，對初始激勵的響應為

x(f)=x(0)cosgt+必^sincoJ

七

1PI-1

g,⑴

圖1-6彈簧質(zhì)量系統(tǒng)示意圖

當初始條件x(0)與乳0)為隨機變量時，響應x(f)為一隨機過程

X(z)=X(0)cos3JH———■sincont

七

設X(0)與X(0)相互獨立，且均值為0,求￡[X(1)],RXQ"2)。

1

解：E[X(t)]=cosa)nt?E[X(0)]+—sincont?E[X(0)]=0

15

車輛隨機振動理論與應用

0(44)=aX&)X?2)]

=E[(X(0)coscox+.⑼sina)nt})(X(0)cosa)nt2+“(°)sin)】

3〃?@

E[X(0)X(0)]

=E[X(0)]?cos電力cos+-----------cosa)nt}sincont2

七

E[X(0)X(0)].E[X2(t)]

H-------------sm①滴coscont2H---------smcont}sin60nt?

-Oy人0corisicot.conszcot.+~—?sincot.sinCOL

4、導數(shù)過程的數(shù)字特彷(問答)

隨機過程X(/)的導數(shù)過程欠(f)定義為X。)的每個樣本函數(shù)xQ)在t時刻的導數(shù)的集

合，即X(/)=些D=limX(r+￡)~X(r),這要求每個樣本函數(shù)對時間t的導數(shù)都存在。

dt—0￡

①元⑺的均值

E[X(t)]=E[(IX^]=d仇X(f)]=d底⑴(1-44)

dtdtdt

上式表示，導數(shù)過程的均值等于原過程均值的導數(shù)。

②X。)與X(r)的互相關函數(shù)

R取(/“)=以文(4)X缶)1

=E[(limX儲+￡)Wx?2)]

￡T°E

譏X(4+￡)X?2)]-E[X(GX(，2)]n4S)

一uni11TD)

￡T?！?/p>

_HmRx(4+&K(%，，2)

一?！?/p>

a八/、

=dt&—)

a

同理：/?.(rp^)=—/?x(?,,/,)d-46)

③X(r)的自相關函數(shù)

16

車輛隨機振動理論與應用

^(r1,f2)=E[X(rl)X(f2)]

=后加1)limXG+￡)-X?2)]

￡T°￡

=limR歡(1.47)

￡T0￡

a

=6t_R法"2)

=*?&&也)

atldt2

『例1-8J設A、B為兩個相互獨立的隨機變量。A~N(1.2),B在(0,1)上服從均勻分布,

隨機過程XQ)=A+及,?e(-eo,-^)o求①〃x?)，②RX(W2)，③R戲&冉)，④

勺x&W)，⑤勺(也)

解：根據(jù)已知條件，可得：4A=1,。：=2

-,?何=4+成=3

另外，f(B)=-'-=l

1-0

2

fiB,1

2o2

?1

-

3-

o

%(。=E[X(t)]=E[A]+E[B]t=1+5

RXQ"2)=夙X(GX?2)]

22

=￡[A]+E[AB]t2+E[BA]t]+E[B]t]t2

=3+(4+Z,)￡[A]￡[i?]+—/|

c1/、1

=3+](f]+q)+/2

八/、a八/、ii

R雙Ql，12)=RxQl，，2)=%+W%

dt223

n/\an/

RxX(ti,t2)=—Rx(ti,t2)=-+-t2

oA23

17

車輛隨機振動理論與應用

a2\

勺"/）=3^7%（小切=1

otxot25

四、平穩(wěn)鳥號號數(shù)過程

1、平穩(wěn)過程X。）的概念：

數(shù)學上,如果隨機過程X。）的概率密度函數(shù)存在以F關系

/（X，G=/（%，4+“）

/（%/;工24）=/（%，%+a-,x2,t2+a）

/（%，4；尤2,小…；X",，"）=/（%,6+a-,x2,t2+a-,----,xn,t?+。）

（1-48）

其中a為任意