適用于新教材2023版高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱棱錐棱臺的表面積和體積教師用書新人教A版必修第二冊

PAGE8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的________.

2.棱柱、棱錐、棱臺的體積體積說明棱柱V棱柱=ShS為棱柱的________,h為棱柱的________

棱錐V棱錐=13S為棱錐的________,h為棱錐的________

棱臺V棱臺=13(S'S'S+SS',S分別為棱臺的________________,h為棱臺的________

3.棱柱、棱錐、棱臺體積之間有何內(nèi)在關(guān)系?【基礎(chǔ)鞏固組】一、單選題1.正方體的表面積為96,則正方體的體積為 ()A.486B.64C.16D.962.(教材改編題)側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐,底面邊長為a時,該三棱錐的表面積是 ()A.3+34a2 B.3C.3+32a2 D.6+3.已知長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3,體對角線的長是214,則這個長方體的體積是 ()A.6 B.12 C.24 D.484.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,三棱錐B-AB1C1的體積為 ()A.16 B.14 C.13 二、多選題5.下列說法正確的有 ()A.多面體的表面積等于圍成多面體的各個面的面積之和B.棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個等腰梯形組成的C.沿不同的棱將多面體展開,得到的展開圖相同,表面積相等D.多面體的側(cè)面積等于各個側(cè)面的面積之和6.三棱柱的底面是正三角形,側(cè)棱垂直于底面,它的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,則它的體積可能為 ()A.433 B.833 C.23三、填空題7.已知一個正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為5,那么它的體積為________.

8.如圖,一個棱長為4的正方體被挖去一個高為4的正四棱柱后得到圖中的幾何體,若該幾何體的體積為60,則挖去的正四棱柱的底邊邊長為________,該幾何體的表面積為________.

四、解答題9.如圖,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,E為AA1的中點,F為CC1上一點,求三棱錐A1-D1EF的體積.10.如圖,正六棱錐被過棱錐高PO的中點O'且平行于底面的平面所截,得到正六棱臺OO'和較小的棱錐PO'.(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面面積之比;(2)若大棱錐PO的側(cè)棱長為12cm,小棱錐的底面邊長為4cm,求截得的棱臺的側(cè)面面積和表面積.【素養(yǎng)提升組】一、選擇題1.過棱錐各側(cè)棱中點的截面將棱錐分成上下兩部分,則這兩部分的體積之比為 ()A.2∶5 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶72.開爾文胞體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊形),已知該多面體共有24個頂點,且棱長為2,則該多面體的表面積是()A.24(3+1) B.24C.483+24 D.16二、填空題3.一個正四棱臺,其上、下底面均為正方形,邊長分別為8cm和18cm,側(cè)棱長為13cm,則這個正四棱臺的側(cè)面積為________cm2,表面積為________cm2.

4.(教材改編題)如圖1,一個正三棱柱容器,底面邊長為a,高為2a,內(nèi)裝水若干,將容器放倒,把一個側(cè)面作為底面,如圖2,這時水面恰好為中截面,則水的體積為________,圖1中容器內(nèi)水面的高度是________.

三、解答題5.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.6.用硬紙做一個體積為32,高為2的長方體無蓋紙盒,這個紙盒的長、寬各為多少時,表面積最小?并求出最小值.8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積必備知識·落實1.和2.底面積高底面積高上、下底面面積高3.棱柱、棱錐、棱臺體積之間的關(guān)系:知能素養(yǎng)·進階【基礎(chǔ)鞏固組】1.B設(shè)正方體的棱長為a,則6a2=96,解得a=4,所以正方體的體積為43=64.2.A因為側(cè)面都是等腰直角三角形,故側(cè)棱長等于22a所以S表=34a2+3×12×22a23.D設(shè)長方體的過一個頂點的三條棱長分別為x,2x,3x,又體對角線長為214,則x2+(2x)2+(3x)2=(214)2,解得x=2.所以三條棱長分別為2,4,6.所以V長方體=2×4×6=48.4.A如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長AB=1,則三棱錐B-AB1C1的體積為:V三棱錐B=13×S△ABB1=13×1=165.ADA正確.多面體的表面積等于圍成多面體的側(cè)面積與底面積之和.B錯誤.棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個梯形組成的,不一定是等腰梯形.C錯誤.由于剪開的棱不同,同一個幾何體的表面展開圖可能不相同.但是,不論怎么剪,同一個多面體表面展開圖的面積是一樣的.D正確.多面體的側(cè)面積等于各個側(cè)面的面積之和.6.BD由題意可知該三棱柱為正三棱柱,因為正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,所以有如下兩種情況:(1)6是底面周長,4是三棱柱的高,此時底面積S=12×2×3=3,體積V=Sh=43(2)4是底面周長,6是三棱柱的高,此時底面積S=12×43×233=439,體積7.【解析】因為正六棱錐的高h=52-12=2,所以V=13Sh=1答案:38.【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長為m,則4(42-m2)=60,解得m=1,所以該幾何體的表面積為42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.答案:11109.【解析】由題圖易知V三棱錐A1因為S△A1D1E=12EA1·A1又三棱錐F-A1D1E的高為CD=a,所以V三棱錐F-A1D1E=13×a所以V三棱錐A1-D10.【解析】(1)由題意知S小棱錐側(cè)∶S大棱錐側(cè)=1∶4,則S大棱錐側(cè)∶S小棱錐側(cè)∶S棱臺側(cè)=4∶1∶3.(2)如圖所示,因為小棱錐的底面邊長為4cm,所以大棱錐的底面邊長為8cm,又PA=12cm,所以A1A=6cm.又梯形ABB1A1的高h'=62-2所以S棱臺側(cè)=6×4+82×42=1442(cm2所以S棱臺表=S棱臺側(cè)+S上底+S下底=1442+243+963=(1442+1203)cm2【素養(yǎng)提升組】1.D過棱錐各側(cè)棱中點的截面將棱錐分成上下兩部分,以三棱錐為例如圖所示:因為△EFG與△BCD的相似比為1∶2,則S△EFG=14S△BCD,而棱錐A-EFG與棱錐A-BCD的高也是1∶2.所以VA-EFG∶VA-BCD=1∶即有VA-EFG∶VEFG-BCD=1∶7.2.C邊長為2的正方形的面積為2×2=4,正六邊形的面積為6×12×2×2×32又正方形有4個頂點,正六邊形有6個頂點,該多面體共有24個頂點,所以該多面體共有244=6個正方形,有24×2所以該多面體的表面積S=8×63+6×4=483+24.3.【解析】由已知可得正四棱臺側(cè)面梯形的高為h=13所以S側(cè)=4×12×(8+18)×12=624(cm2S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面積為S=624+64+324=1012(cm2).答案:62410124.【解析】在題圖2中,水所占部分為四棱柱.四棱柱底面積為S=12×a2sin60°-12×12a2×sin60°=3316a2,高為2a,體積為V=3316a2×2a=338a3,設(shè)題圖1中水高度為h,則V=12×a2×sin60°×答案:338a35.【解析】如圖,連接EB,EC,AC.V四棱錐E-ABCD=13×42×3=16因為AB=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF.所以V三棱錐F-EBC=V三棱錐C-EFB=12V三棱錐C-ABE=12V三棱錐E=12×12V四棱錐E-ABCD所以多面體的體